Dispersão, velocidade de fase e velocidade de grupo

As velocidades das ondas elásticas são diferentes em meios com diferentes carac- terísticas. Em meios dispersivos as ondas adquirem propriedades que tornam o conceito de velocidade, tal como se conhece, um pouco vago. Para se entender melhor o signifi- cado de meio dispersivo irá falar-se do que ocorre a uma perturbação que se propaga num dado material.

Um impacto (por exemplo de um martelo) na superfície de um material transmite- lhe um pulso de onda, isto é, uma perturbação que se propaga através desse meio. O pulso de onda é um fenómeno não periódico e limitado no tempo que requer uma distri- buição de frequências contínua designada por pacote de onda para a sua síntese harmó- nica (Alonso ; Finn, 1999). Se o pulso tiver uma duração muito curta, a faixa de frequên- cias necessária para o descrever é muito elevada, e vice-versa.

Apesar de um pulso poder ser representado por um grupo de ondas harmónicas de diferentes frequências, difere de uma onda harmónica porque esta tem amplitude cons- tante (o pulso tem amplitude variável) e duração infinita (o pulso tem duração finita). A Figura 2.8 ilustra um pulso de ondas.

Figura 2.8 – Propagação de um pulso de onda num material (Alonso ; Finn, 1999).

Se um pulso de onda for induzido num corpo em repouso, essa perturbação é transmitida pelas partículas que a sofreram às partículas adjacentes. Na Figura 2.9 re- presenta-se a evolução de um pulso no tempo e no espaço onde o sistema de eixos Oxy permanece fixo e o sistema de eixos O´xy´ move-se com a velocidade v do pulso. Decor- rido um intervalo de tempo t´tt o pulso irá ocorrer mais à frente no referencial no ponto x´xx (tem a direcção positiva do eixo dos xx).

Figura 2.9 – Propagação de um pulso de uma onda a uma velocidade v num dado meio não dispersivo (Tipler ; Mosca, 2006).

A equação que define a nova posição do pulso é a chamada função de onda e re- presenta-se pela Equação 2.21.

)

(x

vt

f

y





Para que um pacote de onda mantenha a forma durante o seu deslocamento, todas as ondas harmónicas que dele fazem parte necessitam de se deslocar com a mesma ve- locidade. Como resultado, o pacote de onda aparecerá na nova posição (O´) com a mesma forma com que tinha aparecido na posição anterior (O). Quando esta situação ocorre diz-se que não há dispersão (o meio não é dispersivo).

A situação descrita na Figura 2.9 refere-se à propagação de um pacote de onda num meio não dispersivo. Contudo, as situações que ocorrem na natureza podem ser di- versas, isto é, por vezes a forma do pulso vai sendo alterada de acordo com as caracte- rísticas do meio em que o pulso se propaga (Tipler ; Mosca, 2006) (Elmore ; Heald, 1985, Gerthsen, et al., 1998, Ingard, 1988). Nessa situação diz-se que ocorre dispersão.

A dispersão das ondas é um fenómeno que ocorre quando se dá a passagem das ondas por um meio dispersivo. Com a dispersão as ondas alteram a sua forma inicial, di- vidindo-se nas várias componentes espectrais que compõem o pulso. Se um pulso ou pacote de onda alterar a sua forma significa que a velocidade das ondas é dependente da respectiva frequência. O y x v < t=0 y=f(x) O y x y´ O´ x vt x´ y´=f(x´) v < t>0

Dois conceitos importantes para a compreensão do fenómeno da dispersão são a velocidade de fase e a velocidade de grupo. A velocidade de fase pode ser definida como a velocidade a que uma componente de um pulso viaja num determinado meio sem alte- rar a sua forma, isto é, mantendo a sua constante de fase -



Quando se analisa um pulso, como o que se apresentou na Figura 2.9, através da medição da velocidade com que ele percorre um determinado espaço, não se está a me- dir necessariamente a velocidade de fase mas sim a velocidade de propagação do grupo de ondas – denominada de velocidade de grupo - que o compõe (Alonso ; Finn, 1999).

Se a velocidade de propagação for independente da frequência, todas as frequên- cias do pulso caminharão à mesma velocidade sendo, neste caso, a velocidade de grupo igual à velocidade de fase e a forma do pulso mantém-se inalterada. O meio em que esta situação é possível serve, unicamente, para “guiar” um pulso e por isso designa-se por “meio não dispersivo”.

Por outro lado, se um meio for dispersivo, significa que a velocidade de propagação de cada componente do sinal é diferente consoante a frequência que lhe está associada. Neste caso, pode-se concluir que o máximo do pulso se propaga à velocidade de grupo que é diferente da velocidade de fase (maior ou menor) e a forma do pulso vai progressi- vamente alongando. Dependendo da gama de frequências e da heterogeneidade do ma- terial, pode ocorrer maior ou menor dispersão.

Para avaliar a influência que diferentes níveis de heterogeneidade têm na velocida- de de propagação e na frequência dos pulsos de onda (que não podem ser entendidos como velocidade de grupo ou de fase mas são utilizados correntemente em ensaios não destrutivos) foi realizado um estudo (Aggelis ; Shiotani, 2007b) sobre cubos de argamas- sa em que se utilizaram inclusões de pequenas placas de vinil em diferentes percenta- gens de volume até um máximo de 10%. Para esta situação, verificou-se uma diminuição em 18% e 32% da velocidade do pulso das ondas P e R, respectivamente; as ondas R demonstraram ser mais sensíveis à presença de inclusões apresentando também maior dispersão de resultados do que as ondas P.

A Figura 2.10 apresenta o efeito que uma amostra (a) sem inclusões e (b) com in- clusões, têm no sinal obtido. Pode-se dizer que no caso da Figura 2.10 a), a velocidade de grupo é igual à velocidade de fase (a forma da onda emitida é idêntica à forma da on- da recebida), enquanto no caso da Figura 2.10 b) essa situação não ocorre, já que as di- ferentes componentes do pulso não viajam todas à mesma velocidade e, portanto, a ve- locidade de grupo é diferente da velocidade de fase.

a)

b)

Figura 2.10 – Propagação de um pulso num meio (a) sem inclusões (b) com 10% de inclusões; adaptado de (Aggelis ; Shiotani, 2007b).

Num estudo sobre estruturas danificadas verificou-se que após a respectiva injec- ção com argamassas, a velocidade de propagação das ondas P e R aumentou em 5%, o que demonstra a sensibilidade a este procedimento de reparação. Contudo, o valor da frequência central do pulso recebido era superior em 15% na estrutura reparada (9.6kHz a 11.1kHz), isto é, a frequência central recebida demonstrou neste estudo ser um parâ- metro mais sensível à injecção de fendas (Aggelis, et al., 2009). No mesmo estudo, verifi- cou-se que a velocidade de propagação das ondas P medida na estrutura danificada, de- pendia da distância percorrida, sugerindo a existência de dispersão. Este efeito, que não se notava para as ondas R, era anulado para a estrutura reparada (injectada).