Distribui¸c˜ao de Weibull

A distribui¸c˜ao de Weibull ´e uma distribui¸c˜ao cont´ınua cuja fun¸c˜ao densidade de probabi- lidade ´e definida pela seguinte express˜ao:

f (t) =    β ηβ(t − γ)β−1e−( t−γ η ) β para t > 0, 0 para t < 0. (3.52)

A fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de avarias, obtida pela integra¸c˜ao da fun¸c˜ao f (t) entre −∞ e x, ´e dada pela express˜ao seguinte:

F (t) = 1 − e−(t−γη ) β

, (3.53)

pelo que, perante este modelo, pela equa¸c˜ao (3.3) a fiabilidade ´e expressa por: R(t) = e−(t−γη )

β

. (3.54)

A fun¸c˜ao de risco assume a seguinte express˜ao: h(t) = β

ηβ(t − γ)

β−1_{. (3.55)}

Nestas express˜oes γ, η e β tˆem, respectivamente, a denomina¸c˜ao de Vida Min´ıma Garan- tida, Vida Caracter´ıstica e Factor de Forma, conceitos aos quais corresponde o seguinte significado:

3.6 Distribui¸c˜oes estat´ısticas para estudo da sobrevivˆencia 45

Vida Garantida (γ) tamb´em denominada vida m´ınima ou ainda parˆametro de loca- liza¸c˜ao, corresponde a um tempo de funcionamento, para o qual se pode garantir a n˜ao ocorrˆencia de avarias. ´E usual assumir-se que n˜ao h´a avarias antes de γ, atribuindo-se-lhe perante esta assump¸c˜ao o valor zero.

Vida Caracter´ıstica (η) ou parˆametro de escala, ´e o tempo para o qual existe a proba- bilidade de 63.2% dos componentes funcionais avariarem, ou seja, o tempo para o qual s´o 36.8% dos componentes sobrevivem.

Factor de Forma (β) caracteriza as v´arias formas da curva da fun¸c˜ao de probabilidade de avaria bem como os v´arios padr˜oes da fun¸c˜ao de risco. As Figuras 3.9, 3.10 e 3.11 evidenciam a influˆencia que este parˆametro exerce, respectivamente, na densidade de probabilidade, na fiabilidade e na fun¸c˜ao de risco.

f(t) t =3 =2 =1 =0,5

Figura 3.9: Influˆencia do factor de forma na densidade de probabilidade.

Como facilmente se pode constatar, observando a figura 3.9, a varia¸c˜ao deste parˆametro possibilita adaptar a distribui¸c˜ao de Weibull `a exponencial negativa, `a normal logar´ıtmica ou `a normal, consoante sejam os valores de β, de tal forma que:

β < 1 a distribui¸c˜ao apresenta uma fun¸c˜ao de risco decrescente caracter´ıstica da fase de rodagem;

β = 1 a distribui¸c˜ao converte-se na distribui¸c˜ao exponencial negativa com fun¸c˜ao de risco constante e vida m´edia η igual a 1/λ;

46 Conceitos e fundamentos te´oricos

1 < β < 3.5 a distribui¸c˜ao apresenta uma fun¸c˜ao de risco crescente caracter´ıstica da fase de obsolescˆencia, normalmente devido a fen´omenos de fadiga;

β ≥ 3.5 a distribui¸c˜ao aproxima-se da normal, nesta situa¸c˜ao ocorrem, normalmente, fen´omenos de desgaste.

De maneira a se poderem identificar essas formas, mediante um conjunto de dados que se pretendam ajustar `a distribui¸c˜ao de Weibull, ´e indispens´avel estimar o valor desses parˆametros. Os procedimentos a seguir nesse prop´osito, ser˜ao apresentado na Sec¸c˜ao 3.10.2 – C´alculos dos parˆametros das distribui¸c˜oes.

Como se pode depreender da equa¸c˜ao (3.54) o factor de forma tamb´em influencia a fiabilidade, tal como o que ´e evidenciado na Figura 3.10.

R(t) t = =1 >1 1/

Figura 3.10: Influˆencia do factor de forma sobre a fiabilidade.

Tal como a fun¸c˜ao densidade de probabilidade e a fun¸c˜ao fiabilidade s˜ao influencia- das pelo parˆametro β, a fun¸c˜ao de risco ´e igualmente sujeita `a sua influˆencia, tal como evidenciado na Figura 3.11

O tempo m´edio entre falhas, MTTF, e a respectiva variˆancia s˜ao dadas pelas seguintes express˜oes: M T T F = ηΓ β + 1 β  , (3.56) σ2 = η2 " Γ β + 2 β  −  Γ β + 1 β 2# , (3.57)

3.6 Distribui¸c˜oes estat´ısticas para estudo da sobrevivˆencia 47

Em alternativa `a express˜ao apresentada pela equa¸c˜ao (3.56) pode ser utilizada a se- guinte:

M T T F = Aη + γ, (3.58)

e para o desvio padr˜ao:

σ = Bη, (3.59)

sendo A e B valores de Euler, os quais s˜ao obtidos em fun¸c˜ao de β, tal como se apresentam no Anexo D.4.

O modelo de Weibull, contrariamente ao modelo exponencial que ser´a apenas utilizado na predi¸c˜ao da fiabilidade caso, pela aplica¸c˜ao do teste de Laplace, as ocorrˆencias sejam consideradas IID, abrange os casos em que a taxa de falhas ´e vari´avel no tempo, pois trata-se de uma express˜ao a trˆes parˆametros que possui a relevante particularidade de n˜ao possuir uma ´unica forma caracter´ıstica, o que permite, com uma s´o fun¸c˜ao densidade de probabilidade, a representa¸c˜ao das 3 zonas da curva de sobrevivˆencia ou mortalidade. ´E devido a esta volubilidade que o caracteriza que na pr´atica, em estudos fiabil´ısticos, ´e dos modelos mais utilizados, uma vez que por modifica¸c˜ao dos seus parˆametros, nomeadamente o de forma, pode ser adaptada a diversas distribui¸c˜oes do tempo entre avarias, sendo as mais importantes a exponencial negativa quando β = 1, a distribui¸c˜ao normal quando β > 3.5 e a lognormal quando β < 1. Conforme sejam estes valores podem-se aferir algumas caracter´ısticas do equipamento: se est´a sujeito a desgaste, o valor de β ter´a um valor superior a 1, se n˜ao est´a, β ser´a igual a 1, e se β for inferior a 1, provavelmente, encontrar-se-´a em fase de rodagem (fase I da Figura 3.2).

h(t) t >2 =2 =1 <1 1/ 1< <2

48 Conceitos e fundamentos te´oricos

Os tubos el´ectricos e os componentes electr´onicos, por exemplo, s˜ao dois g´eneros de componentes em que se verificou avariarem de acordo com esta distribui¸c˜ao. A distribui¸c˜ao de Weibull ´e frequentemente utilizada quando, previamente `a substitui¸c˜ao preventiva de componentes, se pretende verificar se a fun¸c˜ao de risco ´e crescente o que se verifica sempre que o parˆametro de forma (β) ´e superior a 1.

Existir´a evidˆencia estat´ıstica de β > 1 sempre que, pela metodologia dos testes de hip´oteses, seja poss´ıvel rejeitar a hip´otese nula.

Teste de hip´oteses `a fun¸c˜ao de risco crescente

Formulam-se as hip´oteses subjacentes ao teste do seguinte modo: • H0 : β = 1 (Hip´otese nula);

• H1 : β > 1 (Hip´otese alternativa).

H0 ser´a rejeitado sempre que se verifique a seguinte condi¸c˜ao:

LI = β Fβ

> 1, (3.60)

em que β assume o valor estimado (por exemplo pelo m´etodo da m´axima verosimilhan¸ca cuja apresenta¸c˜ao ´e efectuada em“M´etodos anal´ıticos”, na Sec¸c˜ao 3.10.2) e Fβ– cujo valor

depende da dimens˜ao da amostra e do grau de confian¸ca que se queira considerar – ´e obtido por leitura directa no gr´afico de Weibull (Anexo B – Figura B.2). Ressalva-se que, dado o teste ser do tipo unilateral `a direita, para um grau de confian¸ca de por exemplo 95%, o valor de Fβ deve ser lido na recta dos 90%.

Considere-se, como forma de explicitar o teste em quest˜ao, um exemplo concreto relativo aos dados do componente cavilha, para o qual se obteve uma estimativa para β de 2, 545 (ver em“M´etodos anal´ıticos”, na Sec¸c˜ao 3.10.2).

Ante 8 avarias registadas, para um grau de confian¸ca de 95% e para o valor de β esti- mado, por consulta ao ´abaco que consta no Anexo B, obtemos um Fβ de 1.5, resultando o

consentˆaneo LI em 1.69 (express˜ao (3.60)). Assim, ao n´ıvel de confian¸ca considerado, h´a evidˆencia estat´ıstica no sentido de aceitar que a fun¸c˜ao de risco ´e crescente, sendo plaus´ıvel nestas circunstˆancias determinar a periodicidade ´optima de substitui¸c˜ao preventiva, con- forme o m´etodo que a seguir se apresenta.

3.6 Distribui¸c˜oes estat´ısticas para estudo da sobrevivˆencia 49

Periodicidade de substitui¸c˜ao preventiva

Tal como o nome nos indica, a substitui¸c˜ao preventiva de componentes, visa actuar ante- cipadamente `a avaria com o intuito de evitar as consequˆencias que da´ı poder˜ao advir.

Segundo Leit˜ao [8], s´o ser´a vantajoso proceder `a substitui¸c˜ao de componentes antes de avariarem se forem verificados os seguintes pressupostos:

• custo total envolvido na substitui¸c˜ao preventiva menor que o custo total envolvido na substitui¸c˜ao devido a avaria;

• componentes com fun¸c˜ao de risco crescente;

• intervalo entre substitui¸c˜oes suficientemente curto de modo a evitar o efeito do tempo no valor do dinheiro despendido;

• os tempos aos quais os componentes v˜ao avariar n˜ao s˜ao conhecidos mas podem ser descritos por uma distribui¸c˜ao de probabilidade.

A substitui¸c˜ao temporal (dependente da idade) ´e vi´avel nas situa¸c˜oes em que a idade dos componentes ´e conhecida, quando avariam, ou ent˜ao quando atingem a idade – ou tempo ´optimo de substitui¸c˜ao preventiva – ou seja, aquela periodicidade que minimiza os custos de manuten¸c˜ao. Esta periodicidade denota-se por t∗

p, e corresponde ao valor de tp

que minimiza o custo total por unidade de tempo, C(tp), ou seja, o custo que resulta do

valor m´ınimo da seguinte equa¸c˜ao: C(tp) = CF × F (tp) + Cp× R(tp) tp× R(tp) + Rtp 0 tf (t)dt , (3.61)

com: CF = Custo da Falha; Cp= Custo de substitui¸c˜ao Preventiva; e tp= Tempo (“Idade”)

da substitui¸c˜ao Preventiva (tempo de calend´ario, tempo de opera¸c˜ao, ciclos de opera¸c˜ao). Para o c´alculo do integral que figura no denominador da frac¸c˜ao s˜ao actualmente usados m´etodos num´ericos eficientes, como ´e o caso da regra de Simpson, cuja descri¸c˜ao pode, por exemplo, ser encontrada em [3].

Segundo Assis [2, p. 131], o per´ıodo t∗

p, correspondente ao menor custo global, ´e desig-

nado “per´ıodo ´optimo econ´omico”, e encontra-se esquematicamente representado grafica- mente na Figura 3.12.

50 Conceitos e fundamentos te´oricos

O comportamento de C(tp) depende da distribui¸c˜ao Estat´ıstica que caracteriza o com-

portamento do componente. Assumindo que se conhece f (t) a solu¸c˜ao ´optima obt´em-se derivando C(tp) em ordem a tp.

Por exemplo, se o componente se comportar de acordo com a distribui¸c˜ao de Weibull (ver Sec¸c˜ao 3.6), a equa¸c˜ao anterior assume a seguinte forma:

C(tp) = CF ×  1 − e−(tpη) β + Cp× e−( tp η) β Rtp 0 e −(tpη) β dt , (3.62)

O tempo ´optimo de substitui¸c˜ao preventiva, t∗

p, pode ser obtido segundo dois processos

alternativos: m´etodos iterativos ou m´etodos gr´aficos. Vejamos de seguida a forma de obten¸c˜ao por via gr´afica:

t∗

p = µ + zσ, (3.63)

onde µ ´e a vida m´edia do componente, caracterizada pelo MTTF (equa¸c˜ao (3.58)), σ ´e o desvio padr˜ao (equa¸c˜ao (3.59)), e z ´e conseguido atrav´es de uma consulta ao ´abaco peri- odicidade ´optima de substitui¸c˜ao preventiva, necessitando-se antecipadamente dos valores de K e V , aos quais correspondem as seguintes express˜oes:

• Raz˜ao dos Custos: K = CF Cp;

• Raz˜ao entre: V = µσ.

A eficiˆencia da pol´ıtica de substitui¸c˜ao preventiva obt´em-se resolvendo a seguinte express˜ao matem´atica: ρ(t∗ p) = C(t∗ p) CF µ , (3.64) tp C(tp) tpx