De maneira geral, os resultados obtidos pela utilização do filtro de Kalman na análise de assinatura de corrente foram promissores.
Analisando os resultados produzidos pelo Modelo 1, observa-se a robustez dos resultados obtidos por esse modelo. A rapidez com que a estimação dos estados converge para seus valores reais, como apresentado na Figura 44, a convergência do FKE para todas as situações testadas e uma melhora significativa na análise da FFT na maioria dos casos testados confirmam o bom desempenho desse modelo para o problema estudado. Além disso, percebe- se pela Figura 44c que o FKE conseguiu captar informações da modulação na amplitude devido a estimação apresentar um comportamento variável e periódico.
o Modelo 1 não conseguiu gerar o resultado esperado, apesar de ter gerado bons resultados quando testado com 4,167s de dados de medição. Com relação aos resultados obtidos com a diminuição da frequência de amostragem, nota-se que ainda é possível perceber visualmente os picos representativos da falha no espectro das FFT.
Outro ponto a ser notado para o Modelo 1 é o de que devido ao fato de esse modelo não ser projetado para estimar diretamente as componentes de modulação do sinal de corrente, é necessário computar a FFT do resultado após o processamento do FKE.
Diferentemente do Modelo 1, o Modelo 2 propõe estimar diretamente os parâmetros de modulação do sinal de corrente estudado, o que faz com que o Modelo 2 (4 estados estimados) seja mais complexo que o Modelo 1 (3 estados estimados) e tenha uma convergência mais lenta, como mostrado na Figura 49a. No entanto, essa característica possui a vantagem de não ser necessário calcular a FFT da estimação resultante do FKE, uma fez que os parâmetros de modulação são estimados diretamente.
Apesar das dificuldades causadas por um modelo mais complexo, o Modelo 2 foi capaz de gerar resultados melhores quando testado com os dados originais, com 4,167s e 1,667s de medição, como mostrado nas Figuras 51 e 52. No entanto, para frequências de amostragem iguais a fs= 6kHz e fs= 3kHz, o Modelo 2 não conseguiu estimar a frequência de modulação
das falhas corretamente (vide Figura 53), fazendo esse estado convergir para um valor próximo de 60Hz.
Nessa Figura 55, que apresenta a FFT das medições para diferentes frequências de amostragem em uma janela de 0 a 140Hz, observa-se que existem harmônicos de grande amplitude perto de 0Hz e 120Hz e que a relação entre a amplitude desses harmônicos e a amplitude das falhas aumenta com a diminuição da frequência de amostragem. Lembrando que o Modelo 2 modela a corrente medida como uma soma de três cossenoides com frequências f , f+ fmod e f − fmod, em que f é a frequência da portadora, igual a 60Hz e fmod é a frequência de modulação a ser estimada, fica claro que, uma vez que a amplitude dos harmônicos em 0Hz e 120Hz é maior que a amplitude dos harmônicos das falhas, o FKE irá tender a convergir fmod para valores próximos de 60Hz (vide Figura 54), fazendo com que as cossenoides tenham frequência de 60Hz, 0Hz e 120Hz, aproximadamente.
(a) FFT das medições para fs= 12kHz.
(b) FFT das medições para fs= 6kHz. (c) FFT das medições para fs= 3kHz. Figura 55: FFT das medições de 0Hz a 140Hz.
Um resumo dos resultados para cada um dos modelos propostos e para cada caso estudado é apresentado na Figura 56.
5 CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS
O presente trabalho teve como objetivo principal introduzir os conceitos fundamentais da teoria e prática do filtro de Kalman. Para isso, foram apresentados os conceitos fundamentais de probabilidade, processos aleatórios e estimadores recursivos necessários para o entendimento do filtro de Kalman, assim como toda a dedução teórica de suas equações e exemplos de funcionamento. Além disso, foram apresentadas duas variações do FK, conhecidas como filtro de Kalman Estendido e filtro de Kalman Unscented. Por fim, o FK foi aplicado no problema de detecção de falhas em motores de indução.
Para a implementação apropriada do filtro de Kalman no contexto da aplicação prática proposta nesse trabalho, foi necessário integrar conhecimento de diversas áreas da engenharia: processamento digital de sinais (modulação de sinais, análise espectral utilizando a FFT), motores de indução (funcionamento de motores de indução, análise de falhas por assinatura de corrente, consequências do uso de inversores de frequência etc), filtragem estocástica e programação.
Os resultados alcançados nesse trabalho foram bastante satisfatórios e comprovaram a aplicabilidade do FK para esse problema, além de sua grande adaptabilidade em diversas situações. Mesmo que o FK não tenha conseguido alcançar resultados satisfatórios para algumas situações testadas (vide Figura 56), vale ressaltar que as situações propostas com apenas 1,667s de dados ou uma frequência de amostragem de apenas 3kHz são casos extremos e foram escolhidas justamente para testar os limites do FK para o problema em questão. Em situações reais, procuraria-se coletar a maior quantidade de dados possível com a maior frequência de amostragem possível, situação em que os modelos propostos apresentaram resultados bastante promissores, afirmando a aplicabilidade do FK no contexto de detecção de falhas em motores de indução.
Finalmente, como trabalhos futuros, sugere-se a investigação de técnicas para o pré- processamento dos dados de medição antes de utiliza-los no FK, por exemplo, tentar retirar os harmônicos de baixas e altas frequências, facilitando a convergência do FK para os valores
desejados. A respeito dos modelos utilizados, sugere-se a investigação de novos modelos de medição e transição de estados, além da utilização de outras variantes do FK, como o UKF e filtragem robusta. Por fim, sugere-se a aplicação de métodos de sintonia automática e adaptativa das matrizes de covariância Q e R.
REFERÊNCIAS
AGUIRRE, L. A. Introdução à identificação de sistemas -Técnicas lineares e não lineares aplicadas a sistemas. UFMG, 2007. ISBN: 9788570415844.
BROWN, P. Y. C. H. R. G. Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering with MATLAB Exercises. JOHN WILEY & SONS INC, 2012. ISBN 0470609699.
EINICKE, G. A. Smoothing, filtering and prediction: estimating the past, present and future. InTech, 2012.
ETTEN, W. C. V. Introduction to Random Signals and Noise. JOHN WILEY & SONS INC, 2005. ISBN 0470024119.
GREWAL, A. P. A. M. S. Kalman Filtering: Theory and Practice with MATLAB. JOHN WILEY & SONS INC, 2014. ISBN 1118851218.
HAYKIN, S. Kalman Filtering and Neural Networks. JOHN WILEY & SONS INC, 2001. ISBN 0471369985.
HAYKIN, S. Adaptive Filter Theory. PRENTICE HALL, 2013. ISBN 013267145X.
JAZWINSKI, A. H. Stochastic Processes and Filtering Theory. DOVER PUBN INC, 2007. ISBN 0486462749.
JULIER, J. U. S.; DURRANT-WHYTE, H. A new approach for filtering nonlinear systems. Proceedings of the American Control Conference, 1995.
KáLMáN, R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal of Basic Engineering,ASME, 1960.
LEWIS SUDARSHAN DHALL, S. L. J. M. Dynamic Data Assimilation: A Least Squares Approach. CAMBRIDGE UNIV PR, 2006. ISBN 0521851556.
MASLOW, A. H. The Psychology of Science. New York: Harper & Row, 1966.
MILJKOVI´c, D. Brief review of motor current signature analysis. CrSNDT Journal, 2015. MUSOFF, H.; ZARCHAN, P. Fundamentals of Kalman Filtering: A Practical Approach 3ed. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2009.
PAPOULIS, S. U. P. A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw- Hill Education Ltd, 2002. ISBN 0071226613.
SCHNEIDER, R.; GEORGAKIS, C. How to not make the extended kalman filter fail. Industrial & Engineering Chemistry Research, ACS Publications, v. 52, n. 9, p. 3354–3362, 2013.
SERONATO, A. L.; NETO, P. M. Detecção De Defeitos Em Motores De Indução Utilizando A Análise Das Correntes De Linha. 2014. Dissertação (Trabalho de Conclusão de Curso) — Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR, 2014.
SMITH, G. L.; SCHIMIDT, S. F.; MCGEE, L. A. Application of statiscal filter theory to the optimal estimation of position and velocity on board a circumlunar vehicle. Nationa Aeronautics and Space Administration, 1962.
SOUSA, K. M.; COSTA, I. B. V. da; MACIEL, E. S.; ROCHA, J. E.; MARTELLI, C.; SILVA, J. C. C. da. Broken bar fault detection in induction motor by using optical fiber strain sensors. IEEE Sensors Journal, 2017.
VALAPPIL, J.; GEORGAKIS, C. Systematic estimation of state noise statistics for extended kalman filters. AIChE Journal, Wiley Online Library, v. 46, n. 2, p. 292–308, 2000.
VIRGALA, I.; FRANKOVSKý, P.; KENDEROVá, M. Friction effect analysis of a dc motor. American Journal of Mechanical Engineering 1, 2013.
WAN, E.; MERWE, R. van der. The unscented kalman filter for nonlinear estimation. Proceedings of Symposium 2000 on Adaptive Systems for Signal Processing, Communication and Control (AS-SPCC), IEEE, 2000.
APÊNDICE A -- IMPLEMENTAÇÃO DO FILTRO DE KALMAN ESTENDIDO EM MATLAB
function x_out = EKF(F, J_F, x, B, u, H, J_H, z, P, Q, R, timestamp)
% Implementação do Filtro de Kalman Estendido. %
% F: Modelo de transição de estados;
% J_F: Jacobiano do odelo de transição de estados; % x: Estados iniciais;
% B: Modelo das entradas de controle; % u: Entradas de controle;
% H: Modelo de medição;
% J_H: Jacobiano do modelo de medição; % z: vetor de medições;
% P: Covariância dos estados iniciais;
% Q: Matriz de covariância do ruído de processo; % R: Matriz de covariância do ruído de medição; % timestamp: timestamp das medições;
num_estados = length(Q);
num_amostras = length(timestamp);
eye_estados = (eye(num_estados));
x_out = zeros(num_estados, num_amostras);
for i = 1:num_amostras
% Timestamp atual
t = timestamp(i);
%--- Predição ---% % Jacobiano de F avaliado nos estados atuais
J_F_t = J_F(x, t);
x = F(x, t) + B*u; P = J_F_t*P*J_F_t’ + Q;
%--- Atualização ---% % Jacobiano de H avaliado nos estados atuais
J_H_t = J_H(x, t); K = P*J_H_t’/(J_H_t*P*J_H_t’ + R); x = x + K*(z(i) - H(x, t)); P = (eye_estados - K*J_H_t)*P; % Salva valores x_out(:, i) = x; end end
APÊNDICE B -- IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO 1 EM MATLAB
% Número de amostras
num_amostras = length(z); num_estados = 3;
% states = [A, f, phi]
F = @(states, t) states;
J_F = @(states, t) eye(num_estados); B = 0;
% states = [A, f, phi]
H = @(states, t) states(1, :).*cos(2*pi*states(2, :).*t + states(3, :)); J_H = @(states, t) [ cos(2*pi*states(2)*t + states(3)), ...
-2*pi*t*states(1)*sin(2*pi*states(2)*t + states(3)), ...
-states(1)*sin(2*pi*states(2)*t + states(3))];
u0 = zeros(num_estados, 1);
% Limites iniciais
A_l = 10; A_u = 14; f_l = 0; f_u = 60; phi_l = 0; phi_u = 2*pi;
% Estados iniciais
x0 = [(A_u + A_l)/2; (f_u + f_l)/2; (phi_u + phi_l)/2];
% Covariância dos estados iniciais
P0 = diag([(0.5*(A_u - A_l))^2, (0.5*(f_u - f_l))^2, (0.5*(phi_u - phi_l))^2]);
%% Sintonia FK
Q = .00000005*eye(num_estados); R = 1.77;
%% EFK
APÊNDICE C -- IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO 2 EM MATLAB % Número de amostras num_amostras = length(z); num_estados = 4; f = 59.9707; A = 12.5; phi = 8.1906;
% state = [A_mod, f_mod, phi_mod1, phi_mod2]
F = @(state, t) state;
J_F = @(state, t) eye(num_estados); B = 0;
% state = [A_mod, f_mod, phi_mod1, phi_mod2]
H = @(state, t) ...
state(1, :).*cos(2*pi*(f-state(2, :)).*t + state(3, :)) + ...
A*cos(2*pi*f.*t + phi) + ...
state(1, :).*cos(2*pi*(f+state(2, :)).*t + state(4, :));
J_H = @(state, t) ...
[cos(state(4) + 2*pi*t*(f+state(2))) + ...
cos(state(3) + 2*t*pi*(f-state(2))), ...
2*state(1)*t*pi*sin(state(3) + 2*t*pi*(f-state(2))) + ...
-2*state(1)*t*pi*sin(state(4) + 2*pi*t*(f+state(2))), ...
-state(1)*sin(state(3) + 2*t*pi*(f-state(2))), ...
-state(1)*sin(state(4) + 2*pi*t*(f+state(2)))];
u0 = zeros(num_estados, 1);
% Limites iniciais
A_mod_l = 0; A_mod_u = 2; f_mod_l = 0; f_mod_u = 60; phi_mod1_l = 0; phi_mod1_u = 2*pi; phi_mod2_l = 0; phi_mod2_u = 2*pi;
% Estados iniciais
x0 = [(A_mod_u + A_mod_l)/2; (f_mod_u + f_mod_l)/2; ...
(phi_mod1_u + phi_mod1_l)/2; (phi_mod2_u + phi_mod2_l)/2];
% Covariância dos estados iniciais
P0 = diag([(0.5*(A_mod_u - A_mod_l))^2, (0.5*(f_mod_u - f_mod_l))^2, ...
(0.5*(phi_mod1_u - phi_mod1_l))^2, (0.5*(phi_mod2_u - phi_mod2_l))^2]);
%% Sintonia FK
Q = .0000001*eye(num_estados); R = 1.77;
%% EFK