de algoritmos do gradiente estoc´astico, por exemplo. Esses s˜ao os casos dos algoritmos propostos em [DE CASTRO; DE CASTRO; ARANTES, 2001; CHEN, 2003; ABRAR; AX- FORD JR., 2005;GOUPIL; PALICOT, 2007]. Neste contexto, ainda h´a muitos problemas em aberto para tornar a utiliza¸c˜ao de sistemas de portadora ´unica com equaliza¸c˜ao autodidata competitiva com sistemas baseados em m´ultiplas portadoras.
1.4
A equaliza¸c˜ao autodidata
Levando-se em conta a forma de adapta¸c˜ao, os equalizadores adaptativos podem ser clas- sificados como supervisionados ou autodidatas. No caso da equaliza¸c˜ao supervisionada, h´a a necessidade do envio de uma sequˆencia de treinamento, previamente conhecida no recep- tor, para que o equalizador possa ajustar seus coeficientes. Ap´os a fase de treinamento, o equalizador entra no modo de decis˜ao direta, retornando ao treinamento sempre que houver inclus˜ao de um novo elemento na rede, quando ocorrer falta de energia, ou quando varia¸c˜oes do canal de comunica¸c˜ao impuserem um novo ajuste aos coeficientes do filtro utilizado. Ape- sar de ser relativamente simples, esse mecanismo implica paradas previstas e n˜ao previstas e, principalmente, perda de banda dispon´ıvel, j´a que parte da banda deve ser alocada para a transmiss˜ao da sequˆencia de treinamento [QURESHI, 1985;GODARD, 1980].
No caso da equaliza¸c˜ao autodidata, o sinal de treinamento ´e substitu´ıdo por uma filoso- fia de aprendizado permanente com base nas estat´ısticas de ordem superior a dois (HOS - higher-order statistics) do sinal transmitido. Em outras palavras, o equalizador autodidata “conhece” as estat´ısticas do sinal que se pretende transmitir e ent˜ao ajusta permanentemente os coeficientes com base num algoritmo que avalia o qu˜ao distante est˜ao as estat´ısticas do si- nal de sa´ıda do equalizador das do sinal transmitido [BENVENISTE; GOURSAT; RUGET, 1980]. Os m´etodos que utilizam HOS s˜ao baseados principalmente em momentos e cumulantes de ordem superior a dois. Neste contexto, destacam-se dois crit´erios: o de Shalvi-Weinstein, proposto originalmente em [DONOHO, 1981] e depois simplificado em [SHALVI; WEINSTEIN, 1990, 1993] e o de Godard, tamb´em conhecido como crit´erio do m´odulo constante, proposto
1.4 A equaliza¸c˜ao autodidata 11 independentemente em [GODARD, 1980] e [TREICHLER; AGEE, 1983]. O crit´erio de Shalvi- Weinstein considera a curtose do sinal transmitido, ou seja, para recuperar a sequˆencia transmitida, ´e suficiente que as curtoses das sequˆencias transmitida e de sa´ıda do equali- zador sejam iguais [SHALVI; WEINSTEIN, 1990]. O crit´erio do m´odulo constante minimiza a distˆancia do m´odulo ao quadrado do sinal de sa´ıda do equalizador de uma constante de dispers˜ao [GODARD, 1980]. Sob certas circunstˆancias, esses crit´erios s˜ao equivalentes, como mostrado analiticamente em [SHALVI; WEINSTEIN, 1993; REGALIA, 1999]. Na literatura, ainda existem crit´erios baseados na teoria da informa¸c˜ao, que ajustam o equalizador para que a fun¸c˜ao densidade de probabilidade do sinal de sa´ıda seja igual a do sinal transmitido [ERDOGMUS; PRINCIPE; HILD, 2002].
O crit´erio do m´odulo constante consiste na minimiza¸c˜ao da seguinte fun¸c˜ao custo [GO- DARD, 1980]
JCMA = E
n
r − |y(n)|22o, (1.3)
em que E{·} representa o operador esperan¸ca matem´atica, y(n) ´e a sa´ıda do equalizador e r ´e a constante de dispers˜ao que depende de estat´ısticas do sinal transmitido a(n), ou seja,
r = E{|a(n)|
4}
E{|a(n)|2}. (1.4)
Para exemplificar, na Figura 1.7 s˜ao mostradas a constela¸c˜ao 64-QAM e a circunferˆencia correspondente `a raiz quadrada de sua constante de dispers˜ao, ou seja, √r =√58 = 7, 6158. Neste caso, o crit´erio do m´odulo constante deve minimizar o valor quadr´atico m´edio da distˆancia entre |y(n)|2 e r = 58. Cabe observar que s´o quando os sinais tˆem m´odulo cons-
tante, a raiz quadrada da constante de dispers˜ao coincide com o m´odulo dos s´ımbolos da cons- tela¸c˜ao, que ´e o caso de 4-QAM, por exemplo, em que a(n) ∈ {−1 − j, −1 + j, +1 − j, +1 + j} e |a(n)| =√2 =√r.
A minimiza¸c˜ao de uma vers˜ao instantˆanea de JCMA deu origem ao algoritmo estoc´astico
do m´odulo constante (CMA - constant modulus algorithm), que ´e o mais popular para a adapta¸c˜ao autodidata de equalizadores com resposta impulsiva finita (FIR -finite impulse response) devido ao seu baixo custo computacional. No entanto, o CMA apresenta algumas desvantagens como a impossibilidade de resolver as ambiguidades de fase introduzidas pelo
1.4 A equaliza¸c˜ao autodidata 12 im ag real √ r −9 −9 −7 −7 −5 −5 −3 −3 −1 −1 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9
Figura 1.7: Constela¸c˜ao 64-QAM e raiz quadrada da constante de dispers˜ao r.
canal de comunica¸c˜ao, a poss´ıvel convergˆencia para m´ınimos locais indesej´aveis e proble- mas de instabilidade [JOHNSON R. et al., 1998; SILVA, 2005; MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008a]. Al´em disso, o melhor desempenho do CMA ocorre para sinais de m´odulo constante, j´a que o fato de √r n˜ao coincidir com o m´odulo dos s´ımbolos da constela¸c˜ao gera um erro quadr´atico m´edio em regime n˜ao nulo, que ´e tanto maior quanto maior for a ordem da constela¸c˜ao QAM.
Para mitigar o problema da ambiguidade de fase do CMA, o algoritmo multim´odulo (MMA - multimodulus algorithm) foi proposto em [OH; CHIN, 1995] e depois analisado em [YANG; WERNER; DUMONT, 2002]. O MMA minimiza a dispers˜ao das componentes real e imagin´aria da sa´ıda do equalizador separadamente. Embora o MMA apresente uma melhor convergˆencia que o CMA para sinais QAM de alta ordem, ele ainda pode ocasionar rota¸c˜oes de fase m´ultiplas de 90o como demonstrado em [GARTH; YANG; WERNER, 2001].
A quest˜ao da instabilidade do CMA foi abordada em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008a], onde foi proposto um mecanismo para evitar divergˆencia em uma vers˜ao normalizada do algoritmo. O algoritmo proposto em [MIRANDA; SILVA; NASCIMENTO, 2008a], denomi- nado dual-mode-CMA (DM-CMA), trabalha com dois modos de opera¸c˜ao. No primeiro modo, ele funciona como o CMA normalizado e no segundo, rejeita estimativas n˜ao consis-
1.5 A equaliza¸c˜ao autodidata de sinais QAM 13