Difusão de Gotas devido a Cisalhamento

A revisão bibliográfica aqui apresentada é destinada a trabalhos sobre a migração de partículas, rígidas e deformáveis (gotas), da parede sólida para o centro do escoamento, quando sujeitas a tensões de cisalhamento em escoamento de baixo número de Rey- nolds. É referido em diversos trabalhos que a distribuição de concentração de partículas ao longo da altura de um capilar altera a reologia local e as características do sistema (Shauly et al. (1998)). Daqui a importância do estudo deste problema que tenta pre- ver a região de equilíbrio das gotas em determinados sistemas (Mortzavi e Tryggvason (2000)).

em escoamento de cilindros concêntricos (escoamento de Couette) e em escoamento em dutos (escoamento de Poiseuille). No geral as medições estão de acordo com o previsto pela teoria de Chaffey (1965) que é baseada na deformação da gota e nas interações com a parede. Os autores postulam que os dados defasados da teoria podem ser atribuídos a inibição da circulação interna da gota devido às possíveis impurezas na superfície da gota. No escoamento de Couette foi verificado que a direção de migração é independente da velocidade e direção de rotação encontrando-se sempre entre as duas paredes, em uma região de equilíbrio. A taxa de migração aumentou com a distância à parede, com ˙γ, com o diâmetro da gota e com λ. Os resultados do escoamento de Poiseuille foram os mesmos do escoamento de Couette. Os autores referem que a diminuição da taxa de migração está associada com a ausência do escoamento interno da gota e tal não está relacionado com a adição de agentes na superfície da gota.

Chan e Leal (1979) fazem uma breve descrição sobre migração de partículas em esco- amento de Poiseiulle e de Couette. Os autores fizeram um estudo com suspensões em fluido viscoelástico. Foi assumido que o fluido base e as gotas possam ser modelados como um fluido de segunda-ordem. O método de reflexões foi usado para resolver o pro- blema de escoamento de cisalhamento simples e de Poiseuille entre placas, permitindo obter soluções analíticas nas condições em que o tamanho da gota é muito pequeno em comparação com o tamanho característico do sistema. Este método assume que as gotas não estão próxima à parede, visto que com a proximidade da parede a gota apresenta maiores deformações. Pelos resultados foi constatado que, em escoamento de Poiseuille as gotas de fluido Newtoniano dispersas em um fluido viscoelástico têm uma menor taxa de migração para a região central em comparação com esferas rígidas e com o caso de gotas dispersas em fluido Newtoniano.

Shauly et al. (1998) estudaram a migração de partículas polidispersas em uma suspen- são concentrada que é descrita por potenciais de migração para várias concentrações. O modelo apresentado é uma extensão para suspensões polidispersas que tem como base por exemplo os mecanismos de migração, a taxa de cisalhamento e os gradiente de curvatura das linhas de corrente. No cálculo das expressões resultantes a quanti- dade de movimento e o balanço do material são resolvidos em simultâneo. Em uma suspensão monodispersa o fluxo total de partículas é a soma de três fluxos, um de cada

mecanismo associado à migração de partículas. O primeiro mecanismo descreve que as partículas tendem a migrar para regiões de menor frequência de interação entre partí- culas. O segundo mecanismo se refere ao campo de viscosidade não uniforme no qual a interação entre duas partículas adjacentes não é simétrica. O terceiro mecanismo explica porque a fração volumétrica de partículas permanece uniforme em dispositi- vos de placas paralelas. A extensão para a suspensão polidispersa nada mais é que a consideração de diferentes tamanhos de gotas através de um somatório de concentra- ção de cada tamanho de gota. Os resultados do modelo para o perfil de velocidade seguiram adequadamente os resultados do experimento do escoamento de Couette em cilindro concêntricos. Quanto à fração volumétrica, os resultados do modelo concor- dam com as medições experimentais, nas quais foi verificado um aumento de fração volumétrica em regiões de menor cisalhamento. Para sistemas polidispersos o modelo previu que as partículas se agrupam por tamanhos, com as maiores próximas a parede imóvel. As diferenças entre o experimento e o modelo em relação a distribuição total de partículas são justificadas pelo fato de que na realidade as partículas não penetram umas nas outras (região de alta concentração) ou estão em contato com a parede. No entanto, o modelo contínuo considera que pequenas variações podem ocorrer. Contudo em termos gerais o modelo previu satisfatoriamente os resultados de medidas experi- mentais. Do experimento de cisalhamento entre placas foi observado que as partículas de marcação (traces) se deslocaram para regiões de elevado cisalhamento. Neste caso o tamanho destas partículas é maior que o tamanho das partículas que estavam na fase contínua monodispersa. O oposto aconteceu quando as partículas de marcação eram menores que as da fase contínua. Tal fenômeno foi previsto pelo modelo desenvolvido para sistemas polidispersos. O modelo é destinado para partículas muito menores do que a distância entre a parede e o centro do escoamento. Os resultados experimen- tais levados em consideração utilizaram imagem por ressonância magnética nuclear e anemometria para medir o perfil de velocidades de suspensões. O autor destaca ainda que nos experimentos foram observados perfis de velocidades achatados nas regiões de maior concentração.

O trabalho de Mortzavi e Tryggvason (2000) estudam numericamente, pelo método de diferenças finitas de rastreamento frontal, o escoamento bidimensional de gotas no

escoamento de Hagen-Poiseuille em vários regimes de números de Reynolds. O Rey- nolds de referência foi baseado na velocidade do centro do escoamento e no tamanho da partícula. Para Reynolds da ordem da unidade a gota com baixa razão de viscosidade se move para o centro do escoamento com uma taxa que aumenta com a deformação da gota. Mas se a razão de viscosidade for alta a gota se desloca na direção oposta ao centro do escoamento, concentrando-se em regiões semelhantes as das partículas rígidas. Em Reynolds entre 5 e 50 as pequenas gotas se concentram em regiões entre a parede e o centro do escoamento. Aumentando o número de Reynolds ou a massa específica, a gota se desloca mais para a parede. Oscilações transientes surgem a vis- cosidade da gota até atingir o seu estado de regime permanente. A região de oscilação é em torno da posição de equilíbrio. Os autores relatam que existe um centro de recir- culação localizado perto do centro da gota de alta viscosidade, enquanto que o centro de recirculação se situa perto da parede para gotas de baixa viscosidade. A localização desta recirculação talvez esteja conectada com a direção de migração das gotas. Os autores referenciam ainda que o efeito da deformação da gota, para escoamento de Stokes se traduz somente em migração. Os resultados numéricos estão de acordo com os experimentais. O autor apresenta uma breve revisão histórica sobre este problema.

Hollingsworth e Johns (2006) apresenta uma técnica experimental para estudar a mi- gração de gotas em escoamento de cisalhamento baseada na imagem de ressonância magnética. Segundo o autor a técnica supera a limitação de sistema óticos, pois estes estão limitados a emulsões diluídas por serem oticamente transparentes. Industrial- mente as emulsões são opacas. Neste estudo foram rastreadas gotas de água em óleo de silicone no escoamento rotacional de Couette e de Poiseuille. O comportamento da gota de raio 0, 54 mm foi analisado no escoamento de Couette. Foi visto que para distâncias de parede (gap) maiores a gota tem uma taxa de migração maior em com- paração com menores distâncias de parede, indo de encontro com os experimentos de Chan e Leal (1979). O autor destaca que as teorias existentes não são adequadas para grandes gaps.

Shi et al. (2012) estudaram a reologia do sangue em escoamento de Poiseuille usando o método de fronteira imersa aplicando um modelo de mola para modelar a estrutura da membrana do esqueleto da hemácea e um método de domínio fictício para estudar o

movimento das hemácias em um micro-canal com constrição. Neste trabalho é possível visualizar a história da forma da hemácea. O autor faz uma revisão dos trabalhos realizados dentro do contexto numérico sobre a deformação e reologia de hemácias. Foi observado que em escoamento de Poiseuille as hemácias tendem a migrar para o centro do escoamento. Essa migração é tanto mais rápida quanto menor for a razão de dilatação da hemácia. Quando a razão de dilatação é em torno de unidade as hemácias se comportam como esferas rígidas resultando em uma menor taxa de migração.

O trabalho numérico de Nourbakhsh e Mortazavi (2010) emprega o método de dife- renças finitas acoplado ao método de rastreamento frontal para estudar a migração de gotas deformáveis em escoamento de Poiseuille plano para Re > 1. Foi visto que com o aumento de Re ou de Ca ou com a diminuição da razão de viscosidade a posição de equilíbrio é mais próxima à parede, o que vai de acordo com a teoria de Chan e Leal (1979) para a dependência da viscosidade com a migração, no limite de pequenas deformações. Foi observado que quanto mais deformáveis as gotas forem maior é a taxa de migração para o centro do escoamento. Para Reg = 10 (Reynolds avaliado com

o diâmetro da gota) e Ca = 0, 05 todas as gotas se deslocaram para a região entre a parede e o centro do escoamento. Analisando a deformação da gota para Reg = 10 e

Ca = 0, 7, esta se deforma enquanto se dirige para o centro do escoamento se orien- tando a 45 graus com relação ao eixo do escoamento. A gota permanece nessa posição até adquirir a sua deformação estacionária. Foi observado que gotas de maior tamanho se dirigem mais rapidamente para o centro devido à intensidade de forças de lubrifica- ção existentes entre a parede e a superfície da gota. A velocidade axial diminui com o aumento do tamanho da gota, o mesmo acontece com a deformação. O autor explica que nesse caso o efeito da parede superior é importante devido ao aumento da pressão local entre a superfície da gota e a parede inferior provocado pelo líquido deslocado.

Pranay et al. (2012) foi motivado pela redução de arrasto devido a adição de polí- meros em diversos tipos de escoamentos. Neste trabalho é apresentado um modelo que descreve a distribuição de cápsulas elásticas como sendo um balanço entre a difusão provocada pelo cisalhamento e a migração induzida pela parede devido a capacidade de deformação da cápsula. O estudo foi realizado considerado suspensão de cápsulas elásticas em fluido Newtoniano e em polímeros. O método numérico utilizado foi o de

fronteira imersa para escoamento de Couette em regime de Stokes. Foi constatado a formação de uma camada livre de cápsulas para a suspensão em fluido Newtoniano. A espessura dessa camada é fortemente dependente da Ca. Foi observado que se o fluido no qual as cápsulas estão suspensas tiver características viscoelásticas a formação da camada livre de células é atenuada. A contribuição inercial foi desconsiderada visto que a contribuição da parede para a formação de uma camada livre de cápsulas é maior em uma magnitude.

Em Guido e Preziosi (2012) é feita uma revisão do comportamento de gotas isoladas sujeitas em escoamento devido a um gradiente de pressão em uma secção transversal circular e rectangular. Foi observado experimentalmente que, para cada número de capilar, aumentando a razão entre o raio da gota e o diâmetro do tubo as gotas apre- sentam um maior alongamento na direção do escoamento, aumentando o espaço entre a superfície da gota e a parede do tubo.

Pela revisão efetuada observa-se que poucos estudos se preocupam em caracterizar reologicamente emulsões de diferentes razões de viscosidade com diferentes frações vo- lumétricas em escoamento de cisalhamento linear e quadrático. Esta tese tem como um dos principais objetivos avaliar experimentalmente a viscosidade efetiva em fun- ção da razão de viscosidade em consolidação com a caracterização microestrutural das emulsões.

Durante a revisão bibliográfica não foi encontrado um estudo experimental de reologia de suspensão de gotas em tubo capilar e entre discos planos paralelos, para várias ra- zões de viscosidade em função da fração volumétrica. Nesse sentido, este trabalho visa caracterizar o comportamento de emulsões em função destes parâmetros conectando a reologia com as características da microestrutura das emulsões, avaliada por micros- copia óptica. A suspensão de gotas é obtida através de uma metodologia de síntese de emulsões que utiliza surfactantes cuja função é de estabilizar a emulsão evitando a coalescência de gotas. Os resultados experimentais de suspensões de gotas de bai- xas frações volumétricas e altas razões de viscosidade são comparados com a teoria de pequenas deformações apresentada no presente trabalho.

A migração de gotas por cisalhamento simples é estudada por um modelo proposto que considera fenômenos de auto-difusão e de interação parede-partículas como sendo os responsáveis pela existência de um gradiente de fração volumétrica na direção perpen- dicular à direção principal do escoamento. O processo difusivo em análise acontece na escala do escoamento devido a uma auto-difusão hidrodinâmica que depende do número de capilaridade (Ca), da fração volumétrica (φ) e da razão de viscosidade entre gota- fluido (λ). Este fenômeno de migração também é observado em escoamento de sangue (Grandchamp et al. (2013)). Uma das formas de estimar a espessura da camada livre de partículas registrada em escoamento quadrático é pelo ajuste de parâmetros dos modelos teóricos de tal forma que coincidam com os resultados experimentais. Nestes modelos teóricos a viscosidade da emulsão que é função da fração volumétrica, taxa de cisalhamento e da razão de viscosidade é modelada por uma Lei de Potência. No en- tanto, como já mencionado, é estudada a formação dessa camada livre de partículas de forma mais consistente pela solução da equação de transporte convecção-difusão onde é possível verificar a influência da razão de viscosidade, do número de Peclet e do número de capilaridade. Os termos convectivos da Equação de Transporte levam em conta a velocidade unidirecional do escoamento e a velocidade de migração das gotas que leva em conta as tensões na superfície da gota devido à interação gota-parede. O termo de difusão considera que a variação da concentração na direção normal à parede sólida se deve à quebra da simetria do escoamento em torno da gota devido à interação entre pares de gotas em suspensões diluídas e da interação entre gota-parede. Este assunto é de interesse atual (Narsimhan et al. (2013)). Já no final desta tese tivemos conheci- mento do artigo de Hariprasad e Secomb (2014) que examina o problema de migração e difusão de glóbulos vermelhos em micro-canais baseando-se em modelos relativamente simples de descrição de membrana e no mesmo princípio de balanço de um fluxo difu- sional de partículas descrito por Cunha e Hinch (1996) e migração de partículas por interação com paredes (Leal (1980)). Essa recente informação mostra a importância do tema e, consequentemente, dos modelos do escoamento também explorados nessa tese usando gotas de altas razões de viscosidade como um primeiro protótipo de células.