Estatística para Psicologia

(1)

Estat´ıstica para Psicologia

Distribui¸c˜

oes de probabilidade

Jo˜ao Batista M. Pereira DME - UFRJ [email protected]

(2)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _Exemplo: _{Considere dois rel´}_{ogios, que chamaremos de rel´}_ogio

discreto e rel´ogio cont´ınuo

• _{No rel´}_{ogio discreto o ponteiro dos segundos se move}

“pulando”de segundo em segundo: de 1 para 2, de 2 para 3, e assim por diante at´e 60

• _{No rel´}_{ogio cont´ınuo o ponteiro se move de forma cont´ınua,} sem “pular”de segundo em segundo

(3)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _Exemplo: _{Considere dois rel´}_{ogios, que chamaremos de rel´}_ogio

discreto e rel´ogio cont´ınuo

• _{No rel´}_{ogio discreto o ponteiro dos segundos se move}

“pulando”de segundo em segundo: de 1 para 2, de 2 para 3, e assim por diante at´e 60

• _{No rel´}_{ogio cont´ınuo o ponteiro se move de forma cont´ınua,} sem “pular”de segundo em segundo

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Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Considere um experimento em que o rel´}_ogio

discreto é virado de cabe¸ca para baixo, de forma que não se sabe em qual segundo o ponteiro dos segundos se encontra • O funcionamento do relógio é então interrompido e verifica-se

em que segundo o ponteiro parou

• _{Defina X como sendo a vari´}_{avel aleat´}_{oria representando o} segundo em que o ponteiro do rel´ogio discreto parou • _{Os valores poss´ıveis de X s˜}_{ao 1, 2, 3, 4, . . . , 59, 60} • _{Portanto, X ´}_{e uma vari´}_{avel aleat´}_{oria discreta}

(5)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Defina X como sendo a vari´}_{avel aleat´}_{oria representando o} segundo em que o ponteiro do rel´ogio discreto parou

• _{Os valores poss´ıveis de X s˜}_{ao 1, 2, 3, 4, . . . , 59, 60} • _{Portanto, X ´}_{e uma vari´}_{avel aleat´}_{oria discreta}

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Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Defina X como sendo a vari´}_{avel aleat´}_{oria representando o} segundo em que o ponteiro do rel´ogio discreto parou • _{Os valores poss´ıveis de X s˜}_{ao 1, 2, 3, 4, . . . , 59, 60}

(7)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Defina X como sendo a vari´}_{avel aleat´}_{oria representando o} segundo em que o ponteiro do rel´ogio discreto parou • _{Os valores poss´ıveis de X s˜}_{ao 1, 2, 3, 4, . . . , 59, 60} • _{Portanto, X ´}_{e uma vari´}_{avel aleat´}_{oria discreta}

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Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• Exemplo (cont.): Supondo que n˜ao se sabe nada a respeito de

onde o ponteiro dos segundos se encontra antes da

observa¸cão de onde ele parou, é razoável assumir que cada valor tem a mesma probabilidade

• _{Assim, a distribui¸}_c˜_{ao de X ´}_{e dada por}

x 1 2 · · · 59 60

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Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• Exemplo (cont.): Supondo que n˜ao se sabe nada a respeito de

onde o ponteiro dos segundos se encontra antes da

observa¸cão de onde ele parou, é razoável assumir que cada valor tem a mesma probabilidade

• _{Assim, a distribui¸}_c˜_{ao de X ´}_{e dada por}

x 1 2 · · · 59 60

(10)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

Exemplo (cont.): x p(x) 1 5 9 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

(11)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Qual ´}_{e a probabilidade de X ser menor ou}

igual a 15?

• _{Queremos calcular}

P(X ≤ 15) = p(1) + p(2) + · · · + p(15) = 15

(12)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Qual ´}_{e a probabilidade de X ser menor ou}

igual a 15? • _{Queremos calcular}

P(X ≤ 15) = p(1) + p(2) + · · · + p(15) = 15

(13)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

Exemplo (cont.): x p(x) 1 5 9 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

(14)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Qual ´}_{e a probabilidade de X ser maior que}

30?

P(X > 30) = p(31) + p(32) + · · · = p(60) = 30

(15)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Qual ´}_{e a probabilidade de X ser maior que}

30?

P(X > 30) = p(31) + p(32) + · · · = p(60) = 30

(16)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

Exemplo (cont.): x p(x) 1 5 9 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

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Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Defina Y como sendo a vari´}_{avel aleat´}_oria

representando o segundo em que o ponteiro do rel´ogio cont´ınuo parou

• _{Teoricamente, o ponteiro pode parar em qualquer segundo} entre 0 e 60, n˜ao somente nos segundos inteiros

(18)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

(19)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

(20)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Neste caso, n˜}_{ao faz mais sentido definirmos}

uma fun¸c˜ao de probabilidade p(y ) = P(Y = y ) para os valores inteiros

• Precisamos definir uma fun¸c˜ao que leve em conta todos os valores no intervalo (0,60]

(21)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

(22)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

(23)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

Exemplo (cont.): y f(y) 0 60 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

(24)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Qual ´}_{e a probabilidade de Y ser menor ou}

igual a 15?

(25)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Qual ´}_{e a probabilidade de Y ser menor ou}

igual a 15? • _{Queremos calcular}

(26)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

Exemplo (cont.): y f(y) 0 15 60 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

0.25

(27)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Qual ´}_{e a probabilidade de Y ser maior que}

30?

(28)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Qual ´}_{e a probabilidade de Y ser maior que}

30?

(29)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

Exemplo (cont.): y f(y) 0 30 60 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

0.5

(30)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Exemplo (cont.):} _{Y ´}_{e o que definimos como uma} _vari´_avel

aleat´oria cont´ınua

• _{Sua distribui¸c˜}_{ao (modelo te´}_{orico) ´}_{e caracterizada por uma}

fun¸c˜ao de densidade de probabilidade f (y )

• _{Diferentemente do caso discreto, a tal fun¸c˜}_{ao n˜}_{ao retorna} P(Y = y ); as probabilidades neste caso, s˜ao definidas como ´

areas abaixo da fun¸c˜ao • Assim, se queremos calcular

P(a < Y < b),

(31)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Diferentemente do caso discreto, a tal fun¸}_c˜_{ao n˜}_{ao retorna} P(Y = y ); as probabilidades neste caso, s˜ao definidas como ´

areas abaixo da fun¸c˜ao

• Assim, se queremos calcular

P(a < Y < b),

(32)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{Diferentemente do caso discreto, a tal fun¸}_c˜_{ao n˜}_{ao retorna} P(Y = y ); as probabilidades neste caso, s˜ao definidas como ´

areas abaixo da fun¸c˜ao • Assim, se queremos calcular

P(a < Y < b),

(33)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• _{A fun¸c˜}_{ao de densidade de probabilidade pode assumir}

diferentes formas e em alguns casos, pode ser dif´ıcil calcular a ´

area abaixo da fun¸c˜ao

• _{Entretanto, para as distribui¸}_c˜_{oes cont´ınuas mais conhecidas,} podemos recorrer a tabelas ou utilizar o computador

• _{Uma vez que a probabilidade ´}_{e definida como uma ´}_{area, para} qualquer que seja a distribui¸cão de uma variável aleatória cont´ınua X , temos que

P(X = x ) = 0

• _Al´_{em disso, a ´}_{area total abaixo da fun¸}_c˜_{ao de densidade de} probabilidade para todo o intervalo de valores poss´ıveis de uma vari´avel aleat´oria cont´ınua X deve ser igual a 1

(34)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• Uma vez que a probabilidade é definida como uma área, para qualquer que seja a distribui¸cão de uma variável aleatória cont´ınua X , temos que

P(X = x ) = 0

(35)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• Uma vez que a probabilidade é definida como uma área, para qualquer que seja a distribui¸cão de uma variável aleatória cont´ınua X , temos que

P(X = x ) = 0

(36)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• Para o caso cont´ınuo, temos que

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) ou

P(X ≤ a) = P(X < a) ou

P(X ≥ a) = P(X > a)

• _{Ou seja, n˜}_{ao h´}_{a diferen¸}_{ca pr´}_{atica em considerar ou n˜}_ao igualdade nos sinais de desigualdade

(37)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

• Para o caso cont´ınuo, temos que

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) ou

P(X ≤ a) = P(X < a) ou

P(X ≥ a) = P(X > a)

• _{Ou seja, n˜}_{ao h´}_{a diferen¸}_{ca pr´}_{atica em considerar ou n˜}_ao igualdade nos sinais de desigualdade

(38)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

Exemplo: 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 x f(x) P(0.2 < X < 0.4) = 0.2325

(39)

Vari´

avel aleat´

oria cont´ınua

Exemplo: 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x f(x) P(1 < X < 2) = 0.4112

(40)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• Alguns modelos para variáveis aleatória cont´ınuas são importantes por se adaptarem uma grande variedade de problemas práticos

• _{Entre as distribui¸}_c˜_{oes mais importantes est´}_{a a} _distribui¸_c˜_ao

normaloudistribui¸c˜ao gaussiana

• _{A distribui¸}_c˜_{ao normal ´}_{e fundamental para uma grande} variedade de teorias e procedimentos estat´ısticos

• _{Suas origens remontam a Gauss em seus trabalhos sobre erros} de observa¸c˜oes astronˆomicas, por volta de 1810

• _{A fun¸c˜}_{ao de densidade de probabilidade da distribui¸}_c˜_ao normal se assemelha a um sino; em alguns contextos ´e chamada curva de sino

(41)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Entre as distribui¸}_c˜_{oes mais importantes est´}_{a a}_distribui¸_c˜_ao

(42)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

(43)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• A fun¸cão de densidade de probabilidade da distribui¸cão normal se assemelha a um sino; em alguns contextos é chamadacurva de sino

(44)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

Exemplo: x f(x) µ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

(45)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{A distribui¸}_c˜_{ao normal ´}_{e caracterizada por dois parˆ}_ametros: m´edia (esperan¸ca), que vamos denotar por µ; e variˆancia, que vamos denotar por σ2

• _{O desvio padr˜}_{ao, ra´ız quadrada da variˆ}_{ancia, ´}_{e denotado por σ} • A média caracteriza a loca¸cão e a variância (ou desvio

padrão) caracteriza a dispersão da variável aleatória • Nota¸cão: X ∼ N(µ, σ2_{) (X tem distribui¸}_c˜_{ao normal com}

(46)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{O desvio padr˜}_{ao, ra´ız quadrada da variˆ}_{ancia, ´}_{e denotado por σ}

• A média caracteriza a loca¸cão e a variância (ou desvio padrão) caracteriza a dispersão da variável aleatória • Nota¸cão: X ∼ N(µ, σ2_{) (X tem distribui¸}_c˜_{ao normal com}

(47)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

padrão) caracteriza a dispersão da variável aleatória

• Nota¸c˜ao: X ∼ N(µ, σ2_{) (X tem distribui¸}_c˜_{ao normal com}

(48)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

padrão) caracteriza a dispersão da variável aleatória • _Nota¸_c˜_{ao: X ∼ N(µ, σ}2_{) (X tem distribui¸}_c˜_{ao normal com}

(49)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

Exemplo: 0 5 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x f(x) N(0,1) N(5,9)

(50)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• Uma das suposi¸cões do modelo normal é que os valores poss´ıveis de X perten¸cam a toda a reta, isto é, o intervalo (−∞, ∞)

• _{Entretanto, dependendo do contexto e com suposi¸}_c˜_oes adequadas, ela pode ser utilizada para modelar vari´aveis que assumem valores em um subintervalo da reta, como valores positivos, por exemplo

• _{A distribui¸}_c˜_{ao normal ´}_{e sim´}_{etrica em torno da m´}_{edia, o que} implica

(51)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

(52)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

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Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Se uma vari´}_{avel aleat´}_{oria X tem distribui¸c˜}_{ao normal com} m´edia 0 e variˆancia 1, ou seja, X ∼ N(0, 1), dizemos que X

tem distribui¸c˜ao normal padr˜ao

• _{Tal distribui¸}_c˜_{ao ´}_{e importante, pois, por meio dela,} conseguimos calcular probabilidades e outras medidas relevantes para qualquer distribui¸c˜ao normal

• _{Se X ∼ N(µ, σ}2_{), ent˜}_ao

Z = X − µ

(54)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Se X ∼ N(µ, σ}2_{), ent˜}_ao

Z = X − µ

(55)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Se X ∼ N(µ, σ}2_{), ent˜}_ao

Z = X − µ

(56)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Suponha que queiramos calcular} P(a < X < b)

• _{O resultado anterior nos permite escrever uma probabilidade} para X como uma probabilidade para Z , que tem uma distribui¸c˜ao normal padr˜ao

• Especificamente, P(a < X < b) = P a − µ σ < X − µ σ < b − µ σ = P a − µ σ < Z < b − µ σ

(57)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Especificamente,} P(a < X < b) = P a − µ σ < X − µ σ < b − µ σ = P a − µ σ < Z < b − µ σ

(58)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Especificamente,} P(a < X < b) = P a − µ σ < X − µ σ < b − µ σ = P a − µ σ < Z < b − µ σ

(59)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• Exemplo: Considere que o n´ıvel de uma certa substˆancia no

sangue de seres humanos saudáveis pode ser modelado de acordo com uma distribui¸cão normal com média 80 mg/dL e desvio padrão 10 mg/dL

• _{Qual ´}_{e a probabilidade de um indiv´ıduo saud´}_{avel apresentar} um n´ıvel entre 85 e 90 mg/dL da substˆancia em seu sangue? • _{Queremos calcular} P(85 < X < 90) • _{Padronizando, temos} P(85 < X < 90) = P 85 − 80 10 < Z < 90 − 80 10 = P(0, 5 < Z < 1)

(60)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Qual ´}_{e a probabilidade de um indiv´ıduo saud´}_{avel apresentar} um n´ıvel entre 85 e 90 mg/dL da substˆancia em seu sangue?

• _{Queremos calcular} P(85 < X < 90) • _{Padronizando, temos} P(85 < X < 90) = P 85 − 80 10 < Z < 90 − 80 10 = P(0, 5 < Z < 1)

(61)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

(62)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

(63)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

Exemplo (cont.): As probabilidades (´areas) s˜ao iguais para as duas

distribui¸c˜oes 50 70 90 110 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 N(80,100) x f(x) −4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 N(0,1) z ϕ ( z )

(64)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

Exemplo (cont.): Note que

P(0, 5 < Z < 1) = P(Z < 1) − P(Z < 0, 5) −4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 z ϕ ( z ) 0.5 1

(65)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Exemplo (cont.):} _{A probabilidade}

Φ(z) = P(X ≤ z) ´

e chamada fun¸cão de distribui¸cão acumuladada distribui¸cão normal padrão

• Ela retorna a probabilidade de Z ser menor ou igual a um determinado valor z, ou seja, toda a ´area abaixo da fun¸c˜ao para valores menores que z

• _{Os valores de Φ(x ) podem ser obtidos por meio de uma} tabela (ou serem calculadas com o aux´ılio de um computador)

(66)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Exemplo (cont.):} _{A probabilidade}

Φ(z) = P(X ≤ z) ´

e chamada fun¸cão de distribui¸cão acumuladada distribui¸cão normal padrão

• Ela retorna a probabilidade de Z ser menor ou igual a um determinado valor z, ou seja, toda a ´area abaixo da fun¸c˜ao para valores menores que z

• _{Os valores de Φ(x ) podem ser obtidos por meio de uma} tabela (ou serem calculadas com o aux´ılio de um computador)

(67)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Exemplo (cont.):} _{Em nosso caso, temos que}

P(0, 5 < X < 1) = Φ(1)−Φ(0, 5) = 0, 8413−0, 6915 = 0, 1498

• _{Ou seja, h´}_{a uma probabilidade de 0,1498 de um indiv´ıduo} saud´avel ter uma quantidade da substˆancia no sangue entre 85 e 90 mg/dL

• Em outras palavras, 14,98% dos indiv´ıduos saud´aveis apresentam n´ıvel da substˆancia no sangue entre 85 e 90 mg/dL, segundo o modelo que normal que estamos assumindo

(68)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Exemplo (cont.):} _{Em nosso caso, temos que}

P(0, 5 < X < 1) = Φ(1)−Φ(0, 5) = 0, 8413−0, 6915 = 0, 1498

• _{Ou seja, h´}_{a uma probabilidade de 0,1498 de um indiv´ıduo} saud´avel ter uma quantidade da substˆancia no sangue entre 85 e 90 mg/dL

• Em outras palavras, 14,98% dos indiv´ıduos saud´aveis apresentam n´ıvel da substˆancia no sangue entre 85 e 90 mg/dL, segundo o modelo que normal que estamos assumindo

(69)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

• _{Exemplo (cont.):} _{Qual ´}_{e a probabilidade de um indiv´ıduo}

saud´avel ter uma quantidade da substˆancia menor que 100 mg/dL? • Queremos calcular P(X < 100) = P Z < 100 − 80 10 = P(Z < 2) = Φ(2) = 0, 9773

(70)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

saud´avel ter uma quantidade da substˆancia menor que 100 mg/dL? • Queremos calcular P(X < 100) = P Z < 100 − 80 10 = P(Z < 2) = Φ(2) = 0, 9773

(71)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

Exemplo (cont.): −4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 z ϕ ( z ) 2 0.9773

(72)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

saud´avel ter uma quantidade da substˆancia maior que 95 mg/dL? • Queremos calcular P(X > 95) = P Z > 95 − 80 10 = P(Z > 1, 5) = 1 − Φ(1, 5) = 1 − 0, 9332 = 0, 0668

(73)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

saud´avel ter uma quantidade da substˆancia maior que 95 mg/dL? • Queremos calcular P(X > 95) = P Z > 95 − 80 10 = P(Z > 1, 5) = 1 − Φ(1, 5) = 1 − 0, 9332 = 0, 0668

(74)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

Exemplo (cont.): −4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 z ϕ ( z ) 1.5 0.0668

(75)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

saud´avel ter uma quantidade da substˆancia maior que 75 mg/dL? • _{Queremos calcular} P(X < 75) = P Z < 75 − 80 10 = P(Z < −0, 5) = Φ(−0, 5) = 1 − Φ(0, 5) = 1 − 0, 6915 = 0, 4085,

• _{Algumas tabelas apresenta os valores de Φ(z) somente para} valores positivos de z

• _{Entretanto, uma vez que a fun¸}_c˜_{ao de densidade de}

probabilidade é simétrica em torno de 0, podemos utilizá-la em qualquer contexto

(76)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

(77)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

(78)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

(79)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

Exemplo (cont.): −4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 z ϕ ( z ) −0.5 0.5 0.4085

(80)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

saud´avel ter uma quantidade da substˆancia maior que 65 e 75 mg/dL? • Queremos calcular P(65 < X < 75) = P 65 − 80 10 < Z < 75 − 80 10 = P(−1, 5 < Z < −0, 5) = Φ(1, 5) − Φ(0, 5) = 0, 9332 − 0, 6915 = 0, 2417,

• _{Uma vez que a fun¸}_c˜_{ao de densidade de probabilidade ´}_e sim´etrica em torno de 0, temos, podemos “espelhar a probabilidade para o lado positivo”

(81)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

saud´avel ter uma quantidade da substˆancia maior que 65 e 75 mg/dL? • _{Queremos calcular} P(65 < X < 75) = P 65 − 80 10 < Z < 75 − 80 10 = P(−1, 5 < Z < −0, 5) = Φ(1, 5) − Φ(0, 5) = 0, 9332 − 0, 6915 = 0, 2417,

• _{Uma vez que a fun¸}_c˜_{ao de densidade de probabilidade ´}_e sim´etrica em torno de 0, temos, podemos “espelhar a probabilidade para o lado positivo”

(82)

Distribui¸c˜

ao normal (gaussiana)

Exemplo (cont.): −4 −2 0 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 z ϕ ( z ) −0.5 0.5 1.5 0.2417

(83)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

• Em inferência estat´ıstica, é usual necessitarmos calcular não a probabilidade, mas o que chamamos de quantil

• Os quantis teóricos de uma distribui¸cão são definidos de forma análoga aos quantis de um conjunto de dados • _{Em particular para uma vari´}_{avel aleat´}_{oria X ∼ N(µ, σ}2_{), o}

quantil p (ou p-quantil) ´e o valor que deixa uma probabilidade

(´area) p abaixo

• _{Ou seja, o quantil p ´}_{e o valor x}_p _{de X tal que} Φ(xp) = P(X ≤ xp) = p

(84)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

• _{Os quantis te´}_{oricos de uma distribui¸}_c˜_{ao s˜}_{ao definidos de} forma an´aloga aos quantis de um conjunto de dados • _{Em particular para uma vari´}_{avel aleat´}_{oria X ∼ N(µ, σ}2_{), o}

(´area) p abaixo

(85)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

• _{Os quantis te´}_{oricos de uma distribui¸}_c˜_{ao s˜}_{ao definidos de} forma an´aloga aos quantis de um conjunto de dados • _{Em particular para uma vari´}_{avel aleat´}_{oria X ∼ N(µ, σ}2_{), o}

(´area) p abaixo

(86)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

z ϕ ( z ) µ xp p

(87)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

• Particularmente, os quantis da distribui¸c˜ao normal padr˜ao podem ser facilmente calculados a partir da mesma tabela em que se calcula probabilidades

• _{Eles podem ser utilizados para calcularmos os quantis de} qualquer distribui¸c˜ao

• _{Vamos denotar o quantil p da distribui¸}_c˜_{ao normal padr˜}_{ao por} zp

• _Exemplo: _{Seja Z ∼ N(0, 1); qual ´}_{e o valor de Z que deixa 5%}

de probabilidade abaixo (quantil 0,95)? • _{Neste caso, temos que}

(88)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

Exemplo (cont.): z ϕ ( z ) −4 −1 0 1 1.64 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.95

(89)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

Exemplo (cont.): O quantil 0,975 ´e z0,975 = 1, 96

z ϕ ( z ) −4 −1 0 1 1.96 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.975

(90)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

Exemplo (cont.): O quantil 0,75 ´e z0,75= 1, 27

z ϕ ( z ) −4 −2 0 1.27 2 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.75

(91)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

• _{Quando a tabela apresenta os valores de Φ(z) somente para} valores positivos, pode ser ´util lembrar da seguinte rela¸c˜ao

zp = −z1−p

• Isto se deve ao fato de que o quantil que deixa uma

probabilidade p abaixo ´e sim´etrico ao quantil que deixa uma probabilidade p acima (1 − p abaixo)

(92)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

• _{Quando a tabela apresenta os valores de Φ(z) somente para} valores positivos, pode ser ´util lembrar da seguinte rela¸c˜ao

zp = −z1−p

• Isto se deve ao fato de que o quantil que deixa uma

probabilidade p abaixo ´e sim´etrico ao quantil que deixa uma probabilidade p acima (1 − p abaixo)

(93)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

Exemplo (cont.): O quantil 0,05 ´e z0,05= −z0,95= −1, 64

z ϕ ( z ) −4 −1.64 0 1 1.64 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.05

(94)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

Exemplo (cont.): O quantil 0,025 ´e z0,025 = −z0,975= −1, 96

z ϕ ( z ) −4 −1.96 −1 0 1 1.96 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.025

(95)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

Exemplo (cont.): O quantil 0,25 ´e z0,25= −z0,75= −1, 27

z ϕ ( z ) −4 −3 −1.27 0 1.27 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.25

(96)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

• _{Para achar os quantis de uma distribui¸c˜}_{ao normal qualquer,} basta utilizarmos o resultado da padroniza¸c˜ao:

zp=

xp− µ

σ

• _{Assim, seja X ∼ N(µ, σ}2_{), ent˜}_{ao o quantil p ´}_{e dado por}

xp= σzp+ µ

• _Exemplo: _{Considerando o exemplo anterior, qual ´}_{e o valor do}

n´ıvel da substˆancia no sangue tal que 95% dos indiv´ıduos abaixo?

• _{Como z}_0,95_{= 1, 64, logo}

(97)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

zp=

xp− µ

σ

xp= σzp+ µ

• _{Como z}_0,95_{= 1, 64, logo}

(98)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

zp=

xp− µ

σ

xp= σzp+ µ

• _{Como z}_0,95_{= 1, 64, logo}

(99)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

zp=

xp− µ

σ

xp= σzp+ µ

• _{Como z}_0,95_{= 1, 64, logo}

(100)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

Exemplo (cont.): x f(x) 50.0 80.0 96.4 110.0 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.95

(101)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

• _{Exemplo (cont.):} _{Logo, 95% dos indiv´ıduos saud´}_{aveis tˆ}_em

n´ıvel da substˆancia menor que 96,4 mg/dL

• _{O quantil 0,25 ´}_e

x0,25= σz0,25+ µ = 10 × (−1, 27) + 80 = 67, 3

• Logo, 25% dos indiv´ıduos saudáveis têm n´ıvel da substância no sangue menor que 67,3 mg/dL

(102)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

• _{Exemplo (cont.):} _{Logo, 95% dos indiv´ıduos saud´}_{aveis tˆ}_em

n´ıvel da substˆancia menor que 96,4 mg/dL • _{O quantil 0,25 ´}_e

x0,25= σz0,25+ µ = 10 × (−1, 27) + 80 = 67, 3

• Logo, 25% dos indiv´ıduos saudáveis têm n´ıvel da substância no sangue menor que 67,3 mg/dL

(103)

Quantis da distribui¸c˜

ao normal

Exemplo (cont.): x f(x) 50.0 67.3 80.0 110.0 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.25