Núcleos positivos definidos em espaços 2-homogêneos

Núcleos positivos definidos em espaços

2-homogêneos

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura:_______________________

Victor Simões Barbosa

Núcleos positivos definidos em espaços 2-homogêneos

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências – Matemática. VERSÃO REVISADA

Área de Concentração: Matemática

Orientador: Prof. Dr. Valdir Antonio Menegatto

USP – São Carlos

SB228n

Simões Barbosa, Victor

Núcleos positivos definidos em espaços 2-homogêneos / Victor Simões Barbosa; orientador Valdir Antonio Menegatto. -- São Carlos, 2016. 70 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2016.

Victor Simões Barbosa

Positive definite kernels on two-point homogeneous spaces

Doctoral dissertation submitted to the Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for the degree of the Doctorate Program in Mathematics. FINAL VERSION

Concentration Area: Mathematics

Advisor: Prof. Dr. Valdir Antonio Menegatto

USP – São Carlos

Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente a Deus por sempre me iluminar e n˜ao me deixar desistir diante das dificuldades, permitindo assim que eu alcan¸casse todos os meus objetivos.

Aos meus pais, Gisele e Hamilton, e aos meus irm˜aos, Amanda e Z´e Luiz, que sempre acreditaram no meu potencial e n˜ao mediram esfor¸cos para que eu pudesse chegar at´e aqui. Eu sequer poderia sonhar com tudo isso se n˜ao fosse por vocˆes.

Aos funcion´arios e amigos do ICMC, em especial: Ana Maria, Badar´o, Carol, Dione, Fera, Fernando, Ginnara, Jackson, Jean, Jord˜ao, Marilu, Matheus PAC, Mendes, Mirna, Mostafa, North˜ao, Paty, Pedro, Rafa, Raf˜ao, Rodrigol, Thellis e Z´e, por participarem dessa complicada caminhada e pelos descontra´ıdos caf´es di´arios.

A todos os demais amigos e colegas que contribu´ıram, direta ou indiretamente, para que eu superasse todos os obst´aculos.

Ao professor Valdir Menegatto, n˜ao apenas pela orienta¸c˜ao, mas por toda a confian¸ca, paciˆencia e dedica¸c˜ao neste per´ıodo.

Resumo

Neste trabalho analisamos a positividade definida estrita de n´ucleos cont´ınuos sobre um espa¸co compacto 2-homogˆeneo. R. Gangolli (1967) apresentou uma caracteriza¸c˜ao completa para os n´ucleos que s˜ao cont´ınuos, isotr´opicos e positivos definidos sobre um espa¸co compacto 2-homogˆeneoMd_{: a parte isotr´opica do} n´ucleo ´e uma s´erie de Fourier uniformemente convergente, com coeficientes n˜ao negativos, em rela¸c˜ao a certos polinˆomios de Jacobi atrelados a Md_{. Uma das contribui¸c˜oes de nosso trabalho} ´e uma caracteriza¸c˜ao para a positividade definida estrita de tais n´ucleos, complementando a caracteriza¸c˜ao apresentada por Chen et al. (2003) no caso em que Md _{´e uma esfera unit´aria de} di-mens˜ao maior ou igual a 2. Outra contribui¸c˜ao do trabalho ´e uma extens˜ao do resultado de Gangolli para n´ucleos sobre produtos cartesianos de espa¸cos compactos 2-homogˆeneos, e a consequente caracteriza¸c˜ao para n´ucleos estritamente positivos definidos neste mesmo contexto. Por fim, a ´ultima contribui¸c˜ao do trabalho en-volve a an´alise do grau de diferenciabilidade da parte isotr´opica de um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobreMd _{e a} aplicabilidade de tal an´alise em resultados envolvendo a positivi-dade definida estrita.

Abstract

In this work we analyze the strict positive definiteness of con-tinuous kernels on compact two-point homogeneous spacesMd_{. R.} Gangolli (1967) presented a complete characterization for conti-nuous, isotropic and positive definite kernels on Md_{: the isotropic} part of the kernel is a uniformly convergent Fourier series of cer-tain Jacobi polynomials associated toMd_{, with nonnegative} coef-ficients. One of the contributions of our work is a characterization for the strict positive definiteness of such kernels, completing that one presented by Chen et al. (2003) in the case Md _{is the unit} sphere of dimension at least 2. Another contribuition of this work is an extension of Gangolli’s result for kernels on a product of compact two-point homogeneous spaces, and the subsequent cha-racterization of strict positive definiteness in this same context. Finally, the last contribution in this work involves the analysis of the differentiability of the isotropic part of a continuous, isotropic and positive definite kernel on Md _{and the applicability of such} analysis in results involving the strict positive definiteness.

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao I

1 Preliminares 1

1.1 Espa¸cos compactos 2-homogˆeneos . . . 1

1.2 Positividade definida e isotropia . . . 4

1.3 Polinˆomios de Jacobi . . . 5

1.4 Expans˜oes de Fourier-Jacobi . . . 8

1.5 F´ormula de adi¸c˜ao e suas consequˆencias . . . 11

1.6 F´ormula geradora e as fun¸c˜oes hipergeom´etricas . . . 13

2 Positividade definida estrita 15 2.1 Condi¸c˜ao necess´aria . . . 15

2.2 Condi¸c˜ao suficiente . . . 17

3 Positividade definida estrita em produtos de espa¸cos 2-homogˆeneos 21 3.1 Positividade definida . . . 21

3.2 CD-positividade definida estrita . . . 28

3.3 Positividade definida estrita . . . 35

4 Diferenciabilidade 45 4.1 Diferenciando expans˜oes de Fourier-Jacobi . . . 45

4.2 Diferenciando expans˜oes de Fourier-Jacobi II . . . 52

4.3 Diferenciabilidade de n´ucleos positivos definidos . . . 55

Considera¸c˜oes finais 61

Introdu¸

c˜

ao

Os estudos apresentados neste trabalho envolvem primariamente n´ucleos positivos definidos sobre um conjunto n˜ao vazio X. Uma fun¸c˜ao K : X×X → R _{´e um n´ucleo}

positivo definido (ou simplesmente n´ucleo PD) quando

n

X

µ=1

n

X

ν=1

cµcνK(xµ, xν)≥0, (1)

para qualquer subconjunto{x1, x2, . . . , xn} deX e quaisquer n´umeros reais c1, c2, . . . ,

cn, independentemente da cardinalidade n. Um n´ucleo positivo definido K sobre X

´e dito ser estritamente positivo definido (ou n´ucleo SPD) se as desigualdades anterio-res s˜ao estritas, quando pelo menos um dos escalaanterio-res cµ ´e n˜ao nulo. Dependendo do

contexto, a defini¸c˜ao acima pode incorporar a continuidade de K ou alguma outra propriedade desej´avel para K ou X.

Os n´ucleos positivos definidos aparecem em v´arios segmentos da Matem´atica, in-cluindo ´Algebra Linear, An´alise Funcional, Estat´ıstica, Geomatem´atica, Teoria da Aproxima¸c˜ao, etc ([4, 6, 15, 19, 47]). Por exemplo, em estat´ıstica eles s˜ao fun¸c˜oes de covariˆancia atreladas a campos randˆomicos especiais sobre a esfera 3-dimensional, uma vez que tal espa¸co modela naturalmente a superf´ıcie terrestre ([32]). J´a no artigo recente [48], o autor utiliza modelos ideais de n´ucleos positivos definidos para estudar problemas de interpola¸c˜ao e desenvolver algoritmos que resolvam certas quest˜oes em otimiza¸c˜ao e probabilidade. Provavelmente a Teoria do Aprendizado ([16, 17]) ´e a ´area de pesquisa mais recente onde tais n´ucleos desempenham um papel relevante.

Neste projeto, analisamos algumas quest˜oes referentes a n´ucleos positivos definidos no caso em que X ´e um espa¸co compacto 2-homogˆeneo. Estes espa¸cos m´etricos foram estudados e caracterizados por Wang ([46]) usando t´ecnicas de geometria e an´alise cl´assica. Todos eles apresentam propriedades de simetria e invariˆancia bem definidas,

as quais possibilitam, e as vezes simplificam, a an´alise de problemas que envolvem tais espa¸cos. Os resultados principais deste trabalho resolvem alguns destes problemas.

Inicialmente apresentamos alguns conceitos preliminares visando entender mais a fundo a natureza dos espa¸cos compactos 2-homogˆeneos. Introduzimos algumas nomen-claturas para os n´ucleos definidos sobre tais espa¸cos, considerando especificamente a continuidade, isotropia, positividade definida e positividade definida estrita deles. Uma vez que a parte isotr´opica de um n´ucleo positivo definido sobre esses espa¸cos possui uma expans˜ao de Fourier-Jacobi bem peculiar, apresentamos tamb´em uma breve dis-cuss˜ao sobre expans˜oes de Fourier via polinˆomios de Jacobi, al´em de analisar algumas propriedades espec´ıficas destes polinˆomios. Abordamos a f´ormula de adi¸c˜ao que re-laciona os polinˆomios de Jacobi com os harmˆonicos esf´ericos associados aos espa¸cos, e deduzimos algumas consequˆencias deste resultado que s˜ao pertinentes ao trabalho. Conclu´ımos o primeiro cap´ıtulo estudando uma f´ormula geradora para os polinˆomios de Jacobi atrav´es da fun¸c˜ao hipergeom´etrica de Gauss.

O Cap´ıtulo 2 j´a contempla um dos objetivos da tese. Apresentamos uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente sobre um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre um espa¸co compacto 2-homogˆeneo de modo que ele seja estritamente positivo definido. Tal caracteriza¸c˜ao ´e obtida atrav´es de f´ormulas assint´oticas para polinˆomios de Jacobi e de variedades antipodais ligadas a pontos no espa¸co 2-homogˆeneo. Esta an´alise engloba um estudo inicial realizado por Chen et al. ([14]) no qual os autores j´a resolvem este mesmo problema no caso particular em que o espa¸co 2-homogˆeneo ´e uma esfera unit´aria

d-dimensional com d≥2.

O objetivo do Cap´ıtulo 3 ´e estender o resultado obtido no Cap´ıtulo 2 para n´ucleos sobre produtos de espa¸cos compactos 2-homogˆeneos. De imediato houve a necessidade de se obter uma caracteriza¸c˜ao para os n´ucleos cont´ınuos, isotr´opicos e positivos defi-nidos sobre um tal produto, isto ´e, uma generaliza¸c˜ao do resultado de Gangolli ([20]) para produtos de espa¸cos 2-homogˆeneos. Optamos por uma t´ecnica diferente, utili-zando a representa¸c˜ao de polinˆomios de Jacobi via a fun¸c˜ao hipergeom´etrica de Gauss e propriedades da fun¸c˜ao gama.

Introdu¸c˜ao III

Cap´ıtulo

1

Preliminares

Apresentamos neste cap´ıtulo as ferramentas b´asicas para o desenvolvimento do tra-balho. Inicialmente tratamos de algumas caracter´ısticas dos espa¸cos compactos 2-homogˆeneos. Exibimos uma classifica¸c˜ao para tais espa¸cos, relembramos alguns re-sultados envolvendo isometrias e estudamos o conceito de positividade definida e iso-tropia para n´ucleos sobre um espa¸co 2-homogˆeneo. Na sequˆencia apresentamos uma caracteriza¸c˜ao para n´ucleos isotr´opicos e positivos definidos sobre espa¸cos compactos 2-homogˆeneos. Como esta caracteriza¸c˜ao envolve os polinˆomios de Jacobi, exibimos algumas propriedades destes polinˆomios que ser˜ao ´uteis no decorrer dos pr´oximos cap´ı-tulos. Finalizamos com uma r´apida discuss˜ao sobre a F´ormula de Adi¸c˜ao e uma f´ormula geradora para os polinˆomios de Jacobi, explicitando as consequˆencias mais relevantes de tais f´ormulas para este trabalho.

1.1

Espa¸

cos compactos 2-homogˆ

eneos

A propriedade que caracteriza a 2-homogeneidadede um espa¸co m´etrico (M, d) ´e a existˆencia de uma isometriaϕ :M →M com a seguinte caracter´ıstica: se x1, y1, x2, y2

s˜ao elementos deM tais qued(x1, y1) =d(x2, y2), ent˜aoϕ(x1) =ϕ(x2) eϕ(y1) = ϕ(y2).

Por exemplo, no c´ırculoS1_deR2 _{munido de sua distˆancia geod´esica usual, uma rota¸c˜ao}

conveniente faz o papel de uma tal isometria. Os primeiros tratamentos sobre espa¸cos 2-homogˆeneos que conseguimos localizar s˜ao [10, 12, 46].

No contexto da geometria diferencial, espa¸cos compactos 2-homogˆeneos correspon-dem aos espa¸cos compactos globalmente sim´etricos e de posto 1 ([29]). Em particular, espa¸cos compactos 2-homogˆeneos s˜ao variedades riemannianas. Neste trabalho utiliza-mos o s´ımboloMd _{para denotar um espa¸co 2-homogˆeneo de dimens˜aod. As geometrias} destes espa¸cos s˜ao similares, o que permite trat´a-los de maneira globalizada.

Todas as geod´esicas em um espa¸co compacto 2-homogˆeneo s˜ao fechadas e tem o mesmo comprimento, a saber, duas vezes o diˆametro do espa¸co. Desta forma, podemos normalizar a m´etrica riemanniana em cada espa¸co compacto 2-homogˆeneo de modo que o diˆametro de cada um deles seja igual a 2π. Em outras palavras, se denotarmos por |xy|a distˆancia entre dois pontos xe y emMd_{, ent˜ao|xy| ≤2π. Em particular, se} Md_=Sd_{, temos que}

cos (|xy|/2) =x·y, x, y ∈Md_, onde “·” ´e o produto interno usual deRd+1_.

Em 1952, Wang ([46]) classificou os espa¸cos compactos 2-homogˆeneos como aqueles pertencentes a uma das seguintes categorias:

(i) Esfera unit´aria Sd_{, d= 1,2, . . .;}

(ii) Espa¸co projetivo real Pd₍R_{),d= 2,3, . . .;}

(iii) Espa¸co projetivo complexo Pd₍C_{), d= 4,6, . . .;}

(iv) Espa¸co projetivo quaterniˆonico Pd_{(H),d= 8,12, . . .;}

(v) Plano projetivo de Cayley Pd_{(Cay), d= 16.}

Em geral, esta classifica¸c˜ao tem car´ater decisivo na an´alise de problemas que envol-vem os espa¸cos compactos 2-homogˆeneos, como pode ser notado em [2, 13, 20, 30, 34, 40].

Neste trabalho os espa¸cos compactos 2-homogˆeneos ser˜ao tratados de uma maneira unificada, ou seja, raramente necessitaremos de propriedades espec´ıficas de cada um deles. Em casos pontuais, algumas propriedades ser˜ao explicitadas. Uma particulari-dade dos espa¸cos compactos 2-homogˆeneos ´e que podemos encontrar c´opias isom´etricas de alguns deles dentro de outros. Formalizamos esta ideia no par´agrafo abaixo.

Se (M1, d1) e (M2, d2) s˜ao espa¸cos m´etricos, ummergulho isom´etricode M1 em M2

´e uma fun¸c˜ao φ:M1 →M2 tal que

1.1 Espa¸cos compactos 2-homogˆeneos 3

EscrevemosM1 ֒→M2 para indicar a existˆencia de um mergulho isom´etrico deM1 em

M2. O resultado a seguir (ver [1, p.66] e as referˆencias l´a contidas) descreve todos os

mergulhos isom´etricos que ser˜ao ´uteis neste trabalho.

Lema 1.1.1. Os seguintes mergulhos isom´etricos existem:

(i) Sd _֒→Sd+1_{, d= 1,2, . . .;}

(ii) Pd₍R_)֒→Pd+1₍R_{), d= 2,3, . . .;} (iii) Pd₍C_)֒→Pd+2₍C_{), d= 4,6, . . .;} (iv) Pd₍H_)֒→Pd+4₍H_{), d= 8,12, . . .;}

(v) Pd₍R_)֒→P2d₍C_{), d= 2,3, . . .;} (vi) P2d₍C_)֒→P4d₍H_{), d= 2,3, . . .;} (vii) P8₍H_)֒→P16_(Cay).

Uma consequˆencia ´obvia do lema anterior ´e que h´a um mergulho isom´etrico de S1

em qualquer outro espa¸co compacto 2-homogˆeneo.

O lema a seguir descreve uma propriedade pontual sobre mergulhos isom´etricos ([21, p. 88]). No segue, um isomorfismo isom´etrico entre espa¸cos m´etricos referir-se-´a a um mergulho isom´etrico de um deles no outro.

Lema 1.1.2. H´a um isomorfismo isom´etrico entre os seguinte espa¸cos:

(i) P1₍R_{) e S}1_; (ii) P2₍C_{) e S}2_; (iii) P4₍H_{) e S}4_.

O proposi¸c˜ao abaixo ´e uma consequˆencia dos dois lemas anteriores.

Lema 1.1.3. Se d ≥ 2, ent˜ao existe q ≥ 1, tal que Sq _{֒→ M}d_{. Em particular, se}

Md ₆₌Pd₍R_{), ent˜ao podemos assumir que q≥2 na afirma¸c˜ao anterior.}

A variedade antipodal de um ponto x deMd _{´e o conjunto}

´

E importante observar neste ponto que este conceito carrega, conforme explicado previamente, a normaliza¸c˜ao adotada para a m´etrica do espa¸co Md_.

O lema a seguir descreve como s˜ao as variedades antipodais em um espa¸co compacto 2-homogˆeneo. Os argumentos que justificam o lema est˜ao fracionados nas referˆencias [13, 30, 39, 44].

Lema 1.1.4. Seja x um ponto fixado em Md_.

(i) Se Md _=Sd _{ent˜ao Γx ´e o conjunto unit´ario {−x};}

(ii) Se Md ₌Pd₍R_{), ent˜ao Γx ´e isometricamente isomorfo a} Pd−1₍R_); (iii) Se Md _=Pd_{(C), ent˜ao Γ}

x ´e isometricamente isomorfo a Pd−2(C);

(iv) Se Md ₌Pd₍H_{), ent˜ao Γx ´e isometricamente isomorfo a} Pd−4₍H_); (v) Se Md ₌Pd_{(Cay), ent˜ao Γx ´e isometricamente isomorfo a S}8_.

1.2

Positividade definida e isotropia

Consideramos apenas n´ucleos sobre Md _{que s˜ao cont´ınuos. A continuidade de um} n´ucleo ´e definida atrav´es da distˆancia introduzida na se¸c˜ao anterior.

A isotropia de um n´ucleo K sobre Md _{refere-se ao fato de que}

K(x, y) =K_rd(cos (|xy|/2)), x, y ∈Md_,

para alguma fun¸c˜ao Kd

r : [−1,1] → R, aqui chamada de parte isotr´opica (ou radial)

de K. Obviamente o ´ındice inferior r est´a atrelado `a palavra radial, enquanto que o ´ındice superior d refere-se `a dimens˜ao da variedade envolvida. Um n´ucleo K cont´ınuo

e isotr´opico sobre Md _{´e um n´ucleo como na igualdade acima, onde K}d

r ´e uma fun¸c˜ao

cont´ınua em [−1,1].

Os n´ucleos cont´ınuos, isotr´opicos e positivos definidos sobre os espa¸cos compactos 2-homogˆeneos j´a foram caracterizados h´a um bom tempo. I. J. Schoen-berg ([42]) caracterizou-os no caso esf´erico (Md_=Sd_{) enquanto que R. Gangolli ([20])} apresentou uma caracteriza¸c˜ao v´alida em todos os espa¸cos. Em resumo temos o seguinte resultado.

Teorema 1.2.1. Seja K um n´ucleo cont´ınuo e isotr´opico sobre Md_{. Uma condi¸c˜ao}

1.3 Polinˆomios de Jacobi 5

possua uma representa¸c˜ao em s´erie na forma

K_rd(t) =

∞

X

k=0

aα,β_k P_kα,β(t), t∈[−1,1], (1.1)

onde aα,β_k ∈[0,∞), k ∈Z_{+, P}α,β

k indica o polinˆomio de Jacobi de grau k associado ao

par (α, β) e P∞

k=0a

α,β

k P

α,β

k (1) < ∞. O ´ındice α depende t˜ao somente da dimens˜ao d

e vale α = (d−2)/2, enquanto que o ´ındice β assume os valores (d−2)/2, −1/2, 0,

1 ou 3, dependendo da respectiva categoria `a qual Md _{pertence dentre aquelas obtidas}

por Wang e descritas na Se¸c˜ao 1.1.

1.3

Polinˆ

omios de Jacobi

Esta se¸c˜ao cont´em algumas informa¸c˜oes sobre os polinˆomios de Jacobi. Referˆencias cl´assicas sobre este tema s˜ao [41, 43].

Paraα, β >−1, o conjunto{Pα,β

n :n ∈Z+}dos polinˆomios de Jacobi associados ao

par (α, β) ´e ortogonal em [−1,1] em rela¸c˜ao `a medida usual com peso (1−t)α_{(1 +t)}β_,

isto ´e,

Z 1

−1

P_mα,β(t)P_nα,β(t)(1−t)α(1 +t)βdt=δm,nhα,βn ,

onde

hα,β_n = 2

α+β+1

2n+α+β+ 1

Γ(n+α+ 1)Γ(n+β+ 1)

Γ(n+ 1)Γ(n+α+β+ 1), n ∈Z+. Aqui e em diversos outros lugares do trabalho, Γ indica a fun¸c˜ao gama usual.

Em algumas passagens do texto utilizamos os polinˆomios de Jacobi em sua forma normalizada:

Rα,β_n (t) := P

α,β n (t)

Pnα,β(1)

, t∈[−1,1], n ∈Z_+, em que

P_nα,β(1) =

n+α n

:= Γ(α+n+ 1)

n!Γ(α+ 1) , n ∈Z+.

A seguinte propriedade elementar entrar´a em alguns argumentos `a frente ([43, p.59]):

P_kα,β(−t) = (−1)kP_kβ,α(t), t ∈[−1,1].

Em particular, quando α = β, polinˆomios de Jacobi de grau par s˜ao fun¸c˜oes pares enquanto que os polinˆomios de Jacobi de grau ´ımpar s˜ao fun¸c˜oes ´ımpares. Os polinˆomios

Pα,α

n s˜ao, na verdade, conhecidos como polinˆomios de Gegenbauer.

Lema 1.3.1. Os polinˆomios de Jacobi possuem as seguintes propriedades:

(i) limk→∞Rα,βk (t) = 0, t ∈(−1,1);

(ii) Se α > β, ent˜ao limk→∞Pkβ,α(1)[P α,β

k (1)]−1 = 0.

Demonstra¸c˜ao: A propriedade (i) resulta da formula deduzida em [43, p.196]. No entanto, para os valores de α e β pertinentes ao nosso trabalho (exceto para o caso em que α= 0 =β+ 1/2), podemos obter esse resultado mais rapidamente atrav´es da f´ormula de recorrˆencia ([43, p.71])

(1−t)Rα,β_k (t) = 2α 2k+α+β+ 1

h

Rα_k−1,β(t)−Rα_k+1−1,β(t)i, k ∈Z_{+, t∈(−1,1),} fazendo k → ∞. A f´ormula limite em (ii) segue de

P_kβ,α(1)

P_kα,β(1) =

Γ(α+ 1) Γ(β+ 1)

Γ(k+β+ 1) Γ(k+α+ 1) =k

β−αΓ(α+ 1)

Γ(β+ 1)

Γ(k+α+ 1 + (β−α))

Γ(k+α+ 1)kβ−α , k∈Z+,

e da seguinte f´ormula limite ([41, p. 23])

lim

n→∞

Γ(n+x)

Γ(n)nx = 1, x∈R,

para a fun¸c˜ao gama. De fato,

lim

k→∞

P_kβ,α(1)

P_kα,β(1) = limk→∞k

β−αΓ(α+ 1)

Γ(β+ 1) = 0

uma vez que α > β.

A seguir, apresentamos uma formula de recorrˆencia que envolve derivadas dos po-linˆomios de Jacobi normalizados.

Proposi¸c˜ao 1.3.2. Os polinˆomios Rα,β

n satisfazem

(1−t2₎d

dtR

α,β

n =Aα,βn R α,β

n−1+Bnα,βRnα,β+Cnα,βR α,β

n+1, n ≥1,

em que

Aα,βn =

2n(n+β)(n+α+β+ 1) (2n+α+β)(2n+α+β+ 1),

B_nα,β = (α−β) 2n(n+α+β+ 1)

(2n+α+β)(2n+α+β+ 2),

e

1.3 Polinˆomios de Jacobi 7

Demonstra¸c˜ao: A f´ormula (4.5.5) de [43] nos fornece que

(1−t2₎d

dtP

α,β n =A′

α,β

n P

α,β n−1+B′

α,β

n Pnα,β+C′ α,β

n P

α,β

n+1, n≥1,

onde

A′α,β_n = 2(n+α)(n+β)(n+α+β+ 1) (2n+α+β)(2n+α+β+ 1) ,

B′α,β_n = (α−β) 2n(n+α+β+ 1)

(2n+α+β)(2n+α+β+ 2), e

C′α,β

n =−

2n(n+ 1)(n+α+β+ 1) (2n+α+β+ 1)(2n+α+β+ 2).

Normalizando, obtemos

(1−t2)Rα,β_n = P

α,β n−1(1)

Pnα,β(1)

A′α,β_n R_nα,β₋₁+B′α,β_n Rα,β_n +P

α,β n+1(1)

Pnα,β(1)

C′α,β_n Rα,β_n+1.

Como

P_nα,β₋₁(1)

Pnα,β(1)

= n

n+α,

e

P_nα,β₊₁(1)

Pnα,β(1)

= n+α+ 1

n+ 1 ,

a f´ormula do enunciado segue.

Conclu´ımos a se¸c˜ao apresentando f´ormulas que decorrem da existˆencia de mergulhos isom´etricos e consequˆencias para positividade definida. Os coeficientesbl

j que aparecem

no enunciado do lema podem ser encontrados de maneira expl´ıcita em [1, p. 63].

Lema 1.3.3. Sejam Md _{e H}d′

espa¸cos compactos 2-homogˆeneos e considere os ´ındices α = (d− 2)/2, α′ _{= (d}′ _{−2)/2, β e β}′ _{como na descri¸c˜ao de Wang. Suponha que}

(α′_{, β}′_{) = (α+c, β), c > 0, α >−1 ou (α}′_{, β}′_{) = (α, β+c) com c ∈Z}

+, β′ >−1. Se

Md _{est´a isometricamente mergulhado em}Hd′_{, ent˜ao existe uma decomposi¸c˜ao da forma}

P_lα′,β′(t) =

l

X

j=0

bl_jP_lα,β_−j(t), l = 0,1, . . . , t∈[−1,1],

em que cadabl

j ´e n˜ao negativo.

Proposi¸c˜ao 1.3.4. Sejam Md _e Hd′ _{espa¸cos compactos 2-homogˆeneos com} Md

isome-tricamente mergulhada em Hd′_{. Se K ´e um n´ucleo isotr´opico e positivo definido sobre} Hd′_{, ent˜aoK}d′

r ´e a parte isotr´opica de um n´ucleo positivo definido sobreMd. Alem diso,

se K ´e estritamente positivo definido sobre Hd′_{, ent˜ao K}d′

r ´e a parte isotr´opica de um

n´ucleo estritamente positivo definido sobre Md_.

Demonstra¸c˜ao: A parte isotr´opicaKd′

r de um n´ucleoK isotr´opico e positivo definido

sobre Hd′ _{tem uma representa¸c˜ao na forma}

K_rd′(t) =

∞

X

k=0

aα_k′,β′P_kα′,β′(t), t∈[−1,1],

como descrita no Teorema 1.2.1. No entanto, nas condi¸c˜oes da proposi¸c˜ao, o lema anterior permite irmos um passo al´em e escrever a s´erie acima na forma

K_rd′(t) =

∞

X

k=0

aα_k′,β′

k

X

j=0

bk_jP_kα,β_−j(t), t∈[−1,1],

com cada bk

j n˜ao negativo. Ajustando, vem que

K_rd′(t) =

∞

X

k=0

" _∞ X

j=0

aα_k+′,β_j′bk_j+j

#

P_kα,β(t), t∈[−1,1].

Como cadabk_j+j´e maior ou igual a zero, cada somaP∞

j=0a

α′_,β′

k+j b k+j

j ´e n˜ao negativa. Logo,

pelo Teorema 1.2.1, Kd′

r ´e a parte isotr´opica de um n´ucleo positivo definido sobre Md.

A ´ultima afirma¸c˜ao da proposi¸c˜ao pode ser justificada por contradi¸c˜ao. Se Kd′

r fosse a

parte isotr´opica de um n´ucleo que ´e positivo definido sobreMd _{mas n˜ao ´e estritamente} positivo definido, poder´ıamos selecionar um n ≥ 1 e pontos distintos x1, x2, . . . , xn

em Md _{com [K}d′

r (cos(|xµxν|/2))] singular. Mas, se φ ´e o mergulho isom´etrico de Md

em Hd′_{, ter´ıamos que [K}d′

r (cos(|φ(xµ)φ(xν)|/2))] seria singular, uma contradi¸c˜ao com a

positividade definida estrita de K em Hd′_.

No Cap´ıtulo 3, utilizaremos extens˜oes da proposi¸c˜ao acima para o caso de n´ucleos sobre um produto de espa¸cos compactos 2-homogˆeneos.

1.4

Expans˜

oes de Fourier-Jacobi

Denotamos porLα,β₁ [−1,1] o conjunto de todas as fun¸c˜oes mensur´aveisf : [−1,1]→

R _{que s˜ao integr´aveis com rela¸c˜ao ao peso (1−t)}α_{(1 +t)}β_{, isto ´e, que satisfazem}

Z 1

−1

1.4 Expans˜oes de Fourier-Jacobi 9

Toda fun¸c˜aof em Lα,β₁ [−1,1] possui uma representa¸c˜ao em s´erie formal de Fourier na forma

f ∼

∞

X

n=0

aα,β_n Rα,β_n ,

onde

aα,β_n := [P

α,β n (1)]2

hα,βn

Z 1

−1

f(t)R(_nα,β)(t)(1−t)α(1 +t)βdt, n∈Z_+. Esta ´e a expans˜ao de Fourier-Jacobi de f e os coeficientes aα,β

n s˜ao chamados de

coeficientes de Fourier-Jacobi de f.

Retornando ao Teorema 1.2.1, vemos ent˜ao que um n´ucleo cont´ınuo e isotr´opicoK

sobreMd_{´e positivo definido se, e somente se, sua parte isotr´opicaK}d

r possui uma s´erie

de Fourier-Jacobi convergente com rela¸c˜ao aos polinˆomios de JacobiRα,β

n , n∈Z+, em

que todos os coeficientes de Fourier-Jacobi aα,β_k s˜ao n˜ao negativos e P∞

n=0aα,βn < ∞,

com α eβ nas condi¸c˜oes estabelecidas anteriormente.

A seguir apresentamos algumas propriedades pontuais dos espa¸cos definidos acima e de fun¸c˜oes pertencentes a estes espa¸cos.

Lema 1.4.1. Sejam α, β >−1. As seguintes inclus˜oes s˜ao v´alidas

Lα,β₁ [−1,1]⊂Lα₁+1,β[−1,1] e Lα,β₁ [−1,1]⊂Lα,β₁ +1[−1,1].

Demonstra¸c˜ao: A f´ormula

Z 1

−1

|f(t)|(1−t)α+1(1 +t)βdt = Z 1

−1

|f(t)|(1−t)α(1 +t)βdt

− Z 1

−1

|f(t)|t(1−t)α(1 +t)βdt,

´e v´alida enquanto as integrais envolvidas s˜ao finitas. Se f ∈Lα,β₁ [−1,1], ´e f´acil ver que ambas as integrais do lado direito da igualdade s˜ao finitas. Assim, f ∈ Lα1+1,β[−1,1].

De forma an´aloga prova-se a outra inclus˜ao.

Nos trˆes pr´oximos lemas descrevemos uma rela¸c˜ao entre os coeficientes de Fourier-Jacobi de uma fun¸c˜ao f levando em conta as inclus˜oes do lema anterior.

Lema 1.4.2. Se f pertence a Lα,β₁ [−1,1], ent˜ao

(α+ 1)aα_n+1,β = (n+α+ 1)(n+α+β+ 1) 2n+α+β+ 1 a

α,β

n −

(n+ 1)(n+β+ 1) 2n+α+β+ 3 a

α,β

Demonstra¸c˜ao: Os argumentos da demonstra¸c˜ao se baseiam na F´ormula (4.5.4) de [43]:

(1−t)Pα+1,β n (t) =

2(n+α+ 1) 2n+α+β+ 2P

α,β n (t)−

2(n+ 1) 2n+α+β+ 2P

α,β

n+1(t), t ∈[−1,1].

Multiplicando-a por f(t)(1−t)α_{(1 +t)}β _{e integrando o resultado, temos que}

Z 1

−1

P_nα+1,β(t)f(t)(1−t)α+1(1 +t)βdt = 2(n+α+ 1)

2n+α+β+ 2 Z 1

−1

P_nα,β(t)f(t)(1−t)α(1 +t)βdt

− 2(n+ 1)

2n+α+β+ 2 Z 1

−1

P_nα,β₊₁(t)f(t)(1−t)α(1 +t)βdt.

Ajustando e lembrando a primeira inclus˜ao do Lema 1.4.1, obtemos

hα+1,β n

Pnα+1,β(1)

aα_n+1,β = 2(n+α+ 1) 2n+α+β+ 2

hα,β n

Pnα,β(1)

aα,β_n − 2(n+ 1) 2n+α+β+ 2

hα,β_n+1 P_nα,β₊₁(1)a

α,β n+1.

Por outro lado, ´e f´acil ver que

2(n+α+ 1) 2n+α+β+ 2

hα,β n

hαn+1,β

Pα+1,β

n (1)

Pnα,β(1)

= (n+α+ 1)(n+α+β+ 1)

(α+ 1)(2n+α+β+ 1) , n∈Z+ e que

2(n+ 1) 2n+α+β+ 2

hα,β_n+1 hαn+1,β

Pα+1,β

n (1)

P_nα,β₊₁(1) =

(n+ 1)(n+β+ 1)

(α+ 1)(2n+α+β+ 3) n∈Z+.

Introduzindo essas duas f´ormulas no que hav´ıamos obtido, deduzimos a igualdade do lema.

Lema 1.4.3. Se f pertence a Lα,β₁ [−1,1], ent˜ao aα,β_n +1 = n+α+β+ 1

2n+α+β+ 1a

α,β

n +

n+ 1 2n+α+β+ 3a

α,β

n+1, n∈Z+.

Demonstra¸c˜ao: Basta utilizar a segunda parte da f´ormula de recorrˆencia [43, (4.5.4)]

(1 +t)P_nα,β+1(t) = 2(n+ 1) 2n+α+β+ 2P

α,β n+1(t) +

2(n+β+ 1) 2n+α+β+ 2P

α,β

n (t), t∈[−1,1].

1.5 F´ormula de adi¸c˜ao e suas consequˆencias 11

Lema 1.4.4. Se f pertence a Lα,β₁ [−1,1], ent˜ao

(α+ 1)aα_n+1,β+1 = (n+α+ 1)(n+α+β+ 2)(n+α+β+ 1) (2n+α+β+ 2)(2n+α+β+ 1) a

α,β n

+ (α−β) (n+ 1)(n+α+β+ 2)

(2n+α+β+ 2)(2n+α+β+ 4)a

α,β n+1

− (n+ 1)(n+ 2)(n+β+ 2) (2n+α+β+ 4)(2n+α+β+ 5)a

α,β

n+2, n ∈Z+.

Demonstra¸c˜ao: Consiste em uma aplica¸c˜ao dos dois lemas anteriores.

1.5

F´

ormula de adi¸

c˜

ao e suas consequˆ

encias

Nesta se¸c˜ao recapitulamos a F´ormula de Adi¸c˜ao e apresentamos uma consequˆencia dela para positividade definida estrita de um n´ucleo sobre Md_{. A f´ormula e resultados} atrelados a ela podem ser encontradas em [11, 23, 33].

Essencialmente, os espa¸cos compactos 2-homogˆeneos admitem um ´unico opera-dor diferencial de segunda ordem invariante ∆d, comumente chamado de operador

de Laplace-Beltrami sobre Md_{. Sendo seu espectro discreto, real e n˜ao positivo, seus} elementos podem ser arranjados em ordem decrescente

0 = λ0 > λ1 > λ2 > . . . .

Denotamos por Hd

k o autoespa¸co de ∆d correspondente ao autovalor λk. ´E sabido

que os espa¸cos Hd

k s˜ao mutuamente ortogonais em L2(Md, σd), onde σd ´e a medida

riemanniana normalizada sobreMd_{. Se escrevemos {S}d

k,1, Sk,d2, . . . , Sk,δd (k,d)} para

deno-tar uma base ortonormal deHd

k em rela¸c˜ao ao produto interno deL2(Md, σd) e δ(k, d)

para a dimens˜ao de Hd

k, a F´ormula de Adi¸c˜ao propriamente dita afirma que

δ(k,d)

X

j=1

S_k,jd (x)Sd

k,j(y) =c α,β

k P

α,β

k (cos (|xy|/2)), x, y ∈Md,

onde

cα,β_k := Γ(β+ 1)(2k+α+β+ 1)Γ(k+α+β+ 1) Γ(α+β+ 2)Γ(k+β+ 1) . Os elementos b´asicosSd

k,j s˜ao comumente chamados de harmˆonicos esf´ericos.

O lema baixo ´e t´ecnico e ser´a utilizado oportunamente.

Lema 1.5.1. Seja K um n´ucleo n˜ao nulo, cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre

Md _{e considere a representa¸c˜ao (1.1) para a parte isotr´opica K}d

x1, x2, . . . , xn pontos distintos de Md e c1, c2, . . . , cn escalares reais. As afirma¸c˜oes a

seguir s˜ao equivalentes:

(i) A forma quadr´atica Pn

µ,ν=1cµcνK(xµ, xν)´e nula;

(ii) A igualdade

n

X

µ=1

cµP_kα,β(cos (|xµx|/2)) = 0

´e v´alida para x∈Md _{e k no conjunto {k :a}α,β

k >0}.

Demonstra¸c˜ao: Escrevemos ct_{Ac para denotar a forma quadr´atica em (i).}

Introdu-zindo (1.1), incluindo a F´ormula de Adi¸c˜ao na forma quadr´atica e organizando, segue que

ctAc =

n

X

µ,ν=1

cµcν

∞

X

k=0

aα,β_k P_kα,β(cos (|xµxν|/2))

=

n

X

µ,ν=1

cµcν

∞

X

k=0

aα,β_k cα,β_k

δ(k,d)

X

j=1

S_k,jd (xµ)Sk,jd (xν)

=

∞

X

k=0

aα,β_k cα,β_k

δ(k,d)

X j=1 n X µ=1

cµSk,jd (xµ)

2 .

Logo, Pn

µ,ν=1cµcνK(xµ, xν) = 0 se, e somente se, n

X

µ=1

cµSk,jd (xµ) = 0, j ∈ {1,2, . . . , δ(k, d)}, k ∈ {k :aα,β_k >0}.

Multiplicando por Sd

k,j(x) e somando sobre o ´ındice j, obtemos

n

X

µ=1

cµ δ(k,d)

X

j=1

Sd

k,j(xµ)Sk,jd (x) = 0, x∈Md, k∈ {k :a α,β k >0}.

Aplicando novamente a F´ormula de Adi¸c˜ao, segue a afirma¸c˜ao apresentada em (ii). Reciprocamente, se (ii) vale, ent˜ao

n

X

µ=1

cµ δ(k,d)

X

j=1

Sk,jd (xµ)Sk,jd (x) = 0, x∈Md, k∈ {k :a α,β k >0},

isto ´e,

δ(k,d)

X

j=1

" _n X

µ=1

cµS_k,jd (xµ)

#

S_k,jd (x) = 0, x∈Md_{, k ∈ {k:a}α,β

1.6 F´ormula geradora e as fun¸c˜oes hipergeom´etricas 13

Como{Sd

k,1, Sk,d2, . . . , Sk,δd (k,d)}´e uma base de Hdk, ent˜ao n

X

µ=1

cµSk,jd (xµ) = 0, j ∈ {1,2, . . . , δ(k, d)}, k∈ {k :aα,β_k >0}.

Se olharmos novamente para os c´alculos apresentados na primeira parte da demonstra-¸c˜ao, vemos que a igualdadect_{Ac= 0 ´e v´alida.}

Finalizaremos a se¸c˜ao com uma importante consequˆencia da F´ormula de Adi¸c˜ao, a chamada F´ormula de Funk-Hecke para harmˆonicos esf´ericos sobre espa¸cos compactos 2-homogˆeneos (veja Proposi¸c˜ao 2.8 e a Observa¸c˜ao 2.9 em [35]).

Teorema 1.5.2. Seja K um n´ucleo cont´ınuo e isotr´opico sobre Md_{. Se y∈}Md_{, ent˜ao}

cada fun¸c˜ao

x∈Md_7→Kd

r(cos(|xy|/2))Sk,jd (x)

pertence a L2(Md_{, σd). Al´em disso,}

Z

Md

Krd(cos(|xy|/2))Sk,jd (x)dσd(x) = dα,βk (K)Sk,jd (y),

em que

dα,β_k (K) =b

Z 1

−1

Rα,β_k (t)K_rd(t)(1−t)α(1 +t)βdt, para uma constante positivab.

1.6

F´

ormula geradora e as fun¸

c˜

oes hipergeom´

etricas

Dentre as muitas f´ormulas geradoras para os polinˆomios de Jacobi, utilizamos neste trabalho aquela dada pelafun¸c˜ao hipergeom´etrica de Gauss₂F₁. Como uma solu¸c˜ao regular da equa¸c˜ao diferencial hipergeom´etrica, a fun¸c˜ao₂F₁ possui uma representa¸c˜ao na forma

F

2 1(a, b;c;z) =

∞

X

n=0

(a)n(b)nzn

(c)nn!

,

em quea, b ec s˜ao parˆametros gen´ericos, z ´e uma vari´avel complexa, e

(λ)n=

Γ(n+λ) Γ(λ) =

λ(λ+ 1)· · ·(λ+n−1), if n≥1

1, if n= 0

´e o s´ımbolo de Pochhammer. A s´erie ´e convergente para |z| <1 se cn˜ao ´e um inteiro negativo e para|z|= 1 se Re (c−a−b)>0 ([43, p. 63]). Para efeito de simplifica¸c˜ao, escrevemos

Algumas referˆencias cl´assicas onde fun¸c˜ao hipergeom´etrica ´e discutida s˜ao [1, 18, 41, 43].

A fun¸c˜ao hipergeom´etrica F ´e diferenci´avel em rela¸c˜ao a z no disco aberto {z ∈C_{:|z|<1} ([45, p. 281]) e vale a f´ormula}

d

dzF(a, b;c;z) = ab

c F(a+ 1, b+ 1;c+ 1;z).

Em particular,

Z z2

z1

F(a, b;c;z)dz =

= c−1

(a−1)(b−1)[F(a−1, b−1;c−1;z2)−F(a−1, b−1;c−1;z1)]. A f´ormula geradora para polinˆomios de Jacobi com base na fun¸c˜ao F ´e a seguinte f´ormula de Poisson ([1, p. 21]):

∞

X

n=0

Pα,β

n (1)Pnα,β(t)rn

hα,βn

=

= Gα,β(r)F

α+β+ 2 2 ,

α+β+ 3

2 ;β+ 1;

2r(1 +t) (1 +r)2

, t ∈[−1,1],

onde

Gα,β(r) := 2

−(α+β+1)_{Γ(α+β+ 2)(1−r)}

Γ(α+ 1)Γ(β+ 1)(1 +r)α+β+2.

O lema t´ecnico a seguir ´e uma consequˆencia dos resultados descritos acima.

Lema 1.6.1. Se α≥β ≥ −1/2 e r∈(−1,1), ent˜ao a s´erie

∞

X

n=0

Pα,β

n (1)Pnα,β(t)rn

hα,βn

´e convergente para todo t ∈[−1,1].

Demonstra¸c˜ao: Se r = 0, o resultado ´e obvio. Por outro lado, tendo em vista a convergˆencia da representa¸c˜ao em s´erie para F, ´e f´acil ver que a s´erie apresentada no enunciado ser´a convergente sempre que

|1 +t|< (1 +r)

2

2|r| . Contudo, um c´alculo simples nos revela que

(1 +r)2 >4|r|, r∈(−1,1)\ {0}.

Cap´ıtulo

2

Positividade definida estrita

O conte´udo deste cap´ıtulo converge para uma caracteriza¸c˜ao dos n´ucleos reais, con-t´ınuos, isotr´opicos e estritamente positivos definidos sobreMd_{,d≥2. As demonstra¸c˜oes} que apresentamos englobam inclusive o caso em queMd _{´e uma esfera de dimens˜ao no}

m´ınimo 2. Tal caso j´a havia sido considerado e resolvido em [14], por´em acreditamos que nossas demonstra¸c˜oes, quando aplicadas neste caso particular, s˜ao mais elegantes. O cap´ıtulo est´a dividido em duas se¸c˜oes: uma tratando da necessidade da condi¸c˜ao apresentada, a outra tratando da suficiˆencia desta condi¸c˜ao.

2.1

Condi¸

c˜

ao necess´

aria

Para um n´ucleo cont´ınuo e isotr´opico sobre Md_{, a positividade definida do n´ucleo} equivale a pedir que, para cada inteiro positivon e cada subconjunto {x1, x2, . . . , xn}

deMd_{, as matrizes}

K_rd(cos (|xµxν|/2))

n

µ,ν=1, (2.1)

s˜ao n˜ao negativas definidas. A positividade definida estrita exige por sua vez que essas matrizes sejam positivas definidas.

As condi¸c˜oes apresentadas no teorema abaixo tem sua motiva¸c˜ao no caso em que Md _=Sd_{,d≥2. De fato, se na expans˜ao (1.1) tivermos t˜ao somente um n´umero finito}

de coeficientes positivos, a geometria deSd _{permite a escolha de um n´umero n grande}

e n pontos distintos devidamente posicionados de modo que o posto da matriz (2.1) seja menor que sua ordem ([37]).

Teorema 2.1.1. Seja K um n´ucleo n˜ao nulo, cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobreMd_{. Considere a representa¸c˜ao (1.1) paraK}d

r. Uma condi¸c˜ao necess´aria para que

K seja estritamente positivo definido ´e que:

(i) Md_6=Sd_{: a}α,β

k >0 para infinitos inteirosk;

(ii) Md_=Sd_{: a}α,β

k >0 para infinitos k pares e infinitos k´ımpares.

Demonstra¸c˜ao: Na primeira parte da demonstra¸c˜ao verificamos que se o conjunto {k : aα,β_k > 0} ´e finito, ent˜ao K n˜ao pode ser estritamente positivo definido sobre Md_{. Seja φ : S}1 _→ Md _{um mergulho isom´etrico conforme garantido no Lema 1.1.1.} Tomemos n pontos distintos x1, x2, . . . , xn em Md de modo que

|xµxν|=|φ−1(xµ)φ−1(xν)|, µ, ν = 1,2, . . . , n,

e consideremos a matriz n×n com entradas K(xµ, xν). Podemos escrever

K(xµ, xν) =Krd(cos(|φ−1(xµ)φ−1(xν)|/2)) = N

X

k=0

aα,β_k P_kα,β(φ−1(xµ)·φ−1(xν)),

em que N := max{k : aα,β_k > 0}. Como {φ−1_(x

1), φ−1(x2), . . . , φ−1(xn)} ´e um

sub-conjunto de R2_{, a matriz de Gram com entradas (φ}−1_(xµ)·φ−1_(xν))k _{tem posto no} m´aximo 2k_{. Desta forma, a matriz [K(x}

µ, xν)]nµ,ν=1 possui posto menor ou igual a

PN

k=02k = 2N+1−1, um n´umero que n˜ao depende de n. Em particular, se n ≥2N+1,

tal matriz n˜ao pode ter posto m´aximo. Isso garante a veracidade da afirma¸c˜ao feita e tamb´em justifica (i). O caso (ii) j´a foi demonstrado em [14], por´em apresentamos os detalhes aqui para a conveniˆencia do leitor. Verifiquemos que, se {k : aα,α_2k > 0} ´e finito, ent˜ao K n˜ao ´e estritamente positivo definido sobre Md_{. A outra metade da} demonstra¸c˜ao ´e similar e os detalhes ser˜ao omitidos. Lembrando que no caso (ii),

α =β = (d−2)/2, se {k :aα,α_2k >0}´e finito, ent˜ao podemos escrever

K_rd(t) =

2N′ X

k=0

aα,α_k P_kα,α(t) + X

k≥2N′₊₁

aα,α_k P_kα,α(t), t ∈[−1,1],

em que N′ _{= max{k :a}α,α

2k >0}. Selecionemos agora 2n pontos distintos y1, y2, . . . , y2n

em Sd _{tais que}

2.2 Condi¸c˜ao suficiente 17

|yµyν|=|φ−1(yµ)φ−1(yν)|, µ, ν = 1,2, . . . ,2n,

e definamos as matrizes A eB de ordem 2n cujas entradas s˜ao dadas respectivamente por

Aµν =Krd(cos (|xµxν|/2)),

e

Bµν =

2N′ X

k=0

aα,α_k P_kα,α(cos (|xµxν|/2)).

Se para µ ∈ {1,2, . . . , n}, cµ ´e o vetor possuindo a µ-´esima e a (n+µ)-´esima

com-ponentes iguais a 1 e as demais iguais a 0, ´e f´acil ver que cµ pertence ao n´ucleo de

A−B. Em particular, o posto de A−B ´e no m´aximo n. Como na primeira parte da demonstra¸c˜ao, o posto de A n˜ao excede 22N′₊₁

−1 +n. Assim, se n > 22N′₊₁

−1, a matrizA n˜ao tem posto m´aximo.

2.2

Condi¸

c˜

ao suficiente

Nesta se¸c˜ao demonstramos que as condi¸c˜oes apresentadas no teorema anterior s˜ao tamb´em suficientes, pelo menos no caso em qued≥2.

Observemos aqui uma particularidade do Lema 1.1.4: Se Md _{n˜ao ´e uma esfera,} ent˜ao para todo pontox em Md_{, a variedade antipodal Γx ´e infinita, ou seja, existem} infinitos y em Md _{tais que cos (|xy|/2) = −1. Por esta raz˜ao usamos as variedades} antipodais na indexa¸c˜ao de alguns somat´orios abaixo.

Teorema 2.2.1. Seja K um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre Md_,

d ≥ 2. Considere a representa¸c˜ao (1.1) para Kd

r. Uma condi¸c˜ao suficiente para que

K seja estritamente positivo definido, ´e que aα,β_k >0 para infinitos k pares e infinitos k ´ımpares. Se α > β, a condi¸c˜ao pode ser enfraquecida para aα,β_k > 0 para infinitos inteiros k.

Demonstra¸c˜ao: Aqui, como no teorema anterior, cabe informar que a demonstra¸c˜ao no caso esf´erico j´a havia sido obtida anteriormente em [14]. Apresentamos uma de-monstra¸c˜ao em todos os casos para conveniˆencia do leitor. Suponha queaα,β_k >0 para infinitosk pares e infinitosk´ımpares. Sejan um inteiro positivo ex1, x2, . . . , xn pontos

distintos em Md_{. Conforme feito anteriormente, escrevamos A para denotar a matriz}

n×n com entradas

Nosso objetivo ´e demonstrar que a igualdade Pn

µ,ν=1cµcνAµν = 0 implica em cµ = 0

para µ = 1,2, . . . , n. Pelo Lema 1.5.1, basta demonstrarmos que a ´unica solu¸c˜ao do sistema

n

X

µ=1

cµPkα,β(cos (|xµx|/2)) = 0, x∈Md, k ∈ {k :aα,βk >0},

´e c1 = c2 = · · · = cn = 0. Para tanto, fixemos um ´ındice arbitr´ario γ ∈ {1,2, . . . , n}.

H´a dois casos a considerar:

Caso 1: cos (|xµxγ|/2)6=−1, µ6=γ.

Escolhendo x=xγ, o sistema reduz-se a

cγPkα,β(1) +

X

µ6=γ

cµPkα,β(cos (|xµxγ|/2)) = 0, k ∈ {k :aα,βk >0}.

Multiplicando ambos os lados por 1/P_kα,β(1), o sistema acima toma a forma

cγ+

X

µ6=γ

cµRα,βk (cos (|xµxγ|/2)) = 0, k ∈ {k:aα,βk >0}.

Como aα,β_k > 0 para infinitos k pares e infinitos k ´ımpares, podemos selecionar uma sequˆencia{kr}r∈Z+ de inteiros positivos de modo quea

α,β

kr >0,r∈Z+e limr→∞kr =∞.

Inserindo esta sequˆencia no sistema, obtemos

cγ+

X

µ6=γ

cµRα,βkr (cos (|xµxγ|/2)) = 0, r∈Z+.

Como |cos (|xµxγ|/2)| 6=−1,µ6=γ, uma aplica¸c˜ao do Lema 1.3.1-(i) nos leva a

0 =cγ+ lim r→∞

X

µ6=γ

cµRα,βkr (cos (|xµxγ|/2)) = cγ,

Caso 2: cos (|xµxγ|/2) =−1, para algum µ6=γ.

Neste caso precisamos considerar a variedade antipodal Γxγ de xγ. A mesma escolha

x=xγ faz com o que o sistema tome a forma

cγ+(−1)k

P_kβ,α(1)

P_kα,β(1) X

xµ∈Γxγ

cµ+

X

xµ6∈Γxγ∪{xγ}

cµRα,βk (cos (|xµxγ|/2)) = 0, k∈ {k :aα,βk >0}.

Consideremos agora dois subcasos.

Subcaso α > β: Neste subcaso podemos tomar uma sequˆencia{kr}r∈Z+ ⊂Z+de forma

que aα,β_kr >0,r∈Z_{+, e limr→∞kr =∞. Inserindo-a no sistema e fazendor → ∞, vem} que

cγ+

" lim

r→∞(−1)

krP

β,α kr (1)

P_kα,β_r (1) #

X

xµ∈Γxγ

cµ+

X

xµ6∈Γxγ∪{xγ}

cµ

h lim

r→∞R

α,β

kr (cos (|xµxγ|/2))

2.2 Condi¸c˜ao suficiente 19

Ambos os limites na f´ormula acima anulam-se, o primeiro pelo Lema 1.3.1-(ii) e o segundo pelo Lema 1.3.1-(i). Portanto, cγ = 0.

Subcasoα =β: Aqui selecionamos duas sequˆencias {kp

r}r∈Z+ ⊂ 2Z+ e {k

i

s}s∈Z+ ⊂

Z_+\2Z_{+ tais que a}α,β

krp , a

α,β ki

s >0,r, s∈

Z_{+, e limr→∞k}p

r = lims→∞ksi =∞. Inserindo-as

no sistema, obtemos

              

cγ+

P_kβ,αp r (1)

P_kα,βp r (1)

X

xµ∈Γxγ

cµ+

X

xµ6∈Γxγ∪{xγ}

cµR_kα,βp

r (cos (|xµxγ|/2)) = 0

cγ−

P_kβ,αi s (1)

P_kα,βi s (1)

X

xµ∈Γxγ

cµ+

X

xµ6∈Γxγ∪{xγ}

cµRα,β_ki

s (cos (|xµxγ|/2)) = 0

.

Tomando os limites quandor, s→ ∞e usando o Lema 1.3.1-(i), temos que

cγ+

X

xµ∈Γxγ

cµ=cγ−

X

xµ∈Γxγ

cµ = 0.

Em particular, cγ = 0.

A f´ormula ([43, p.59])

P₂(_kd−2)/2,(d−2)/2(t) = P

(d−1)/2,−1/2 2k (1)

P_k(d−2)/2,−1/2(1)P

(d−2)/2,−1/2

k (2t

2_{−1), t ∈[−1,1],}

pode ser usada para fornecer uma descri¸c˜ao alternativa para um n´ucleo cont´ınuo, iso-tr´opico e positivo definido K sobre Pd_{(R), agora via os polinˆomios de Gegenbauer}

P₂(_kd−2)/2,(d−2)/2. De fato, como

P₂(_kd−2)/2,(d−2)/2(cos(|xy|/4)) = P

(d−1)/2,−1/2 2k (1)

P_k(d−2)/2,−1/2(1)P

(d−2)/2,−1/2

k (cos(|xy|/2)), t∈[−1,1],

temos que

K_rd(x, y) =

∞

X

k=0

a2kP₂(_kd−2)/2,(d−2)/2(cos|xy|/4), t ∈[−1,1],

em que a2k ≥ 0 ´e um m´ultiplo positivo de ak(d−2)/2,−1/2 e

P∞

k=0a2kP2(kd−2)/2,(d−2)/2(1)

converge. Resumindo, temos o seguinte resultado.

Corol´ario 2.2.2. Seja K um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre

Pd_{(R), d ≥ 2. Considere a representa¸c˜ao para sua parte isotr´opica como acima. K ´e}

Finalizamos este cap´ıtulo observando que tanto o Teorema 2.1.1, quanto o Teorema 2.2.1 n˜ao abrangem o caso em que Md_=S1_.

A caracteriza¸c˜ao da positividade definida estrita sobre S1 _{´e mais complicada e}

sua demonstra¸c˜ao demanda argumentos de teoria de n´umeros. Este caso foi estudado inicialmente em [38] via argumentos de complexifica¸c˜ao, por´em uma demonstra¸c˜ao alternativa pode ser encontrada em [8]. O teorema a seguir descreve esta caracteriza¸c˜ao.

Teorema 2.2.3. Seja K um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre S1_.

Considere a representa¸c˜ao (1.1) para K1

r. Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para

que K seja estritamente positivo definido, ´e que o conjunto

n

k:a_|−_k1_|/2,−1/2 >0o

Cap´ıtulo

3

Positividade definida estrita em

produtos de espa¸

cos 2-homogˆ

eneos

Neste cap´ıtulo apresentamos uma caracteriza¸c˜ao para os n´ucleos cont´ınuos, isotr´o-picos e positivos definidos sobre um produto de espa¸cos compactos 2-homogˆeneos. Em seguida explicitamos quais destes n´ucleos s˜ao estritamente positivos definidos. O con-ceito de positividade definida estrita sobre produtos permite v´arias vertentes e somente duas delas s˜ao exploradas aqui.

3.1

Positividade definida

Nesta se¸c˜ao fornecemos uma caracteriza¸c˜ao para os n´ucleos cont´ınuos, isotr´opi-cos e positivos definidos sobre Md _×Hd′_{, em que} Md _e Hd′ _{s˜ao espa¸cos compactos} 2-homogˆeneos, diferentes ou n˜ao. Previamente, uma tal caracteriza¸c˜ao j´a havia sido obtida em [3] via teoria dos grupos. Recentemente ([26]), uma nova demonstra¸c˜ao, agora utilizando t´ecnicas mais elementares da an´alise cl´assica e da an´alise harmˆonica foi apresentada para os casos em que ambos os espa¸cos s˜ao esferas. Em particular, este ´ultimo trabalho exp˜oe com nitidez as dificuldades que os argumentos via teoria dos grupos mascaram. A caracteriza¸c˜ao no caso esf´erico tamb´em pode ser deduzida a partir do teorema principal de [9], como observado pelos pr´oprios autores.

A caracteriza¸c˜ao que apresentamos ´e v´alida para um produto qualquer de espa¸cos homogˆeneos enquanto que a demonstra¸c˜ao que apresentamos ainda utiliza a an´alise

cl´assica e a an´alise harmˆonica. Entretanto, a simplicidade desta abordagem tem seu pre¸co. Alguns argumentos de convergˆencia s´o puderam ser justificados com o emprego da fun¸c˜ao hipergeom´etrica de Gauss e algumas de suas propriedades.

O conceito de isotropia para um n´ucleo sobre um produto de espa¸cos 2-homogˆeneos demanda a isotropia em cada espa¸co. Em outras palavras, um n´ucleo

K : (Md_×Hd′_)×(Md_×Hd′_)→R_,

´e isotr´opico se existir uma fun¸c˜ao Kd,d′

r : [−1,1]2 → R (a parte isotr´opica de K) de

modo que

K((x, w),(y, z)) =K_rd,d′(cos(|xy|/2),cos(|wz|/2)), x, y ∈Md_{, w, z∈}Hd′_.

O Lema 3.1.1 descreve um exemplo t´ıpico de um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre Md_×Hd′_{. No enunciado do lemaα= (d−2)/2, α}′ _{= (d}′_−2)/2 enquanto que os ´ındices β e β′ _{est˜ao em consonˆancia com a classifica¸c˜ao de Wang}

mencionada na Se¸c˜ao 1.1.

Lema 3.1.1. Se k e l s˜ao inteiros n˜ao negativos, ent˜ao a fun¸c˜ao

(t, s)∈[−1,1]7→P_kα,β(t)P_lα′,β′(s),

´e a parte isotr´opica de um n´ucleo positivo definido sobre Md_×Hd′_.

Demonstra¸c˜ao: SejaK o n´ucleo com parte isotr´opica conforme a f´ormula do enunci-ado. Se {(x1, y1),(x2, y2), . . . ,(xn, yn)}´e um subconjunto de Md×Hd

′

, ent˜ao a matriz

A com entradas

[K((xµ, yµ),(xν, yν))]n_µ,ν=1,

´e o produto de Schur das matrizes

h

P_kα,β(cos (|xµxν|/2))

in

µ,ν=1 e

h

P_lα′,β′(cos (|wµwν|/2))

in

µ,ν=1.

Como ambas as matrizes acima s˜ao n˜ao negativas definidas devido ao Teorema 1.2.1 e o produto de Schur de duas matrizes n˜ao negativas definidas ´e ainda uma matriz n˜ao negativa definida ([31, p. 458]), ent˜ao A ´e n˜ao negativa definida.

Uma consequˆencia imediata do que foi apresentado na Se¸c˜ao 1.3 ´e a ortogonalidade da fam´ılia

n

3.1 Positividade definida 23

em rela¸c˜ao `a fun¸c˜ao peso

σ_dd′(t, s) := (1−t)α(1 +t)β(1−s)α′(1 +s)β′, t, s ∈[−1,1].

Assim como na Se¸c˜ao 1.4, denotamos por L1([−1,1]2, σd

′

d) o conjunto das fun¸c˜oes

mensur´aveis definidas sobre [−1,1]2 _{que s˜ao integr´aveis com rela¸c˜ao ao peso σ}d′

d. Uma

fun¸c˜ao f ∈L1([−1,1]2, σd

′

d) possui uma expans˜ao de Fourier na forma

f(t, s)∼

∞

X

k,l=0

ak,l(f)Pkα,β(t)P α′_,β′

l (s)

em que

ak,l(f) =

1

hα,β_k hα_l′,β′

Z

[−1,1]2

f(t, s)P_kα,β(t)P_lα′,β′(s)dσ_dd′(t, s), k, l∈Z_+. A dependˆencia de ak,l sobre α, α′, β, β′ ser´a sempre omitida.

Na pr´oxima proposi¸c˜ao, dx edy denotam os elementos de volume sobre Md _eHd′_, respectivamente. Aqui tamb´em, as dimens˜oes d e d′ _{ser˜ao omitidas. A proposi¸c˜ao nos}

d´a uma f´ormula alternativa para o c´alculo de ak,l(f).

Proposi¸c˜ao 3.1.2. Sejam k e l inteiros n˜ao-negativos e (x, w) um elemento de Md_× Hd′_{. Se f pertence a L1([−1,1]}2_{, σ}d′

d), ent˜ao existe uma constante positiva C, que

de-pende de α, α′_{, β e β}′_{, tal que}

Z

Md_×Hd′

f(cos(|xy|/2),cos(|wz|/2))P_kα,β(cos(|xy|/2)P_lα′,β′(cos(|wz|/2))dydz=Cak,l(f).

Demonstra¸c˜ao: Uma aplica¸c˜ao dupla da F´ormula de Funk-Hecke (Teorema 1.5.2) na integral que aparece no lado esquerdo da igualdade do enunciado, juntamente com uma itera¸c˜ao da integral via o Teorema de Fubini, nos garante a igualdade desejada.

A proposi¸c˜ao abaixo ´e obtida por integra¸c˜ao na f´ormula do resultado anterior.

Proposi¸c˜ao 3.1.3. Sejam k e l inteiros n˜ao-negativos. Se K ´e um n´ucleo cont´ınuo e isotr´opico sobre Md_×Hd′_{, ent˜ao existe uma constante positiva C, que depende de}

α, α′_{, β e β}′_{, tal que}

ak,l(Kd,d

′

r ) = C

Z

Md_×Hd′ Z

Md_×Hd′

K((x, y),(w, z))P_kα,β(cos(|xy|/2))

Enfatizamos que a constante C na proposi¸c˜ao acima n˜ao ´e a mesma descrita na Proposi¸c˜ao 3.1.2. A mesma nomenclatura ´e utilizada apenas por conveniˆencia.

No pr´oximo resultado analisamos o efeito da positividade definida de K nos coefi-cientes da expans˜ao de Fourier da parte isotr´opica de K, como mencionada acima.

Proposi¸c˜ao 3.1.4. Se K ´e um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre

Md_×Hd′_{, ent˜ao}

ak,l(Kd,d

′

r )≥0, k, l∈Z+.

Demonstra¸c˜ao: Seja K um n´ucleo positivo definido sobre Md_×Hd′_{. Do Lema 3.1.1,} temos que

((x, y),(w, z))7→K((x, y),(w, z))P_kα,β(cos(|xy|/2))P_lα′,β′(cos(|wz|/2)),

´e um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre Md_×Hd′_{. Logo, a ideia da} demonstra¸c˜ao reduz-se a justificar que, seK´e um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre Md_×Hd′

, ent˜ao a integral

I := Z

Md_×Hd′ Z

Md_×Hd′

K((x, y),(w, z))d(y)d(z)

d(x)d(w)

´e n˜ao negativa. Para tanto, fixaremos ǫ > 0 e mostraremos que existe um n´umero

I =I(ǫ)≥0 tal que

|I−I| ≤ǫVol.(Md_×Hd′₎2_.

De fato, se I fosse negativa, ent˜ao a informa¸c˜ao acima com uma escolha conveniente para ǫ produziria uma contradi¸c˜ao. Como Md_×Hd′ _{´e um espa¸co m´etrico compacto,} o n´ucleo K ´e, na verdade, uniformemente cont´ınuo sobre Md_×Hd′_{. Em particular,} podemos selecionar δ > 0 de modo que

|K((x, y),(w, z))−K((x′_{, y}′_),(w′_{, z}′_{))|< ǫ,}

sempre quex, x′_{, y, y}′ _∈Md_{,w, w}′_{, z, z}′ _∈Hd′

,|xx′_{|< δ,|yy}′_{|< δ,|ww}′_{|< δ e|zz}′_{|< δ.}

Sendo os espa¸cos m´etricos Md _{e H}d′

totalmente limitados, podemos cobri-los com um n´umero finito de bolas com raio δ/2. Consequentemente, podemos cobrir Md _×Hd′ com um n´umero finito de bolas abertas. Usando a cobertura formada por estas bolas, podemos particionar Md_×Hd′

em um n´umero finito de subconjuntos de Borel

Md_×Hd′ ₌

p

G

j=1

3.1 Positividade definida 25

de modo que, se ((x, w),(x′_{, w}′_))∈B

j,j = 1,2, . . . , p, ent˜ao |xx′|< δ e|ww′|< δ. Em

particular, se ((x, y),(w, z))∈ Bj ×Bk e ((x′, y′),(w′, z′)) ∈Bj×Bk, para algum par

(k, j), ent˜ao |K((x, y),(w, z))−K((x′_{, y}′_),(w′_{, z}′_{))|< ǫ. Para continuar, observe que}

I = p X l,k=1 Z Bj Z Bk

K((x, y),(w, z))dxdwdydz.

Para cada j ∈ {1,2, . . . , p}, escolha (xj, wj) ∈ Bj e defina λj como o volume de Bj.

Como o n´ucleoK ´e positivo definido, ent˜ao ´e f´acil ver que o n´umero

I :=

p

X

j,k=1

λjλkK((xj, xk),(wj, wk))

´e n˜ao negativo. Por outro lado,

|I−I| = p X j,k=1 Z Bj Z Bk

[K((x, y),(w, z))−K((xj, xk),(wj, wk))]dxdwdydz

≤ ǫ p X j,k=1

λjλk,

isto ´e,|I−I| ≤ǫVol.(Md_×Hd′₎2_.

A seguir analisamos a convergˆencia de certas s´eries num´ericas definidas pelos coe-ficientesak,l(Kd,d

′

r ) mantendo o contexto do resultado anterior.

Lema 3.1.5. Seja K um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobreMd_×Hd′

. Se r, ρ∈(−1,1), ent˜ao a s´erie dupla

∞

X

k,l=0

ak,l(Kd,d

′

r )P α,β k (1)P

α′_,β′

l (1)r k_ρl

converge.

Demonstra¸c˜ao: Provaremos o lema no caso em qued6= 1 ed′ _{6= 1. As demonstra¸c˜oes}

nos casos em que d = 1 ou d′ _{= 1 podem ser adaptadas a partir dos argumentos}

desenvolvidos abaixo. No entanto, o c´alculo no caso em que um dos espa¸cos ´e um c´ırculo pode ser feito diretamente sem utilizar a fun¸c˜ao hipergeom´etrica. Ser =ρ= 0, n˜ao h´a o que demonstrar. Nos demais casos, o termo geral da s´erie na afirma¸c˜ao do lema ´e

Z 1

−1

Z 1

−1

K_rd,d′(t, s)P

α,β k (1)

hα,β_k P

α,β k (t)r

kP α′_,β′

l (1)

hα_l′,β′ P

α′_,β′

l (s)ρ l_dσd′

Introduzindo a fun¸c˜ao hipergeom´etrica de Gauss na express˜ao acima, a s´erie dupla toma a forma

Z 1

−1

Z 1

−1

K_rd,d′(t, s)Gα,β(r)F

α+β+ 2 2 ,

α+β+ 3

2 ;β+ 1;

2r(1 +t) (1 +r)2

×Gα′,β′(ρ)F

α′_+β′_{+ 2}

2 ,

α′_+β′ _{+ 3}

2 ;β

′_{+ 1;}2ρ(1 +s)

(1 +ρ)2

dσ_dd′(t, s)

.

Atrav´es da positividade definida deK e da continuidade de Kd,d′

r em [−1,1]2, podemos

estimar a integral dupla acima por

Cr,ρ Z 1 −1 Z 1 −1 F

α+β+ 2 2 ,

α+β+ 3

4 ;β+ 1;

2r(1 +t) (1 +r)2

×F

α′_+β′_{+ 2}

2 ,

α′_+β′_{+ 3}

4 ;β

′_{+ 1;}2ρ(1 +s)

(1 +ρ)2

dσd_d′(t, s)

,

em queCr,ρ_{´e um m´ultiplo positivo deG}α,β_(r)Gα′_,β′

(ρ). O peso na defini¸c˜ao dedσd′

d pode

ser limitado superiormente por 2α+α′_+β+β′

. Introduzindo esse limitante e resolvendo as integrais resultantes, conclu´ımos que a s´erie dupla ´e no m´aximo

C F

α+β

2 ,

α+β+ 1 2 ;β;

4r

(1 +r)2

F

α′_+β′

2 ,

α′_+β′_{+ 1}

2 ;β

′_; 4ρ

(1 +ρ)2

,

onde

C = Gα,β(r)Gα,β′(ρ)(1 +r)

2_{(1 +ρ)}2

rρ

× ββ

′₂α+α′_+β+β′₊₆

(2α+ 2β)(2α′_{+ 2β}′_{)(2α+β+ 2)(2α}′_{+ 2β}′_{+ 2)}.

A prova est´a completa.

Na proposi¸c˜ao seguinte passamos de uma s´erie num´erica para uma s´erie de fun¸c˜oes definida pelos mesmos coeficientes.

Proposi¸c˜ao 3.1.6. Seja K um n´ucleo cont´ınuo, isotr´opico e positivo definido sobre

Md_×Hd′_{. Ent˜ao a s´erie dupla}

∞

X

k,l=0

ak,l(Kd,d

′

r )P α,β k (t)P

α′_,β′

l (s),