Diagrama de fase do modelo Uhlenbeck-Ford

Na subseção anterior foi mostrado, para uma densidade 𝜌 = 0.1, o processo para calcular os pontos de coexistência das fases e as regiões onde cada uma destas fases é a mais estável a partir das curvas de energia livre 𝐹 (𝑝). Assim, foi mostrado que as fases mais estáveis, dependendo do fator de escalonamento 𝑝 do potencial de UF, são:

𝑝 ≥320.7509 =⇒ FCC 277.0494 ≤𝑝 ≤ 320.7509 =⇒ BCC

𝑝 ≤277.0494 =⇒ Fluida.

Realizando o mesmo processo para cada uma das densidades mencionadas na seção an- terior (Tabela 4.1), e para diferentes valores de densidades entre 0 e 1 (∘

A−3), podemos construir o diagrama de fase do modelo de Uhlenbeck-Ford indicando os pontos de coe- xistência das fase que delimitam as regiões onde cada uma destas é a mais estável. Este diagrama de fase pode ser observado na figura 4.9.

4.2. RESULTADOS 84

Figura 4.9: Diagrama de fase do modelo de Uhlenbeck-Ford que mostra os pontos de coexistência das fases, delimitando as regiões onde estas são as mais estáveis, dependendo do fator de escalonamento 𝑝 do potencial de UF e da densidade 𝜌 do sistema. Os erros estatísticos dos valores destes pontos são menores que o tamanho dos símbolos no gráfico. O diagrama de fase deste modelo apresenta três fases diferentes na região estudada, sendo estas, a fase fluida, e duas fases sólidas com estruturas cristalinas BCC e FCC. A região da fase fluida aumenta consideravelmente quanto menor é a densidade, como era de esperar. A fase sólida FCC é a mais estável para uma pequena região de densidades no intervalo de 𝑝 = [1, 1000] estudado, como é mostrado na figura4.9. Já para densidades mais altas (a partir de 𝜌 = 0.20 ∘

A−3) são observadas apenas as fases fluida e sólida BCC, onde a transição ocorre aproximadamente entre valores de 𝑝 = 90 e 𝑝 = 110. Na elaboração do esboço rudimentar foram observadas as curvas de histerese até uma densidade 𝜌 = 10 ∘

A−3, observando uma variação mínima desta região depois de valores 𝜌= 0.8 A∘−3. Portanto, podemos dizer que existem regiões para qualquer densidade onde a fase fluida é a mais estável e nas quais este modelo de UF pode ser usado como sistema de referência nos cálculos de energias livres de sistemas líquidos.

Outra forma de ver este diagrama de fase pode ser observada na figura4.10, onde este é construído com os valores inversos de 𝜌 e 𝑝. Um gráfico desta forma nos permite observar melhor a existência de um ponto triplo (onde coexistência as três fases). Esta coexistência

4.2. RESULTADOS 85

Figura 4.10: Diagrama de fase do modelo de Uhlenbeck-Ford que mostra as regiões onde as diferentes fases BCC, FCC e a fase fluida deste modelo são as mais estáveis, construído com os valores inversos de 𝜌 e 𝑝. O ponto triplo de coexistência das três fases é melhor observado.

tripla, ocorre para uma densidade aproximada de 𝜌c= 0.085(1)

∘

A−3 (levando em conta que está localizado entre as densidades 0.084 e 0.086 ∘

A−3), onde podemos estimar um valor para este ponto de coexistência tripla de pc= 421(10), levando em conta da mesma

forma, que está localizado entre os valores de 𝑝 = 411.3174 e 𝑝 = 430.7292 correspondentes às densidades mencionadas acima.

86

Capítulo 5

Conclusões e Perspectivas futuras

Neste capítulo, iremos expor as principais conclusões que podem ser obtidas do tra- balho apresentado nesta dissertação.

A primeira conclusão refere-se ao erro sistemático induzido pela dissipação devida a aproximação fora do equilíbrio. Foi observado a partir de tempos de simulação diferentes que o erro sistemático inerente à estas aproximações fora do equilíbrio, é efetivamente eliminado ao promediar os resultados do processo de ligação em ambas direções (forward e backward).

Em segundo lugar, foi observado que a análise de primeiros vizinhos realizada com ajuda do pacote de visualização instantânea OVITO (Open Visualization Tool) não é suficiente para determinar as estruturas mais estáveis, uma vez que calculando as energias livres foram encontradas regiões onde a fase FCC é a mais estável. Dessa maneira, na região estudada de densidades 𝜌 e valores do fator “𝑝”, foram encontradas duas estruturas cristalinas estáveis (BCC e FCC) adjacentes à fase fluida.

Uma terceira conclusão está relacionada com a motivação da construção deste dia- grama de fase, planteada como objetivo desta dissertação. Esta é responder à pergunta: para quais fatores “𝑝” de escalonamento do potencial e para que densidades 𝜌 a fase fluida do sistema de UF é a mais estável? O diagrama de fase responde a esta pergunta, sendo que foi encontrada a existência de regiões para qualquer densidade onde a fase fluida é a mais estável. Nestas regiões o modelo de UF pode ser usado como sistema de referência

87

nos cálculos de energias livres de sistemas na fase líquida.

Perspectivas futuras

Uma perspectiva futura para complementar o trabalho descrito nesta dissertação, é estudar uma região maior de valores do fator de escalonamento “𝑝” no potencial de Uhlenbeck-Ford na procura de mais fases cristalinas estáveis.

Outro ponto a ser estudado, está relacionado com a implementação desde modelo es- calonado de Uhlenbeck-Ford em um sistema binário. Simulações de um sistema deste tipo foram realizadas na procura de uma fase fluida metaestável, tentando imitar o sistema binário de Lennard-Jones proposto por Kob e Andersen, que apresenta uma fase líquida metastável (líquido super-resfriado) [17]. Os resultados obtidos mostraram um compor- tamento anômalo de um sistema deste tipo, onde são observadas segregações com uma aparente estrutura cristalina no processo de minimização da energia do sistema, usando algoritmos de steepest descent e conjugate gradient.

Nas figuras5.1,5.2,5.3e5.4são observadas imagens (usando o pacote de visualização instantânea OVITO) após o processo de minimização para sistemas binários AB com 𝑁 = 3000 número de átomos, e uma densidade 𝜌 = 10 (unidades LJ), sendo as interações governadas pelo potencial escalonado de UF, com fatores de escalonamento 𝑝𝐴 = 100

e 𝑝𝐵 = 200. Desta maneira, é mostrado que variando o fator de escalonamento 𝑝𝐴𝐵

da interação entre as partículas A e B, assim como também mudando a proporção das partículas, as segregações apresentam diferentes estruturas. Outro fator já observado, é o fato de que para valores de 𝑝𝐴𝐵 de até 150, o sistema se comporta como um fluido normal,

sem apresentar segregações (ver figura5.4).

Simulações recentes mostram também que estas segregações são sensíveis ao tamanho da caixa de simulação (mantendo a mesma densidade) e as posições inicias dos átomos “seeds”.

88

Figura 5.1: Processo de minimização de energia para um sistema binário AB de 3000 átomos, uma densidade 𝜌 = 10 (unidades LJ), e com uma proporção dos átomos de

60-40%, governados pela interação do potencial escalonado de UF com fatores de escala

𝑝𝐴 = 100,𝑝𝐵 = 200e 𝑝𝐴𝐵 = 180. Parece haver segregação com os dois tipos se separando,

e com aparente estrutura cristalina em forma de planos.

Figura 5.2: Processo de minimização de energia para um sistema binário AB de 3000 átomos, uma densidade 𝜌 = 10 (unidades LJ), e com uma proporção dos átomos de

80-20%, governados pela interação do potencial escalonado de UF com fatores de escala

𝑝𝐴 = 100,𝑝𝐵 = 200e 𝑝𝐴𝐵 = 180. Parece haver segregação com os dois tipos se separando,

89

Figura 5.3: Processo de minimização de energia para um sistema binário AB de 3000 átomos, uma densidade 𝜌 = 10 (unidades LJ), e com uma proporção dos átomos de

80-20%, governados pela interação do potencial escalonado de UF com fatores de escala

𝑝𝐴 = 100,𝑝𝐵 = 200e 𝑝𝐴𝐵 = 160. Parece haver segregação com os dois tipos se separando,

e com aparente estrutura cilíndrica.

Figura 5.4: Processo de minimização de energia para um sistema binário AB de 3000 átomos, uma densidade 𝜌 = 10 (unidades LJ), e com uma proporção dos átomos de

80-20%, governados pela interação do potencial escalonado de UF com fatores de escala

𝑝𝐴 = 100, 𝑝𝐵 = 200 e 𝑝𝐴𝐵 = 140. Parece normal (líquido misturado com dinâmica

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