Discutindo a atividade 3 com as participantes

Nessa atividade foi apresentada uma sequência geométrica na qual o intuito principal era desenvolver uma fórmula genérica para descobrir qualquer termo da sequência. E nessa atividade mais da metade apresentou dificuldade para responder, sendo que nenhuma das participantes conseguiu desenvolver uma fórmula genérica. Porém algumas conseguiram notar a que há um acréscimo de 5 elementos de um elemento para outro. Apoiados em Radford (2010a) consideramos que nesse momento as participantes ainda não haviam

desenvolvido completamente a generalização algébrica ou funcional, uma vez que precisavam utilizar a notação algébrica. Todavia elas pareciam procurar uma lei que descrevesse a situação. Além disso esse mesmo autor em 2006 mostra que muitos estudantes estão nessa fase de percepção e só conseguem descrever através da língua materna e não em linguagem matemática.

O desenvolvimento da conotação matemática é um aspecto peculiar da Álgebra no qual o estudante deve agregar informações sobre outros signos matemáticos, exemplificando a igualdade que pode identificar não somente resultado de uma operação matemática, mas também a relação entre os elementos envolvidos.

Para ampliar esse conhecimento apoiamo-nos em Booth (1992), quando o autor discute o fato de os alunos precisarem ressignificar e ampliar seus conhecimentos das simbologias utilizadas na matemática. Muitos estudantes se limitam a conceitos aprendidos na aritmética e replicam na álgebra. Segundo o autor um desses signos é o sinal de igualdade “=” que na aritmética representa um resultado da operação enquanto que na Álgebra poderá representar outros significado, como a relação de equivalência condicional para determinar o valor da incógnita, neste sentido foi necessário ampliar o conhecimento das alunas exemplificando que o signo de igualdade não é simplesmente o resultado, mas uma relação de equivalência dos entre os termos antes e depois da igualdade.

Abaixo alguns exemplos de como foi abordado durante o estudo mostramos as participantes a composição de algumas quantidades.

• 1 + 1 = 2 ou 1 + 1 = 3 – 1

• 5 + 1 = 6 ou 5 + 1 = 7 – 1

• 8 + 1 = 9 ou 8 + 1 = 7 + 2

Após apresentar esse conceito voltamos a imagem 1 da atividade 3 e começamos a analisar as repostas apresentadas.

Figura 35 - Atividade 3 Sequência Geométrica

Fonte: LUNA, SOUZA, LENDUNI-BORTOLOTI (2017).

Pesquisador “Olhem a primeira sequência e a segunda, o que ocorre?

Futura Professora Terra “Então professor na primeira tem 6 e na segunda 11 pontos”

Futura Professora Lua “Um aumento 5”

Futura Professora Vênus “Eu coloquei aumento de cinco em cinco”

Futura Professora Marte “eu escrevi só cinco”

Futura Professora Terra “Eu escrevi regra de cinco na resposta

E como podemos verificar na discussão das participantes, elas seguem conceitos da aritmética e buscam apoio na aritmética para suas estratégias.

Futura Professora Sol “Professor verifiquei que aumenta de 5 em 5 e comecei a fazer a sequência 6, 11, 16... até chegar no décimo que é 51”

Pesquisador “Isso porque na atividade pediam até o décimo elemento e se pedisse a 100º, a 732º e 1000º?”

Futura Professora Júpiter “Ia demorar muito professor, eu ia chutar”

Pesquisador “Então vamos aprender outra forma de resolver essa atividade”

Nesse momento de interação com o grupo, retomamos a análise da sequência da atividade 3 e começamos a discussão.

Futura Professora Terra “Então professor na primeira tem 6 e na segunda 11 pontos”

Futura Professora Mercúrio “Sim, isso eu entendi, mas como escrever de outra forma esses números?”

Futura Professora Lua “Tá complicado”

Futura Professora Júpiter “Acho que entendi, vê se estou no caminho professor, na primeira tem 6 e na segunda tem 11, então 11 – 6 = 5 nossa base é 5, na primeira é 5 + 1 = 6 na segunda 2 vezes 5 é 10 + 1 = 11”

Pesquisador: e para terceira figura da sequência seria?

Futura Professora Saturno “3 vezes 5 = 15 + 1 = 16

Mesmo considerando que as alunas ainda não haviam desenvolvido completamente a generalização algébrica ou funcional, esperávamos que ela conseguissem, de alguma forma, representar algebricamente a relação entre os termos da sequência. Acreditamos assim como Radford (2006) os professores devem desenvolver a Álgebra simbólica, fazendo a relação entre os eventos que ocorrem e transformar em conotação matemática, todavia isso parecia ser uma limitação encontrada por quase todas ela:

Futura Professora Lua: “Então agora entra o “X”? Será que vou conseguir?

Futura Professora Terra: “Eu sempre tive dificuldades com álgebra será que eu consigo entender agora?

Futura Professora Júpiter: “Mas agora tá mais fácil, porque consigo entender o que é o “X” na conta, ele mostra a relação os números que estamos olhando?

Nessa etapa houve intervenção do pesquisador para que o grupo transformasse o raciocínio desenvolvido para uma conotação algébrica simbólica.

Pesquisador: “Quando a participante Júpiter diz que a primeira 5 + 1 = 6, a segunda 5 x 2 = 10 + 1 = 11, o que vocês percebem na expressão?

Futura Professora Saturno “que o primeiro você só soma, no segundo multiplica 5 por 2 e no terceiro multiplica 5 por 3”

Futura Professora Vênus: “conforme cada figura aumenta, aumenta o valor para multiplicar, é isso?

Futura Professora Marte “então o 0, 2 e 3 seria o “X”?

Diante das dúvidas observadas o pesquisador sentiu a necessidade de discutir sobre o significado dos termos de polinômios de grau 1. Depois dessa retomada ele questionou:

Pesquisador “Quando o professor na escola fala “x + 1” o “x” está sendo multiplicado por?

Futura Professora Lua “pelo número 1”

Pesquisador: “Então na figura 1, 5 + 1 = 6, o 5 está sendo multiplicado por?

Futura Professora Lua, Vênus e Saturno: “pelo número 1”

Futura Professora Lua: “Então, na figura dois é 5 vezes 2 mais um, na figura 3...

A Futura Professora Vênus completou: 5 vezes 3 mais um, também, é isso?

Futura Professora Marte: “Então a fórmula seria 5 x + 1?

Pesquisador: “Correto”

Futura Professora Marte “Não Acredito que entendi Álgebra, Professor você deveria ter surgido antes na nossa vida, está atrasado uns 20 anos”

Podemos observar por meio deste episódio que as futuras professores apresentavam, inicialmente, dúvidas em relação a representação da conotação algébrica simbólica, procuramos, então, mostrar a elas as características dessa representação e quais seriam seus termos. E foi no momento da discussão coletiva que as participantes aprenderam como identificá-los e, tal construção, foi uma ação coletiva com os colegas e com o pesquisador. Fundamentados em em Radford (2010a) consideramos que também nesse momento as alunas conseguiam mostrar que generalizaram e representaram algebricamente a situação.

Após a análise das atividades, algumas participantes indagaram sobre a capacidade de crianças desenvolverem esse tipo de atividade durante os anos iniciais

Futura Professora Júpiter “Professor, as crianças conseguem resolver essas atividades?

Futura Professora Marte “se é complicado para nós, imagina para essas crianças”

Futura Professora Lua: “eu até mostrei para uma professora e ela disse que não sabia como faria com os alunos”

Futura Professora Marte “eu não acho que consigam fazer”

Então apresentamos os estudos de Radford (2006, 2010a, 2010b), Luna, Souza, Lenduni-Bortoloti (2017) em que crianças entre 7 e 11 anos foram capazes de resolver atividades semelhantes e desenvolverem o pensamento algébrico e utiliza-lo para buscar uma solução

Futura Professora Terra “Ah, isso deve ser em escola particular.”

Futura Professora Mercúrio, “mas o professor estava bem preparado para explicar e soube estimular”

Futura Professora Lua: “eu fiquei admirada em ler o que essas crianças conseguiram”

Futura Professora Marte “eu fiquei animada que posso conseguir fazer o mesmo quando estiver atuando”.

Os estudos de Ball, Thames e Phelps (2008) mostram a relação entre o conhecimento comum do conteúdo e o pedagógico do conteúdo. Além disso, para os autores um professor que possui o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo consegue estimular seus alunos facilitam o aprendizado e despertam a curiosidade do aluno para buscar soluções das atividades propostas. Nesse contexto, neste episódio observamos que o desenvolvimento do conhecimento comum do conteúdo parece ter favorecido a reflexão sobre seu ensino a qual foi acrescida com estudo de pesquisas sobre estratégias utilizada por crianças. O contato com resultados de pesquisa parece ter também tocado essas futuras professoras, Marte, por exemplo, vislumbrou possibilidades de desenvolver propostas semelhantes em sua sala. Nesse contexto consideramos ser fundamental que as futuras professoras tivessem desenvolvido o raciocínio algébrico. Nesse contexto na próxima subseção iremos à busca de mais indícios acerca da compreensão da generalização algébrica ou funcional e para tanto propusemos ao grupo a vivência de outra sequencia de Radford a qual será apresentada a seguir.