para medidas de bremsstrahlung
Nas medidas de bremsstrahlung se utilizaram trˆes detetores HPGe da ORTEC posicio- nados a 35o, 90oe 131o3. No primeiro ˆangulo foi colocado um detetor planar de 8 cm3 de
3Os valores exatos dos ˆangulo s˜ao 34, 8o, 89, 8oe 131, 1o mas pela quantidade de vezes em que ser˜ao
volume ativo, modelo GLP Series [51], com raio e espessura do cristal de Ge r = 16 mm e l = 10 mm respectivamente, e janela de Be lBe= 0, 254 mm. Um espectrˆometro digital
DSPEC (tamb´em da ORTEC) acoplou-se ao detetor. O DSPEC integra e diferencia numericamente o pulso do pr´e-amplificador, digitalizado em alta frequˆencia, com uma voltagem de trabalho VT= −1000 V.
Em θ = 90o foi posicionado um detetor planar de 5 cm3 modelo 1000 Series [51], (r = 12, 5 mm, l = 10 mm e janela de Be lBe = 0, 25 mm). Neste caso se selecionou
uma eletrˆonica anal´ogica, tamb´em do fabricante ORTEC, composta por uma fonte de alto voltagem AT (operada a VT = −1000 V), um amplificador 572 e um analisador
multicanal ASPEC 927.
O ´ultimo detetor, situado a θ = 131o, ´e um coaxial modelo GMX30P4-56 70-CW-SMN acoplado a um espectrˆometro digital DSPEC-Jr 2.0 [51] (VT = −2800 V). O cristal
coaxial possui um diˆametro de 58 mm e um comprimento de 66,3 mm, com um orif´ıcio interno de diˆametro 10 mm e profundidade 58 mm. A janela deste detetor ´e de 0,9 mm de C. O controle da aquisi¸c˜ao dos espectros correspondentes aos trˆes detetores foi realizado com o software MAESTRO [52].
Entre as janelas de Al correspondentes a cada posi¸c˜ao da cˆamara e as superf´ıcies frontais dos detetores foram colocados colimadores de Cu. Os eixos de simetria dos sistemas detetor–colimador foram alinhados com o ponto central da cˆamara de irradia¸c˜ao, posi¸c˜ao que ocupa o alvo durante as medidas, com ajuda de um dispositivo laser (ver Fig. 3.8). Posteriormente, uma blindagem de Cu e Pb foi colocada em torno `a regi˜ao dos detetores que contem os cristais de Ge, a fim de evitar a detec¸c˜ao de bremsstrahlung produzido no copo de Faraday ou nas paredes da cˆamara por el´etrons espalhados, e diminuir a interferˆencia nos espectros da radia¸c˜ao de fundo. Na Tabela 3.1 s˜ao resumidos os parˆametros geom´etricos que caracterizam o posicionamento dos detetores e colimadores, sendo: d1 a separa¸c˜ao entre a parede exterior da cˆamara e a superf´ıcie anterior do
colimador, d2 a distˆancia entre a parede posterior do colimador e a parte frontal do
detector, dc o comprimento do colimador, rc o raio da abertura do colimador, Ωg o
ˆ
angulo s´olido geom´etrico subtendido pelo detetor em rela¸c˜ao ao alvo, calculado segundo
Ωg =
πr2c (R + d1+ dc)2
, (3.1)
com R = 250 mm (raio da cˆamara), e ωg = Ωg/4π a fra¸c˜ao de ˆangulo s´olido que
representa a eficiˆencia geom´etrica de detec¸c˜ao. A Fig. 3.9 mostra uma fotografia da montagem final do experimento.
Figura 3.8: Fotografias tomadas durante o alinhamento do sistema detetor-colimador com o ponto central da cˆamara de irradia¸c˜ao.
Tabela 3.1: Distˆancias caracter´ısticas do posicionamento dos detetores e colimadores em referˆencia `a cˆamara de irradia¸c˜ao.
Detetor d1 (mm) d2 (mm) dc (mm) rc (mm) Ωg× 10−4 (sr) ωg× 10−5
θ = 35o 55,6(5) 3,5(5) 100,0(5) 5,00(5) 4,77(10) 3,80(8)
θ = 90o 77,5(5) 10(1) 70,0(5) 5,00(5) 4,97(10) 3,96(8)
Figura 3.9: Montagem final dos detetores na cˆamara de irradia¸c˜ao.
3.4
Desenho dos experimentos: justificativa da escolha de
elementos, energias e ˆangulos de medida
Os elementos selecionados neste trabalho para estudar a emiss˜ao de bremsstrahlung de el´etrons s˜ao: C (Z = 6), Al (Z = 13), Ag (Z = 47), Te (Z = 52), Ta (Z = 73) e Au (Z = 79). A escolha compreende dois tipos de ´atomos: i ) aqueles tomados como referˆencia para os c´alculos da SCDD segundo a teoria de ondas parciais: Al, Ag e Au [3, 5], e ii ) aqueles cuja SCDD ´e interpolada em n´umero atˆomico a partir dos resultados obtidos para outros elementos: C, Te e Ta.
Como descrito na sec¸c˜ao 3.1, os detetores para a cole¸c˜ao dos espectros de bremsstrahlung foram colocados nos ˆangulos de emiss˜ao θ = 35o, 90o e 131o, em rela¸c˜ao `a dire¸c˜ao do feixe de el´etrons. A escolha permite estudar a distribui¸c˜ao angular em trˆes pontos cujas intensidades variam em fun¸c˜ao da energia incidente E0. Particularmente, a posi¸c˜ao
θ = 90o resulta atrativa do ponto de vista comparativo, considerando que na maioria dos trabalhos experimentais onde ´e determinada a SCDD utilizou-se esse ˆangulo [6–9]. Por outro lado, espera-se que os c´alculos te´oricos de SCDDs sejam mais precisos tamb´em a 90o. Nesse caso o procedimento de interpola¸c˜ao dos coeficientes Bn, que multiplicam
aos polinˆomios de Legendre Pn(cos θ) na Eq. (2.75), e que s˜ao necess´arios para avaliar
a distribui¸c˜ao angular de f´otons, ´e reduzido somente aos termos pares, toda vez que Pn(0) = 0 para n = 1, 3 e 5.
A sele¸c˜ao das energias E0 dos el´etrons tamb´em responde a crit´erios de compara¸c˜ao
com outros dados experimentais e verifica¸c˜ao dos c´alculos te´oricos. Assim os valores E0 = 50 e 100 keV foram analisados em todos os alvos devido a que formam parte da
grade de interpola¸c˜ao (2.69), tanto da se¸c˜ao de choque reduzida χ(Z, E0, κ) quanto da
distribui¸c˜ao angular S(Z, E0, κ, θ) [2–5]. Al´em disso, Motz e Placious [6], e Ambrose
e colaboradores [9] realizaram medidas de SCDD para el´etrons de 50 e 100 keV. As outras energias consideradas neste trabalho s˜ao E0 = 20 keV e 75 keV, (70 keV no
caso da Ag), representam pontos intermedi´arios de interesse na comprova¸c˜ao do referido procedimento de interpola¸c˜ao da SCDD te´orica. Para os elementos Ag e Au, tomaram-se medidas com intervalos menores de E0 entre 20 e 100 keV a fim de determinar a SCDD
Modelagem da fun¸c˜ao resposta de
detetores de Ge
Neste cap´ıtulo se descreve o formalismo matem´atico para obter o espectro de bremss- trahlung a partir da distribui¸c˜ao de altura de pulso medida. Desenvolve-se um modelo anal´ıtico para calcular a fun¸c˜ao resposta de detetores planares de Ge baseado em pri- meiros princ´ıpios. Tomando como referˆencia um dos detetores utilizado nas medidas de bremsstrahlung, o modelo ´e validado mediante a compara¸c˜ao com simula¸c˜oes Monte Carlo. Posteriormente a metodologia proposta ´e estendida `a configura¸c˜ao coaxial do cris- tal de Ge. No final do cap´ıtulo ´e testado o procedimento de deconvolu¸c˜ao de espectros com o modelo anal´ıtico adotado e simula¸c˜oes Monte Carlo.
4.1
Metodologia para a deconvolu¸c˜ao dos espectros de brems-
strahlung
As contagens registradas em um canal correspondente `a energia h de um espectro de altura de pulso medido, s˜ao produto da convolu¸c˜ao da fun¸c˜ao resposta (FR) do detetor R(h, E), e o espectro real de energia F (E) da radia¸c˜ao que atinge seu volume ativo. Em termos das duas grandezas pode se expressar a fun¸c˜ao densidade de probabilidade N (h) que descreve o espectro coletado como:
N (h) =
Z ∞
0
R(h, E) F (E) dE. (4.1)
Define-se R(h, E) como a densidade de probabilidade de que um f´oton de energia E seja detetado `a energia h. Em um espectro multicanal ´e observado a discretiza¸c˜ao de N (h)
nos diferentes canais Ni = Z hi+δ/2 hi−δ/2 dh Z ∞ 0 R(h, E) F (E) dE + i, (4.2)
onde Ni, hi e δ s˜ao as contagens, energia e largura do i -´esimo canal respectivamente,
enquanto i ´e o erro associado a Ni. Mudando a ordem de integra¸c˜ao e definindo a
fun¸c˜ao r(hi, E) = Z hi+δ/2 hi−δ/2 R(h, E) dh, (4.3) ´
e poss´ıvel discretizar a integral Ni ao longo dos M canais do histograma
Ni= Z ∞ 0 r(hi, E) F (E) dE + i ∼= δ M X j=1 r(hi, Ej) F (Ej) + i. (4.4)
Logo, esse resultado pode ser generalizado para todo o espectro escrevendo a rela¸c˜ao anterior em forma matricial
N = R F + , (4.5)
sendo N, e F vetores coluna com componentes dadas por Ni, i e o n´umero de f´otons
incidentes no detetor com energias entre Ej − δ/2 e Ej + δ/2, respectivamente. Os
elementos da matriz quadrada R (M × M ), tamb´em chamada de matriz resposta do detetor, s˜ao dados por:
Ri,j = r(hi, Ej). (4.6)
Em geral os vetores F e s˜ao desconhecidos e suas componentes s˜ao estimadas a partir do M´etodo dos M´ınimos Quadrados (MMQ) [53]. Nesse caso assume-se que R e a matriz de covariˆancia dos dados experimentais, V, dada por
Vi,j = hiji, (4.7)
s˜ao conhecidas (a nota¸c˜ao hyi representa o valor m´edio de y). Al´em disso, considera-se que os dados experimentais s˜ao n˜ao tendenciosos [53]. No caso de um espectro multicanal significa que o sinal N foi previamente corrigido por efeitos como o fundo radioativo e empilhamento de pulsos. Essa hip´otese implica que hii = 0, logo, hNi = R F.
A rela¸c˜ao linear estabelecida pela Eq. (4.5) entre os elementos de N e F permite deter- minar o estimador de variˆancia m´ınima de F por meio do MMQ [53, 54],
e
F = RtV−1R−1 RtV−1N, (4.8)
com matriz de covariˆancia
V
e
F = R
tV−1R−1
Como foi definido com anterioridade, R ´e uma matriz quadrada, o que reduz as Eqs. (4.8) e (4.9) a e F = R−1N (4.10) e V e F= R −1V Rt−1 , (4.11)
respectivamente. Observa-se que quando o espectro N ´e n˜ao tendencioso, o estimador e
F ´e tamb´em n˜ao tendencioso
heFi = R−1hNi = F, (4.12)
ou seja, espera-se que em m´edia eF seja igual ao valor verdadeiro F.
Apontando a outras especifidades deste problema, e seguindo a defini¸c˜ao de FR, pode se dizer que a matriz R ´e praticamente triangular. Sustenta essa afirma¸c˜ao o fato de que um f´oton de energia E s´o produz pulsos no intervalo compreendido entre h = 0 e h ≈ E + 3σ(E), sendo σ(E) a largura caracter´ıstica do detetor na cole¸c˜ao de carga (ver se¸c˜ao 4.3). Assim, dependendo da resolu¸c˜ao energ´etica com que ´e constru´ıda R, os elementos `a esquerda da diagonal (Ri,j, i < j) ir˜ao ser iguais a zero, ou apenas alguns
destes v˜ao ser diferentes de zero. Por outro lado a matriz V ´e diagonal devido a que as contagens que conformam o vetor N n˜ao est˜ao correlacionadas. Como a estat´ıstica de Poisson determina as flutua¸c˜oes de Ni, o limiar definido para as variˆancias ´e Vi,i > Ni.
Quanto menores forem as corre¸c˜oes em N pelos efeitos acima mencionados, o desvio padr˜ao associado a Ni estar´a mais pr´oximo de
√
Ni e consequentemente Vi,i' Ni.
A metodologia descrita at´e aqui ´e geral e v´alida para qualquer forma de espectro de f´otons incidentes F. Nas pr´oximas se¸c˜oes ser´a desenvolvido um modelo anal´ıtico para a FR dos detetores utilizados nas medidas deste trabalho. Para testa-lo ser˜ao compara- das no pr´oximo cap´ıtulo as distribui¸c˜oes de altura de pulso produzidas por uma fonte radioativa com o espectro predito pela Eq. (4.5). Nesse caso, onde F ´e conhecido, man- teremos a mesma nota¸c˜ao. Enquanto, no procedimento de deconvolu¸c˜ao de espectros de bremsstrahlung na Eq. (4.10) ser´a utilizada a letra B em lugar de F, assim como W para representar a energia desses f´otons, em acordo com nomenclatura utilizada no Cap´ıtulo 2,
B = R−1N. (4.13)