que {SNα,β} converge para ∞ X n=2 Qα,βn aα,βn+1Rα,βn + Kα,β − (α + 1) ∞ X n=2 n − 1 n + α + β + 1a α+1,β+1 n−1 Rα,βn . uniformemente em t ∈ (−1, 1), com Kα,β := (α − β) ∞ X n=2 n(n − 1)(n + α + β + 1) (n + α + β + 1)(2n + α + β + 2)(2n + α + β)a α,β n Rnα,β.
Observe ainda que as fun¸c˜oes f1 e f2 almejadas pelo ´ıtem (ii) do enunciado s˜ao dadas por f1 = F1α,β+ Gα,β+ Kα,β+ ∞ X n=2 Qα,βn aα,βn Rα,βn e f2 = (α + 1) ∞ X n=2 n − 1 n + α + β + 1a α+1,β+1 n−1 Rnα,β.
Al´em disso, os coeficientes de Fourier-Jacobi da fun¸c˜ao f2 s˜ao obviamente n˜ao negativos. Logo, a demonstra¸c˜ao do ´ıtem (iii) estar´a completa se mostrarmos que os coeficientes de Fourier-Jacobi de f1 − F1α,β − Gα,β − Kα,β s˜ao n˜ao negativos. Como α > β, os coeficientes da fun¸c˜ao Gα,β s˜ao todos maiores ou iguais a 0. Com isso, obter a n˜ao negatividade dos coeficiente resume-se a demonstrar que
(n + α + β + 1)(n + α + β + 2)
(n − 1)n ≥ 1, n = 2, 3, . . . .
Por´em, se 2α ≥ α + β ≥ −1, a desigualdade acima ´e trivialmente satisfeita. Assim a demonstra¸c˜ao est´a completa.
4.3
Diferenciabilidade de n´ucleos positivos definidos
Nesta se¸c˜ao apresentamos enfim o teorema principal do cap´ıtulo e discutimos algu- mas quest˜oes relacionadas a este resultado. Dividimos os resultados de acordo com os espa¸cos abordados.Iniciamos com o caso de um espa¸co projetivo real.
Teorema 4.3.1. Seja d um inteiro maior ou igual a 3. Se K ´e um n´ucleo cont´ınuo,
isotr´opico e positivo definido sobre Pd(R), ent˜ao a parte isotr´opica Kd
r de K ´e conti- nuamente diferenci´avel sobre (−1, 1). Al´em disso a derivada de (Kd
r)′ satisfaz (1 − t2)(Krd)′(t) = f1(t) − f2(t), t ∈ (−1, 1),
em que f1 e f2 s˜ao partes isotr´opicas de dois n´ucleos cont´ınuos, isotr´opicos e positivos definidos sobre Pd−2(R).
Demonstra¸c˜ao: Seja K um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre
Pd(R). Suponha inicialmente que d ≥ 4. Pelo Lema 1.1.1-(ii) existe um mergulho
isom´etrico
Pd−2(R) ֒→ Pd(R),
consequentemente K ´e um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre Pd−2(R). Logo, pelo Teorema 1.2.1, recordando os valores para os ´ındices α e β neste caso, temos que
Krd ∈ L(d−2)/2,−1/21 [−1, 1] ∩ L(d−4)/2,−1/21 [−1, 1].
Em particular, estamos nas hip´oteses do Teorema 4.1.3 com α = (d − 4)/2 e β = −1/2. Portanto uma aplica¸c˜ao deste teorema nos garante o resultado. Consideremos agora o caso d = 3. Pelo Lema 1.1.2-(i) sabemos que
S1 ֒→ P3(R).
e a demonstra¸c˜ao segue de forma an´aloga ao feito anteriormente.
O pr´oximo teorema ´e uma vers˜ao do caso anterior para espa¸cos projetivos comple- xos.
Teorema 4.3.2. Seja d um inteiro maior ou igual a 4. Se K ´e um n´ucleo cont´ınuo,
isotr´opico e positivo definido sobre Pd(C), ent˜ao a parte isotr´opica Kd
r de K ´e conti- nuamente diferenci´avel em (−1, 1). Al´em disso a derivada (Kd
r)′ satisfaz (1 − t2)(Krd)′(t) = f1(t) − f2(t), t ∈ (−1, 1),
em que f1 e f2 s˜ao partes isotr´opicas de dois n´ucleos cont´ınuos, isotr´opico e positivos definidos sobre Pd−2(C).
Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao desse teorema segue exatamente a mesma linha
apresentada para demonstrar o resultado anterior, utilizando agora o Lema 1.1.1-(iii) no caso em que d ≥ 5. Quando d = 4, utilizamos agora o fato de que P2(C) ´e isometri- camente isomorfo `a esfera S2 em R3.
A seguir analisamos o caso dos espa¸cos projetivos quaterniˆonicos. A ideia a partir de agora ´e a utiliza¸c˜ao do Teorema 4.2.2.
4.3 Diferenciabilidade de n´ucleos positivos definidos 57
Teorema 4.3.3. Seja d um inteiro maior ou igual a 8. Se K ´e um n´ucleo cont´ınuo,
isotr´opico e positivo definido sobre Pd(H), ent˜ao a parte isotr´opica Kd
r de K ´e conti- nuamente diferenci´avel sobre (−1, 1). Al´em disso a derivada (Kd
r)′ satisfaz (1 − t2)(Krd)′(t) = f1(t) − f2(t), t ∈ (−1, 1),
em que f1 e f2 s˜ao partes isotr´opicas de dois n´ucleos cont´ınuos, isotr´opico e positivos definidos sobre Pd/2−2(C), se d ∈ 8Z++ 8 e sobre Pd/2(C), se d ∈ 8Z++ 12.
Demonstra¸c˜ao: Seja K um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre
Pd(H). Como d ∈ 4Z+, h´a dois casos a se considerar:
Caso d ∈ 8Z++ 12:
Aqui, temos d/2 + 2 ∈ 4Z+. Em particular, como d/2 + 2 < d, ent˜ao os itens (iv) e (vi) do Lema 1.1.1 nos garantem que
Pd/2+2(H) ֒→ Pd(H) e Pd/2(C) ֒→ Pd(H).
Retornando agora `a caracteriza¸c˜ao fornecida pelo Teorema 1.2.1, temos que Krd∈ Ld/4,11 [−1, 1] ∩ Ld/4−1,01 [−1, 1].
Neste caso, as hip´oteses do Teorema 4.2.2 est˜ao satisfeitas com α = d/4 − 1 e β = 0. Portanto, uma aplica¸c˜ao deste resultado nos garante a afirma¸c˜ao do teorema no primeiro caso.
Caso d ∈ 8Z++ 16;
Para estes valores de d, os mergulhos isom´etricos s˜ao
Pd/2(H) ֒→ Pd(H) e Pd/2−2(C) ֒→ Pd(H)
Portanto, de maneira an´aloga ao caso anterior, temos que Krd∈ Ld/4−1,11 [−1, 1] ∩ Ld/4−2,01 [−1, 1],
e o mesmo procedimento nos conduz `a afirma¸c˜ao do teorema. Finalmente, se d = 8, basta aplicar um m´etodo similar ao utilizado no fim da demonstra¸c˜ao anterior, por´em
usando o fato de que P4(H) ´e isometricamente isomorfo `a esfera unit´aria S4 como
garantido pelo Lema 1.1.2-(iii).
Teorema 4.3.4. Se K ´e um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre P16(Cay), ent˜ao a parte isotr´opica K16
r de K ´e continuamente diferenci´avel sobre
(−1, 1). Al´em disso a derivada (K16
r )′ satisfaz
(1 − t2)(Kr16)′(t) = f1(t) − f2(t), t ∈ (−1, 1),
em que f1 e f2 s˜ao partes isotr´opicas de dois n´ucleos cont´ınuos, isotr´opicos e positivos definidos sobre S2.
Demonstra¸c˜ao: Seja K um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre
P16(Cay). Combinando as ´ultimas trˆes afirma¸c˜oes do Lema 1.1.1, obtemos que P4(H) ֒→ P16(Cay).
Sabemos ainda que, via o Lema 1.1.2-(iii), P4(H) ´e isometricamente isomorfo `a esfera unit´aria S4. Por outro lado, utilizando novamente o ´ıtem (i) do Lema 1.1.1, sabemos que
S2 ֒→ S4. Portanto, procedendo como anteriormente, segue que
Kr16∈ L1,11 [−1, 1] ∩ L0,01 [−1, 1].
Assim, uma aplica¸c˜ao do Teorema 4.2.2 com α = β = 0 nos leva `a conclus˜ao do teorema.
Finalizamos com o caso esf´erico. Conforme salientado no in´ıcio do cap´ıtulo, este caso j´a foi estudado em [49], por´em ´e poss´ıvel demonstrar tal resultado de uma maneira alternativa utilizando argumentos an´alogos aos apresentados nesta se¸c˜ao.
Teorema 4.3.5. Seja d um inteiro maior ou igual a 3. Se K ´e um n´ucleo cont´ınuo, iso- tr´opico e positivo definido sobre Sd, ent˜ao a parte isotr´opica Kd
r de K ´e continuamente
diferenci´avel sobre (−1, 1). Al´em disso, a derivada de (Kd
r)′ satisfaz (1 − t2)(Krd)′(t) = f1(t) − f2(t), t ∈ (−1, 1),
em que f1 e f2 s˜ao partes isotr´opicas de dois n´ucleos cont´ınuos, isotr´opicos e positivos definidos sobre Sd−2.
Demonstra¸c˜ao: Seja K um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre Sd. Via o Lema 1.1.1-(i), temos que
4.3 Diferenciabilidade de n´ucleos positivos definidos 59
Atrav´es da representa¸c˜ao fornecida pelo Teorema 1.2.1, sabemos que Krd∈ L(d−2)/2,(d−2)/21 [−1, 1] ∩ L(d−4)/2,(d−4)/21 [−1, 1],
logo as hip´oteses do Teorema 4.2.2 est˜ao satisfeitas com α = β = (d − 4)/2. Uma aplica¸c˜ao deste mesmo resultado garante a afirma¸c˜ao do teorema
A reuni˜ao dos cinco resultados acima se resume no teorema a seguir.
Teorema 4.3.6. Seja d um inteiro suficientemente grande. Se K ´e um n´ucleo con-
t´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre Md, ent˜ao a parte isotr´opica Kd
r de K ´e
continuamente diferenci´avel sobre (−1, 1). Al´em disso, a derivada de (Kd
r)′ satisfaz (1 − t2)d
dtK d
r(t) = f1(t) − f2(t), t ∈ (−1, 1),
em que f1 e f2 s˜ao partes isotr´opicas de dois n´ucleos cont´ınuos, isotr´opicos e positivos definidos sobre M. Especificamente:
(i) Se Md= Sd, ent˜ao M = Sd−2 e d ≥ 3;
(ii) Se Md= Pd(R), ent˜ao M = Pd−2(R) e d ≥ 3 ; (iii) Se Md= Pd(C), ent˜ao M = Pd−2(C) e d ≥ 4 ;
(iv) Se Md = Pd(H), ent˜ao M = Pd/2−2(C), quando d ∈ 8Z+ + 8 e M = Pd/2(C),
quando d ∈ 8Z++ 12 e d ≥ 8;
(v) Se Md= P16(Cay), ent˜ao M = S2.
Seja K um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre Md satisfazendo as hip´oteses do teorema acima. Ap´os aplicarmos o Teorema 4.3.6, podemos invocar
novamente este mesmo resultado, por´em considerando agora os n´ucleos cujas partes
isotr´opicas s˜ao as fun¸c˜oes f1 e f2 que decomp˜oe a derivada da parte isotr´opica de K. Podemos ent˜ao “refazer este processo” at´e esgotar a dimens˜ao do espa¸co. Uma an´alise cuidadosa deste procedimento leva `a seguinte extens˜ao do Teorema 4.3.6.
Teorema 4.3.7. Seja d um inteiro suficientemente grande. Se K um n´ucleo cont´ınuo,
isotr´opico e positivo definido sobre Md, ent˜ao a parte isotr´opica Kd
r de K possui a
seguinte ordem de diferenciabilidade em (−1, 1): (i) Se Md= Sd, ent˜ao Kd
r ´e de classe C⌊(d−1)/2⌋; (ii) Se Md= Pd(R), ent˜ao Kd
(iii) Se Md = Pd(C), ent˜ao Kd
r ´e de classe C(d−2)/2; (iv) Se Md= Pd(H), ent˜ao Kd
r ´e de classe C(d−4)/4 if d ∈ 8Z++ 8, e de classe Cd/4 if
d ∈ 8Z++ 12;
(v) Se Md = P16(Cay), ent˜ao K16
r ´e de classe C1.
Finalizamos o cap´ıtulo com uma aplica¸c˜ao envolvendo a caracteriza¸c˜ao obtida no Cap´ıtulo 2 e o Teorema 4.3.6. Nosso objetivo aqui ´e responder `a seguinte quest˜ao: Se a positividade definida do n´ucleo K for substitu´ıda pela positiva definida estrita, o que pode ser dito em rela¸c˜ao `as fun¸c˜oes f1 e f2 resultantes da decomposi¸c˜ao da derivada de Kd
r? Tal resposta encontra-se em nosso pr´oximo resultado.
Teorema 4.3.8. Sob as hip´oteses so Teorema 4.3.6, se o n´ucleo K ´e estritamente
positivo definido sobre Md, ent˜ao as fun¸c˜oes f1 e f2 s˜ao, na verdade, partes isotr´opicas de n´ucleos cont´ınuos, isotr´opicos e estritamente positivos definidos sobre M.
Demonstra¸c˜ao: Como a ideia da demonstra¸c˜ao segue a mesma linha em todos os
casos, apresentamos uma justificativa apenas para o item (ii). Seja ent˜ao K um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e estritamente positivo definido sobre Pd(R). Pela Proposi¸c˜ao 1.3.4, K ´e um n´ucleo estritamente positivo definido sobre Pd−2(R). Em particular, atrav´es da caracteriza¸c˜ao apresentada na Se¸c˜ao 2, temos que aα−1,−1/2n (Krd) > 0 para infinitos inteiros n, o mesmo acontecendo com os coeficientes aα,−1/2n (Krd). Observemos agora que, da demonstra¸c˜ao apresentada para o Teorema 4.3.6, sabemos que
f1 = ∞ X n=0 bα−1,β n Rα−1,βn e f2 = ∞ X n=2 bα,βn + bα,βn−1Rα−1,βn , em que bα−1,β n e b α,β
n−1 s˜ao m´ultiplos positivos de aα−1,βn (Krd) e aα,βn (Krd) respectivamente. Consequentemente, bα−1,−1/2n > 0 para infinitos inteiros n, o mesmo ocorrendo com bα,−1/2n + bα,−1/2n−1 . Assim, pelo Teorema 2.2.1 segue que f1 e f2 s˜ao partes isotr´opicas de n´ucleos estritamente positivos definidos sobre Pd−2(R).
Considera¸c˜oes finais
Os teoremas sobre CD-positividade definida estrita apresentados na Se¸c˜ao 3.2 n˜ao implicam uma caracteriza¸c˜ao para este conceito de positividade definida estrita de n´u- cleos cont´ınuos, isotr´opicos e positivos definidos sobre os espa¸cos projetivos reais, apesar dos Teoremas 3.2.4 e 3.2.5 ainda serem v´alidos neste caso. Os argumentos utilizados para se obter condi¸c˜oes necess´arias naquela se¸c˜ao n˜ao se aplicam no caso de espa¸cos projetivos reais pois n˜ao h´a garantias de que q ≥ 2 no Lema 1.1.3, e n˜ao existe uma vers˜ao do Teorema 3.2.3 para o caso em que uma das esferas ´e um S1.
Ao abordarmos n´ucleos positivos definidos sobre produtos de espa¸cos compactos
2-homogˆeneos, seria poss´ıvel ter considerado um conceito de positividade definida es- trita intermedi´ario: poder´ıamos exigir componentes distintas t˜ao somente para um dos espa¸cos envovlvidos. N˜ao tivemos tempos de analisar esta possibilidade neste trabalho mas pretendemos faze-lo em um futuro pr´oximo.
Os resultados demonstrados no Cap´ıtulo 2 fazem parte do artigo [8] j´a publicado. J´a os resultados descritos no Cap´ıtulo 3, foram incluidos no artigo [7], o qual est´a submetido para publica¸c˜ao. Aqueles descritos no Cap´ıtulo 4, fazem parte do artigo [5] j´a publicado.
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´Indice Remissivo
F (a, b; c; z), 14 JK, 28 Jk K, 35 JKi,j, 35 JK,i, 40 JK,p, 40 Kd r, 4 Kd,d′ r , 22 L1([−1, 1]2, σd′ d), 23 Lα,β1 [−1, 1], 8 Pα,β n , 5 Pα,β n (1), 5 Rα,β n , 5 Γx, 4 δ(k, d), 11 Hd k, 11 σd, 11 σd′ d, 23 F 2 1, 13 aα,β n , 9 ak,l, 23 hα,β n , 5 Coeficiente de Fourier-Jacobi, 9, 47, 52 Espa¸co compacto 2-homogˆeneo, 2 Expans˜ao de Fourier-Jacobi, 9F´ormula
de Adi¸c˜ao, 11 de Funk-Hecke, 13 de Poisson, 14
de recorrˆencia para polinˆomios de Ja- cobi, 10
geradora, 13
Fun¸c˜ao hipergeom´etrica de Gauss, 13 Harmˆonico esf´erico, 11
Isomorfismo isom´etrico, 3 Mergulho isom´etrico, 3 N´ucleo
CD-estritamente positivo definido, 28
estritamente positivo definido, I, 15, 35
isotr´opico, 4, 22 positivo definido, I, 21
Operador de Laplace-Beltrami, 11 Parte isotr´opica de um n´ucleo, 4 Polinˆomio
de Gegenbauer, 5 de Jacobi, 5
Produto de Schur, 22
Propriedade da 2-homogeneidade, 1 Variedade antipodal, 3