As equações que regem o escoamento de fluidos são formadas pela equação da con- servação de massa, também designada por equação da continuidade, pela equação da conservação da quantidade de movimento, pela equação da energia, pela equação da quantidade de movimento angular. Em casos mais simples são só consideradas as duas primerias equação, conservação da massa e da quantidade de movimento.
Considere um corpo material β do qual uma porção δβ tem de volume δV , tal como mostra a fig. 2.8. A massa específica (ρ) pode ser definida matematicamente como sendo:
ρ = lim
δV →0
δmC
δV , (2.15)
ou seja, é a massa específica em um ponto infinitesimal pertencente ao corpo β e como consequência a δβ. Supondo que existe uma distribuição contínua de massa no corpo, isto é, sem pontos de concentração de massa, pode-se escrever matematicamente que a massa total do corpo é:
mC =
Z
V
ρdV . (2.16)
Figura 2.8: Definição da massa em um pequeno volume δV .
ração da propriedade) são nulos, escreve-se a conservação da massa como sendo: DmC
Dt = 0 , (2.17)
em que a derivada material é definida como: Dχ
Dt = ∂χ
∂t + u.∇χ , (2.18)
em que χ é uma propriedade do fluido. Aplicando o Teorema de Transporte de Reynolds na eq. 2.17, escreve-se que:
D Dt Z V ρdV = Z V ∂ρ ∂tdV + Z S ρu.ndS = 0 , (2.19)
em que, u é o vetor campo de velocidade, S é a superfície do volume e n é o vetor normal a essa superfície e que aponta para fora da superfície. Aplicando o Teorema da Divergência pode-se escrever que:
D Dt Z V ρdV = Z V ∂ρ ∂t + ∇.(ρu) dV = 0 . (2.20)
Como a expressão é válida para todo o volume, aplica-se o Teorema da Localização: Dρ
Dt = ∂ρ
∂t + ∇.(ρu) = 0 . (2.21)
Desenvolvendo a eq. 2.21, chega-se a Lei de Conservação de Massa: ∂ρ
∂t + ρ∇.u + u.∇ρ = 0 ⇔ Dρ
Dt + ρ∇.u = 0 . (2.22)
A quantidade de momento linear no corpo material β é escrita como:
p= Z
v
ρudV . (2.23)
O balanço da quantidade de momento linear em um meio contínuo é dado por: Dp Dt = f ⇔ D Dt Z v ρudV = f . (2.24)
Note que ρV tem unidade de massa e u/t tem unidade de aceleração. O produto dessas duas quantidades, pela segunda Lei de Newton, resulta em um somatório de forças (f). Estas forças são de duas tipos: de campo e de superfície:
f = Z v ρbdV + Z S sdS , (2.25)
em que b é uma força por unidade de massa e s é o vetor tensão que pelo Teorema de Cauchy é dado por n.τ , em que τ é o tensor de tensões. Aplicando o Teorema da Divergência escreve-se que:
f = Z
v(ρb + ∇ · τ ) dV .
(2.26)
Após aplicar o Teorema da Localização na eq. 2.26 e na eq. 2.24, escreve-se que: D (ρu)
Dt = ρb + ∇ · τ , (2.27)
em que b é o vetor aceleração da gravidade g. A eq. 2.22 e a eq. 2.27 formam as equações que regem o movimento de fluidos.
Sabendo que qualquer tensor de segunda ordem pode ser decomposto em uma parte isotrópica e uma parte deviatória, o tensor de tensões é escrito como:
τ = −pI + Σ (2.28)
em que p é a pressão mecânica (hidrostática) definida como 1
3tr(τ ) , I é o tensor
identidade e Σ são os componentes deviatórios do tensor de tensões. A parte deviatória do tensor de tensões é o problema da reologia pois representa o comportamento do fluido às tensões aplicadas que depende das características dos fluidos. Para um fluido Newtoniano compressível o tensor deviatório é dado por:
Σ= 2η D− 1 3(∇ · u)I . (2.29)
No caso do fluido ser incompressível, em que o fluido não apresenta variações da massa específica nem no espaço e nem no decorrer do tempo, a eq. 2.22 se torna ∇ · u = 0.
Assim a eq. 2.29 é simplificada em Σ = 2ηD, formando as equações conhecidas como Equações de Navier-Stokes para fluido incompressível. No caso de fluido Newtoniano generalizado,
Σ= 2η( ˙γ)D . (2.30)
No caso do fluido ser não-Newtoniano e incompressível, o tensor de tensões é dado por:
Σ= 2ηD + ΣN N , (2.31)
em que ΣN N é o tensor de tensões que representa as características físicas do fluido não-
Newtoniano que está associado com a microestrutura do fluido. Neste caso são inseridos os fluidos constituídos por partículas rígidas, gotas ou bolhas com possibilidade de serem susceptíveis a forças externas como forças associadas a campos magnéticos.
2.3 ESCOAMENTO DE COUETTE ENTRE DISCOS PLANOS
Nesta seção é analisado o escoamento de Couette entre discos planos relacionado ao cisalhamento simples. Este tipo de escoamento está associado com a caracaterização dos fluidos no reômetro.
O fluido quando cisalhado no reômetro é regido pelas equações da conservação da massa e da quantidade de movimento com condições de contorno de disco estacionário e disco rotativo com velocidade angular ωr. Devido ao fato de ser necessário somente
uma pequena quantidade de fluido (0, 2 − 1, 5 ml) para que o reômetro forneça as propriedades do fluido, o escoamento opera num regime de aproximação de lubrificação. As equações em coordenadas cilíndricas são as apropriadas para descrever o movimento imposto ao fluido (ver fig. 2.9).
Analisando o problema, constata-se que não existe motivo para que exista escoamento na direção vertical e nem na direção radial, uma vez que o movimento é imposto na di- reção angular. Desta forma escreve-se na forma simplificada as equações da quantidade
Ω
R
δe
z
r
e
Figura 2.9: Escoamento entre disco com movimento de rotação e disco estacionário. R: raio do disco móvel ; δ: região de fluido teste (gap).
de movimento que regem o escoamento nas três direções:
−ρu 2 θ r = − ∂p ∂r , (2.32) 0 = −1r∂p∂θ = η∂ 2u θ ∂z2 , (2.33) 0 = −∂p∂z . (2.34)
Pela integração da eq.(2.32) e verificando-se que a velocidade na direção angular é função somente de r e z obtém-se uma expressão para o campo de pressão,
p = Z ρu 2 θ r dr + h(θ, z) . (2.35)
Das eqs. 2.33 e 2.34 observa-se que a pressão é somente função de r. Assim sendo não existe variação da pressão na direção θ. Para obter uma expressão para o perfil de velocidades integra-se a eq. 2.33 aplicando ∂p/∂θ = 0. A expressão para cada uma das duas constantes de integração é obtida aplicando as seguintes condições de contorno:
uθ(r, z = 0) = 0
(2.36) uθ(r, z = δ) = ω r .
Daqui obtém-se que uθ = ωr r z/δ.
O torque é uma quantidade mecânica a ser controlada no experimento de forma que esteja sempre dentro do intervalo indicado pelo fabricante do reômetro (200 mNm − 0, 1 µNm). O calculo do torque é baseado na integral da força agindo no elemento de fluido. Neste caso de disco paralelo diferente de cilindros concêntricos ˙γ depende de R, ˙γ(R) = wr/δ. Aqui δ representa a distância entre os discos do reômetro, designado por "gap". Assim o torque é:
T = Z R 0 τ r ds = Z R 0 η (ωr/δ) 2πr2 dr . (2.37)
em que R é o raio do disco. Resolvendo a integral da eq. 2.37, obtem-se que:
T = η ˙γ(R)πr
3
2 (2.38)
Para um fluido caracterizado por uma lei de Bingham (τ = τ0 + η ˙γ) o torque medido
pode ser avaliado pela eq. 2.37:
T = 2πR
3
3 τ0+ πR3
2 η ˙γ(R) . (2.39)