OBJETIVO
• Caracterizar alguns tipos de erro e relacioná-los com a
noção de contrato didático
V
amos iniciar nossa discussão observando duas situações em que identificamos a ocorrência de erros. Notamos que se tratam de erros que envolvem o emprego inadequado de regras de inferência e/ou equivalências lógicas indevidas. Mas como diferenciar (I) e (II)?Figura 5: Erros envolvendo inferências e equivalências lógicas não permitidas.
Mas vejamos um erro frequente e difícil de apresentar uma causa facilmente identificável. Para você presenciar a sua manifestação em sala de aula, basta você requisitar a um aluno representar o gráfico da seguinte progressão aritmética{1,3,5,7,9,....}. Observamos que além de ser uma questão pouco colocada, uma vez que o tratamento dedicado às progressões aritméticas e geométricas é totalmente algébrico e não geométrico, o aluno esboçará algo semelhante ao que exibimos na figura 6.
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Figura 6: Descrição do gráfico de uma progressão aritmética por um aluno.
Bem, aparentemente o nosso aluno hipotético descreveu algo semelhante a uma reta do tipo y = ax b+ . E, de algum modo ele relacionou esta representação da reta coma a n n= + - ×1 (r 1) , a questão não trivial agora é saber por quê? Que
razões levaram o aluno a manifestar tal estratégia?
Esta estratégia se diferencia de modo substancial no que diz respeito à figura 4. De fato, nesta, nossa atenção se volta à manipulação e à aplicação de regras de operação. Para o professor de Matemática, estas podem ser mais fáceis de corrigir, pois são mais perceptíveis e se inserem num contexto mais simples. Por outro lado, o que foi contrariado, numa perspectiva matemática, para que o professor possa dizer que a estratégia da figura envolvendo a progressão aritmética está errada?
Se trata de umaconcepção ou noção mal apreendida, desde quando este aluno carrega consigo talconcepção equivocada? Estas questões, geralmente, não possuem uma resposta imediata. Por simplicidade, o professor de Matemática da série atual coloca culpa no professor da série anterior e, assim, sucessivamente. Possivelmente, continuando com este processo, a culpa recai sobre os pais que colocaram a criança na escola.
Por vezes o professor se depara com estratégias mirabolantes, como
1 1 2
2+ =3 5. Mas, outro aspecto deve ser observado é que, apesar de não ser
explícito no contrato didático, pode ocorrer que um aluno, após realizar um duro esforço na resolução de uma questão, de sua resposta não atender exatamente o que foi demandado pelo mestre e, mesmo assim, diante do seu empenho, o estudante cobrar do professor alguma pontuação diante do enorme esforço gasto na resolução da questão. Neste caso, sua resposta poderia estar correta em outro contexto, mas de acordo com o que é requisitado na questão, o mestre poderia
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considerar completamente errado.
Trata-se de uma situação delicada do contrato didático, todavia, anota deve ser atribuída e este valor numérico que atribuímos ao estudante pode ser o ápice de um processo meticuloso conduzido e delineado pelo mestre. De fato, Cury (1994p. 74) lembra:
O momento de aplicação da prova também tem, em geral, um ritual implícito, mais ou menos aceito por todos. O professor solicita uma determinada disposição das classes, faz algumas admoestações sobre possíveis colas, marca o tempo de duração da prova e recusa-se a auxiliar os alunos. A toda essa encenação subjaz a ideia de que o conhecimento, transmitido aos alunos de uma determinada forma, deva ser assim reproduzido de única maneira considerada correta. Dessa forma, o diálogo entre o professor e aluno, que possa ter sido estimulado durante as aulas e que possa ter, efetivamente, levado o aluno a atingir uma melhor compreensão dos conteúdos, é bruscamente interrompido. A prova introduz uma quebra do contrato didático, um desequilíbrio nas relações entre professor e os alunos, em torno do saber.
Um tipo de erro encontrado em Matemática e explorado na tese de Cury (1994) é o caso da falsa generalização. Situações como a b × = a b × a b + = a b+ ou ( a b i + + + = + + +)c d i ( )a c ( b d i) ( ) ou (a bi c di + × + = × + ×) ( )a c () b d i( )
caracterizam a direção natural que o ser humano apresenta embusca de padrões, sejam eles aritméticos, geométricos ou algébricos.
Merece comentário, por exemplo, a adição natural de números complexos e, na sequência dos conteúdos, os estudantes são apresentados às regras envolvendo multiplicação em que devem empregar a relação i2 = -1 que surge como um
verdadeiro passe de mágica.
O erro em Matemática que é chamado por alguns autores de falsa generalização
é estimulado, de modo completamente equivocado, segundo Lima (2001) pelos livros didáticos do ensino médio. Como por exemplo, sejam a soma denÎ números em
P.G descritos por 2 1 1 2 3 .... 1 1 1 .... 1 n n n S a a a = + + + + = + + a a a q a q + +a q -, assim temos 2 3 1 1 1 .... 1 n n S q a q a q a q × = + + + +a q , portanto:
(
(
2)
1)
2 3 1 1 1 .... 1 1 1 1 .... 1 n n n n S S q a a q a q - × = + + + + a q - + + + +a q a q a q - a q 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n n n n n n n n a q S S q a a q a q S q a q S q - - × = - = - \ - = - « = - , ou 1 ( 1) ( 1) n n a q S q -= - . Na sequência conclui que tal propriedade foi demonstrada para" În (natural). Assim, o livro e, consequentemente o professor inadvertido,
49 estimulou uma prática em deduzir o geral a partir de um caso específico (nÎ)
inicialmente fixado em (*).
Vejamos um exemplo interessante descrito da dissertação de Bondaniman (2007 p. 173). A autora apresentou a seguinte tarefa envolvendo a noção de soma. Ela verificou que a maioria os alunos não obtiveram resultados corretos para os valores numéricos, entretanto, respeitaram a hierarquia para a resolução dos mesmos. Destaca ainda a dificuldade em trabalhar com números.
Figura 7: Tarefa sugerida por Bondaniman (2007, p. 173).
Ao lado, temos as respostas obtidas pela investigadora. Nesse estudo, após a representação das atividades na escrita algébrica, a autora requisitou a mesma representação com o uso de materiais manipuláveis ou desenhos geométricos como vemos à direita da figura 7. Em casos como este, o aluno se vê na obrigação de testar e comparar suas respostas tanto na representação ligada à Aritmética, como em Álgebra e na Geometria. Sugerimos ao professor uma perspectiva de avaliação a ser desenvolvida peloContrato Didático que possibilite e estimule ao aluno enxergar as relações que descrevemos na figura 8.
v
Figura 8: Relações estimuladas na avaliação do professor
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Certamente tais relações não são facilmente alcançadas pelo professor de Matemática iniciante. Nem mesmo o experiente, tendo em vista que ambos foram submetidos ao estudo dedisciplinas compartimentalizadas ou estanques nolocus acadêmico. De fato, ainda nos aprofundaremos em questões relacionadas às mínimas relações estabelecidas entre a formação pedagógica e a relação específica. Tal dicotomia prejudica a visão do futuro professor e, em última instância, estudos evidenciam que ensinamos da maneira que aprendemos. Mas isto será um assunto para outra aula.
ATIVIDADES DE APROFUNDAMENTO ATIVIDADES DE APROFUNDAMENTO
1) No que diz respeito às definições formais de função afim e função exponencial, quais das duas definições exigem um maior tempo didático? Qual transposição didática exigirá mais do professor? Qual a definição propicia maiores dificuldades ao entendimento dos aprendentes? Justificar usando as noções da Didática da Matemática.
2) Descreva formalmente as propriedades da função de proporcionalidade direta. Fornecer exemplos de questões que envolvem esta função. 3) Os saberes científicos relacionados com a função de proporcionalidade direta devem constituir os saberes particulares do professor?
4) É peculiar o professor “menos experiente” se valer de todo o seu conhecimento recém aprendido na academia e desenvolver uma transposição didática afetada por sua formação acadêmica. Identificar este tipo de contágio no trecho da figura 3. A linguagem excessivamente formal pode gerar dificuldades aos estudantes? Como lidar com tais dificuldades?
51 5) É mais cômodo para o professor apresentar sua aula apoiada no
raciocínio lógico e formal. A vantagem reside na organização, na precisão e sistematização do saber matemático. Na figura abaixo, enfatizamos uma situação didática em que o professor de Matemática se vale da condição em que os exercícios e atividades são suficientes para que os alunos, de modo automático, aprendam a lição. Indique a transposição didática inadequada neste caso.
Trecho do livro de Kline (1971, p. 20)
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