Em geral os estudos de tensões no lastro têm como objetivo determinar a espessura da camada e podem necessitar de informações da tensão sob o dormente, geralmente considerada uniformemente distribuída, e da tensão admissível no topo sublastro ou subleito.
O sublastro aparece como um atenuador de tensões no subleito, além de proporcionar outras vantagens ao conjunto do pavimento, como a redução do fenômeno de bombeamento de finos, uma camada de transição, melhor plataforma de trabalho e a melhoria da drenagem.
De acordo com VILHENA (1976), define-se a capacidade de suporte mínima e a deformação elástica máxima para o sublastro em função dos materiais do subleito, que darão subsídio ao dimensionamento do lastro. Definida a tensão admissível no topo do subleito, pode-se calcular a espessura de lastro utilizando a equação (3.62) de TALBOT (1918, 1941)5, com bulbos de tensões apresentados na Figura 3.30. Conforme a AREMA
154 (2013) e LI et al. (2015), a mínima tensão normal resistente para o subleito deve ser igual a 138 kPa (CBR ≅ 3 %).
Ph =53,87
h1,25 Po (3.62)
Onde:
Ph = pressão à profundidade h, válida apenas para a camada de lastro [F][L]-2;
Po = pressão à superfície do lastro [F][L]-2; h = altura do lastro abaixo do dormente (cm).
A equação (3.62) é difundida no Brasil para o dimensionamento da espessura do lastro e foi concebida para apenas um dormente carregado. Conforme KLINCEVICIUS (2011), TALBOT (1918-1941)5 também realizou experimentos com 3 dormentes e nesse caso a equação (3.62) é modificada, igualando-se Ph a uma equação de distribuição de tensões em um plano horizontal, devido a um carregamento uniformemente distribuído, resultando na equação (3.63).
Figura 3.30 – Bulbos de tensões verticais para dormente isolado Fonte: TALBOT, 1918, 19415 apud QUEIROZ, 1990
A constante K é determinada conforme a equação (3.64) e aplicando a equação (3.64) na equação (3.63), chega-se à equação (3.65), que considera a superposição de efeitos dos 3 dormentes. Tal equação permite a análise de tensões ao longo do eixo da via (x) até o próximo dormente adjacente, sendo o carregamento concentrado no dormente central. Chega-se à conclusão que a superposição de efeitos dos 3 dormentes é equivalente à análise para 1 dormente isolado, equação (3.62), quando x=0.
Ph =53,87 h1,25 Po→ Ph = | K L √πPo e −K2x²| x=0 =53,87 h1,25 Po (3.63) K =53,87 √π L h1,25 (3.64)
155 Ph = K L √πPo e −K2x² → P h = 53,87 h1,25 Po e −(53,87 √π L h1,25 ) 2 x² (3.65) Onde: L = comprimento do dormente (cm);
Po = pressão na superfície do lastro (kgf/cm²); K = constante de TALBOT;
x = distância horizontal entre o ponto em análise e a linha de simetria, longitudinal ao dormente carregado;
h = espessura da camada de lastro abaixo do dormente (cm).
A Figura 3.31 apresenta a distribuição de tensões normais no lastro ao longo da profundidade quando aplicada a equação (3.65). O comprimento do dormente foi considerado igual a 2,8 m e diferentes distâncias horizontais (x) foram parametrizadas, sendo Po = 400 kPa. Verifica-se que somente após uma profundidade de 25 cm a formulação de Talbot apresenta redução das tensões face à tensão inicial Po.
Figura 3.31 – Distribuição de tensões normais no lastro ao longo da profundidade para uma superposição de efeitos de 3 dormentes e diferentes distâncias longitudinais
Alguns bulbos de tensões pesquisados por TALBOT (1918, 1941)5 para 3 dormentes e diferentes espaçamentos são apresentados da Figura 3.32 a Figura 3.34.
Para SCHRAMM (1977), a distribuição das tensões ao longo da espessura do lastro se procede com um ângulo de 33° a 45°, regido pela equação (3.66). O ângulo de 33° representa fragmentos finos de rocha, com superfície lisa e úmida. Já o limite superior de 45° representa fragmentos grandes de rocha, com superfície áspera e seca, mostrando que a textura influencia na distribuição das tensões. Existe influência do comprimento do dormente na tensão atuante na base do lastro, onde 20 cm a menos em dado comprimento do dormente pode resultar em tensões até 18 % maiores. Então, deve-se evitar dormentes curtos em trechos com subleito de baixa capacidade.
10 15 20 25 30 35 200 400 600 800 1000 1200 1400 P ro fu n d id ad e (c m ) Tensões normais (kgf/cm²) x=0 cm x=10 cm x=20 cm x=30 cm x=40 cm x=50 cm x=60 cm
156 Ph = 1,5 Pmax
[3 (L − a) + Bd ] h tg(∝) (3.66)
Onde:
Ph = pressão à profundidade h, válida apenas para a camada de lastro [F][L]-2; Pmax = carga máxima em um apoio de trilho [F];
L = comprimento do dormente [L];
a = espaçamento entre eixos dos dormentes [L]; Bd = largura do dormente [L];
h = espessura da camada de lastro abaixo do dormente [L]; ∝ = ângulo sob o qual se processa a distribuição das pressões (°).
Figura 3.32 – Bulbos de tensões verticais com 3 dormentes espaçados em 46 cm Fonte: TALBOT, 1918, 19415 apud QUEIROZ, 1990
Figura 3.33 – Bulbos de tensões verticais com 3 dormentes espaçados em 53 cm Fonte: TALBOT, 1918, 19415 apud QUEIROZ, 1990
157 Figura 3.34 – Bulbos de tensões verticais com 3 dormentes espaçados em 61 cm
Fonte: TALBOT, 1918, 19415 apud QUEIROZ, 1990
Segundo SCHRAMM (1977), para que efetivamente ocorra a distribuição de tensões, a espessura do lastro deverá ser maior que Bd
2 tg(∝). Para um dormente com 25 cm
de largura e um ângulo de distribuição das tensões de 33º a espessura mínima será de aproximadamente 19 cm, para 45º a espessura mínima será de 12,5 cm.
Existem também outras equações clássicas que podem ser utilizadas para o dimensionamento da espessura da camada de lastro (as vezes com algumas adaptações), mencionadas por POULOS e DAVIS (1974), STOPATTO (1987), KLINCEVICIUS (2011) e MEDINA e MOTTA (2015):
a) da Japanese National Railways (JNR), que considera a tensão distribuída uniformemente no lastro e dormente para via de bitola métrica:
Ph = 50
10 + h1,35Po (3.67)
Onde:
Ph = pressão à profundidade h, válida apenas para a camada de lastro (kg/cm²);
Po = pressão à superfície do lastro (kg/cm²);
h = espessura da camada de lastro abaixo do dormente (cm).
b) de LOVE (1929)37, idealizada mais propriamente para pavimentos rodoviários, assim a consideração de “r” como a área efetiva de apoio do dormente pode não ser representativa:
37 LOVE, E. H. (1929). ”The stress produced in a semi-infinite solid by pressure on part of the
158 Ph = Po [ 1 − [ 1 (1 + (hr)2) ] 2 3 ] (3.68) Onde:
Ph = pressão à profundidade h, válida apenas para a camada de lastro (kg/cm²); Po = pressão à superfície do lastro (kg/cm²);
h = espessura da camada de lastro abaixo do dormente (cm);
r = raio da área efetiva de apoio do dormente no lastro, sob um trilho [L].
c) de BOUSSINESQ (1885)17, que teve sua validade verificada com experiências na Alemanha, podendo apresentar tensões muito elevadas em camadas próximas à superfície: Ph =3 Pmax 2 π h2cos5θ = 3 Pmax 2 π h2 1 [1 + (hr)2] 5 2 (3.69) Onde:
Ph = pressão à profundidade h, válida apenas para a camada de lastro (kg/cm²); h = espessura da camada de lastro abaixo do dormente (cm);
Pmax = carga máxima em um apoio de trilho [F];
r = distância horizontal entre a aplicação de carga e o ponto analisado [L]; θ = 0, para tensões verticais na mesma linha de carga.
d) de NEWMARK (1942)38, desenvolvida a partir da integração da equação de BOUSSINESQ (1885)17 para o cálculo das tensões no interior de um semi- espaço infinito, oriundas de carregamentos retangulares uniformemente distribuídos em uma superfície horizontal. O método baseia-se na divisão da área carregada em retângulos com aresta passando pelo ponto em análise. A partir do princípio da superposição de efeitos, soma-se ou subtrai-se retângulos: Ph= P0 4π[ (2 m n √m2+ n2+ 1) (m2+ n2+ m2n2+ 1) (m2+ n2+ 2) (m2+ n2+ 1)+ arctg [ 2 m n √m2+ n2+ 1 m2+ n2− m2n2+ 1]] (3.70)
Onde, conforme Figura 3.35: m = a’/z;
n = b’/z.
38 NEWMARK, N. M. (1942). "Influence charts for computation of stresses in elastic
foundations". Bulletin Series, Nº 330, vol. 42, Engineering Experiment Station, University of Illinios, Urbana, USA, pp. 232-240.
159 Figura 3.35 – Esquema do problema de NEWMARK (1942)38
Fonte: KLINCEVICIUS, 2011
Na Figura 3.36 é apresentado um comparativo de todas as soluções apresentadas para a estimativa de tensões no lastro, considerado uma tensão sob o dormente de 4 kgf/cm² (400 kPa). Nas soluções que requerem medidas geométricas do dormente, considerou-se o comprimento total da peça igual a 2,8 m, largura de 25 cm, espaçamento entre unidades de 60 cm e comprimento efetivo de socaria para um trilho igual a 1/3 do comprimento total. Para o método de SCHRAMM (1977) o bulbo de tensões foi considerado com uma inclinação de 39°. A Figura 3.37 reapresenta o gráfico da Figura 3.36 sem a formulação de BOUSSINESQ (1885)17, que se distinguiu muito das outras formulações, não sendo recomendada para análises da distribuição de tensões em camadas de lastro ferroviário. Para 10 cm de profundidade a tensão Ph foi
aproximadamente 44 kgf/cm².
Figura 3.36 – Comparativo entre todas soluções apresentadas para estimativa de tensões no lastro 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 P ro fu n d id ad e n a ca m ad a d e la st ro ( cm ) Tensão (kgf/cm²)
160 Figura 3.37 - Comparativo entre todas soluções apresentadas para estimativa de tensões
no lastro, exceto Boussinesq
Conforme verifica-se na Figura 3.37, a solução de LOVE (1929)37 foi a que melhor se adequou frente às distribuições de tensões plotadas, indo dos 4 kgf/cm² aplicados logo abaixo do dormente até 1,5 kgf/cm² a 45 cm de profundidade, sendo a formulação recomendada pelo autor da presente tese. A solução de NEWMARK (1942)38 apresentou valores coerentes a partir de 12 cm, com 3,31 kgf/cm² indo até 1,2 kgf/cm² a 45 cm de profundidade. Todas as outras soluções apresentaram elevadas tensões nas primeiras profundidades, acima de 4 kgf/cm². A de TALBOT (1918-1941)5 apresentou elevadas tensões até 24 cm de profundidade.
QUEIROZ (1990) e SADEGHI (1997) comentam que a teoria de BOUSSINESQ (1885)17 também foi utilizada pela ORE (1965-1970)47 e a espessura do lastro poderia ser determinada pela relação de tensões (Ph/Po), conforme a Figura 3.38.
Utilizando a solução NEWMARK (1942)38 como referência, KLINCEVICIUS (2011) comparou as soluções analíticas de BOUSSINESQ (1885)17 e LOVE (1929)37 (Figura 3.39), e depois as soluções empíricas de TALBOT (1918, 1941)5 e da JNR (Figura 3.40). Tais resultados são apresentados em percentagem pois foram relacionados com a tensão no topo do lastro de aproximadamente 450 kPa (independente do tipo de superestrutura). 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 P rof u n d id ad e n a ca m ad a d e la st ro (c m ) Tensão (kgf/cm²)
161 Figura 3.38 – Tensões verticais desenvolvidos no lastro
Fonte: ORE (1965-1970)47 apud QUEIROZ, 1990
Figura 3.39 – Comparativo de soluções teóricas Fonte: KLINCEVICIUS, 2011
Figura 3.40 - Comparativo de soluções empiricas Fonte: KLINCEVICIUS, 2011
162 A resistência horizontal do lastro tem papel fundamental na estabilidade da grade, principalmente no sentido longitudinal, equilibrando os esforços de aceleração e frenagem. No sentido transversal o lastro deve combater a ação da força centrífuga gerada nas curvas, que pode ocasionar o arraste da grade. A determinação dos esforços horizontais, apesar de na prática não existir confinamentos laterais do lastro, pode ser realizada utilizando ensaios em caixa (box tests).
SELIG e WATERS (1994) apresentaram resultados de ensaios em caixa, onde o lastro foi solicitado a 10 mil ciclos de carga. Como resultando, depois de 1000 ciclos de carga houve tendência à estabilização da tensão horizontal em aproximadamente 30 kPa, logo abaixo do dormente, conforme indicado na Figura 3.41. O dormente sem carga representa a condição em que o carregamento foi cessado e a tensão horizontal medida é uma tensão residual.
Figura 3.41 – Tensões horizontais obtidas em caixa de lastro Fonte: SELIG e WATERS, 1994