A principal diferença entre a magnetostática e os fenômenos magnéticos dinâmicos é a escala de tempo em que o estímulo e a resposta de um sistema magnético ocorrem. Sob a influência de campos magnéticos quase estáticos, a magnetização sempre parece estar em equilíbrio, uma vez que os processos dinâmicos ocorrem na escala de tempo de picossegundos. No entanto, quando se aplicam pulsos ou campos magnéticos alternados, a configuração de equilíbrio da magnetização é perturbada. O processo de interesse para este estudo, é de ressonância ferromagnética (FMR), no qual a magnetização do material é excitada por rádio frequência ou campos de micro-ondas, cuja frequência coincide com a frequência de precessão dos momentos magnéticos do material. Em adição, quando se aplica um campo magnético perpendicular à direção do campo de excitação, ocorre um movimento de precessão da magnetização do material. A energia necessária para sustentar a precessão é absorvida da radiação de micro-ondas [63]. Os conceitos físicos subjacentes, a descrição teórica do processo de FMR, a resposta dinâmica da magnetização, bem como o modelo usado para ajuste dos dados serão discutidos a seguir.
A equação de movimento da magnetização pode ser obtida mais facilmente por um tratamento semiclássico. Nesse caso, o movimento de um elétron em um orbital atômico sob a influência de um campo magnético pode ser considerado como uma espira de corrente com o momento magnético (𝒎) dado por:
𝒎 = 𝐼𝐴𝒏 (3.8)
No qual 𝒏 é o vetor unitário perpendicular à área 𝐴 da espira e 𝐼 é a corrente elétrica na espira. O momento magnético se relaciona com o momento total angular (𝑱) por
𝒎 = 𝛾𝑱 (3.9)
Em que a constante de proporcionalidade 𝛾, também conhecida como razão giromagnética, é dada por:
𝛾 = 𝑔|𝑒| 2𝑚𝑒
O termo 𝑔 é o fator de Landé (tem seu valor igual a 2 para momento de spin puro e 1 para momento angular puro), 𝑒 é a carga elementar e 𝑚𝑒 é a massa do elétron. Para uma combinação dos momentos orbital e de spin, a magnetização assume outros valores que representam a sua projeção ao longo da direção de 𝑱. Uma vez que a taxa de variação do momento angular total é proporcional ao torque (𝝉 = 𝒎 × 𝑯𝒆𝒇𝒇), a equação de movimento para um único momento magnético (𝒎) pode ser escrita como:
𝑑𝒎
𝑑𝑡 = 𝛾𝝉 = 𝛾𝜇0𝒎 × 𝑯𝒆𝒇𝒇 (3.11)
O campo magnético efetivo 𝑯𝒆𝒇𝒇 é introduzido para levar em conta o campo externo 𝑯𝒆𝒙𝒕 e outros que atuam sobre o momento magnético. Uma vez que o sistema magnético é constituído de um grande número de átomos, cujos momentos magnéticos são acoplados via interação de troca, a soma sobre todos os momentos magnéticos no volume pode ser expressa pela magnetização 𝑴. Isso leva à equação clássica de movimento da magnetização:
𝑑𝑴
𝑑𝑡 = 𝛾𝜇0𝑴 × 𝑯𝒆𝒇𝒇 (3.12)
Que descreve a precessão da magnetização 𝑴 em torno da direção do campo efetivo 𝑯𝒆𝒇𝒇, conforme mostra a ilustração da Figura 3.1 (a).
Figura 3. 1 - Ilustração do processo de precessão não amortecida de M em torno do campo magnético efetivo em (a), trajetória em espiral da magnetização quando um tipo de amortização é introduzido em (b) e, em c), amortecimento com dois termos independentes de dissipação de energia, caracterizados pelos tempos de
De acordo com a equação 3.12, uma vez que a magnetização está desalinhada, não será mais capaz de alcançar a configuração de menor energia, em que 𝑴 é paralela a 𝑯𝒆𝒇𝒇. Assumindo que o campo magnético efetivo não depende do tempo, e multiplicando a equação 3.12 sucessivamente por 𝑴 e 𝑯𝒆𝒇𝒇 resulta em:
𝑑 𝑑𝑡[𝑀]
2 = 0; 𝑑
𝑑𝑡[𝑴. 𝑯𝒆𝒇𝒇]
2 = 0 (3.13)
As equações em (3.13) implicam que o módulo da magnetização se mantém inalterado durante o movimento e que o ângulo entre os vetores 𝑴 e 𝑯𝒆𝒇𝒇 também é uma constante no tempo. Entretanto, isso não corresponde às observações experimentais que mostram que após um tempo finito a magnetização se alinha na direção do campo. Portanto, um torque adicional de amortecimento precessional e perpendicular a 𝑴, deve ser adicionado no lado direito da equação de movimento (3.12). Landau e Lifshitz [121], propuseram a introdução de um termo proporcional −𝑴 × (𝑴 × 𝑯𝒆𝒇𝒇), resultando na equação:
𝑑𝑴
𝑑𝑡 = 𝛾𝜇0𝑴 × 𝑯𝒆𝒇𝒇− 𝜆
𝑀𝑆2𝑴 × (𝑴 × 𝑯𝒆𝒇𝒇) (3.14)
A constante de amortecimento 𝜆 corresponde ao inverso do tempo de relaxação, 𝑀𝑆 é a magnetização de saturação. A equação 3.14 é conhecida como Equação de Landau-Lifshitz (LL). Posteriormente, em 1955, uma outra equação, Landau-Lishitsz-Gilbert (LLG), foi proposta por Gilbert [137]:
𝑑𝑴 𝑑𝑡 = 𝛾𝜇0𝑴 × 𝑯𝒆𝒇𝒇 + 𝐺 𝜆𝑀𝑆2(𝑴 × 𝑑𝑴 𝑑𝑡) (3.15)
Essa expressão apresenta também um termo devido à precessão, assim como a equação LL, e acrescentou-se um termo de amortecimento viscoso, que é proporcional à derivada temporal da magnetização e introduziu o parâmetro de amortecimento de Gilbert (𝐺). O efeito de amortecimento é ilustrado na Figura 3.1 (b). O movimento da magnetização segue uma trajetória em espiral até que se alinhe com o campo magnético efetivo, ponto em que ambos os torques de precessão e de amortecimento que atuam em 𝑴, se cancelem. Como no caso da equação LL, a magnitude da magnetização permanece constante.
Uma terceira forma de descrever o movimento amortecido da magnetização foi proposto por Bloch e Bloembergen (BB) em 1946, e foi originalmente usado na teoria de ressonância magnética nuclear. A equação de BB é dada por:
𝑑𝑴 𝑑𝑡 = 𝛾𝜇0𝑴 × 𝑯𝒆𝒇𝒇− 𝑀𝑥 𝑇2 𝒆𝒙−𝑀𝑦 𝑇2 𝒆𝒚−𝑀𝑧− 𝑀𝑆 𝑇1 𝒆𝒛 (3.16)
Em que a direção de equilíbrio da magnetização é paralela ao eixo 𝑧. Nessa equação, em vez de um único parâmetro de amortecimento, são introduzidos dois tempos de relaxação independentes (𝑇1 e 𝑇2), que caracterizam dois caminhos distintos de dissipação de energia. Um dos mecanismos de amortecimento, que afeta a componente de magnetização 𝑀𝑧, ao longo da direção do campo efetivo, é atribuído a transições provocadas pela inversão do sinal do spin eletrônico, e caracteriza-se pelo chamado tempo de relaxação longitudinal ou spin-rede, 𝑇1. O segundo mecanismo de amortecimento surge das interações entre diferentes momentos magnéticos, devido à perda de sua coerência de fase à medida que eles precessam em torno de 𝑯𝒆𝒇𝒇. Este mecanismo de defasagem de spin afeta os componentes 𝑀𝑥 e 𝑀𝑦 e é descrito pelo tempo de relaxação transversal ou spin-spin, 𝑇2.
Para 𝑇2 ≪ 𝑇1, o que é mais comum ocorrer no experimento de FMR, o relaxamento no plano xy é independente do relaxamento ao longo do eixo 𝑧. A variação da energia de Zeeman é causada somente pela variação de 𝑀𝑧, mas não pelas componentes 𝑀𝑥 e 𝑀𝑦. Conseqüentemente, a magnitude de 𝑀 muda com o tempo e sua trajetória segue uma espiral interna em direção a 𝑯𝒆𝒇𝒇, conforme ilustrado na Fig. 3.1 (c). Se 𝑇1 ≤ 𝑇2, a magnitude da magnetização é conservada e ocorre o relaxamento de Landau-Lifshitz.