seja, y(n) = yf(n) + yb(n), que ´e encaminhada ao decisor. Definindo o vetor de coeficientes
w como a concatena¸c˜ao dos vetores dos filtros direto e de realimenta¸c˜ao, ou seja,
w(n − 1) = [ wT f(n − 1) w T b(n − 1) ] T , (6.8)
e usando o vetor (6.7), a sa´ıda do DFE pode ser calculada como o produto interno
y(n) = uT(n)w(n − 1).
Deseja-se que o DFE mitigue de forma eficiente os efeitos do canal de modo a recuperar a(n) a partir de y(n) para algum atraso ∆. Como no caso do LTE, a adapta¸c˜ao do DFE pode ser feita de forma supervisionada ou autodidata, sendo a adapta¸c˜ao autodidata mais eficiente em termos de largura de banda. As condi¸c˜oes suficientes para sua equaliza¸c˜ao perfeita podem ser encontradas, por exemplo, em [PAPADIAS; PAULRAJ, 1995;SILVA, 2005] e suas referˆencias. Essas condi¸c˜oes relacionam as ordens dos filtros direto e de realimenta¸c˜ao com a ordem do canal e foram obtidas considerando ausˆencia de ru´ıdo e realimenta¸c˜ao de decis˜oes corretas. Embora elas sejam restritas do ponto de vista pr´atico, s˜ao interessantes porque mostram que o DFE pode apresentar um bom desempenho na equaliza¸c˜ao de canais com resposta ao pulso unit´ario finita, mesmo quando implementado na taxa de s´ımbolos. Esses resultados motivam a busca de algoritmos eficientes para o DFE.
6.2
O DFE autodidata: problemas e solu¸c˜oes
Uma solu¸c˜ao simples e intuitiva para recuperar a(n) na sa´ıda do DFE sem uma sequˆencia de treinamento ´e usar o CMA, que busca alcan¸car os pontos estacion´arios da fun¸c˜ao custo do m´odulo constante [GODARD, 1980]. Neste caso, o vetor w definido em (6.8) ´e adaptado atrav´es da equa¸c˜ao
w(n) = w(n − 1) + µe(n)u∗
(n),
em que e(n) = (r − |y(n)|2)y(n) ´e o erro de estima¸c˜ao do m´odulo constante e u(n) o vetor
6.2 O DFE autodidata: problemas e solu¸c˜oes 102 r = 2, os coeficientes dos filtros direto e de realimenta¸c˜ao podem assumir a forma
wf(n) = 0, e wb(n) =
p
r/2 [ 0 · · · 0 1 0 · · · 0 ]T
. (6.9)
Nesta situa¸c˜ao, e(n) = 0, o sinal de sa´ıda se torna independente do sinal de entrada e a atualiza¸c˜ao dos coeficientes com o CMA deixa de ocorrer. Esse tipo de solu¸c˜ao indesejada ´e conhecida na literatura como solu¸c˜ao degenerada e uma vez que ela ocorra, mesmo que as condi¸c˜oes do sinal de entrada mudem, a sa´ıda do filtro n˜ao volta a fornecer resultados relacionados com o sinal transmitido.
Para evitar essas solu¸c˜oes, surgiram diferentes propostas como as dos trabalhos [CASAS et al., 1995, 1999; TONG; LIU, 1997; LABAT; MACCHI; LAOT, 1998; SZCZECINSKI; GEI, 2002]. Dentre essas solu¸c˜oes, destaca-se a proposta em [SZCZECINSKI; GEI, 2002] que considera o crit´erio do m´odulo constante com uma restri¸c˜ao que depende da vari´avel
C(n) = kwb(n − 1)k2− Eyf(n),
em que Eyf(n) representa uma estimativa da potˆencia do sinal de sa´ıda do filtro direto. Esse
crit´erio ´e minimizado com um algoritmo do gradiente estoc´astico denotado por DFE-CMA-FB, que atualiza os coeficientes do filtro direto e de realimenta¸c˜ao respectivamente por
wf(n) = wf(n − 1) + µ[λL(n)g(n) − e(n)x ∗ (n)] (6.10) e wb(n) = [1 − µλL(n)]wb(n − 1) − µe(n)ˆa ∗ ∆(n), (6.11)
em que g(n) representa uma estimativa da correla¸c˜ao cruzada entre o vetor x(n) e a sa´ıda do filtro direto yf(n) e a vari´avel λL(n) representa o multiplicador de Lagrange que ´e associado
`a fun¸c˜ao custo do m´odulo constante para contornar o efeito das solu¸c˜oes degeneradas e sua atua¸c˜ao no algoritmo depende do valor de C(n). Conforme demonstrado por contradi¸c˜ao em [SZCZECINSKI; GEI, 2002], quando C(n) ´e menor ou igual a zero as solu¸c˜oes degeneradas n˜ao ocorrem. Assim, se C(n) ≤ 0, faz-se λL(n) = 0 e o DFE-CMA-FB funciona como o CMA
convencional. Em contrapartida, se C(n) > 0, a atualiza¸c˜ao dos coeficientes wf e wb ´e feita
6.2 O DFE autodidata: problemas e solu¸c˜oes 103 Apesar do DFE-CMA-FB evitar solu¸c˜oes degeneradas, dois outros inconvenientes intr´ın- secos aos algoritmos baseados na fun¸c˜ao custo do m´odulo constante s˜ao encontrados:
- a impossibilidade de resolver a ambiguidade de fase introduzida pelo canal e
- um desajuste relativamente elevado ao recuperar sinais de m´odulo n˜ao-constante, como no caso de sinais QAM de ordem alta.
A rota¸c˜ao de fase aleat´oria ´e um problema comum da equaliza¸c˜ao autodidata baseada no crit´erio do m´odulo constante. V´arias propostas podem ser encontradas na literatura para contornar esse problema, como por exemplo, as dos trabalhos [HEIDARI; NASIRI-KENARI, 2000; SZCZECINSKI; GEI, 2002; OH; CHIN, 1995; YANG; WERNER; DUMONT, 2002]. Dentre essas solu¸c˜oes, destaca-se a que deu origem ao MMA, que minimiza separadamente a dis- pers˜ao das componentes real e imagin´aria da sa´ıda do equalizador. A quest˜ao da rota¸c˜ao de fase do MMA ´e abordada em detalhes na demonstra¸c˜ao encontrada em [GARTH; YANG; WERNER, 2001]).
Visando uma redu¸c˜ao do desajuste obtido com o algoritmo DFE-CMA-FB na equaliza¸c˜ao de sinais QAM e inspirando-se nos resultados de [DE CASTRO; DE CASTRO; ARANTES, 2001; CHEN, 2003], em [SILVA; MIRANDA; SOARES, 2004, 2005; SILVA, 2005; SOARES, 2004], foi proposta a opera¸c˜ao concorrente do DFE-CMA-FB com o algoritmo de decis˜ao direta suave (SDD) para adapta¸c˜ao conjunta dos filtros direto e de realimenta¸c˜ao do DFE. O algoritmo resultante, denotado por NDEG-SDD-CMA, apresenta um desempenho melhor na equa- liza¸c˜ao de sinais QAM em rela¸c˜ao ao DFE-CMA-FB ao custo de um acr´escimo moderado na complexidade computacional. No entanto, como no caso dos algoritmos concorrentes para o LTE, o NDEG-SDD-CMA n˜ao apresenta resultados satisfat´orios para a equaliza¸c˜ao autodi- data de sinais QAM, o que justifica a busca de algoritmos mais eficientes para a adapta¸c˜ao autodidata do DFE.
Dessa forma, os erros de estima¸c˜ao abordados no Cap´ıtulo 2 podem ser usados para adapta¸c˜ao do DFE na equaliza¸c˜ao de sinais QAM, desde que se tome o devido cuidado para evitar solu¸c˜oes degeneradas. Dentre as diferentes possibilidades, destacam-se os algoritmo RMA e SBD modificados segundo o mecanismo que evita solu¸c˜oes degeneradas, proposto
6.3 Algoritmos eficientes para o DFE autodidata 104