SEQUÊNCIAS E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS APRENDIZAGEM DA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES A PARTIR DE IGUALDADES NUMÉRICAS

Projecto IMLNA

Promover a Aprendizagem Matemática em Números e Álgebra

SEQUÊNCIAS E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

APRENDIZAGEM DA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

A PARTIR DE IGUALDADES NUMÉRICAS

Tarefas para o 7.º ano de escolaridade Materiais de Apoio ao Professor

Manuel Joaquim Saraiva Magda Nunes Pereira Rogério Inácio Berrincha

Projecto financiado pela FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia, contrato N.º

PTDC/CED/65448/2006

Materiais divulgados com o apoio da Associação de Professores de

Índice

Introdução 2

O Ensino e a Aprendizagem de Sequências Numéricas e de Equações 4

Transição da Aritmética para a Álgebra 5

Sugestões didácticas 8

Sequências e expressões algébricas 13

Tarefa 1 – Sequências com quadrados 14

Tarefa 2 – A torre dos ímpares 27

Tarefa 3 – O aniversário do João 36

Aprendizagem da resolução de equações a partir de igualdades numéricas 51 Tarefa 4 – Resolução de equações a partir de igualdades numéricas 52

Introdução

As tarefas matemáticas apresentadas na presente publicação poderão ser propos-tas a alunos do 7.º ano de escolaridade no desenvolvimento dos tópicos Sequências e Regularidades, e Equações. Cabe sempre ao professor a opção de decidir sobre as tare-fas a propor aos seus alunos – as que aqui são apresentadas podem ser propostas de modo independente, ou de modo sequencial dentro de cada tópico. Nessa decisão, ele considerará, decerto, a importância do desenvolvimento destes tópicos sob três grandes capacidades transversais: a resolução de problemas, o raciocínio matemático e a comu-nicação. Deste modo, o professor poderá propor tarefas com o propósito de promover o uso de procedimentos algébricos (como por exemplo, na aprendizagem de conceitos fundamentais como o de sequência, a simplificação de expressões algébricas e a resolu-ção de equações), bem como o de utilizar esses conhecimentos e capacidades na mode-lação e resolução de situações do quotidiano.

Na presente publicação são apresentados, para cada tarefa dentro de cada tópico (Sequências e regularidades e Equações), aprendizagens visadas, conhecimentos prévios dos alunos, possíveis estratégias de resolução, resoluções de alunos e algumas reflexões. Nas tarefas referentes ao tópico Sequências e regularidades são dadas indicações sobre as diversas representações das sequências numéricas (esquema, expressão algébri-ca e representação geométrialgébri-ca), com realce para a representação esquemátialgébri-ca e para a dificuldade de generalização. É feita também referência à importância das conexões entre essas representações – através das quais os alunos podem adquirir mais significa-tivamente o conceito de sequência e os diferentes papéis dos símbolos em Álgebra.

Nas tarefas referentes ao tópico Equações são dadas indicações sobre a noção de equação, de solução de uma equação e de equações equivalentes, sobre o significado do sinal de “=” e dos símbolos matemáticos como as letras (incógnita e variável). Em todas

as tarefas são dadas indicações sobre as dificuldades dos alunos na passagem da Aritmé-tica para a Álgebra.

Apresentamos vários modos de explorar tarefas matemáticas que envolvam sequências numéricas e equações, contrariando a ideia redutora de que só há uma única forma de encontrar o termo geral de uma sequência numérica e mostrando como se podem ensinar as regras formais de resolução de equações a partir do trabalho com igualdades numéricas verdadeiras, promovendo nos alunos:

 a compreensão do conceito de sequência e de equação;

 o desenvolvimento da capacidade de trabalhar com os vários tipos de representa-ções;

 a capacidade de identificar regularidades e compreender a noção de termo geral de uma sequência numérica;

 a compreensão das noções de solução de uma equação, identificação de expres-sões e equações equivalentes;

 a resolução de equações do 1.º grau utilizando as regras formais.

As tarefas apresentadas nesta publicação estão concebidas para uma realização em sala de aula em dois momentos principais: o primeiro, relativo ao trabalho autónomo dos alunos (em pares, em pequenos grupos, ou individualmente) e o segundo, referente à discussão colectiva com toda a turma. O segundo momento é fundamental para a vali-dação, formalização e síntese dos resultados, cabendo ao professor a decisão de limitar no tempo a primeira fase do trabalho, ainda que nem todos os alunos a tenham termina-do, e dar início à segunda. No âmbito da gestão da aula, o professor deve ter presente princípios didácticos como:

 a equidade – garantindo um sólido apoio a todos os alunos no processo de cons-trução de novos conhecimentos com base na experiência matemática desenvol-vida na primeira fase do trabalho;

 a coerência – garantindo que as ideias matemáticas construídas na primeira fase sejam associadas e discutidas, de modo a que, na segunda fase os conhecimentos e a compreensão sejam aprofundados e ampliados, permitindo que os alunos desenvolvam a sua capacidade de argumentação e comunicação matemática. O professor deve garantir que cada aluno reflicta no seu trabalho e o confronte com resoluções e formas de pensar provavelmente diferentes da dele. Todos os alu-nos devem ter oportunidade de participar, devendo evitar-se repetições de ideias e estratégias já apresentadas por grupos/alunos anteriormente. Desta forma, fica-rão valorizadas quer a diversidade de estratégias, quer a forma como elas são

cimento das estratégias pedagógicas adequadas a cada situação, compreendendo aquilo que os alunos sabem e precisam de aprender em cada momento, bem como o estímulo que necessitam para o fazerem correctamente. Se as aulas decorrerem num clima de trabalho agradável, e se este for um tipo de aula usual, os alunos rapidamente perceberão que têm oportunidade de expor as suas estra-tégias e resoluções, bem como as suas dificuldades. Perceberão, ainda, que o facto de eventualmente não terem concluído a resolução da tarefa no primeiro momento da aula, isso não os impedirá de participar no segundo momento.

Sugere-se aos professores que adaptem as tarefas aqui propostas às característi-cas da sua turma, deixando tempo para que a discussão colectiva (o segundo momento da aula) seja feita na mesma aula do trabalho autónomo, de modo que a sua resolução esteja presente na memória dos alunos, promovendo assim uma discussão mais rica.

O Ensino e a Aprendizagem de Sequências Numéricas e de Equações

De acordo com o novo Programa de Matemática do ensino básico, no âmbito dos objectivos gerais de aprendizagem dos tópicos Sequências e regularidades e Equações, os alunos devem:

 ser capazes de interpretar e representar situações em contextos diversos, usando linguagem e procedimentos algébricos;

 ser capazes de interpretar equações em contextos matemáticos e não matemáti-cos;

 ser capazes de resolver problemas, comunicar, raciocinar e modelar situações recorrendo a conceitos e procedimentos algébricos.

Todos os alunos devem compreender, representar, modelar e analisar situações e estruturas matemáticas usando símbolos algébricos. Porém, a aprendizagem da álgebra não é um processo fácil, nem linear. Ao iniciar o trabalho em Álgebra, o professor deve ter presente as dificuldades que muitos alunos revelam quando tentam dar sentido a uma expressão algébrica, ou a uma letra nessa expressão, quando tentam escrever simboli-camente uma determinada generalização ou quando resolvem equações – em suma, o professor deve estar consciente das dificuldades que muitos alunos revelam quando transitam da linguagem aritmética para a algébrica.

Transição da Aritmética para a Álgebra

A aprendizagem da Álgebra envolve o desenvolvimento do pensamento algébri-co, que é entendido como sendo o estudo i) das estruturas – compreender padrões, rela-ções, e funrela-ções, ii) da simbolização – representar e analisar situações matemáticas e estruturas, usando símbolos algébricos, iii) da modelação – usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas e iv) da variação – analisar mudança em diversas situações (Ponte, 2006).

O pensamento algébrico envolve, por um lado, a capacidade de cálculo e a capa-cidade de trabalhar com estruturas matemáticas usando os símbolos algébricos na reso-lução de problemas, e, por outro lado, envolve a capacidade de generalizar. O reconhe-cimento da generalidade e a sua articulação é uma aptidão ao alcance de todos os alunos e é vital para eles, caso queiram participar completamente na sociedade (Mason, Gra-ham & Wilder, 2005). O processo de generalização de uma sequência requer, usualmen-te, a passagem por quatro fases:

1.ª) construção mental da regra geradora dos termos dessa sequência – é um pro-cesso mental que ocorre, por exemplo, quando o aluno é capaz de obter qualquer termo de uma sequência sem ter necessidade de calcular consecutivamente todos os seus termos até chegar ao termo daquela ordem;

2.ª) escrita da regra em linguagem corrente – é a obtenção da regra mental, com recurso à linguagem natural, ou numérica;

3.ª) tradução da regra em simbologia algébrica – obtenção da fórmula que cor-responde à generalização simbólica; e

4.ª) manipulação da generalização – através do seu uso na resolução de proble-mas que envolvam a sequência em causa. (Rojano, 2002).

Ao pensamento algébrico é, também, associado o sentido do símbolo, entendido como a capacidade de interpretar e de usar de forma criativa os símbolos matemáticos na descrição de situações e na resolução de problemas (Arcavi, 2006). Por exemplo, na resolução da equação 3x  5  4x, em vez de se usarem regras formais poderá fazer-se uma “leitura dos símbolos” e observar-se que para obter 4 x no 2.º membro deve

adi-Embora a Aritmética e a Álgebra partilhem muitos dos mesmos sinais e símbolos, tais como o de “=”, de “+” e de “-“, o seu significado tem de ser enquadrado nos con-textos respectivos onde eles estão inseridos. Por exemplo, na Álgebra, o sinal de “=” realça mais claramente o seu sentido relacional, ou seja, numa equação o sinal de “=” relaciona o 1.ºmembro com o 2.ºmembro. Por sua vez, na Aritmética, o sinal de “=” realça mais claramente o seu sentido operacional, ou seja, 2  3  5.

Por outro lado, as letras são símbolos usados em vários contextos e com interpre-tações distintas, das quais destacamos apenas três: letra considerada como uma

incógni-ta – quando a letra assume um valor desconhecido que pode ser determinado, como

ocorre com a incógnita x na equação x  5  7; letra considerada como número um

generalizado – quando a letra pode ser substituída por vários valores, como acontece a

n na sucessão dos números naturais pares representada pelo termo geral u_n  2n; e

letra considerada como uma variável – quando a letra representa um conjunto de

valo-res, como, por exemplo A 



1 3 5 7, , ,



. (Küchemann, 1981).

Algumas das dificuldades que os alunos têm no reconhecimento e no uso das estruturas surgem do facto de que estas, em si, estão muitas vezes disfarçadas pelas formas como os alunos entendem alguns dos símbolos usados (Kieran, 1992). Os alunos continuam a usá-los como faziam na Aritmética e tratam-nos como tendo um papel e um significado idênticos ao do contexto aritmético sem considerações de aspectos estru-turais, que não podem ser ignorados ao nível algébrico. Sem uma compreensão desta mudança de perspectiva dos papéis de alguns símbolos que lhes são familiares, os alu-nos não serão capazes de fazer, efectivamente, a transição do pensamento aritmético para o algébrico (Nickson, 2004). Por exemplo, na expressão 2 x  y  x, o objecto não é 2 x, nem y, nem x, mas sim toda a expressão 2 x  y  x. Deste modo, quando é pedido aos alunos para associarem os termos dessa expressão, o que se pretende é que eles usem uma nova operação que não conduz a uma resposta numérica tal como acon-tece na Aritmética. Este processo de ver as expressões algébricas como entidades (objectos matemáticos) é o foco central para o salto cognitivo que os alunos têm de dar quando transitam da Aritmética para a Álgebra. Nesta transição, pretende-se que os alu-nos comecem por adquirir alguma familiaridade com o simbolismo algébrico. Para tal, é necessário que percebam que os símbolos algébricos têm diferentes interpretações de

sentar objectos em vez de números, e que grupos de símbolos podem ser usados como unidades básicas com significado – por exemplo, x  5 pode ser considerado como uma quantidade única em situações de manipulação algébrica (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999). Esta capacidade (simbolização) permite reconhecer se uma expressão algébrica está ou não escrita correctamente – por exemplo, saber que 4x  20  x  5 está escrito correctamente, mas que isso já não se passa com 4x  20  4  5.

Uma das exigências para o aluno conseguir uma percepção estrutural das equa-ções tem a ver com a concepção do carácter transitivo e simétrico da igualdade – muitas vezes referido como a “equivalência esquerda-direita” do sinal de igual. No entanto alguns alunos, apesar de evidenciarem um entendimento rudimentar deste sinal, são capazes de resolver, com sucesso, diferentes tipos de equações com uma incógnita (Kie-ran, 1992). De facto, na Aritmética o sinal de “ ” é, muitas vezes, interpretado como um simples operador que “transforma” o membro do lado esquerdo de uma igualdade num resultado numérico que aparece no lado direito da igualdade (como em 2  3  5). Porém, na Álgebra, exige-se o seu sentido relacional de forma mais premente, embora ele se possa apresentar de formas diferentes: i) como uma equivalência clara entre duas expressões



2



ab



2a  2b



, ii) como uma igualdade restrita ou equação



3x  4  6  2x



, ou iii) como uma igualdade funcional (y  5x  3). A realidade das nossas escolas mostra-nos que os alunos têm, por vezes, aquilo que se pode designar por uma percepção operacional do sinal de igual, isto é, tendem a vê-lo apenas como indicando o resultado de um conjunto de operações escritas à sua esquerda e perdem de vista o que ele significa em relação aos dois membros da igualdade – o que estará na origem de erros como: 3  5  8  2 10; 2x  3 ser igual a 5 x; 6  y ser igual a

6 y; 8a 12b ser igual a 20 a b; e 2  3  5 (Abrantes et al., 1999).

Relativamente ao trabalho com equações, os alunos devem fazer uma transição progressiva da linguagem natural para a linguagem matemática. No que refere especifi-camente à resolução equações podem ser usadas várias estratégias de resolução:

 “cover-up” (2x9 5x; 9 tem de ser igual a 3 x; logo, x  3);

 Andar para trás (através do uso das operações inversas, ou seja

2x  4 18  2x 18 4 2x 14  x 14 2 x  7);

 tentativa e erro ( 2x4 18 ; _para x5 vem 14 18, o que não é verdade; para x 6 vem 16 18, o que não é verdade; para x  7 vem 18 18, o que é verdade; logo x  7 );

 realizar a mesma operação em ambos os membros ( 2x418 2x 4 4 1 8 4      2 1 4 2 1 4 7 ); 2 2 x x x      

 transposição – mudar de membro, mudar de sinal ( 2x 4 18 2x184 ). Kieran (1992).

As duas últimas estratégias, que envolvem conhecimento e aplicação de proprie-dades estruturais algébricas, são consideradas técnicas formais; as duas primeiras têm uma natureza aritmética, e a terceira e quarta podem ser vistas como uma combinação destas duas. Os três primeiros processos são abordagens intuitivas e o quinto é um método que pode fornecer uma base intuitiva para os métodos de resolução mais estru-turais.

Sugestões didácticas

No 7.º ano de escolaridade deve retomar-se, dos ciclos anteriores, a actividade matemática dos alunos em torno das sequências e regularidades com vista a aprofundar o estudo de relações algébricas e a sua simbolização – fundamental para o desenvolvi-mento da noção de variável e para a compreensão da linguagem algébrica. No desen-volvimento dos conceitos e procedimentos algébricos é importante que sejam propor-cionadas aos alunos experiências informais antes da manipulação algébrica formal. Por exemplo, na resolução de equações é fundamental que os alunos as comecem por resol-ver pelos processos intuitivos e com recurso às operações inresol-versas (adição/subtracção e multiplicação/divisão) e só depois com o recurso às regras formais. No decurso das tare-fas que apresentamos, o uso da técnica de realizar a mesma operação em ambos os membros da equação tem como objectivo neutralizar termos independentes e/ou termos com incógnita (recorrendo à adição/subtracção) ou coeficientes de termos com incógnita (recorrendo à divisão/multiplicação). Assim, com base na neutralização aditiva tem-se

que: x 5 0 x 5 5  0 5  x 5 e com base na neutralização multiplicativa tem-se que: 5x  2 5 2 5 5 x   2 . 5

x A noção de equilíbrio é fundamental na

reso-lução de equações. Este equilíbrio é traduzido pelo sinal de igual. É crucial que os alu-nos atinjam a compreensão de que o sinal de “ =” que aparece numa equação exprime uma igualdade, não entre as expressões que figuram em cada um dos membros da equa-ção (que, de um modo geral, são diferentes), mas no sentido em que, para um certo valor da incógnita, o número que aparece como resultado das operações realizadas na expressão do lado esquerdo é exactamente igual ao número que se obtém substituindo a incógnita por esse mesmo valor, na expressão do lado direito (Silva & Paulo, 1963). Consequentemente, é importante afirmar que numa equação não há “o membro das incógnitas”. Porém, concordamos com a escolha do primeiro membro para isolar os termos com incógnitas – o que é feito frequentemente pelos alunos (e pelos professores) pois a leitura da solução parecerá mais simples.

É conveniente usar expressões algébricas para representar problemas, usando letras para designar incógnitas ou variáveis e introduzir expressões com variáveis liga-das a um contexto. Os alunos devem explorar situações varialiga-das em que surjam letras e discutam os seus significados. A aprendizagem das operações com monómios e poli-nómios, bem como a simplificação de expressões algébricas, deve ser progressiva e recorrer a situações que permitam aos alunos compreender a manipulação simbólica envolvida. Na resolução de uma equação, começar por expressões que envolvam apenas uma operação e introduzir cedo o questionamento sobre os números desconhecidos, ajudando a uma leitura da equação como uma pergunta que requer um número como resposta, pode contribuir para a compreensão do processo por parte dos alunos (Abra n-tes et al., 1999). Para muitos alunos, parte da estrutura e do simbolismo algébrico podem ser construídos a partir da sua experiência com números, realçando os aspectos estratégicos e intuitivos (NCTM, 2007; Guzmán, 1996), onde a visualização assume uma função importante. De facto, a visão, ao produzir modelos mentais, leva a que o suporte visual apropriado tenha efeitos positivos na compreensão dos alunos e na reso-lução de situações problemáticas (Saraiva, 1992). Uma forte abordagem investigativa, que inclua visualização e manipulação de figuras como base para a generalização, pode

um óptimo caminho para os alunos se familiarizarem com as equações, bem como para encontrarem um processo de as resolver, mesmo formalmente. Conforme as orientações curriculares, concordamos que na resolução de tarefas que envolvam sequências e equa-ções os alunos devem fazer uma transição progressiva da linguagem natural para a li n-guagem matemática. Deste modo, a resolução de tarefas matemáticas de modo intuitivo, promovendo a ligação gradual da linguagem corrente à linguagem matemática, contri-bui para a compreensão quer da generalização simbólica de uma sequência, quer do processo formal de resolução de uma equação.

Por outro lado, concordamos que tentar aprender Matemática sem uma forte intervenção investigativa é como tentar aprender a andar de bicicleta vendo os outros a andar e recebendo informações sobre como o conseguem fazer (Braumann, 2002) - a exploração, a descoberta de estratégias, a tentativa e o erro são processos inerentes à investigação Matemática. A resolução de problemas assume-se, também, como um modo de estimular o desenvolvimento do raciocínio matemático e desenvolver a criati-vidade na fase de procura de uma estratégia adequada à sua resolução (Matos & Serra-zina, 1996; NCTM, 2007). É ainda assumido que a resolução de tarefas de exploração e de investigação matemática “permite a formulação de conjecturas, a avaliação da sua plausibilidade, a escolha dos testes adequados para a sua validaçã o ou rejeição, promo-vendo a procura de argumentos que demonstrem as conjecturas (...) e levantando novas questões para investigar” (Silva, Veloso, Porfírio & Abrantes, 1999, p.71). Inserir na aula tarefas de exploração e de investigação, devidamente seleccionadas, conjuntamente com tarefas de outro tipo, tais como os problemas e os exercícios, pode facilitar o desenvolvimento de raciocínios e a aprendizagem de processos matemáticos, nomeada-mente os algébricos. (Ponte, J. P., Oliveira, H., Brunheira, L., Varandas, J. M. & Ferrei-ra, 1998; Ponte, J. P., OliveiFerrei-ra, H. & Brocardo, J., 2003; Pereira & Saraiva, 2005; Matos & Ponte, 2008; Saraiva & Teixeira, 2009).

É importante que os professores, na sua prática profissional, tenham em conta o papel crucial da experiência matemática dos alunos na sala de aula, onde o professor deve propor aos alunos tarefas matemáticas com escolhas abertas, que permitam aos alunos compreender cada experiência e considerá-la como preparação para um trabalho algébrico posterior mais aprofundado, quer no presente ano lectivo, quer em anos lecti-vos futuros.

Referências

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Sequências com quadrados

Parte 

Observa a seguinte sequência construída com quadrados:

  

  

Fig. 1 Fig.2 Fig.3

a) Quantos quadrados terá a Fig.4?

b) Quantos quadrados terá a Fig.10? E a Fig.50? Explica o teu raciocínio.

c) Nesta sequência, existirá alguma figura com 157 quadrados? Se existir, indica o número da figura.

d) Nesta sequência, existirá alguma figura com 324 quadrados? Se existir, indica o número da figura.

e) Consegues encontrar um processo que permita determinar o número de quadra-dos da figura, dependendo do número da figura? Explica-o.

Parte 

Observa a sequência seguinte:

  

  

Fig.1 Fig.2 Fig.3

Descreve um processo que permita determinar o número de quadrados de cada figura, dependendo do número da figura.

Conhecimentos prévios dos alunos

Com o trabalho desenvolvido nos 1.º e 2.º ciclos em aulas referentes ao tema sequências, os alunos devem ser capazes de:

 Construir e representar, por esquema e simbolicamente, os termos de sequências simples de números: divisores, múltiplos, quadrados, cubos, potências de um número, entre outras.

 Traduzir, por escrito e oralmente, os raciocínios desenvolvidos.

Aprendizagens visadas

Com o trabalho realizado em torno desta tarefa, os alunos devem ser capazes de:

 Formular e testar conjecturas matemáticas na exploração da situação proposta.  Desenvolver e avaliar argumentos matemáticos.

 Usar o raciocínio visual na exploração da situação proposta.

 Compreender a noção de termo geral da sequência numérica trabalhada.  Determinar os primeiros termos da sequência trabalhada.

 Representar e analisar situações usando símbolos algébricos.  Escrever simbolicamente um termo geral da sequência em causa.

 Determinar, nas sequências da situação dada, o valor de um termo específico, conhecida a ordem desse termo.

 Determinar a ordem de um termo específico, conhecido o valor desse termo.

Orientações para o professor

Indicações gerais

A duração prevista para a exploração, discussão e extensão desta tarefa corres-ponde a 90 minutos (ver tabela seguinte):

Sequências com quadrados

Duração

prevista Tempo de exploração

Tempo para apresentação e validação de resultados

90 min 45 min 45 min

Parte  35 min 15 min 20 min

Parte  55 min 25 min 30 min

A tarefa Sequências com quadrados pode ser usada pelo professor no início do estudo das sequências no 7.ºano de escolaridade, como tarefa introdutória ao tema. Des-tina-se a ser proposta aos alunos no início de uma aula, em que aproximadamente 15 minutos estão previstos para a exploração, por parte dos alunos, da Parte  – nesta fase, os alunos poderão trabalhar em pares ou em pequenos grupos. Após a exploração da Parte , estão previstos 20 minutos para a discussão e validação dos resultados, segue-se a exploração da Parte  (25 minutos), e os restantes 30 minutos da aula estão previs-tos para a discussão e validação dos resultados da Parte .

Trata-se de uma tarefa de natureza exploratória e investigativa que pode ser pro-posta quer a alunos com experiência neste tipo de trabalho, quer a alunos não familiari-zados com este tipo de trabalho. Durante a fase de exploração da tarefa, o professor deve encorajar os alunos a registarem todos os raciocínios e decisões num relatório que poderá recolher no final da aula (caso o considere pertinente).

Pretende-se que, no início do trabalho, todos os alunos comecem por discutir o número de quadrados que vai havendo, à medida que o número da figura aumenta e, no decurso da resolução da tarefa, os alunos podem optar por registar as descobertas em esquemas de figuras, como as do enunciado. É expectável que a generalidade dos alunos resolva as quatro primeiras alíneas sem grandes dificuldades e que uma grande parte dos alunos estabeleça uma relação entre o número da figura e o respectivo número de qua-drados. É provável que as dúvidas dos alunos comecem a surgir, fundamentalmente na tradução simbólica da generalização da sequência, na resolução da alínea e), nomeada-mente em alunos não familiarizados com trabalho de natureza investigativa. Nesse caso, pode ser necessária a intervenção do professor que pode sugerir a organização dos dados sob a forma de tabela, por exemplo. Porém, a construção de uma tabela que

auxi-lie o raciocínio não é, por vezes, um processo simples e intuitivo para todos os alunos; nesse caso, o professor pode sugerir que, na coluna da esquerda, por exemplo, se colo-que o número da figura e na coluna da direita se colocolo-que o número de quadrados respec-tivo.

Na construção da generalização da situação, o professor pode sugerir, numa fase inicial, a tradução do procedimento adoptado, em linguagem natural e só depois a sua tradução simbólica. Pretende-se que os alunos percebam e escrevam simbolicamente o que ocorre ao número de quadrados de cada figura, à medida que o número da figura aumenta, usando numa fase inicial o modo recursivo, por exemplo. Contudo, à medida que o número da figura aumenta, espera-se que os alunos sintam necessidade de cons-truir um processo que lhes permita, de forma rápida, obter um termo de uma ordem qualquer, pois o uso recursivo é um processo moroso, nomeadamente na determinação de termos de ordem elevada.

Para construir o termo geral da sequência, sem uso recursivo, pretende-se que os alunos estabeleçam uma relação entre o número da figura e o número de quadrados que a constitui. Esta relação poderá começar por ser um processo mental, que depois será escrito em linguagem natural e, finalmente, traduzido em linguagem simbólica. Essa tradução simbólica pode passar por representar a expressão “n.º da figura” por uma letra. Poder-se-á recorrer a situações já conhecidas dos alunos onde também se usam letras para representar números, por exemplo, fórmulas de áreas/volumes. Com esta analogia, será mais fácil os alunos concluírem que a expressão “n.º da figura” poderá ser representada por uma letra, n por exemplo, onde n1, 2, 3, 4, 5. Nesta fase o profes-sor pode formalizar os conceitos de termo e ordem do termo de uma sequência.

No decurso na discussão e validação dos resultados, após a obtenção dos termos gerais em causa, o professor pode pedir aos alunos a determinação de termos de diferen-tes ordens, recorrendo aos termos gerais validados, para que os alunos compreendam melhor a utilidade dessas expressões. Durante a discussão e validação dos resultados, o professor pode optar por dar início ao trabalho com expressões algébricas equivalentes e simplificações algébricas, partindo dos termos gerais das duas sequências da tarefa. Deste modo, com a diversidade de abordagens possíveis à sequência da Parte ,

poder-Algumas explorações

Parte 

A situação pode ser explorada da seguinte forma:

2 4 6 1  2 2  2 3  2 Ou: 2 4 6 2  1 2  2 2  3 Parte 

A situação pode ser explorada da seguinte forma:

.º 2 2 n da figura   n 2 n.º da figura  2  n 2 1 4 , 2 2 4 , 2 3 4 , ... , 2 n 4 , ...

Ou recorrendo à sequência pictórica para escrever a sequência numérica 6, 8, 10, 12, 14, … e procurar uma expressão geradora recorrendo à expressão geradora da sequência 2, 4, 6, 8, 10, 12, …, que os alunos já conhecem da sequência anterior.

Portanto, a expressão algébrica que permite calcular o número de quadrados utili-zados em qualquer figura é 2 n+ 4.

Existem outras abordagens associadas ao termo geral 2 n+ 4. Uma delas é a que se apresenta a seguir:

Trata-se de uma sequência associada à regularidade: 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , ...

Um exemplo de tabela associada a esta exploração poderá ser: 1.º termo 2.º termo 3.º termo 4.º termo 5.º termo … … 50.º termo … … Termo de ordem

Uma outra abordagem associada ao termo geral 2 n+ 4 _{pode ser:}

No entanto, este termo geral 2n  4 poderá partir da sequência

3, 4, 5, 6, 7, 8, …  Números naturais superiores a 2: A expressão que permite gerá-lo é n  2:



n2

 

 n2



 2n  4

Explorações de alunos

Estratégias usadas na sequência 2 n

Na resolução das primeiras alíneas da tarefa, os alunos podem usar uma

aborda-gem aditiva e uma abordaaborda-gem multiplicativa, para o cálculo do número de quadrados de

cada figura, como se exemplifica na seguinte resolução:

No que refere à terceira alínea, a forma mais rápida de resolver a questão, aten-dendo à natureza da sequência, é constatar que todos os termos da sequência são núme-ros pares e que 157 é um número ímpar.

Nas situações em que é solicitado ao aluno para averiguar se um dado valor numérico é termo da sequência, quando este ainda não conhece o termo geral, o profes-sor poderá começar por fazer uma “aproximação” ao valor dado e depois dar continui-dade à sequência. Por exemplo, para verificar se 175 é termo da sequência:

2  75 = 150

150, 152, 154, 156, 158, …

No que refere à resolução da alínea d), o valor 162 pode surgir por um processo intuitivo de tentativa e erro. O recurso às operações inversas poderá ser feito com

exemplos simples como o seguinte (324:2=162 e 162 ).

Antes da escrita simbólica do processo, os alunos podem fazer a tradução em linguagem natural.

Esta etapa intermédia é muito importante, pelo menos nos exemplos iniciais, pois pode facilitar a escrita da expressão algébrica.

Estratégias usadas na sequência 2n  4

Na sequência de quadrados da Parte  da tarefa, os alunos podem começar por observar uma invariância na passagem de uma figura para a seguinte (“a sobra de 4”).

Os alunos podem também verificar que o cálculo do número de quadrados pode determinar-se através da soma do número da figura com ele próprio e adicionando 4 unidades (n.º da figura + n.º da figura + 4). Deste modo, conseguem encontrar um pro-cesso que lhes permite determinar o número de quadrados em cada figura. Porém, é possível que lhes surjam algumas dificuldades na tradução algébrica desta situação e na construção da respectiva expressão simbólica. É natural que os alunos testem as suas conjecturas apenas para os primeiros casos  provavelmente, para os casos indicados no enunciado, tal como na situação apresentada.

Os alunos podem ainda encontrar processos que lhes permitam determinar o número de quadrados de cada figura, escrevendo-os em linguagem corrente e depois fazendo a sua tradução em linguagem simbólica, tal como se exemplifica:

Contudo, na situação apresentada, o aluno comete uma imprecisão, bastante fre-quente na maioria dos alunos, em relação ao significado da letra ao escrever o processo em linguagem natural dizendo: “calculei o dobro de cada figura …”. O professor deve deixar bem claro que a letra não representa um nome, ou uma abreviatura para uma palavra, mas sim um número – na situação em causa deveria dizer-se “calculei o dobro

do número de cada figura” ou “duas vezes o número da figura”.

Os alunos poderão escrever primeiramente o procedimento em linguagem natu-ral e só depois a tradução simbólica. Porém, nesta etapa, poderá haver alunos com difi-culdade, tal como por exemplo, referir que o número de quadrados de cada figura se obtém através de: n.º da figura  n.º da figura ou figura  figura ou o dobro da figura, etc. Face a respostas deste género, o professor deve intervir, pro-movendo discussões como a seguinte:

Professor [depois de os alunos aceitarem que o número da figura,

ordem do termo, pode ser designado por uma letra, por exemplo, )]: Qual é então a expressão pretendida?

Grupo de alunos: n  n.

Rui: Também podemos escrever 2  n.

Professor: Porquê?

Rui: Porque a letra é a mesma.

Professor [escrevendo no quadro]: 2 n (do diálogo com os alu-nos, esta expressão foi simplificada para 2 n, tendo-se feito, de seguida, algumas concretizações para n).

A escrita de 2 n a partir da expressão n  n poderá ser feita de forma intuiti-va, tendo em consideração que n  n representa duas vezes o “objecto” n. Nesta fase, alguns alunos poderão evidenciar ainda uma interpretação bastante rudimentar do con-ceito de “variável” (como um número generalizado).

Os alunos poderão chegar à expressão 4  2 n sem explicitarem o processo que seguiram, construindo expressões que permitem gerar a sequência numérica 6, 8, 10, 12, 14,..., tal como se exemplifica a seguir:

Alguns alunos poderão chegar à expressão 6 



n 1



 2 após a construção e a análi-se de tabelas como a análi-seguinte:

É possível que a maioria dos alunos tenha dificuldade essencialmente no proces-so de generalização simbólica. O profesproces-sor deve estar consciente que a escrita do pro-cesso em linguagem natural é um passo importante que antecede a simbolização e que lhe pode dar significado. A necessidade de introduzir letras no processo de generaliza-ção simbólico é também um passo importante no percurso para a formalizageneraliza-ção e escrita simbólica de uma generalização. O professor poderá promover a inserção de letras recorrendo a situações que o aluno já conhece e onde as letras também são usadas para representar números (por exemplo, fórmulas de áreas). Contudo, é fundamental que o aluno perceba a importância do termo geral de uma sequência numérica. Esta importâ n-cia fica bem clara quando o aluno tem de determinar termos de “ordem elevada”, numa fase em que ainda desconhece o termo geral da sequência (e usa processos recursivos - morosos para calcular termos de “ordem elevada”).

N.º da figura N.º de quadrados 1 6 2 8 3 10

A torre dos ímpares

Considera o seguinte triângulo de números:

1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 11 _ _ _ _ _ _ _

a) Escreve a sétima linha.

b) Adiciona os números de uma mesma linha e completa a tabela que se segue com os resultados.

c) Observando os resultados obtidos, indica qual a soma dos números da oitava linha do triângulo, sem a escrever.

d) Qual é o número da linha do triângulo cuja soma dos números é 100?

e) Consegues encontrar um processo que nos indique a soma dos números de uma determinada linha do triângulo, dependendo do número da linha? Explica-o.

Linha n.º Soma dos números da linha 1 1 2 4 3 4 5 6 7

Conhecimentos prévios dos alunos

Com o trabalho desenvolvido nos 1.º, 2.º e 3.º ciclos em aulas referentes ao tema sequências, os alunos devem ser capazes de:

 Construir e representar, por esquema e simbolicamente, os termos de uma sequência de valores simples.

 Traduzir, por escrito e oralmente, os raciocínios desenvolvidos.

Aprendizagens visadas

Com o seu trabalho nesta tarefa, os alunos devem ser capazes de:

 Reconhecer o padrão numérico associado à formação do triângulo de números dado.

 Escrever os primeiros termos da sequência dos números ímpares.  Reconhecer a sequência dos quadrados perfeitos.

 Identificar cada termo da sequência de quadrados perfeitos com o resultado da soma de números ímpares consecutivos até à ordem desse termo.

 Determinar o valor de um termo específico, conhecida a ordem desse termo, na sequência de quadrados perfeitos.

 Usar a linguagem matemática para representar algebricamente o termo geral da sequência de quadrados perfeitos.

Com o seu trabalho na extensão da tarefa, os alunos devem ainda ser capazes de:

 Usar a linguagem matemática para representar algebricamente o termo geral da sequência da soma dos primeiros números pares consecutivos.

Orientações para o professor

Indicações gerais

A duração prevista para a exploração e discussão desta tarefa corresponde 45 minutos (ver tabela seguinte):

A tarefa A torre dos ímpares destina-se a ser proposta no decurso de uma aula de matemática, em que aproximadamente 15 minutos estão previstos para a sua exploração – nesta fase, os alunos poderão trabalhar em pares ou em pequenos grupos. Pretende-se que os alunos identifiquem a sequência da soma de números ímpares consecutivos com a sequência de quadrados perfeitos. O professor pode pedir aos alunos que registem todos os raciocínios e decisões num relatório que poderá recolher no final da aula (caso o considere pertinente).

Nesta tarefa, os dados já estão organizados numa tabela, em que a coluna da esquerda se refere ao número (n) da linha da torre e a coluna da direita se refere ao valor da soma dos números ímpares consecutivos até ao valor do número da linha (até n). Estão previstos cerca de 15 minutos para a apresentação, discussão e validação conjunta de resultados.

Por se tratar de uma tarefa de natureza exploratória e investigativa, os 15 minu-tos finais poderão ser dedicados à exploração de uma possível extensão à tarefa - deter-minação de um processo que permita obter a soma de números pares consecutivos. O professor pode propor, de modo análogo ao explorado para os números ímpares, a cons-trução de uma tabela onde a coluna da esquerda seja referente ao número da linha (n) e a coluna da direita seja referente ao valor da soma dos (n) primeiros números pares con-secutivos. A torre dos ímpares Duração prevista Tempo de exploração

Tempo para apresen-tação e validação de

resultados

Tempo para a extensão

nado número de pares consecutivos (dada uma linha específica da tabela) – e não em sentido contrário, por se tratar de uma expressão de segundo grau que ao ser manuseada no sentido inverso (dado um valor específico da soma dos primeiros pares consecutivos, determinar o número da linha da tabela, ou seja, o número de parcelas da soma em cau-sa) não seria exequível, em termos analíticos, no 7.ºano de escolaridade, atendendo ao currículo nacional.

Na discussão conjunta, o professor deve promover nos alunos a capacidade de comunicarem, de forma coerente e clara, o seu pensamento matemático, bem como a capacidade de analisarem e avaliarem as estratégias e o pensamento matemático usado por outros na resolução da tarefa.

Exemplo de exploração

a) A sétima linha do triângulo de números será: 1 3 5 7 9 11 13

b) Após a adição dos números de uma mesma linha tem-se que:

c) A soma dos números da oitava linha será: 64.

d) A linha do triângulo cuja soma dos números é 100 é a 10.ª linha.

e) A soma de uma determinada linha do triângulo é sempre o número dessa linha ao quadrado. Trata-se de uma sequência de quadrados perfeitos. Ou seja, na linha n, a soma dos números será 2

n  n  n .

Linha n.º Soma dos números da linha 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49

Exploração da extensão da tarefa

Um processo que indique o valor da soma dos n primeiros pares consecutivos pode ser dada através da exploração seguinte:

2  linha 1 2 4  linha 2 2 4 6  linha 3 2 4 6 8  linha 4 2 4 6 8 10  linha 5 ... _ _ _ _ _ _ _ ...  linha n

Para a exploração da soma dos primeiros números pares consecutivos, pode ser considerada a generalização obtida para a soma dos primeiros números ímpares conse-cutivos, procedendo do seguinte modo:

Linha n.º Soma dos números da linha 1 2 2 2+4 = 6 3 2+4+6 =12 4 2+4+6+8=20 5 2+4+6+8+12=32 … … n ? Linha n.º

Soma dos números pares da mesma linha recorrendo à generalização da soma dos números ímpares

1 2 2 2+4 = 6 3 2+4+6 =12 4 2+4+6+8=20 5 2+4+6+8+12=32 … … …

Explorações de alunos

Comunicação matemática usando números e operações

As três primeiras alíneas desta tarefa estão formuladas de modo a promover o raciocínio intuitivo do aluno, são de resposta rápida e simples. Na quarta alínea, onde se pretende o número da linha do triângulo cuja soma dos números seja 100, os alunos podem ir somando números ímpares consecutivos, começando em 1, e verificar que a soma dos primeiros dez ímpares consecutivos é 100, como a seguir se apresenta:

Dando continuidade ao raciocínio desenvolvido na alínea b), em que é pedido a soma dos ímpares consecutivos para as sete primeiras linhas da tabela (ou seja, a soma dos sete primeiros ímpares consecutivos) os alunos podem calcular a soma dos oito, dos nove e dos dez primeiros ímpares consecutivos, identificando cada soma com o quadra-do de 8, de 9 e de 10, respectivamente.

No que refere à última alínea, os alunos podem começar por explicar o que acon-tece ao valor da soma dos números de uma determinada linha, essencialmente através de linguagem natural, como se exemplifica:

É provável que a maioria dos alunos determine alguns termos da sequência e verbalize correctamente a regra de construção dessa sequência, mas revele alguma difi-culdade em escrever simbolicamente a expressão algébrica que traduz a generalização da situação. O professor deve ter presente que o uso da linguagem algébrica como modo de comunicar é um processo que se desenvolve de forma gradual. Importa, sobretudo, desenvolver desde cedo nos alunos, a capacidade de comunicarem o seu pensamento matemático, de forma coerente e clara, ao professor e aos colegas, percebendo que os símbolos actuam como facilitadores dessa comunicação.

A construção de relações simbólicas

Na transição da linguagem natural para a simbólica, se os alunos manifestarem dificuldades, o professor pode começar por estender a torre dos ímpares e a tabela do enunciado até à linha n, do seguinte modo:

1  linha 1 1 3  linha 2 1 3 5  linha 3 1 3 5 7  linha 4 1 3 5 7 9  linha 5 ... _ _ _ _ _ _ _ ...  linha n

A escrita simbólica da generalização pode ser provocada por uma discussão como a seguinte na qual os alunos comecem por explicar o que acontece ao valor da

Linha n.º Soma dos números da linha 1 1 2 1+3 = 4 3 1+3+5 =9 4 1+3+5+7=16 5 1+3+5+7+9=25 … … n ?

natural, designando, posteriormente, o número de uma linha qualquer da torre por uma letra, por exemplo n.

Professor: Se considerarmos a linha número 1, o que acontece à

soma dos números dessa linha?

Isa: Então, é 1.

Professor: Então e se considerarmos a linha número 2, o que

acon-tece à soma dos números dessa linha?

Isa: É 1+3, ou seja é 4.

Professor: Muito bem. Então como podemos relacionar o número da

linha, que é 2, com o resultado da soma dos ímpares dessa linha, que é 4?

Marco: Então é o dobro.

Professora: Nesse caso, sim. Se considerarmos a linha número 3, a

soma dos números ímpares dessa linha será o dobro de 3?

Marco: Foi para 2, também é para 3. Isa: Não, é o quadrado de 3, 2

3 , que é 9.

Marco: Pois, para 2 também é 2

2 , que é 4. Professor: Exactamente. Então e para a linha 4? Isa: Faz-se na mesma, é o quadrado de 4, 2

4 que é 16. Professor: Muito bem, então e para a linha n?

Isa: É o quadrado de n, que é 2

n .

Respostas como a dada pelo Marco (em que o aluno induz a situação para a 3ªlinha, afirmando que se tratava do dobro, tal como acontecia para a segunda linha), permitem ao professor chamar a atenção, de modo eficaz, aos alunos, para serem cuida-dosos ao generalizarem a partir de um número reduzido de casos - é necessário desen-volver nos alunos uma saudável desconfiança quando trabalham com sequências e esta-belecem generalizações.

A construção de respostas à última alínea, pode advir da exploração de processos que revelem um “transporte” de modelos já utilizados anteriormente, noutras generali-zações, doutras sequências – situação que realça a importância que tem a experiência

matemática vivida pelos alunos na construção de uma relação simbólica com significa-do matemático.

Importa reflectir nesta resolução, pois apesar da generalização mais intuitiva para a situação da tarefa A torre dos ímpares ser 2

n , o processo de resolução aqui

adop-tado, bem como a expressão simbólica apresentada para a generalização, é análoga à que se pode usar na extensão proposta para a tarefa (torre de pares). Nesta situação, a comunicação de raciocínios, ao professor e aos colegas, bem como a discussão conjunta da resolução, pode ajudar o aluno a organizar e consolidar o seu pensamento matemáti-co – promovendo a generalização e escrita de uma expressão simbólica, da soma dos primeiros números pares consecutivos (que pode ser dada por 2

n  n ). Por outro lado, a exploração apresentada e a exploração para a obtenção de 2

n _{, são processos de} reso-lução distintos, face à mesma situação, que desencadeiam formas distintas de raciocinar matematicamente, apesar do resultado final ser o mesmo.

O aniversário do João

O João marcou a sua festa de aniversário para sábado às 15 horas. Convidou um grupo de amigos, mas não sabemos quantos irão à festa. Sabemos que, quando os amigos se encontrarem, todos se cumprimentarão entre si.

a) O João, por ser o aniversariante, é o primeiro a chegar, portanto ainda não tem cum-primentos a fazer. Mas, passados alguns instantes chegam ao mesmo tempo, vindos de locais diferentes, dois amigos do João. Quantos cumprimentos há?

b) Passado algum tempo, chega o terceiro amigo do João à festa. Quantos cumprimen-tos vai ele fazer? E quancumprimen-tos cumprimencumprimen-tos já houve no total?

c) Passado algum tempo, chega mais um amigo à festa. Quantos cumprimentos vai ele fazer? E quantos cumprimentos já houve no total?

d) Imagina que houve no total 15 cumprimentos. Quantos amigos, afinal, foram à festa do João?

e) Consegues encontrar um processo que nos indique o número total de cumprimentos dependendo do número de amigos que foi à festa? Explica-o.

Conhecimentos prévios dos alunos

Com o trabalho desenvolvido nos 1.º, 2.º e 3.º ciclos em aulas referentes ao tema sequências, os alunos devem ser capazes de:

 Construir e representar, por esquema e simbolicamente, os termos de uma sequência de valores simples.

 Traduzir, por escrito e oralmente, os raciocínios desenvolvidos.

Aprendizagens visadas

Com o realizado em torno desta tarefa, os alunos devem ser capazes de:  Determinar os primeiros termos da sequência trabalhada.

 Formular e investigar conjecturas matemáticas na exploração da situação propos-ta.

 Determinar, na sequência da situação dada, o valor de um termo específico, conhecida a ordem desse termo e recorrendo ao termo anterior.

 Determinar a ordem de um termo específico, conhecido o valor desse termo.  Desenvolver e avaliar argumentos matemáticos.

 Modelar a situação proposta fazendo uso da representação tabelar.  Usar o raciocínio visual na exploração da situação proposta.  Representar e analisar situações usando símbolos algébricos.

 Escrever simbolicamente a generalização da sequência em causa, usando o modo recursivo.

Com o seu trabalho na extensão da tarefa, os alunos devem ainda ser capazes de:  Escrever algebricamente o termo geral da sequência em causa, sem uso

recursi-vo.

 Desenvolver uma compreensão conceptual da variável como número generaliza-do e como variável independente numa relação funcional.

Orientações para o professor Indicações gerais

A duração prevista para a exploração, discussão e extensão desta tarefa corres-ponde a um bloco de 90 minutos (ver tabela seguinte):

O aniversário do João Duração prevista Tempo de exploração

Tempo para apresentação e validação de resultados

Tempo para a extensão

90 min 40 min 30 min 20 min

A tarefa O aniversário do João destina-se a ser proposta aos alunos no início de uma aula de 90 minutos, em que aproximadamente 40 minutos estão previstos para a sua exploração – nesta fase, os alunos poderão trabalhar em pares ou em pequenos gru-pos. Trata-se de uma tarefa de investigação que pode ser proposta quer a alunos com experiência em trabalho de natureza investigativa, quer a alunos não familiarizados com este tipo de trabalho.

Pretende-se que, no início do trabalho, todos os alunos comecem por discutir o número de cumprimentos que vai havendo, à medida que o número de amigos aumenta. No decurso da resolução da tarefa, os alunos podem optar por registar as descobertas em esquemas ou numa tabela destinada à organização dos dados. Nesta fase, o professor pode encorajar os alunos a registarem todos os raciocínios e decisões num relatório que poderá recolher no final da aula (caso o considere pertinente).

Por vezes, a organização dos dados sob a forma de tabela não é um processo intuitivo para todos os alunos; e, nesse caso, pode ser necessária a intervenção do pr o-fessor que pode sugerir que, na coluna da esquerda, por exemplo, se coloque o número de amigos que foi à festa e na coluna da direita se coloque o número de cumprimentos respectivos.

Na fase de descoberta de um termo geral, é natural que surjam dificuldades na maioria dos alunos (nomeadamente em alunos não habituados a trabalho de natureza investigativa). Nesse caso, o professor pode sugerir-lhes que tentem perceber o que ocorre ao número de cumprimentos à medida que o número de amigos aumenta, de modo a que percepcionem e expliquem a regularidade: i) percebendo que cada novo termo se obtém pela soma dos inteiros consecutivos até ao número de amigos anterior

ao considerado; e/ou ii) adicionando ao termo anterior o número de amigos respectivo. Assim pode deduzir-se que cada novo amigo que se acrescenta ao grupo terá de fazer tantos cumprimentos quantos os amigos que já existem no grupo. Ou seja, que o total de cumprimentos feitos será igual ao número de cumprimentos que já houve mais o núme-ro de cumprimentos dado por esse novo amigo.

Estão previstos cerca de 30 minutos para a apresentação, discussão e validação conjunta de resultados. Contudo, por esta tarefa permitir um trabalho de cunho investi-gativo e possibilitar, portanto, diferentes abordagens de resolução, os 20 minutos finais poderão ser dedicados à exploração de uma possível extensão - determinação de um processo que permita obter o número de cumprimentos, dependendo do número de ami-gos, sem recurso ao termo anterior. Assim, o professor pode colocar a seguinte questão: „Como podemos determinar o número de cumprimentos existente com 1000 amigos? E com n amigos?‟

Frise-se que esta extensão prevê o estabelecimento da generalização, a escrita simbólica da mesma e o uso da expressão obtida para o cálculo de um determinado ter-mo (dada uma ordem específica). Ou seja, o cálculo do número de cumprimentos exi s-tente para um determinado número de amigos – e não em sentido contrário, por se tratar de uma expressão de segundo grau que ao ser manuseada no sentido inverso (dado o número de cumprimentos, determinar o número de amigos) não seria exequível no 7ºano de escolaridade, atendendo ao currículo nacional.

Contudo, na construção de uma resposta a esta possível extensão, é natural que a maioria dos alunos tenha alguma dificuldade em generalizar o resultado e em escrever simbolicamente o termo geral da sequência. Nesse caso, o professor pode iniciar uma discussão, pedindo aos alunos que observem (ou reconsiderem, caso já tenha sido anali-sado) que, o número de cumprimentos para um determinado número de amigos pode ser obtido através da soma de todos os inteiros consecutivos até ao número de amigos ante-rior. E para a generalização, o professor pode recorrer ao método de Gauss. Embora, a este nível a argumentação matemática não inclua o rigor e o formalismo, frequentemen-te associado à demonstração mafrequentemen-temática, deve confrequentemen-templar-se a conjectura, a verificação da mesma e a discussão do raciocínio usado. Para a exploração do método de Gauss, o

de-se, nesta fase, que os alunos concluam que, procedendo desta forma, obtêm 6 vezes o número de amigos que consideraram (neste caso 6 vezes 7). E que, como usaram para essa dedução duas vezes os mesmos valores (de 1 a 7), necessitam dividir o resultado por dois. No caso concreto da festa do João, o número de cumprimentos para um núme-ro específico de amigos é dado através do pnúme-roduto do númenúme-ro de amigos considerado pelo número de amigos anterior, a dividir por dois. Ou seja, o sétimo amigo que chega tem de cumprimentar seis amigos que já estão na festa 6  7, mas como entre cada dois

amigos há apenas um cumprimento, tem de se dividir esse produto por dois, resultando

assim 6 7

2



.

Esta situação pode ser representada através de uma tabela, marcando com cores, por exemplo, alguns valores como a seguir se apresenta, tentando que os alunos se esforcem por descrever, inicialmente por palavras e recorrendo a um número específico de amigos, o processo que conduz às regularidades existentes entre os valores marcados com cores iguais.

É natural que surjam algumas dificuldades nos alunos em passar da linguagem aritmética para a algébrica, quer em dar sentido à letra n como número generalizado (neste caso n amigos), quer em dar sentido à expressão da generalização pedida. É ta m-bém possível que, após a generalização da situação e validação dos resultados, haja alu-nos que continuem a afirmar não gostar da generalização e outros manifestarem satisfa-ção. O professor deve ter presente o facto de que o desenvolvimento do pensamento e

Número de amigos incluindo o João Número de cumprimentos 1 0 2 1 3 3 4 6 ... ... n ?

da linguagem algébrica são processos morosos e trabalhosos, tendo cada aluno ritmos de aprendizagem diferentes.

Ainda no âmbito da possível extensão sugerida – que prevê a formulação simbó-lica do termo geral da sequência sem uso recursivo, o professor pode promover o desenvolvimento do conceito implícito de função, fomentando discussões que façam emergir a correspondência unívoca entre a ordem e o respectivo termo. Nesta fase, o professor pode destacar as diferenças de sentido da letra n (ou outra letra qualquer esco-lhida para representar o número de amigos), quando a letra assume o papel de número generalizado (no termo geral da sequência) e quando a letra assume o papel de variável independente: procurando estudar a variação associada à nova situação, com significado para o aluno. Importa sobretudo, nesta fase, que o aluno perceba que os símbolos e a linguagem algébrica permitem que ele se expresse matematicamente e que estabeleça conexões e formulações matemáticas, ganhando assim, pouco a pouco, mais confiança e amizade pelos símbolos.

Algumas explorações

a) João(J), Francisco(F) e Zé(Z), por exemplo. Assim, pode construir-se o seguinte esquema:

Com três amigos (João e mais dois amigos) há 3 cumprimentos.

b) João(J), Francisco(F), Zé(Z) e Susana (S), por exemplo. Assim, pode construir-se o construir-seguinte esquema:

c) Procedendo como na alínea anterior, com cinco amigos haverá 10 cumprimentos.

d) Juntando mais um amigo ao grupo da alínea anterior haverá mais 5 cumprimentos, porque o novo amigo terá de cumprimentar os cinco amigos já existentes. Assim, no total haverá 15 cumprimentos.

e) A exploração da situação pode ser feita, com auxílio de uma tabela, da seguinte for-ma:

O número de cumprimentos feitos com n amigos resulta da soma de todos os inteiros consecutivos até n-1:

( ) 1 2 3 ... ( 1) N úmero de cumprimentos com n amigos      n

De modo intuitivo, cada novo amigo que se acrescente ao grupo terá de fazer tantos cumprimentos, quantos os amigos que já existem no grupo. A tabela que se segue sintetiza a situação: Número de amigos incluindo o João Número de cumprimentos 1 0 2 1 3 3 4 6 5 10 6 15 7 21 ... ... n ? 0 1 1  (1 2 3 ) 4 10    (1) 2 3  (1 2) 3 6   (1 2 3 4) 5 15     (1 2 3 4 5) 6 21     

O total de cumprimentos feitos será igual ao número de cumprimentos que já existe mais o número de cumprimentos que resultam da junção desse novo amigo. Um processo que indique o número de cumprimentos que houve na festa dependendo do número de amigos (n) que foi à festa, recorrendo ao número de cumprimentos que já existiam com (n-1) amigos, pode ser:

( ) ( 1 ) ( 1)

Número de cumprimentos com n amigosNúmero de cumprimentos com n amigos n

Exploração da extensão da tarefa

Um processo que indique o número de cumprimentos que houve, dependendo do número de amigos (n) que foi à festa, sem uso recursivo, pode advir da demonstração do método de Gauss para a determinação da soma dos primeiros inteiros consecutivos até

(n-1). Especificando para 7 amigos, tem-se que:

1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 7 7 7 7 7 7                Número de amigos incluindo o João Número de cumprimentos 1 0 2 1 3 3 4 6 5 10 6 15 7 21 ... ... n ? 1 1 0   3 2 1  6 3 3  10 4 6   15 5 10   21 6 15  