Determinando α E dos dados de SNe Ia

A fim de mostrarmos o interesse f´ısico da abordagem adotada neste cap´ıtulo realizamos uma an´alise estat´ıstica envolvendo 557 SNe Ia do cat´alogo Union2 (Amanullah et al.,2010). Seguindo m´etodos usuais, maximizamos a probabilidade posterior que ´e proporcional a L ∝ exp[−χ2(z; p)/2], onde χ²(p) = ^X i [µ(zi; p) − µ0,i]2 σ2 µ0,i . (5.6)

Na equa¸c˜ao anterior µ ´e o m´odulo de distˆancia te´orico para o conjunto de parˆametros p ≡ (H0, αE, Ωm), µ0,i ´e o m´odulo de distˆancia observado e σµ0,i sua respectiva incerteza. N´os tratamos H0 como um parˆametro indesej´avel e marginalizamos sobre ele, o que ´e equivalente a minimizar ˜ χ² = A −^B 2 C ^{, (5.7)} onde A =^X i

{µ0,i− 5 log 10[DL(zi)]}2 σ2

µ0,i

, (5.8)

B =^X

i

{µ0,i− 5 log 10[DL(zi)]} σ2 µ0,i , (5.9) e C = ^X i 1 σ2 µ0,i . (5.10)

Na figura (5.2a) apresentamos os resultados obtidos para os parˆametros αE e Ωm ao considerarmos um modelo ΛCDM plano. Os contornos correspondem a regi˜oes de confian¸ca estat´ıstica de 68.3% (1σ) e 95.4% (2σ). O melhor ajuste obtido foi Ωm = 0.25 e αE = 1.26. Como podemos ver nas figuras (5.2b) e (5.2c) o parˆametro de densidade da mat´eria ´e bem restringido, estando no intervalo 0.21 ≤ Ωm ≤ 0.29 (1σ), enquanto o parˆametro de aglomeramento est´a no intervalo 0.72 ≤ αE ≤ 1.94 (1σ). Embora αE tenha sido fracamente vinculado, vˆe-se que a probabilidade ´e m´axima para αE > 1 e, portanto, a possibilidade de haverem regi˜oes mais densas que a m´edia na linha de visada pode ser considerada como uma poss´ıvel explica¸c˜ao. ´E interessante comparar os limites obtidos com a an´alise apresentada no cap´ıtulo (4), onde existia a restri¸c˜ao α ≤ 1.0. O intervalo obtido para o

Se¸c˜ao 5.4. Tens˜ao SNe Ia-CMB e o Valor de αE 105 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 m a) 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P o s t e r i o r E 1 2 b) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 P o s t e r i o r m 1 2 c)

Figura 5.2: a) O plano (Ωm, αE) para um modelo ΛCDM plano. Os contornos representam n´ıveis de

confian¸ca estat´ıstica de 68.3% e 95.4%. O melhor ajuste ´e Ωm = 0.25 e αE = 1.26. Veja que um

modelo plano constitu´ıdo apenas de mat´eria e inomogeneidades (Ωm= 1) ´e exclu´ıdo com grande confian¸ca

estat´ıstica. b) Probabilidade posterior de αE. O parˆametro de aglomeramento ´e restrito no intervalo

0.72 ≤ αE ≤ 1.94 (1σ). c) Probabilidade posterior de Ωm. Vemos que o parˆametro de densidade da

mat´eria Ωmest´a restringido no intervalo 0.21 ≤ Ωm≤ 0.29 (1σ).

parˆametro de densidade da mat´eria foi 0.24 ≤ Ωm ≤ 0.35 (2σ). Como seria esperado, ao se tirar a restri¸c˜ao α ≤ 1.0 valores menores de Ωm s˜ao compat´ıveis com os dados.

5.4 Tens˜ao SNe Ia-CMB e o Valor de α

A tens˜ao entre dados em baixos e altos redshifts tem sido discutida por v´arios autores (veja, por exemplo, Shafieloo et al., 2009) e foi brevemente revisada na se¸c˜ao 2.8.10. Uma abordagem baseada em lenteamento fraco, mas que leva em conta a possibilidade da luz viajar em m´edia em regi˜oes menos densas do que a m´edia consegue solucionar a quest˜ao (Amendola et al.,2010). Tal problema poderia ser aliviado dentro da nossa abordagem de Dyer–Roeder estendida?

A fim de responder isso, vamos considerar um modelo ΛCDM e analisar os v´ınculos sobre o plano (Ωm, ΩΛ) ao fixarmos trˆes diferentes valores de αE. Ao selecionarmos αE = 0.7, 1.0 e 1.3 podemos estudar o que acontece no plano (Ωm, ΩΛ) quando valores maiores de αE s˜ao considerados.

Na figura (5.3a) mostramos os contornos obtidos para os valores escolhidos de αE. Note que quando αE cresce de 0.7 a 1.3 o melhor ajuste se move aproximadamente 1σ em dire¸c˜ao a valores menores do par (Ωm, ΩΛ), portanto os tornando mais compat´ıveis com o modelo de concordˆancia c´osmica ΛCDM plano. Este resultado ´e extremamente interessante, haja vista que melhora o acordo com v´ınculos independentes oriundos de dados de BAO e CMB e, mais importante, mantendo o mesmo χ2

red.

0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ω^Λ Ω_m a) α_E=1.3 α_E=1.0 α_E=0.7 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 w Ω_m b) α_E=1.3 α_E=1.0 α_E=0.7

Figura 5.3: a) A influˆencia do parˆametro de aglomeramento estendido sobre o plano (Ωm,ΩΛ). Os

contornos para trˆes valores de αE utilizando 557 SNe Ia do cat´alogo Union2 (Amanullah et al., 2010)

correspondem a 1 e 2σ de confian¸ca estat´ıstica. Valores maiores de αE geram resultados mais compat´ıveis

com o modelo plano. b) Contornos para o plano (Ωm, w) em um modelo XCDM plano. A mesma tendˆencia

´e observada, valores maiores de αE implicam em valores maiores de w, portanto aliviando a tens˜ao entre

os dados em baixos e altos redshifts.

maiores de αE fornecem o m´ınimo χ2

red = χ2/ν (ν ´e o n´umero de graus de liberdade). Na figura (5.3b) s˜ao apresentados os resultados da an´alise estat´ıstica para um modelo XCDM plano e os mesmos valores de αE adotados na an´alise para o modelo ΛCDM. Novamente, vemos que, para valores maiores de αE, os contornos s˜ao deslocado em dire¸c˜ao a valores maiores de w e valores menores de Ωm, contribuindo para cancelar a tens˜ao entre os dados em baixos e altos redshifts.

Tabela 5.1 -Melhores ajustes para Ωme ΩΛ.

αE Ωm ΩΛ χ2

red 0.7 0.39 0.83 0.978 1.0 0.30 0.78 0.977 1.3 0.24 0.74 0.977

Na tabela (5.2) os resultados obtidos em nossa an´alise est˜ao dispostos, contendo os melhores ajustes para Ωm e w, juntamente com o χ2

red associado.

Podemos agora comparar nossos resultados com o obtido por Amendola et al. (2010). Na figura (5.4) s˜ao mostrados os v´ınculos obtidos porAmendola et al.(2010) considerando um modelo ΛCDM e um modelo XCDM plano. Vemos que a introdu¸c˜ao dos efeitos das

Se¸c˜ao 5.5. Por que αE pode ser maior que a unidade? 107

Tabela 5.2 -Melhores ajustes para Ωm e w.

α_E Ω_m w χ2

red 0.7 0.35 -1.18 0.978 1.0 0.29 -1.06 0.978 1.3 0.23 -0.96 0.977

inomogeneidades leva a um melhor acordo entre os dados de SNe Ia, BAO e CMB, o mesmo que obtivemos no nosso modelo. De maneira surpreendente, a interpreta¸c˜ao ´e diametralmente oposta a nossa. Enquanto em nosso modelo α > 1 implica em um Ωm menor, o resultado de Amendola et al. (2010) tem como base a luz se propagando em regi˜oes menos densas que a m´edia, tamb´em obtendo valores menores para Ωm.

5.5 Por que α

pode ser maior que a unidade?

Aqui propomos um modelo simplificado baseado na existˆencia de vazios c´osmicos para explicar porque αE pode ser maior que 1. Estudos recentes apontaram que vazios c´osmicos n˜ao representam apenas um constituinte chave da distribui¸c˜ao de massa, mas, poten-cialmente, podem se tornar uma ferramenta poderosa para se vincular parˆametros cos-mol´ogicos (Sutter et al.,2012). A id´eia ´e considerar que vazios muito grandes s˜ao eventos raros, isto ´e, sua forma¸c˜ao sofre do mesmo tipo de segrega¸c˜ao sentida pelas maiores gal´axias ou aglomerados.

Ao considerarmos que o universo ´e constitu´ıdo de trˆes entidades b´asicas: (i) mat´eria homogeneamente distribu´ıda (ρh), (ii) mat´eria aglomerada (ρcl) e (iii) vazios (ρvd) de ta-manho pequeno ou moderado, podemos definir o parˆametro de aglomeramento estendido como (veja equa¸c˜ao 5.1):

αE = ^ρh

ρh+ ρcl+ ρvd^{. (5.11)}

O pr´oximo passo ´e quantificar a contribui¸c˜ao de vazios que representam subdensidades locais no universo. A presen¸ca de um vazio significa que sua mat´eria foi de alguma maneira redistribu´ıda para as componentes homogˆenea e aglomerada. Seu efeito gravitacional em uma distribui¸c˜ao inicialmente homogˆenea ´e equivalente a superpor uma densidade negativa

Figura 5.4: A influˆencia das inomogeneidades em um modelo de lenteamento fraco onde a luz se propaga

preferencialmente por regi˜oes menos densas que a m´edia obtido por Amendola et al. (2010). O painel

esquerdo mostra os resultados para o modelo ΛCDM, j´a o direito considera um modelo XCDM plano. Os contornos tracejados n˜ao levaram em conta o efeito das inomogeneidades. Por outro lado, os contornos sombreados o fizeram, onde um melhor acordo ´e obtido entre os dados de SNe Ia, BAO e CMB.

(para densidades baixas o princ´ıpio de superposi¸c˜ao n˜ao-relativ´ıstico ´e v´alido).

Por simplicidade, assumimos que a contribui¸c˜ao dos vazios pode ser aproximada pela express˜ao linear

ρvd = −δ(ρh+ ρcl), (5.12)

onde δ ´e um parˆametro positivo menor que a unidade. Portanto, αE dado pela equa¸c˜ao (5.11) pode ser reescrito como

α_E = ^ρh

(ρh+ ρcl)(1 − δ) ^≡ α

1 − δ^{, (5.13)}

que claramente satisfaz a desigualdade αE ≥ α, onde α ´e o parˆametro de aglomeramento na abordagem de Dyer–Roeder padr˜ao.

Na figura (5.5) mostramos uma simples representa¸c˜ao do modelo proposto. Os pon-tos s˜ao a parte aglomerada, j´a os c´ırculos pontilhados representam os vazios que s˜ao de tamanho pequeno ou moderado. Em m´edia, a luz se propaga pela parte homogˆenea. Evi-dentemente, uma abordagem estat´ıstica ´e necess´aria para se calcular a probabilidade de um feixe de luz atravessar um vazio.

Em particular, quando a componente aglomerada n˜ao contribui, temos que αE = 1 1−δ ≥ 1. Como estimar a contribui¸c˜ao dos vazios? Em primeira aproxima¸c˜ao, se tomarmos α = 1, ou seja, desprezarmos a contribui¸c˜ao da parte aglomerada e adotarmos o melhor ajuste

Se¸c˜ao 5.6. Outra interpreta¸c˜ao 109

Figura 5.5: Representa¸c˜ao de um universo com vazios. A luz se propaga pela parte homogˆenea, onde a probabilidade em uma linha de visada de se interceptar uma gal´axia ou um vazio ´e baixa.

da an´alise com SNe Ia, vemos que δ ∼ 0.2. Uma conex˜ao entre nossa abordagem com o formalismo de lenteamento fraco delineia-se como um objetivo natural de trabalho futuro.