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As condi¸c˜oes de renormaliza¸c˜ao s˜ao arbitr´arias. Tomemos como exemplo a teoria n˜ao- massiva. A ´unica restri¸c˜ao imposta nas constantes de renormaliza¸c˜ao ´e tornar a equa¸c˜ao (2.105) finita. De resto, podemos escolher qualquer valor para κ em (2.103a-2.103d), resultando em diferentes vers˜oes de teorias renormalizadas. No entanto, teremos sempre a teoria original com os parˆametros λ e Λ inalterados por essa nossa liberdade de escolha. Tal invariˆancia per- mite que estabele¸camos transforma¸c˜oes entre essas diversas vers˜oes de teorias renormalizadas, dando origem ao que ´e conhecido como grupo de renormaliza¸c˜ao. Se considerarmos varia¸c˜oes infinitesimais em κ, obtemos equa¸c˜oes diferenciais para as fun¸c˜oes de v´ertice que conduzem a resultados fundamentais para a descri¸c˜ao do comportamento dos observ´aveis f´ısicos no ponto cr´ıtico, conforme ilustramos a seguir.

2.9.1

Equa¸c˜oes do grupo de renormaliza¸c˜ao

Na equa¸c˜ao (2.105), os valores para λ e Λ permanecem fixos enquanto podemos variar κ. Portanto, passamos as constantes de renormaliza¸c˜ao do lado direito para o lado esquerdo de (2.105) e derivamos com rela¸c˜ao a ln κ mantendo λ e Λ fixos:

κ ∂ ∂κ h ZΦ−E/2ZΦ−L2 Γ (E,L) R (ki, pj; κ, g) i λ,Λ = 0. (2.106)

Ap´os algumas manipula¸c˜oes alg´ebricas, chegamos `as equa¸c˜oes do grupo de renormaliza¸c˜ao:  κ ∂ ∂κ + β(u) ∂ ∂u − E 2γΦ(u) + LγΦ2(u)  Γ(E,L)R (ki, pj; u, κ) = 0, (2.107) onde β(u) = − ∂ ln u0 ∂u −1 , (2.108a) γΦ(u) = β(u) ∂ ln ZΦ ∂u , (2.108b) γΦ2(u) = −β(u) ∂ ln ZΦ2 ∂u , (2.108c)

s˜ao conhecidas como as fun¸c˜oes de Wilson. A vari´avel u corresponde `a constante de acoplamento renormalizada e adimensionalizada atrav´es de g = κu. Da mesma forma, temos λ = κu

0.

Apesar de u0, ZΦ e ZΦ2 divergirem com Λ, as fun¸c˜oes (2.108a-2.108c) s˜ao finitas no limite

Λ → ∞.

A partir da equa¸c˜ao (2.107), podemos determinar como as fun¸c˜oes de v´ertices mudam com o reescalamento ki → ρki dos momentos externos. O reescalamento no limite infravermelho

37 Cap´ıtulo 2. Teoria de Campos em Fenˆomenos Cr´ıticos (ρ → 0) induz um fluxo de u no espa¸co das constantes de acoplamento que tender´a a um ponto fixo u∗ dado pelas condi¸c˜oes

β(u∗) = 0 e dβ(u) du u=u∗ > 0. (2.109)

Nesse caso, u∗ ´e conhecido como ponto fixo est´avel no infravermelho. No ponto fixo, a teoria ´e invariante por escala. As fun¸c˜oes de v´ertice passam ent˜ao a escalar de forma homogˆenea e podemos calcular os expoentes cr´ıticos η e ν atrav´es de:

η = γΦ(u∗), (2.110a)

ν−1 = 2 − η − γΦ2(u∗). (2.110b)

A nova fun¸c˜ao de Wilson γΦ2 ´e definida em analogia com (2.108c) da seguinte forma:

γΦ2(u) = −β(u)

∂ ln ZΦ2

∂u , (2.111)

com ZΦ2 dado em (2.101).

Temos portanto todos os ingredientes necess´arios para o c´alculo do expoentes cr´ıticos. Substituindo as expans˜oes (2.100a-2.100c) para as constantes de renormaliza¸c˜ao em (2.108a), (2.108b) e (2.111), obtemos as fun¸c˜oes de Wilson simbolicamente:

β(u) = −u1 − a1u + 2 a21 − a2 u2 , (2.112a)

γΦ(u) = −u2b2u + (3b3− 2b2a1) u2 , (2.112b)

γΦ2(u) = uc1+ 2c2− c21− a1c1 u . (2.112c)

Na regulariza¸c˜ao dimensional, os coeficientes a1, b2 e c1 apresentam polos simples em  que ser˜ao

cancelados pelo fator  das fun¸c˜oes acima. Da mesma forma, os polos duplos presentes em a2, b3

e c2 ser˜ao todos removidos pelas subtra¸c˜oes nos termos de ordem u3 e u2, restando apenas polos

simples a serem cancelados ent˜ao pelo fator . No pr´oximo cap´ıtulo, mostraremos explicitamente esses cancelamentos. Consequentemente, as fun¸c˜oes de Wilson ser˜ao todas finitas, conforme j´a esper´avamos devido ao fato de estarem associadas aos observ´aveis f´ısicos.

Na ordem 2 de loops considerada, a fun¸c˜ao β(u) dada em (2.112a) ´e um polinˆomio de terceiro grau em u e portanto podemos ter trˆes ra´ızes. Uma dessas ra´ızes ´e u = 0. Abaixo da dimens˜ao cr´ıtica ( > 0), temos dβ(u)du

u=0

< 0 e u = 0 n˜ao constitui portanto um ponto fixo est´avel no infravermelho. Restam ainda duas ra´ızes. O ponto fixo est´avel no infravermelho corresponde `a raiz na qual u∗ = O(). Ou seja, quando nos aproximamos da dimens˜ao cr´ıtica ( → 0), u∗ tende a zero e a teoria passa a ter uma constante de acoplamento nula, tornando-se assintoticamente livre.

2.9.2

Equa¸c˜oes de Callan-Symanzik

Outra forma de obtermos as leis de escala para as fun¸c˜oes de v´ertice consiste em consi- derar o sistema acima do ponto cr´ıtico. Na teoria massiva, a massa renormalizada passa a ser o parˆametro livre nas condi¸c˜oes de renormaliza¸c˜ao enquanto que λ e Λ permanecem fixos. Portanto, semelhantemente ao realizado na teoria n˜ao-massiva, multiplicamos a equa¸c˜ao (2.89) por ZΦ−E/2ZΦ−L2 e derivamos com rela¸c˜ao a ln m mantendo λ e Λ constantes:

m ∂ ∂m h ZΦ−E/2ZΦ−L2 Γ (E,L) R (ki, pj; m, g) i λ,Λ= 0, (2.113)

resultando nas equa¸c˜oes de Callan-Symanzik :  m ∂ ∂m + β(u) ∂ ∂u − E 2γΦ(u) + LγΦ2(u)  Γ(E,L)R (ki, pj; u, m) = m2[2 − γΦ(u)] Γ (E,L+1) R (ki, pj, 0; u, m). (2.114)

As fun¸c˜oes de Wilson s˜ao novamente dadas pelas equa¸c˜oes (2.108a-2.108c). Claro, aqui u0, ZΦ

e ZΦ2 s˜ao obtidos atrav´es das condi¸c˜oes (2.91a-2.91d) e est˜ao em fun¸c˜ao de m, u e Λ.

As equa¸c˜oes de Callan-Symanzik s˜ao o equivalente na teoria massiva `as equa¸c˜oes do grupo de renormaliza¸c˜ao na teoria n˜ao-massiva. No entanto, a homogeneidade foi perdida devido `a presen¸ca da fun¸c˜ao Γ(E,L+1) no lado direito da equa¸c˜ao. Consequentemente, n˜ao teremos mais a

invariˆancia de escala no limite infravermelho, como acontece na teoria n˜ao-massiva. Por outro lado, se considerarmos o limite ultravioleta (ki

m → ∞), podemos fazer (2.114) homogˆenea e

teremos uma equa¸c˜ao an´aloga a (2.107). De fato, como os diagramas em Γ(E,L+1) possuem um

propagador a mais do que aqueles em Γ(E,L), podemos desprezar Γ(E,L+1) no segundo termo de (2.114) no limite ultravioleta. Isso ´e uma consequˆencia do teorema de Weinberg, o qual afirma que quando os momentos externos tendem uniformemente a infinito, diagramas com um propagador a mais decaem mais rapidamente do que aqueles sem o correspondente propagador com uma potˆencia quadr´atica inversa na escala dos momentos. Portanto, no limite ultravioleta, teremos a equa¸c˜ao (2.114) na sua forma homogˆenea.

As fun¸c˜oes de Wilson s˜ao novamente calculadas atrav´es de (2.108a-2.108c), cujos coeficientes s˜ao agora dados em termos das integrais de Feynman calculadas com os momentos nulos e a massa m diferente de zero. No entanto, o novo ponto fixo u∞ obtido a atrav´es de β(u∞) = 0

n˜ao possui mais a mesma estabilidade do seu correspondente u∗ na teoria n˜ao-massiva. A invariˆancia de escala no ultravioleta da teoria ´e obtida apenas com a constante de acoplamento colocada exatamente nesse ponto fixo (u = u∞). Os expoentes cr´ıticos η e ν s˜ao ent˜ao obtidos

atrav´es da substitui¸c˜ao de u∞ nas equa¸c˜oes (2.110a) e (2.110b). Apesar dos diferentes valores

entre u∗, u∞ e as fun¸c˜oes de Wilson nas teorias massiva e n˜ao-massiva, os resultados para η e

Cap´ıtulo 3

Expoentes cr´ıticos para sistemas com

geometria de placas planas e paralelas

3.1

Introdu¸c˜ao

A restri¸c˜ao espacial introduzida pelo confinamento de um campo em um volume delimitado por superf´ıcies planas e paralelas separadas por uma distˆancia L produz efeitos significativos no comportamento cr´ıtico do sistema. Quando comparados com o sistema no limite L → ∞ (sistema infinito), tais efeitos se manifestam principalmente na forma de uma mudan¸ca na temperatura cr´ıtica, na altera¸c˜ao da amplitude de quantidades termodinˆamicas (calor espec´ıfico, susceptibilidade, etc) e na forma como os expoentes cr´ıticos mudam a sua dependˆencia com a dimens˜ao espacial d [37, 69].

H´a alguns anos, Nemirovsky e Freed (NF) usaram o formalismo de teoria de campos e

grupo de renormaliza¸c˜ao na descri¸c˜ao de fenˆomenos cr´ıticos em sistemas com pelo menos uma dimens˜ao finita [34, 35]. A realiza¸c˜ao mais simples desse tipo de sistema em um espa¸co com d dimens˜oes consiste em um sistema delimitado por duas (hiper-)superf´ıcies planas de extens˜ao infinita em um subespa¸co com d − 1 dimens˜oes e separadas por uma distˆancia L. Trata-se basicamente de uma idealiza¸c˜ao para filmes finos. O sistema ´e descrito por um modelo de campos escalares com simetria O(N ) e intera¸c˜ao Φ4, da mesma forma como aquele modelado

pela densidade lagrangiana (2.4). Cada componente do parˆametro de ordem est´a ent˜ao su- jeito a restri¸c˜oes nas superf´ıcies na forma de condi¸c˜oes de contorno que podem ser peri´odicas, antiperi´odicas, Dirichlet ou Neumann. Conv´em observar que o volume do sistema ainda per- manece infinito. Portanto, continuamos falando em transi¸c˜oes de fase com expoentes cr´ıticos descrevendo as singularidades do comprimento de correla¸c˜ao, calor espec´ıfico, etc.

Antes do trabalho de NF, acreditava-se na impossibilidade de usarmos m´etodos perturba- tivos para tratar fenˆomenos cr´ıticos na presen¸ca de tamanhos finitos [36]. No entanto, NF mostraram que quantidades universais, como os expoentes cr´ıticos, podiam de fato ser escritas em termos de expans˜oes em  desde que a vari´avel de escala y = Lξ (ξ sendo o comprimento

de correla¸c˜ao do sistema) estivesse restrita `a regi˜ao y > 1. Para uma condi¸c˜ao de contorno em geral, foi conjecturada a existˆencia de trˆes regi˜oes de escalamento:

(i) y > 1, m´etodos perturbativos podem ser usados e os expoentes cr´ıticos s˜ao calculados em termos de expans˜oes em , correspondendo aos mesmos obtidos para o sistema infinito (L → ∞) no espa¸co d-dimensional;

(ii) y ∼ 1, os expoentes cr´ıticos n˜ao podem mais ser calculados perturbativamente. H´a uma quebra na expans˜ao em ;

(iii) y < 1, a tradicional expans˜ao em  = 4 − d ´e substitu´ıda agora por uma expans˜ao em 0 = 4 − (d − 1). Em outras palavras, os expoentes cr´ıticos passam a ser aqueles calculados em um espa¸co com d − 1 dimens˜oes.

Essa mudan¸ca de d para d − 1 dimens˜oes na descri¸c˜ao do comportamento cr´ıtico do sistema ´e conhecida como “crossover” dimensional. Neste cap´ıtulo, vamos mostrar que podemos ampliar a regi˜ao (i) para incluir y at´e o limite y → 0 sem qualquer quebra da expans˜ao em , desde que consideremos valores suficientemente grandes para L. De fato, quando as trˆes regi˜oes de escalamento foram propostas, uma formula¸c˜ao envolvendo apenas campos massivos conseguia descrever apenas a regi˜ao (i). As t´ecnicas a serem apresentadas nas pr´oximas se¸c˜oes ir˜ao incluir tamb´em a regi˜ao (ii) no limite L → ∞ usando a teoria massiva. Al´em disso, introduziremos uma formula¸c˜ao de campos sem massa e mostraremos que existe uma equivalˆencia entre essa formula¸c˜ao e a correspondente massiva. Consequentemente, veremos que as regi˜oes (i), (ii) e (iii) s˜ao consistentes com a expans˜ao em , contanto que os valores de L n˜ao sejam t˜ao pequenos. As an´alises de NF se restringiram `as fun¸c˜oes de Green de 2 e 4 pontos at´e ordem 1 loop em uma teoria massiva. Vamos ampliar no presente cap´ıtulo essas an´alises para incluir as contribui¸c˜oes at´e ordens de pelo menos 2 loops. Ao inv´es de fun¸c˜oes de Green, usaremos as fun¸c˜oes de v´ertice devido ao seu car´ater mais fundamental com rela¸c˜ao `as divergˆencias no regime ultravioleta. O sistema continuar´a sendo modelado pela densidade lagrangiana (2.4) com o parˆametro de ordem restrito a condi¸c˜oes de contorno peri´odicas ou antiperi´odicas nas duas superf´ıcies. Vamos nos referir a ambas as condi¸c˜oes como P BC (“periodic boundary condition”) ou ABC (“antiperiodic boundary condition”), respectivamente. Veremos portanto como o tamanho finito L introduz corre¸c˜oes nas fun¸c˜oes de correla¸c˜ao, constante de renormaliza¸c˜ao, ponto fixo, etc. No entanto, apesar dessas corre¸c˜oes aparecerem explicitamente nos passos intermedi´arios, todas elas s˜ao canceladas no resultado final para os expoentes cr´ıticos. Nenhuma quebra da expans˜ao em  ser´a observada (para valores n˜ao t˜ao pequenos de L) e um novo entendimento para as regi˜oes de escalamento descritas acima ser´a estabelecido.

41 Cap´ıtulo 3. Expoentes cr´ıticos para sistemas com geometria de placas planas e paralelas

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