x f(x) µ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• A distribui¸c˜ao normal ´e caracterizada por dois parˆametros: m´edia (esperan¸ca), que vamos denotar por µ; e variˆancia, que vamos denotar por σ2
• O desvio padr˜ao, ra´ız quadrada da variˆancia, ´e denotado por σ • A m´edia caracteriza a loca¸c˜ao e a variˆancia (ou desvio
padr˜ao) caracteriza a dispers˜ao da vari´avel aleat´oria • Nota¸c˜ao: X ∼ N(µ, σ2) (X tem distribui¸c˜ao normal com
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• A distribui¸c˜ao normal ´e caracterizada por dois parˆametros: m´edia (esperan¸ca), que vamos denotar por µ; e variˆancia, que vamos denotar por σ2
• O desvio padr˜ao, ra´ız quadrada da variˆancia, ´e denotado por σ
• A m´edia caracteriza a loca¸c˜ao e a variˆancia (ou desvio padr˜ao) caracteriza a dispers˜ao da vari´avel aleat´oria • Nota¸c˜ao: X ∼ N(µ, σ2) (X tem distribui¸c˜ao normal com
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• A distribui¸c˜ao normal ´e caracterizada por dois parˆametros: m´edia (esperan¸ca), que vamos denotar por µ; e variˆancia, que vamos denotar por σ2
• O desvio padr˜ao, ra´ız quadrada da variˆancia, ´e denotado por σ • A m´edia caracteriza a loca¸c˜ao e a variˆancia (ou desvio
padr˜ao) caracteriza a dispers˜ao da vari´avel aleat´oria
• Nota¸c˜ao: X ∼ N(µ, σ2) (X tem distribui¸c˜ao normal com
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• A distribui¸c˜ao normal ´e caracterizada por dois parˆametros: m´edia (esperan¸ca), que vamos denotar por µ; e variˆancia, que vamos denotar por σ2
• O desvio padr˜ao, ra´ız quadrada da variˆancia, ´e denotado por σ • A m´edia caracteriza a loca¸c˜ao e a variˆancia (ou desvio
padr˜ao) caracteriza a dispers˜ao da vari´avel aleat´oria • Nota¸c˜ao: X ∼ N(µ, σ2) (X tem distribui¸c˜ao normal com
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
Exemplo: 0 5 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x f(x) N(0,1) N(5,9)Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Uma das suposi¸c˜oes do modelo normal ´e que os valores poss´ıveis de X perten¸cam a toda a reta, isto ´e, o intervalo (−∞, ∞)
• Entretanto, dependendo do contexto e com suposi¸c˜oes adequadas, ela pode ser utilizada para modelar vari´aveis que assumem valores em um subintervalo da reta, como valores positivos, por exemplo
• A distribui¸c˜ao normal ´e sim´etrica em torno da m´edia, o que implica
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Uma das suposi¸c˜oes do modelo normal ´e que os valores poss´ıveis de X perten¸cam a toda a reta, isto ´e, o intervalo (−∞, ∞)
• Entretanto, dependendo do contexto e com suposi¸c˜oes adequadas, ela pode ser utilizada para modelar vari´aveis que assumem valores em um subintervalo da reta, como valores positivos, por exemplo
• A distribui¸c˜ao normal ´e sim´etrica em torno da m´edia, o que implica
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Uma das suposi¸c˜oes do modelo normal ´e que os valores poss´ıveis de X perten¸cam a toda a reta, isto ´e, o intervalo (−∞, ∞)
• Entretanto, dependendo do contexto e com suposi¸c˜oes adequadas, ela pode ser utilizada para modelar vari´aveis que assumem valores em um subintervalo da reta, como valores positivos, por exemplo
• A distribui¸c˜ao normal ´e sim´etrica em torno da m´edia, o que implica
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Se uma vari´avel aleat´oria X tem distribui¸c˜ao normal com m´edia 0 e variˆancia 1, ou seja, X ∼ N(0, 1), dizemos que X
tem distribui¸c˜ao normal padr˜ao
• Tal distribui¸c˜ao ´e importante, pois, por meio dela, conseguimos calcular probabilidades e outras medidas relevantes para qualquer distribui¸c˜ao normal
• Se X ∼ N(µ, σ2), ent˜ao
Z = X − µ
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Se uma vari´avel aleat´oria X tem distribui¸c˜ao normal com m´edia 0 e variˆancia 1, ou seja, X ∼ N(0, 1), dizemos que X
tem distribui¸c˜ao normal padr˜ao
• Tal distribui¸c˜ao ´e importante, pois, por meio dela, conseguimos calcular probabilidades e outras medidas relevantes para qualquer distribui¸c˜ao normal
• Se X ∼ N(µ, σ2), ent˜ao
Z = X − µ
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Se uma vari´avel aleat´oria X tem distribui¸c˜ao normal com m´edia 0 e variˆancia 1, ou seja, X ∼ N(0, 1), dizemos que X
tem distribui¸c˜ao normal padr˜ao
• Tal distribui¸c˜ao ´e importante, pois, por meio dela, conseguimos calcular probabilidades e outras medidas relevantes para qualquer distribui¸c˜ao normal
• Se X ∼ N(µ, σ2), ent˜ao
Z = X − µ
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Suponha que queiramos calcular P(a < X < b)
• O resultado anterior nos permite escrever uma probabilidade para X como uma probabilidade para Z , que tem uma distribui¸c˜ao normal padr˜ao
• Especificamente, P(a < X < b) = P a − µ σ < X − µ σ < b − µ σ = P a − µ σ < Z < b − µ σ
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Suponha que queiramos calcular P(a < X < b)
• O resultado anterior nos permite escrever uma probabilidade para X como uma probabilidade para Z , que tem uma distribui¸c˜ao normal padr˜ao
• Especificamente, P(a < X < b) = P a − µ σ < X − µ σ < b − µ σ = P a − µ σ < Z < b − µ σ
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Suponha que queiramos calcular P(a < X < b)
• O resultado anterior nos permite escrever uma probabilidade para X como uma probabilidade para Z , que tem uma distribui¸c˜ao normal padr˜ao
• Especificamente, P(a < X < b) = P a − µ σ < X − µ σ < b − µ σ = P a − µ σ < Z < b − µ σ
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Exemplo: Considere que o n´ıvel de uma certa substˆancia no
sangue de seres humanos saud´aveis pode ser modelado de acordo com uma distribui¸c˜ao normal com m´edia 80 mg/dL e desvio padr˜ao 10 mg/dL
• Qual ´e a probabilidade de um indiv´ıduo saud´avel apresentar um n´ıvel entre 85 e 90 mg/dL da substˆancia em seu sangue? • Queremos calcular P(85 < X < 90) • Padronizando, temos P(85 < X < 90) = P 85 − 80 10 < Z < 90 − 80 10 = P(0, 5 < Z < 1)
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Exemplo: Considere que o n´ıvel de uma certa substˆancia no
sangue de seres humanos saud´aveis pode ser modelado de acordo com uma distribui¸c˜ao normal com m´edia 80 mg/dL e desvio padr˜ao 10 mg/dL
• Qual ´e a probabilidade de um indiv´ıduo saud´avel apresentar um n´ıvel entre 85 e 90 mg/dL da substˆancia em seu sangue?
• Queremos calcular P(85 < X < 90) • Padronizando, temos P(85 < X < 90) = P 85 − 80 10 < Z < 90 − 80 10 = P(0, 5 < Z < 1)
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Exemplo: Considere que o n´ıvel de uma certa substˆancia no
sangue de seres humanos saud´aveis pode ser modelado de acordo com uma distribui¸c˜ao normal com m´edia 80 mg/dL e desvio padr˜ao 10 mg/dL
• Qual ´e a probabilidade de um indiv´ıduo saud´avel apresentar um n´ıvel entre 85 e 90 mg/dL da substˆancia em seu sangue? • Queremos calcular P(85 < X < 90) • Padronizando, temos P(85 < X < 90) = P 85 − 80 10 < Z < 90 − 80 10 = P(0, 5 < Z < 1)
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Exemplo: Considere que o n´ıvel de uma certa substˆancia no
sangue de seres humanos saud´aveis pode ser modelado de acordo com uma distribui¸c˜ao normal com m´edia 80 mg/dL e desvio padr˜ao 10 mg/dL
• Qual ´e a probabilidade de um indiv´ıduo saud´avel apresentar um n´ıvel entre 85 e 90 mg/dL da substˆancia em seu sangue? • Queremos calcular P(85 < X < 90) • Padronizando, temos P(85 < X < 90) = P 85 − 80 10 < Z < 90 − 80 10 = P(0, 5 < Z < 1)
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
Exemplo (cont.): As probabilidades (´areas) s˜ao iguais para as duas
distribui¸c˜oes 50 70 90 110 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 N(80,100) x f(x) −4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 N(0,1) z ϕ ( z )
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
Exemplo (cont.): Note que
P(0, 5 < Z < 1) = P(Z < 1) − P(Z < 0, 5) −4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 z ϕ ( z ) 0.5 1
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Exemplo (cont.): A probabilidade
Φ(z) = P(X ≤ z) ´
e chamada fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumuladada distribui¸c˜ao normal padr˜ao
• Ela retorna a probabilidade de Z ser menor ou igual a um determinado valor z, ou seja, toda a ´area abaixo da fun¸c˜ao para valores menores que z
• Os valores de Φ(x ) podem ser obtidos por meio de uma tabela (ou serem calculadas com o aux´ılio de um computador)
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Exemplo (cont.): A probabilidade
Φ(z) = P(X ≤ z) ´
e chamada fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao acumuladada distribui¸c˜ao normal padr˜ao
• Ela retorna a probabilidade de Z ser menor ou igual a um determinado valor z, ou seja, toda a ´area abaixo da fun¸c˜ao para valores menores que z
• Os valores de Φ(x ) podem ser obtidos por meio de uma tabela (ou serem calculadas com o aux´ılio de um computador)
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Exemplo (cont.): Em nosso caso, temos que
P(0, 5 < X < 1) = Φ(1)−Φ(0, 5) = 0, 8413−0, 6915 = 0, 1498
• Ou seja, h´a uma probabilidade de 0,1498 de um indiv´ıduo saud´avel ter uma quantidade da substˆancia no sangue entre 85 e 90 mg/dL
• Em outras palavras, 14,98% dos indiv´ıduos saud´aveis apresentam n´ıvel da substˆancia no sangue entre 85 e 90 mg/dL, segundo o modelo que normal que estamos assumindo
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Exemplo (cont.): Em nosso caso, temos que
P(0, 5 < X < 1) = Φ(1)−Φ(0, 5) = 0, 8413−0, 6915 = 0, 1498
• Ou seja, h´a uma probabilidade de 0,1498 de um indiv´ıduo saud´avel ter uma quantidade da substˆancia no sangue entre 85 e 90 mg/dL
• Em outras palavras, 14,98% dos indiv´ıduos saud´aveis apresentam n´ıvel da substˆancia no sangue entre 85 e 90 mg/dL, segundo o modelo que normal que estamos assumindo
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade de um indiv´ıduo
saud´avel ter uma quantidade da substˆancia menor que 100 mg/dL? • Queremos calcular P(X < 100) = P Z < 100 − 80 10 = P(Z < 2) = Φ(2) = 0, 9773
Distribui¸c˜ao normal (gaussiana)
• Exemplo (cont.): Qual ´e a probabilidade de um indiv´ıduo
saud´avel ter uma quantidade da substˆancia menor que 100 mg/dL? • Queremos calcular P(X < 100) = P Z < 100 − 80 10 = P(Z < 2) = Φ(2) = 0, 9773