Após a definição dos principais conceitos da teoria da probabilidade, busca-se então como aplicá-los para resolver problemas reais. Como citado no Capítulo 1, e no início deste capítulo, utiliza-se a probabilidade para modelar incertezas presentes em um sistema ou em uma observação do sistema (ex: medição de um sensor). Alguns conceitos como ruído gaussiano e sistemas estocásticos foram introduzidos e nesta seção eles serão aprofundados.
Um processo estocástico (ou aleatório) é um modelo matemático utilizado para descrever um sistema dinâmico que evolui no tempo “ao acaso”, ou seja, seu comportamento é regido por uma sucessão de variáveis aleatórias. Formamente, um processo estocástico é um conjunto de variáveis aleatórias que dependem do tempo t e da ocorrência de um dos possíveis resultados ξ do espaço amostral Ω. Para cada valor t, X (t, ξ ) é uma variável aleatória diferente, ou seja, a variável aleatória X (t1, ξ ) é diferente da variável aleatória X (t2, ξ ). Logo, um processo aleatório é definido por um vetor dos valores X (t, ξ ) assumidos por cada variável aleatória.
Para um valor fixo de t = t0, o valor de X (t0, ξ ) varia em função de todos os valores
possíveis ξ . Mantendo ξ em um valor fixo, X (t) é uma variável em função do tempo. Quando ξ é mantido fixo X (t) é chamado de uma realização do sistema. O conjunto de todas as realizações do processo é chamado ensemble. Para elucidação destes conceitos, a Figura 17 os apresenta de forma visual e simplificada, onde cada ponto representa um possível resultado ξ diferente do espaço amostral.
Figura 17: Processo estocástico.
Um processo estocástico pode ser classificado de forma geral em relação ao tempo e ao valor de x(t, ξ ):
- Discreto no tempo e Discreto em amplitude: t ∈ N e x(t, ξ ) ∈ Z; - Discreto no tempo e Contínuo em amplitude: t ∈ N e x(t, ξ ) ∈ R; - Contínuo no tempo e Discreto em amplitude: t ∈ R e x(t, ξ ) ∈ Z; - Contínuo no tempo e Contínuo em amplitude: t ∈ R e x(t, ξ ) ∈ R.
Para exemplificar, considere que três pessoas estão jogando 3 moedas indefinidamente ao mesmo tempo e anotando o resultado cara (C) ou coroa (K), e com um intervalo de 1s de um arremesso para outro. O espaço amostral Ω deste experimento aleatório pode ser definido como:
Tal experimento pode ser modelado como um processo aleatório de Bernoulli. Uma variável aleatória de Bernoulli será igual 1 quando o resultado da moeda for igual a coroa (K) com probabilidade de ocorrência p e 0 quando for cara (C) com probabilidade de ocorrência 1 − p.
A Figura 18 mostra as 3 realizações x(t, ξ1), x(t, ξ2) e x(t, ξ3) do processo aleatório
para os primeiros 40 arremessos, sendo que cada realização corresponde ao resultado obtido por cada uma das pessoas. O retângulo verde mostra o valor da variável aleatória X (t = 14, ξ ) para todas as realizações. Conforme a figura, o processo é discreto tanto no tempo quanto nos valores assumidos por cada uma das variáveis aleatórias.
Figura 18: Arremesso das moedas tratado como um processo estocástico de Bernoulli.
Na maior parte das aplicações, os processos estocásticos são considerados ergódicos. Um processo estocástico é considerado ergódico quando o valor esperado entre todas as realizações (do inglês ensemble average) do processo é igual a média temporal de apenas uma realização. A média entre as realizações é o valor esperado do processo aleatório para todos os possíveis valores ξ em um determinado instante t fixo, conforme equação (39), levando em consideração se a variável aleatória analisada é continua ou discreta.
E(X (t1, ξ )) = ∑ni=1x(t1, ξi)pi(t1,ξi), VA discreta R∞ −∞x(t1, ξ ) fX(t1,ξ )dx, VA contínua (39)
em que n é número de realizações.
Com relação à Figura 18, o valor esperado da variável aleatória X (t = 14, ξ ) (retângulo verde) é 0,5. Além disso, as variáveis aleatórias possuem a mesma distribuição de probabilidade, logo, o valor esperado de cada uma delas é igual.
A média temporal M é calculada pela equação (40) conforme o domínio do tempo (discreto ou contínuo). M = 1 N∑ N i xi, Tempo discreto 1 T RT 0 X(t)dt, Tempo contínuo (40)
em que N é número de amostras e T o intervalo de tempo (período).
Geralmente, a média das realizações é diferente da média temporal. No entanto, assumir a característica de ergodicidade simplifica a caracterização do processo, considerando que não se conhece as probabilidades de ocorrência para cada valor assumido pelas variáveis aleatórias. A Tabela 1, obtida por meio de simulação computacional, demonstra como a média temporal se mantém em torno da média das realizações (0,5) independente do número de amostras.
Número de Amostras Média Temporal
40 0.5250 200 0.5000 1000 0.5270 2000 0.4985 3000 0.5040 5000 0.4972
Tabela 1: Comparação números de amostras e média temporal para ergodicidade.
Uma outra característica assumida em aplicações é a de estacionariedade. Um processo aleatório é estacionário se a função cumulativa de distribuição de probabilidade da função conjunta de densidade de probabilidade de todas a variáveis aleatórias X (t) não muda em instantes diferentes de tempo. Isto implica que parâmetros como média e variância, os quais caracterizam o processo, não mudem com o tempo. A equação (41) apresenta a definição de forma matemática. A característica de estacionariedade pode ser comparada por analogia com a invariância no tempo na análise de sistemas.
Fx(x(t1), x(t2), ..., x(tn)) = Fx(x(t1+ τ), x(t2+ τ), ..., x(tn+ τ)), (41)
em que τ é o deslocamento no tempo.
Percebe-se que deslocando o processo de Bernoulli em uma amostra a frente ou atrás (ou n amostras) da Figura 18, ele mantém as mesmas características.
Um dos tipos de processos aleatórios mais importante é o gaussiano. A motivação por trás da distribuição normal foi dada na seção anterior: embora uma fonte de incerteza seja não gaussiana, as combinações de várias fontes de incertezas diferentes levam à distribuição normal. Na seção de introdução, apresentou-se a ideia de que todos os sistemas reais são combinações de efeitos estocásticos e determinísticos. Na grande maioria das aplicações, a parte estocástica é modelada como um processo gaussiano e dá-se o nome de ruído branco gaussiano. O branco vem da analogia com a luz, pois seu espectro de frequência possui todas as cores visíveis com mesma intensidade em todas as componentes de frequência. Assim, o ruído branco possui seu espectro em frequência com mesma intensidade em todas as componentes de frequência do sinal possuindo densidade espectral de potência constante. A Figura 19 apresenta o comportamento temporal do ruído branco gaussiano.
Figura 19: Ruído branco gaussiano.
Neste trabalho, será assumido que o ruído branco age de forma aditiva no sistema conforme apresentado na Figura 20, devido no filtro de Kalman o ruído ser considerado aditivo.
Figura 20: Ruído branco gaussiano aditivo.