OBJETIVO
• Apresent ar outras perspectivas rela-
cionadas ao ensino
A
lguns autores chamam a atenção para certos detalhes específicos que poderiam passar despercebidos aos olhos de uma pessoa desatenta. O primeiro diz respeito ao emprego de símbolos específicos na Matemática e suas consequências à aprendizagem. O emprego de um sistema particular de simbologia é cada vez mais incessante em Matemática.De fato, desde os primeiros anos de escolaridade, nos deparamos com coisas do tipo: 1
4 ; 1:4 ; 0,25 ; 14. Apesar de simplória, nela observamos o mesmo
processo matemático (divisão) simbolizado em inúmeras formas diferentes. Note que, ao longo do processo de familiarização com tais simbologias, o aluno deverá paulatinamente perceber que se trata da mesma operação, e isto nem sempre ocorre de imediato.
Na tabela abaixo, trazemos alguns símbolos básicos que denotam umconceito matemático que se relaciona com um processo matemático. Destacamos a diferença entre conceitomatemático≠processo matemático. Qualquer metodologia que vise
de fato uma aprendizagem significativa, se não diferenciar estes dois termos, possui sérias chances à obtenção de um insucesso.
143
SIMBOLOGIA CONCEITO MATEMÁTICO PROCESSO MATEMÁTICO
2+3 Adição de números naturais Adicionar, juntar, unir, agrupar,
etc. 1 2 1 3 +
Adição de números racionais Adicionar/dividir, separar, etc.
23 Potenciação de números naturais Multiplicar repetidas vezes a
mesma parcela.
3-2 Subtração de números naturais
em Subtrair, retirar, repartir, etc.
2-3 Subtração de números naturais
em Subtrair, retirar.
Quadro 1: Relação simbologia, conceito e processo matemático
Destacamos, neste primeiro momento, uma simbologia relacionada às séries iniciais. Na coluna do meio, descrevemos oconceito matemático, isto é, o que a simbologia designa em Matemática. Entretanto, na última coluna, descrevemos a ação que precisamos executar para efetivar/realizar o processo matemático
designado pela simbologia. Observamos que a simbologia determina quase tudo, ou seja, a simbologia determina o tipo de procedimento que devemos desenvolver e o modo de compreender/interpretar o conceito.
Por exemplo, na simbologia2+3 e 1 2
1 3
+ , encontramos o mesmo símbolo
da adição, todavia, a adição no conjunto dos naturais é completamente diferente da adição no campo dos números racionais, basta observar que1
2 1 3 1 3 1 2 2 3 5 6 + = ⋅ + ⋅ ⋅ = .
Isso pode proporcionar muitas dificuldades para quem está aprendendo, uma vez que temos o mesmo símbolo que designa operações matemáticas completamente distintas. Tallet all (2001) diferencia os símbolos com os quais fazemos Matemática e os símbolos com os quais ‘refletimos sobre’. Ele observa que determinadas ações do indivíduo dependem claramente a partir do que é percebido pelo mesmo. A partir desta percepção, suas estratégias podem ser elaboradas na dependência das teorias que o sujeito conhece.
Tallet all (2001) analisa o aspecto dual da simbologia em Matemática, que tanto se relaciona aoconceito matemático, como também se relaciona ao processo matemático. Assim, qualquer metodologia que desconsidere tal dimensão dual pode permanecer seriamente comprometida.
T Ó PI C O 3 AULA 6
Figura 9: Caráter dual dos símbolos matemáticos descrito por Tall et all.
Na Figura 9, do lado direito, Tall fornece um exemplo que ocorre de modo frequente com as crianças ao longo da aprendizagem do ‘processo de adição’. Em geral, o professor proporciona ou apresenta uma série de situações relacionadas ao mesmo ‘processo matemático’. Paulatinamente, na medida em que as crianças executam operações materiais com as bolinhas indicadas acima, compreendem e internalizam outras propriedades.
Assim, o significado do ‘conceito de adição’ vai sendo paulatinamente construído na medida em que o sujeito age e interage em situações específicas relacionadas aquele ‘conceito matemático’. As ações efetuadas pela criança são condicionadas pelas características intrínsecas do ‘processo de adição’. Ao longo da aprendizagem, a criança deverá adquirir uma familiaridade suficiente ao ponto de substituir todos aqueles objetos pela compacta simbologia 2 3 5+ = .
Vale notar que este processo de aquisição de estruturas cognitivas, a partir da in- teração e ação executada sobre os objetos, é condição de aprendizagem em qualquer nível de ensino. De fato, quando o aluno dolocus acadêmico se depara com a simbo- logialimx→ xx
− −
=
1 2 11 12, um sentimento de estranheza e incompreensão se apodera
do mesmo.
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Obtenha mais informações sobre o que são obstáculos epistemológicos e seu principal pesquisador no site http://www. nucleosephora.com/impressao/pdf/disc21_ obstaculoepstemolo.pdf
145 Parte desta incompreensão inicial é devida às características intrínsecas
ao próprio conceito, é o que chamamos nas aulas passadas de obstáculos epistemológicos. Mas quando comparamos a aprendizagem da noção de limite, identificamos alguns traços comuns relativos ao entendimento da operação
2 3 5+ = .
Inicialmente, ambos os símbolos apresentam uma estrutura dual, que tanto se referem ao ‘conceito matemático’, como se relacionam a um ‘processo matemático’. Alguém poderia afirmar, por exemplo, que o símbolo limx→ xx
− −
=
1 2 11 12 é mais
abstrato do que2 3 5+ = , todavia, ambas as simbologias encerram um determinado
grau de abstração.
De fato,2 3 5+ = se relacionava a uma tarefa concreta proposta pelo professor
para as crianças que podiam manipular e ver os objetos materiais relacionados a tarefa, entretanto, no decorrer do ciclo de aprendizagem, as crianças começam a substituir as bolinhas por símbolos matemáticos que se relacionam de algum modo com a mesma tarefa.
Assim, temos aqui um processo progressivo de abstração e generalização do pensamento. De fato, os símbolos 2 3 5+ = podem se relacionar e explicar
completamente a tarefa (Figura 9), mas podem também fornecer conclusões para outras situações. Por outro lado, o símbolo limx
x x → − − = 1 2 1 1 1 2, também se relaciona
a um processo matemático. Do mesmo modo que não encontramos no corredor da escola um número ‘cinco’, também não encontramos o valor 1
2.
Todavia, ao passo que o processo matemático proporcionado pela simbologia
2 3 5+ = descreve um modelo finito, no caso delim x x x → − − = 1 2 1 1 1 2, estamos lidando
com um processo infinito de aproximação. Vale destacar que o processo matemático de limite foi extraído e formulado no pensamento grego por meio de observações do mundo que o cercava. As ideias srcinais estavam colocadas no mundo material, e a capacidade humana de abstração proporcionou sua evolução e apresentação até nossos dias em que, frequentemente, deparamos com alunos reclamando da noção de limite.
Para finalizar este tópico, lembramos que qualquer abordagem metodológica necessita levar em consideração as especificidades das representações e simbologias utilizadas em Matemática. A natureza destas representações pode dificultar, pode condicionar e até mesmo impedir a evolução de determinadas ideias fundamentais relacionadas a um determinado conceito. Em aulas futuras, retomaremos algumas destas temáticas aqui discutidas.
T Ó PI C O 3 AULA 6
ATIVIDADES DE APROFUNDAMENTO ATIVIDADES DE APROFUNDAMENTO
1) Indique as incongruências no ensino de Matemática. 2) O que é Metodologia do ensino de Matemática para você?
3) Descreva a metodologia de ensino geralmente explorada no contexto das Olimpíadas de Matemática? Indique alguns dos seus pressupostos. 4) Que abordagem metodológica Kline (1971) critica no trecho abaixo?
Kline (1971, p. 67) critica abordagens de ensino.
147 Olá aluno(a),
Nessa aula, iremos dar continuidade aos estudos das situações didáticas desta vez abordando as metodologias utilizadas no ensino da Matemática. Refletiremos sobre elas e sobre as implicações existentes a partir de situações didáticas dentro do processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
Objetivo Objetivo
• Conhecer os aspectos teóricos que envolvem os estudos sobre as
metodologias do ensino da Matemática
AULA 7
AULA 7
Metodologia do Ensino de
Matemática
AULA 7 AULA 7