Em 1971, Tseng e Pratt [26] publicaram o primeiro c´alculo de se¸c˜oes de choque utilizando a expans˜ao relativ´ıstica de ondas parciais. O estudo determina tanto SCDD quanto a SCD, e se concentra em energias dos el´etrons incidentes entre 5 keV e 1 MeV, elementos com Z = 1, 8, 13 e 79, empregando quatro potenciais centrais:
1) Coulombiano pontual V (r) = −a r. 2) Thomas–Fermi (TF) [27] V (r) = −a rV0(x),
onde V0(x) ´e a fun¸c˜ao universal de Thomas–Fermi em termos da vari´avel adimen-
sional x. Os valores de V0(x) s˜ao determinados numericamente e encontram-se
tabulados (ver p. ex. a referˆencia [27]). 3) Thomas–Fermi modificado (TFM) [28] V (r) = −a r 0, 711 e −0,175 a0r+ 0, 2889 e−1,6625 a0r2, sendo a0 = 2 (3π/4)−2/3a1/3. 4) Hartree–Fock–Slater (HFS) [29] rV (r) = −Z + Z r 0 n(r0) dr0+ r Z ∞ r n(r0) r0 dr 0− 3 2 81 32 π2 r n(r) 1/3 ,
com n(r) = 4π r2ρ(r) a densidade radial de carga dos el´etrons.
As componentes maior gκ(r) e menor fκ(r) da fun¸c˜ao de onda foram obtidas numeri-
camente mediante o m´etodo de Runge–Kutta de quarta ordem [21]. Segundo Tseng e Pratt as principais fontes de erro nesse c´alculo foram: a largura finita do passo de inte- gra¸c˜ao em R1(κ) e R2(κ), e o truncamento da s´erie (2.61) para uma quantidade limitada
de n´umeros κ1 e κ2. Por´em, eles lograram uma alta precis˜ao, estimando erros num´ericos
para as SCDD e SCD entorno de 1% e 0,5%, respectivamente [26] .
O m´etodo usado por Tseng e Pratt [26] forneceu a maior exatid˜ao at´e hoje, e permitiu testar teorias como a AB e as derivadas das autofun¸c˜oes de SM, considerando diferentes intervalos angulares e n´umeros atˆomicos. Para Z = 1, 8 e 13 os resultados de Elwert e Haug [25] mostram boa concordˆancia na SCD para todas as energias, e na SCDD para ˆ
angulos de emiss˜ao dos f´otons com respeito a dire¸c˜ao do el´etron incidente maiores que 30o. Como era de esperar, o acordo entre as duas teorias desaparece para Z = 79, onde
os c´alculos de Elwert e Haug [25] tendem a subestimar as se¸c˜oes choque.
Al´em disso, a utiliza¸c˜ao dos potenciais anteriormente mencionados possibilitou estudar de maneira rigorosa os efeitos da blindagem atˆomica e a sensibilidade do m´etodo na escolha de V (r). As diferen¸cas nas se¸c˜oes de choque quando o c´alculo ´e desenvolvido com um potencial tipo TF, TFM ou HFS para as energias analisadas mostrou discrepˆancias de 1% [26].
Finalmente, com o aumento da velocidade e capacidade de armazenamento dos com- putadores, as primeiras tabula¸c˜oes de se¸c˜oes de choque foram publicadas em 1976 e 1977 [2, 30]. Assim, Lee, Kissel, Pratt e Tseng lograram aumentar o n´umero de elemen- tos e energias dos el´etrons incidentes no c´alculo da SCD [30]. A metodologia seguida
foi similar ao trabalho anterior de Tseng e Pratt [26], descrevendo o bremsstrahlung como uma transi¸c˜ao simples do el´etron em um potencial auto-consistente do tipo HFS relativ´ıstico [29]. As fun¸c˜oes de onda do el´etron foram obtidas mediante a s´erie (2.61), integrando numericamente a equa¸c˜ao radial de Dirac (2.59) e somando posteriormente sobre os valores de κ1,2.
Uma compara¸c˜ao entre os resultados da SCD calculada com um potencial Coulombiano pontual e um potencial HFS para Z = 2, 8, 13, 47, 79 e 92, e energias E0 = 5, 10, 25,
50, 75, 100, 200, 300, 400 e 500 keV, permitiu as seguintes conclus˜oes [30] 1:
I) Para um Z e um E0 dados, no caso do potencial Coulombiano pontual, a SCD
come¸ca em um valor finito no tip (W/E0 = 1) aumentando gradualmente na
medida em que W/E0 diminui, e finalmente diverge para W/E0 → 0.
II) A intensidade do espectro de bremsstrahlung de um ´atomo neutro se encontra abaixo em rela¸c˜ao ao caso de um potencial pontual. Quando a blindagem ´e consi- derada, a SCD ´e zero no tip, mas cresce rapidamente nos primeiros 5–50 eV, al´em de que no limite W/E0 → 0 apresenta um valor finito.
III) Em ambos casos o espectro se torna mais plano com o aumento de Z para um valor fixo de E0, e para um valor fixo de Z com o aumento de E0.
IV) Para um ´atomo neutro a SCD tem um m´aximo com a diminui¸c˜ao de W/E0 e
depois diminui perto da regi˜ao final do espectro. Este efeito se define primeiro para elementos de alto Z: em torno de 10 keV para Au (Z = 79), 5 keV para Ag (Z = 47) e 1 keV para Al (Z = 13).
V) Para um dado valor de W/E0, a blindagem ´e mais importante para pequenos E0,
e para um valor fixo de E0, a blindagem ´e mais importante para pequenos valores
de W/E0.
VI) O espectro de ´atomos parcialmente ionizados se encontra entre os dois casos ana- lisados.
Posteriormente, Pratt e colaboradores [2] acrescentaram `a tabula¸c˜ao da SCD valores para el´etrons com energias entre 1 keV e 2 MeV, e todos os ´atomos na faixa 2 6 Z 6 92. Essas tabelas dependem de trˆes parˆametros: Z, E0 e a fra¸c˜ao de energia radiada κ ≡ W/E0 ou
energia reduzida do f´oton. A grandeza fornecida nesse trabalho se conhece como se¸c˜ao de choque escalada (ou reduzida):
χ(Z, E0, κ) = β2 Z2 W dσ dW, (2.67) 1
A fim de permitir uma f´acil compara¸c˜ao com dados experimentais, as energias s˜ao expressas em
onde β = v0/c ´e a velocidade do el´etron incidente em unidades da velocidade da luz c,
que generalmente se expressa em termos de E0 e a energia em repouso do el´etron mec2
como: β = s 1 − 1 + E0 mec2 −2 . (2.68)
Uma das vantagens de tabular χ(Z, E0, κ) em lugar da SCD, reside no fato que, para
um valor fixo de alguns dos parˆametros Z, E0 ou κ, χ(Z, E0, κ) varia suavemente com os
outros dois, e portanto, um procedimento de interpola¸c˜ao resulta matematicamente mais simples. Pratt e colaboradores [2] calcularam esta fun¸c˜ao para os valores de referˆencia:
Z = 2, 8, 13, 47, 79 e 92,
E0 = 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 e 2000 keV,
κ = 0, 0, 0, 4, 0, 6 e 0, 95,
(2.69)
e expandiram, mediante a interpola¸c˜ao, os resultados para todos os elementos da tabela peri´odica anteriormente citados. A interpola¸c˜ao se baseou em ajustar uma fun¸c˜ao tipo spline-c´ubico, pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados, aos pontos dados pela raz˜ao entre seus resultados e as predi¸c˜oes anal´ıticas da AB com corre¸c˜oes de blindagem. A estimativa da incerteza da SCD fornecida pelos autores ´e de 10% [2].
Mais tarde, as tabelas de Pratt e colaboradores [2], foram estendidas por Seltzer e Ber- ger [3, 16] em trˆes sentidos: a) as energias E0 dos el´etrons incidentes foram aumentadas
at´e 10 GeV; b) adicionaram-se elementos, 1 6 Z 6 100; c) foi inclu´ıda na SCD uma com- ponente que leva em conta a produ¸c˜ao de bremsstrahlung no campo el´etrico do el´etron atˆomico: dσ dW = dσn dW + Z dσe dW, (2.70)
onde dσn/dW representa a radia¸c˜ao produzida no campo blindado do n´ucleo atˆomico,
e Z(dσe/dW ) o bremsstrahlung gerado no campo dos Z el´etrons do ´atomo. Assim, o
primeiro termo da SCD ´e calculado combinando teorias anal´ıticas para altas energias e os dados de ondas parciais de Pratt [2] abaixo de E0 = 2 MeV. Por outro lado, a SCD da
intera¸c˜ao el´etron-el´etron foi obtida da teoria de Haug [31]. Seltzer e Berger [3] tamb´em tabularam o parˆametro
η = dσe dW 1 Z2 dσn dW, (2.71)
a partir do qual podem se avaliar as duas componentes da SCD: dσn dW = Z Z + η dσ dW, dσe dW = η Z + η 1 Z dσ dW. (2.72)
Na tabela 2.1 s˜ao comparados os valores de χ(Z, E0, κ) fornecidos por Pratt et al. [2]
e Seltzer e Berger [3] para Al e Au, e varias energias E0 e κ. A raz˜ao δ entre ambas
grandezas ´e calculada para obter a contribui¸c˜ao relativa da componente eletrˆonica. Pode se concluir que na faixa analisada, a emiss˜ao de bremsstrahlung ´e uma consequˆencia totalmente dominada pelo campo Coulombiano blindado do n´ucleo.
As tabelas de Seltzer e Berger [3] constituem os dados te´oricos mais confi´aveis de SCDs dispon´ıveis at´e o momento. Segundo os autores, as incertezas das SCDs est˜ao: i ) entre 3% e 5% na regi˜ao de altas energias, E0 > 50 MeV; ii) entre 5% e 10% para energias
intermedi´arias, 2 MeV 6 E06 5 MeV; e iii) em torno de 10% para E0< 2 MeV.