J´a mencionamos que todas as divergˆencias da teoria Φ4 est˜ao relacionadas com as integrais
presentes nos diagramas das fun¸c˜oes de v´ertice (2.54), (2.57) e (2.61). Agora, quando calcula- mos essas integrais, encontramos respostas divergentes dependendo do n´umero d de dimens˜oes espaciais. Para manipular tais infinitos de forma anal´ıtica, ´e convencional utilizar o conceito de regulariza¸c˜ao. Um m´etodo de regulariza¸c˜ao consiste na defini¸c˜ao de um ou mais parˆametros tal que a integral divergente possa ser expressa em termos desses parˆametros. Uma maneira efici- ente de manipular essas divergˆencias ´e manter os parˆametros com valores arbitr´arios e estabele- cer um m´etodo de subtra¸c˜ao das partes potencialmente divergentes nos resultados das integrais. Depois desse procedimento, os limites apropriados s˜ao tomados, resultando em express˜oes fini- tas para as integrais. A combina¸c˜ao descrita corresponde `a regulariza¸c˜ao acompanhada de uma renormaliza¸c˜ao (subtra¸c˜ao das partes infinitas). Antes de discutirmos renormaliza¸c˜ao, vamos comentar dois m´etodos de regulariza¸c˜ao amplamente usados em teoria de campos: o m´etodo do corte (cutoff ) nos momentos e o esquema de regulariza¸c˜ao dimensional. Ambos lidam com divergˆencias no ultravioleta nas integrais de Feynman.
2.7.1
Regulariza¸c˜ao no corte dos momentos
A introdu¸c˜ao de um corte Λ no limite superior nas integrais de Feynman entra naturalmente na teoria devido ao limite inferior na escala de comprimento: o parˆametro de rede a. Um limite inferior no espa¸co das coordenadas implica em um limite superior no espa¸co dos momentos e
ambos est˜ao relacionados por Λ ∼ 1
a. Aqui, devemos ter o limite ultravioleta Λ
µ → ∞ para que
a teoria seja invariante por escala no ponto cr´ıtico.
A an´alise das divergˆencias das integrais (2.42a) e (2.42b) pode ser realizada simplesmente atrav´es de an´alise dimensional. Como exemplo, consideremos a primeira delas. O numerador e o denominador da integral tem dimens˜ao d e 2 em unidades de momento, respectivamente. Portanto, podemos escrever:
D1(µ, Λ) ∼ Λ→∞Λ
d−2
. (2.71)
Ou seja, a integral ser´a divergente para d ≥ 2. Integrais com dimens˜ao zero ter˜ao divergˆencia logar´ıtmica. De forma semelhante, vemos que
I2(k; µ, Λ) ∼ Λ→∞Λ
d−4, (2.72)
sendo divergente para d ≥ 4.
Todas as divergˆencias obtidas por essa contagem dimensional correspondem a divergˆencias primitivas. Elas n˜ao s˜ao um resultado da inser¸c˜ao de um subdiagrama com integral divergente, como acontece com o diagrama na figura 2.2(b). A dependˆencia em Λd−2 desse diagrama ´e
devido `a inser¸c˜ao do diagrama dado na figura 2.1(a). Diagramas primitivamente divergentes formam portanto a base de todas as divergˆencias ultravioletas da teoria devido ao fato de estarem associados aos infinitos dos demais diagramas.
De um modo geral, podemos identificar o grau de divergˆencia de um diagrama primiti-
vamente divergente como segue. A densidade lagrangiana (2.4) tem dimens˜ao de inverso de volume e representaremos isso como [L ] = Λd, onde Λ ´e a nossa escala de momento. Portanto,
o campo Φ ter´a dimens˜ao [Φ(x)] = Λd2−1 e para a constante de acoplamento, escrevemos:
[λ] = Λ4−d. (2.73)
J´a no espa¸co dos momentos, temos [Φ(k)] = Λ−d+d2−1 e podemos, a partir de (2.48), determinar
a dimens˜ao das fun¸c˜oes de correla¸c˜ao:
[G(E)(k)] = Λd−E(d2+1). (2.74)
As fun¸c˜oes de v´ertice s˜ao obtidas a partir das fun¸c˜oes de correla¸c˜ao considerando apenas os diagramas 1P I e removendo as linhas externas, cada uma com dimens˜ao −2. Portanto, podemos escrever:
[Γ(E)(k)] = Λ2E+d−E(d2+1) = Λd+E− 1
2Ed (2.75)
Logo, cada integral de um diagrama de ordem n em λ pertencente a Γ(E)(k) ter´a dimens˜ao
dada por:
δ = −n + d + E − E
2d, (2.76)
onde definimos
29 Cap´ıtulo 2. Teoria de Campos em Fenˆomenos Cr´ıticos como a dimens˜ao de λ. Se d > 4, δ crescer´a com n e o grau de divergˆencia do diagrama tamb´em crescer´a com a ordem da expans˜ao em λ. Consequentemente, haver´a um n´umero infinito de divergˆencias primitivas e a teoria n˜ao poder´a ser renormalizada pela redefini¸c˜ao de uma quantidade finita de parˆametros. Por outro lado, se d ≤ 4, haver´a apenas um n´umero finito de divergˆencias primitivas. Definimos ent˜ao dc = 4 como sendo a dimens˜ao cr´ıtica do
sistema at´e a qual uma teoria com intera¸c˜ao Φ4 pode ser renormalizada. Na dimens˜ao cr´ıtica, teremos apenas divergˆencias quadr´aticas e logar´ıtmicas como aquelas presentes em (2.71) e (2.72), respectivamente.
2.7.2
Regulariza¸c˜ao dimensional
Se ao inv´es de trabalharmos com um corte finito no momentos, tomarmos o limite Λµ → ∞ e continuarmos analiticamente a dimens˜ao espacial d, teremos as integrais de Feynman regu- larizadas em termos do parˆametro dimensional . As divergˆencias ultravioletas ser˜ao agora mapeadas em polos em , cujos infinitos s˜ao obtidos com a proximidade da dimens˜ao cr´ıtica ( → 0). Depois de removidos todos esses polos atrav´es da renormaliza¸c˜ao das fun¸c˜oes de correla¸c˜ao, quantidades universais como os expoentes cr´ıticos, al´em dos ingredientes necess´arios a sua obten¸c˜ao, ser˜ao calculados em termos de expans˜oes em potˆencias de . A regulariza¸c˜ao dimensional apresenta de uma forma unificada as divergˆencias e o parˆametro de expans˜ao da teoria. Todo o procedimento de renormaliza¸c˜ao e c´alculo dos expoentes cr´ıticos torna-se mais simples e usaremos esse m´etodo de regulariza¸c˜ao no c´alculo das integrais de Feynman.
Como exemplo de regulariza¸c˜ao dimensional, calcularemos a integral (2.42b): I2(k; µ) = µ−
Z ddq
[(q + k)2+ 1](q2+ 1) (2.78)
Aqui, os momentos foram reescalados como k −→ µk e q −→ µq. Todas as demais integrais de diagramas com ordem al´em de 1 loop s˜ao obtidas em termos de I2(k; µ), logo podemos consider´a-
la como um ponto de partida. O primeiro passo consiste em expressar os denominadores
referentes a cada propagador em termos de um ´unico denominador. Fazemos isso atrav´es do m´etodo de parametriza¸c˜ao de Feynman, que emprega a seguinte representa¸c˜ao integral [68]:
1 aα1 1 a α2 2 = Γ(α1+ α2) Γ(α1)Γ(α2) Z 1 0 dx x α1−1(1 − x)α2−1 [xa1+ (1 − x)a2]α1+α2 , (Re α1 > 0 e Re α2 > 0) (2.79)
O s´ımbolo Γ na representa¸c˜ao anterior corresponde `a fun¸c˜ao Gamma de Euler. A partir de (2.79) reescrevemos (2.78) como: I2(k; µ) = µ− Z 1 0 dx Z ddq (q2 + 2xk · q + xk2+ 1)2 (2.80)
A integral em q acima ´e conhecida e, de uma forma geral, temos:
Z ddq (q2+ 2p · q + m2)α = Sd 2 Γ d2 Γ α −d2 Γ(α) (m 2− p2)d2−α (2.81)
onde Sd = 2 π
d 2
Γ(d2) corresponde `a ´area de uma esfera de raio unit´ario no espa¸co d-dimensional.
Logo, se identificarmos p = xk, m2 = xk2+ 1 e = 4 − d, obtemos:
I2(k; µ) = µ− Sd 2 Γ 2 − 2 Γ 2 Z 1 0 dx[x(1 − x)k2+ 1]−2 (2.82)
O polo em est´a presente na fun¸c˜ao Γ 2. Podemos ver isso atrav´es da identidade Γ(x + 1) = xΓ(x). Al´em disso, estamos interessados na expans˜ao em potˆencias de . Para tal finalidade, contaremos com as expans˜oes:
z = e ln z = 1 + ln z + O(2), (2.83a) Γ(1 + α1) . . . Γ(1 + αm)
Γ(1 + β1) . . . Γ(1 + βn)
= 1 + O(2), (2.83b)
quando os coeficientes α’s e β’s satisfazem:
m X i=1 αi− n X j=1 βj = 0. (2.84)
Portanto, a expans˜ao em da integral (2.82) ´e dada por: I2(k; µ) = µ− Sd 1 − 2− 2 Z 1 0 dx ln[x(1 − x)k2+ 1] + O(). (2.85)
Note como o polo simples em est´a relacionado com a divergˆencia logar´ıtmica ultravioleta presente em (2.72).
Na se¸c˜ao (2.9), estudaremos tamb´em os expoentes cr´ıticos como um resultado da invariˆancia de escala de um sistema no ponto cr´ıtico. Neste caso, temos a massa µ ∝ √t = 0 e estamos portanto diante de uma teoria n˜ao-massiva. Naturalmente, a escala de massa µ ´e perdida e devemos inserir um nova escala de momento que aqui ser´a representada por κ. Os momentos da integral (2.42b) passam a ser escalados como k −→ kκ e q −→ κq, de modo que podemos escrever:
I2(k; κ) = κ−
Z ddq
(q + k)2q2. (2.86)
Para d ≤ 4, al´em da divergˆencia no limite ultravioleta da integral acima, tamb´em teremos uma no limite infravermelho com k → 0. Essa ´ultima divergˆencia ´e um reflexo do comportamento das fun¸c˜oes de correla¸c˜ao no ponto cr´ıtico. De fato, as correla¸c˜oes de longo alcance s˜ao traduzidas no espa¸co dos momentos como grandes contribui¸c˜oes dos componentes de Fourier das fun¸c˜oes de correla¸c˜ao no limite k → 0.
A regulariza¸c˜ao dimensional de (2.86) ´e realizada seguindo os mesmos passos aplicados na teoria massiva. Chegamos ent˜ao ao seguinte resultado:
I2(k; κ) = κ− Sd 1 − 2 − 2 Z 1 0 dx ln[x(1 − x)k2] + O(). (2.87)
31 Cap´ıtulo 2. Teoria de Campos em Fenˆomenos Cr´ıticos As demais integrais de Feynman dadas em (2.56) e (2.68) referentes a ordens mais elevadas em loops s˜ao regularizadas em [15] e n˜ao repetiremos esses c´alculos aqui. Consideramos os exemplos acima apenas como ilustra¸c˜oes do esquema de regulariza¸c˜ao dimensional. Deixaremos para o pr´oximo cap´ıtulo, uma an´alise mais detalhada dessas integrais, quando ent˜ao estudarmos os efeitos da restri¸c˜ao espacial no sistema.