3.1 Introdução
O objetivo deste capítulo é encontrar distribuições de probabilidade que descrevam bem os dados dos três ativos em questão. Sabe-se da literatura que, apesar de muitos modelos da ma- temática financeira, tais como a teoria de carteiras de Markowitz [42] e a famosa teoria de precificação de derivativos de Black-Scholes [43] se apoiarem na hipótese de normalidade dos retornos, essa hipótese não se verifica, como mostra a figura 3.1. Na parte superior desta figura vemos, numa escala semi-log, as distribuições de probabilidade empírica e o respectivo ajuste normal para os retornos diários1feitos para o índice BOVESPA durante todo o período consi-
derado, junto com o gráfico qq-plot2, que ajuda e evidenciar a não normalidade dos retornos, principalmente nas regiões das caudas das curvas. Observamos que a distribuião normal subes- tima a probabilidade de eventos extremos por possuir um decaimento muito acentuado de suas caudas, em contraposição ao que ocorre na distribuição empírica, como vemos no gráfico qq- plot na parte inferior da figura. Tal característica implica em efeitos não desejáveis nas teorias mencionadas acima, tais como a subprecificação de derivativos na teoria de Black-Scholes e a subestimação dos níveis de risco no cálculo do VaR3.
Uma forma de quantificar a característica de ‘caudas pesadas’ das distribuições é através da medida de excesso de curtose k4. Na tabela 3.1 vemos algumas estatísticas que mostram,
dentre outras, as assimetrias e as curtoses das distribuições dos ativos. Vemos, por exemplo, que VALE5 apresenta as maiores assimetrias e curtoses.
Uma questão que se coloca neste momento é até que ponto a distribuição normal subestima as probabilidades nas suas caudas. Suponhamos que queiramos saber quantas vezes no ano o Log-Retorno do IBOV é menor que −0,08. Empiricamente isso acontece em 1% dos retornos e a distribuição normal ajustada aos dados dá uma estimativa dessa probabilidade de apenas um quinto disso, ou seja 0,2%. Assim, temos que, empiricamente, este evento ocorre, em média, uma vez a cada 2,5 anos, enquanto que o estimado pelo ajuste normal diz que esse evento deve
1Sabe-se da literatura que à medida que aumentamos a escala temporal, de retornos diários para semanais, de
semanais para anuais, etc., as distribuições de probabilidade dos retornos tendem para a distribuição normal, con- sequência, naturalmente, do Teorema Central do Limite. Tal fenômeno é conhecido como agregação gaussiana.
2O gráfico qq-plot é um gráfico feito para comparar os quantis de uma distribuição de probabilidade empírica
com os quantis teóricos de uma distribuição normal.
3Value at Risk: A que perda máxima em um único dia você está sujeito quando aplica em um fundo de
investimento? Essa é a questão a ser respondida pelo VaR.
4Excesso de curtose≡ k =E[(x− ¯x)4] σ4 − 3
−0.15 −0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 −10 −5 0 5 IBOV Escala y−log Log−Retornos IBOV Densidade Log−Retornos Empírica Normal −4 −2 0 2 4 −0.1 0.1 0.3 QQ−plot diário Quantis teóricos Quantis empíricos
Figura 3.1 Densidade de probabilidade empírica e ajuste normal para IBOV
ocorrer, em média, uma vez a cada 12,5 anos. Somos confrontados nesse caso particular com uma grande subestimação por parte da distribuição normal.
Podemos ver, ainda, que a cauda direita é ainda mais pesada que a esquerda. Essa informa- ção pode ser inferida a partir do gráfico qq-plot na parte inferior da figura 3.1, onde vemos que os quantis empíricos se afastam mais da linha reta que representa os quantis teóricos na parte direita do gráfico, consequência da assimetria positiva verificada para esse ativo, IBOV, como se observa na tabela 3.1.
Todos os exemplos relatados nos parágrafos acima se referem ao ativo IBOV, no entanto, todas as situações referidas são encontradas nos outros ativos em estudo. Em termos gerais, todos os ativos se comportam de forma muito semelhante e para os quais se podem tirar as mesmas conclusões.
Como observação final podemos concluir que a distribuição normal não é um bom modelo para o ajustamento das distribuições dos Log-Retornos em que o intervalo das observações seja curto. A distribuição normal não é capaz de modelar ‘caudas pesadas’ nem possui capacidade para lidar com conjuntos de dados assimétricos. É muito importante introduzir uma nova classe de distribuições de probabilidade capazes de modelar esses efeitos.
3.2 DISTRIBUIÇÕES HIPERBÓLICAS GENERALIZADAS 23
ESTATÍSTICAS
IBOV
PETR4 VALE5
Mínimo
-0,17
-0,22
-0,16
Máximo
0,29
0,21
0,38
Média
0,00078 0,0011 0,00098
Mediana
0,0012
0,0000
0,0000
Desvio Padrão
0,028
0,035
0,032
Assimetria
0,25
-0,08
0,5
Curtose
7,13
5,12
7,6
Tabela 3.1 Algumas estatísticas para os ativos
3.2 Distribuições Hiperbólicas Generalizadas
Já em 1963, Mandelbrot [44] concluiu que o comportamento dos log-retornos dos ativos finan- ceiros apresentam caudas mais pesadas que as sugeridas pelas gaussianas, sugerindo então o uso das distribuições de Pareto. No entanto, essas distribuições apresentam caudas demasiada- mente altas, fato observado empíricamente.
Um novo tipo de distribuições chamadas Hiperbólicas Generalizadas provou ser útil no tratamento de dados financeiros e o que tornou tais distribuições bastante populares foi a versa- tilidade com que se ajustam aos mais variados conjuntos de dados. O desenvolvimento destas distribuições se deve a Barndoff-Nielsen [45], que ajustou uma classe hiperbólica ao tamanho dos grãos de areia quando sujeitos ao vento contínuo. Estes conceitos foram generalizados e mais tarde foram obtidas as Distribuições Hiperbólicas Generalizadas (DHG).
A função densidade de probabilidade unidimensional de uma DHG é definida pela seguinte equação : DHG(x;α,β,δ,µ,λ) = a(λ,α,β,δ)(δ2+ (x −µ)2) λ − 12 2 K(λ,α,δ,µ,β) (3.1) com K(λ,α,δ,µ,β) = Kλ −1 2(α q δ2+ (x −µ)2) exp(β(x −µ)), (3.2) onde a(λ,α,β,δ) = (α 2−β2)λ 2 √ 2παλ −12δλKλ(δpα2−β2) (3.3) é um fator de normalização para tornar a área total igual a 1 e
Kλ(x) =1 2 Z ∞ 0 y λ −1exp µ −12x(y + y−1) ¶ dy (3.4)
é a função de Bessel modificada de ordem 3 com índiceλ. Os domínios dos parâmetros são:
µ,λ ∈ R
−α<β <α δ,α > 0
ondeµ é um parâmetro de localização ,δ é um fator de escala,α eβ determinam a forma da distribuição e λ determina a subclasse da DHG e está diretamente relacionada à espessura da cauda. O logaritmo da função densidade de probabilidade é uma hipérbole e esse é o motivo do nome da distribuição . Note que o logaritmo da funcão densidade de probabilidade normal por sua vez é uma parábola.
As DHG possuem as caudas semi-pesadas por possuírem caudas mais pesadas que as da gaussiana mas menos pesadas que as distribuições de Pareto, possuindo variância finita, como observamos na expressão abaixo:
gh(x;λ,α,β,δ) ∼ |x|λ −1exp((∓α+β)x) quando x → ±∞. (3.5)
Muitas distribuições podem ser obtidas como subclasses ou como distribuições limite das DHG. Citamos como exemplo a distribuição Gaussiana, a t de Student e a Gaussiana Normal Inversa. −4 −2 0 2 4 0.0 0.2 0.4 0.6