Distribuição de frequência e volume por classe diamétrica

Nos estudos de distribuição de frequência de árvorespor classe de diâmetro, têm sido utilizadas funções de distribuição diamétrica, como: Normal, Ln-normal, Gama, Johnson’s SB, Gram-Charlier, Beta e Weibull (BAILEY; DELL, 1973; HAFLEY; SCHREUDER, 1977; MALTAMO; PUUMALAINEN; PÄIVINEN, 1995).

Muitos pesquisadores têm indicado a função de Weibull como a mais sustentável para estimar as frequências por classe de diâmetro (GADOW, 1984; BORDERS et al., 1987). Na Espanha, a função de Weibull tem sido o modelo mais utilizado para descrever a distribuição diamétrica de florestas (ÁLVAREZ, 1997; DEL RIO, 1998; GARCÍA GÜEMES; CAÑADAS; MONTERO, 2002). A popularidade dessa função baseia-se na relativa simplicidade de uso, na flexibilidade e na facilidade de correlacionar seus parâmetros de forma significativa, com algumas características importantes do povoamento (BAILEY; DELL, 1973).

A caracterização e definição da distribuição diamétrica é de importância fundamental nos estudos de sortimento dos povoamentos. Para isso, Bailey e Dell (1973) propuseram o uso da distribuição Weibull, por considerarem-na mais vantajosa que a Beta em sua forma, seu ajuste, sua precisão e sua derivação matemática.

No Brasil, foram desenvolvidos trabalhos de pesquisa sobre distribuição de diâmetros em vários locais e em diferentes espécies, como os estudos de Couto (1980) para Pinus caribaea var. caribaea; Campos e Turnbull (1981) para Pinus patula; Finger (1982) para Acacia mearnsii; Schneider (1984) para Pinus elliottii; Veiga e Brister (1983) para Pinus elliiottii; e Batista (1989) para espécies da floresta tropical pluvial.

Carelli Neto (2008) estudou a distribuição de probabilidade de frequência por classe diamétrica, como Weibull, Normal, Ln-normal e Gama para povoamentos de Pinus taeda implantados em vários espaçamentos iniciais e em diferentes idades e selecionou a função de

Weibull, com dois parâmetros, para prognosticar a probabilidade de frequência do diâmetro, ajustando-a pelo procedimento Capability do SAS.

Para estimar os parâmetros da distribuição Weibull, muitos métodos têm sido desenvolvidos, com destaque aos estimadores de máxima verossimilhança, estudados, dentre outros, por Harter e Moore (1965), Bailey (1974), Belcher e Clutter (1977) e Cao (2004).

Por essa razão, a função Weibull tem sido extensivamente utilizada em estudos de crescimento e produção florestal, com vários trabalhos publicados na literatura nacional e internacional, por autores como: Smalley e Bailey (1974), Hafley e Schreuder (1977), Clutter e Belcher (1978), Clutter et al. (1983), Little (1983), Bailey et al. (1985), Leite et al. (1990) Nogueira et al. (2005), entre outros.

A função de Weibull foi aplicada pela primeira vez por Weibull (1939) em estudos detalhados de materiais e por Prodan et al. (1997) em estudos florestais. No entanto, a função foi utilizada e destacada com maior ênfase na área florestal por Bailey e Dell (1973), apresentada com dois e três parâmetros.

Segundo Van Laar (1979), as funções de densidade de probabilidade de Weibull, com dois e três parâmetros, apresentam características específicas, em que o parâmetro (a) assume uma condição de locação da posição inicial da distribuição, com diâmetro mínimo (a≤x<∞); o parâmetro (b) assume um valor de escala (b<0); e o parâmetro (c) um valor da forma da distribuição de densidade de probabilidade (c>0) para a condição de x≥0. Quando os

parâmetros c=1 e a=0, a função tem sua forma simplificada, passando a conter dois parâmetros (JOHNSON; KOTZ, 1970) e, quando c=3,6, a distribuição de densidade de probabilidade de Weibull passa a descrever uma forma normal (BAILEY; DELL, 1973).

Este modelo Weibull, pela sua flexibilidade, pode assumir uma ampla variedade de formas de distribuição de frequência por classe de diâmetro, desde exponencial, hiperbólica e normal, com assimetria positiva ou negativa, dependendo da tendência dos valores da variável dependente e, por consequência, dos parâmetros da função.

O método para predição dos parâmetros da função de densidade de probabilidade de Weibull consiste em derivar as relações entre os parâmetros das variáveis associadas ao modelo, processo denominado PPM (Predição de Parâmetro do Modelo).

Na maioria dos estudos sobre a projeção do crescimento e da produção de povoamentos florestais, os parâmetros de uma função de densidade probabilística são modelados de forma explícita, mediante modelos lineares ou não-lineares, com variáveis preditoras que utilizam os parâmetros do povoamento, como densidade, diâmetro médio,

altura dominante, índice de sítio e idade. Neste procedimento de predição, embora as relações lineares dos modelos tenham fundamento biológico, em alguns casos, a precisão gerada tem sido baixa (CAO; BURKHART, 1984; CAO, 2004).

Também, para obter os parâmetros da distribuição de Weibull, pode ser empregado um dos três métodos de ajuste: máxima verossimilhança e percentis, ambos descritos em Bailey e Dell (1973), Finger (1982), Gadow (1983); e de momentos, descritos em Burk e Newberry (1984), Abreu (2000), Cao e Burkhart (1984) e Cao (2004).

Como o método de máxima verossimilhança necessita de interação para resolução dos estimadores dos parâmetros, o Procedimento Interativo de Newton é empregado no método dos Mínimos Quadrados Não Ordinários, para regressão não-linear (LEE, 1980).

Recentemente, Cao (2004) desenvolveu um algoritmo para a solução da função de densidade de probabilidade de Weibull, utilizando o método de estimador de máxima verossimilhança, sendo o parâmero de alocação da função Weibull (a) computado com valor inicial de metade do diâmetro mínimo observado na amostragem. Os parâmetros de escala (b) e de forma e (c) são estimados pelo modelo exponencial em função das variáveis espaçamento relativo, número de árvores por hectare, altura dominante e idade do povoamento.

Cao (2004) também desenvolveu um método para ajustar a Função de Distribuição Acumulativa – CDF, que se baseia no cálculo interativo dos coeficientes com a minimização da soma dos valores do logaritmo da probabilidade de frequência.

Outra possibilidade de ajuste é o procedimento denominado passo invariante,que baseia-se no princípio de que predições sucessivas, efetuadas da idade t1 para t2 e da idade t2 para t3, devem, matematicamente, apresentar as mesmas predições, obtidas por um único passo entre as idades t1 e t3 (SOMERS; FARRAR JR, 1991).

Por outro lado, os métodos da máxima verossimilhança, segundo Gould (2006), são versáteis e aplicam-se à maioria dos modelos e tipos de dados. Trata-se de métodos eficientes, que determinam a incerteza através dos limites da confiança e, embora a metodologia para a avaliação da máxima probabilidade seja simples, a execução é, matematicamente, muita intensa.

A maioria dos autores citados utilizam o teste de aderência não paramétrico de Kolmogorov-Smirnov para avaliar a qualidade de ajustamento produzido na distribuição teórica de um conjunto de dados, devido à sua sensibilidade a qualquer diferença do valor central e da dispersão (GADOW, 1983; CAO, 2004). Este teste refere-se ao grau de concordância entre uma distribuição observada e uma distribuição teórica esperada, o qual é

calculado pela maior diferença entre outras frequências, comparado com as frequências das distribuições estimada e esperada em cada classe.