Dados dois inteiros 𝑏 e 𝑎, dizemos que 𝑏 divide 𝑎 e escrevemos 𝑏|𝑎 se ∃𝑘 ∈ Z com 𝑎 = 𝑏𝑘. Com isso temos alguns exemplos :
• 2|4, porque 4 = 𝑘.2, onde 𝑘 = 2. • 8|56, porque 56 = 𝑘.8, onde 𝑘 = 7. • 3|3, porque 3 = 𝑘.3, onde 𝑘 = 3. • 𝑎|0, para todo inteiro 𝑎.
• 𝑎|𝑎, para todo inteiro 𝑎. • 1|𝑎, para todo inteiro 𝑎.
6.3. NÚMEROS PRIMOS 41 Da definição, conseguimos algumas propriedades advindas da Teoria dos números:
Propriedade 1: Se 𝑎|𝑏 e 𝑏|𝑐, então 𝑎|𝑐.
Demonstração. Pela prova direta temos, 𝑏 = 𝑎 * 𝑘1 (para algum inteiro 𝑘1). Vemos
também que 𝑐 = 𝑏 * 𝑘2 (para algum inteiro 𝑘2). Logo temos que 𝑐 = (𝑎 * 𝑘1) * 𝑘2, ou seja
𝑐 = 𝑎 * (𝑘1* 𝑘2). Como 𝑘1* 𝑘2 é um número inteiro, temos portanto 𝑎|𝑐 como queríamos
demostrar.
Propriedade 2: Se 𝑎|𝑏 e 𝑎|𝑐, então 𝑎|(𝑏 + 𝑐).
Demonstração. Pela prova direta temos, 𝑏 = 𝑎*𝑘1(para algum inteiro 𝑘1). Vemos também
que 𝑐 = 𝑎 * 𝑘2 (para algum inteiro 𝑘2). Logo temos que 𝑏 + 𝑐 = (𝑎 * 𝑘1) + (𝑎 * 𝑘2), ou seja
𝑏 + 𝑐 = 𝑎 * (𝑘1+ 𝑘2). Como 𝑘1+ 𝑘2 é um número inteiro, temos portanto 𝑎|(𝑏 + 𝑐) como
queríamos demostrar.
6.3
Números Primos
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C.2.O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números.
Também é definido que os números maiores que 1 e que não são primos, são chamados de números compostos.
Exemplo :
• De números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
• De números compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, . . .
Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (des- considerando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatorização).
Por exemplo temos: • 21 = 3. 7
• 100 = 2.2.5.5 = 22 . 52
• 641 = 641
1 i n t i s P r i m o (i n t d ) { 2 i n t i ; 3 composto = 0 ; 4 f o r ( i = 2 ; i < n ; i ++) 5 { 6 i f( d \% i == 0 ) 7 { 8 composto = 1 ; 9 } 10 } 11 r e t u r n ! composto ; 12 13 }
Figura 6.1: Algoritmo escrito em C para testar se um número d é primo. Porém, naturalmente surge uma pergunta, quantos números primos existem?
Vamos representar assim o conjunto de todos os primos : 𝑝1, 𝑝2, . . . , 𝑝𝑚. Seja o
número N formado pelo produto de todos eles : N = 𝑝1.𝑝2.𝑝3. . . 𝑝𝑚. Vamos agora
analisar o sucessor de N, ou seja, N+1. Veja que, para qualquer número primo 𝑝𝑖 (com i
variando de 1 a m, tempos 𝑝𝑖 | N (ou seja, todo primo divide N).
Como, todo primo 𝑝𝑖 é maior que 1, podemos concluir, que 𝑝𝑖 não divide (N + 1).
Assim temos que N+1 não pode ser primo, pois ele é maior de que todos os primos, e também não pode ser escrito como um produto de primos, porque nenhum primo é divisor de N+1. Isso claramente contraria o Teorema Fundamental da Aritmética.
6.4
MDC e MMC
MDC significa máximo divisor comum. O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais é o maior de seus divisores. Dois números naturais sempre tem divisores em comum. Exemplo:
• mdc(4,6) = 2 • mdc(30, 105) = 15
MMC significa mínimo múltiplo comum. Minimização, que é a operação e o menor múltiplo comum é o resultado dessa operação.
O mmc de dois ou mais números inteiros é o menor número que é múltiplos dos dois ao mesmo tempo. Com exceção do zero. Exemplo:
• mdc(4,6) = 12 • mdc(30, 105) = 210
6.4. MDC E MMC 43
6.4.1
Algoritmo
Para obtenção do mmc e do mdc, temos o seguinte algoritmo : • Fatore os números a e b em fatores primos.
• Se a e b tiverem fatores primos distintos (sem olhar os expoentes), inclua os fatores de a na fatoração de b (e vice-versa) com expoentes zero.
• assim, teremos duas fatorações com os mesmos fatores primos, que só mudam quanto aos expoentes. 𝑎 = 𝑝𝑎1 1 .𝑝 𝑎2 2 .𝑝 𝑎3 3 . . . . .𝑝 𝑎𝑛 𝑛 𝑏 = 𝑝𝑏1 1 .𝑝 𝑏2 2 .𝑝 𝑏3 3 . . . . .𝑝 𝑏𝑛 𝑛
Por exemplo temos :
84 = 22.31.71 450 = 21.32.52
O mmc e o mdc serão obtidos usando exatamente os fatores primos 𝑝1 a 𝑝𝑛, destacados
acima, a diferença está na forma como o expoente será escolhido:
• Para o mdc(a, b), para cada fator, escolha o mínimo dos expoentes. • Para o mmc(a, b), para cada fator, escolha o máximo dos expoentes.
Por exemplo, para calcular o mmc e mdc de 84 e 450 temos que, por conta de 84 = 22.31.71 e 450 = 21.32.52.
Logo, acrescentando um fator 50 na fatoração de 84 e um fator 70 para 450:
84 = 22.31.50.71 450 = 21.32.52.70 Assim, chegamos a:
mdc(84, 450) = 2𝑚𝑖𝑛(2,1).3𝑚𝑖𝑛(1,2).5𝑚𝑖𝑛(0,2).7𝑚𝑖𝑛(1,0) = 21.31.50.70 = 6 mmc(84, 450) = 2𝑚𝑎𝑥(2,1).3𝑚𝑎𝑥(1,2).5𝑚𝑎𝑥(0,2).7𝑚𝑎𝑥(1,0) = 22.32.52.71 = 6300
Teorema 1 : Se a e b são inteiros positivos, então a.b = mdc(a, b) . mmc(a, b). Exemplo:
84.450 = 37800
6.5
Algoritmo de Euclides
Em matemática, o algoritmo de Euclides é um método simples e eficiente de encontrar o máximo divisor comum entre dois números inteiros diferentes de zero. Este algoritmos nós diz que : Se a e b são inteiros positivos, então mdc(a, b) = mdc(b, a mod b). Com isso, conseguimos reduzir o cálculo do valor do mdc(a, b) para o mdc de dois valores menores. 1 i n t mdc (i n t a , i n t b ) { 2 i f ( b == 0 ) 3 r e t u r n a 4 e l s e 5 { 6 r e t u r n mdc ( b , a % b ) 7 } 8 9 }
Figura 6.2: Algoritmo escrito em C para calculo do MCD de forma recursiva.
6.6
Aritmética Modular
Uma das ferramentas mais importantes na teoria dos números é a aritmética modular, que envolve o conceito de congruência.
Dizemos que dois inteiros a,b são congruentes módulo m se m|a – b. (Escrevemos a ≡b (mód m)). Analogamente, se a,b são congruentes módulo m, eles têm o mesmo resto na divisão por m.
Por exemplo temos:
• 3 ≡ 0 (mod 3), pois 3 | (3-0) • 2 ≡ 5 (mod 3), pois 3 | (2-5) • 29 ≡ 8 (mod 3), pois 3 | (29 - 8) • 11 ≡ 1 (mod 2)
• 8 ≡ 0 (mod 2)
• a ≡ 0 (mod 2) é verdade se a é par (a é multiplo de 2) • a ≡ 1 (mod 2) é verdade se a é impar
• a ≡ 0 (mod 3) é verdade se a é múltiplo de 3 • a ≡ 0 (mod 4) é verdade se a é múltiplo de 4
6.6. ARITMÉTICA MODULAR 45 • a ≡ a (mod n)
• a ≡ b (mod n) ⇒ b ≡ a (mod n)
• a ≡ b (mod n) e b ≡ c (mod c) a ≡ c (mod n)
• a ≡ b (mod n) ⇒ a + c ≡ b + c (mod n), a - c ≡ b -c (mod n) e ac ≡ bc (mod n) • a ≡ b (mod n) e c ≡ d (mod n) ⇒ a + c ≡ b + d (mod n), a - c ≡ b - d (mod n) e
ac ≡ bd (mod n)
• a ≡ b (mod n) ⇒ 𝑎𝑘 ≡ 𝑏𝑘 (mod n)
• Se mcd(c, n) = 1 e ac ≡ bc (mod n), então a ≡ b (mod n)
Logo, para melhor entendimento, provaremos a seguinte afirmação : a ≡ b (mod n) ⇒ a + c ≡ b + c (mod n)
Demonstração. Usando a definição de relação "congruente módulo m"temos que : m | (a - b). Agora, pela definição "divide", isso nos leva a k . m = a - b (para algum inteiro k), logo temos a = b + k . m.
Calculando a + c com a equação acima, temos:
𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑘.𝑚 + 𝑐𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 + 𝑘.𝑚(𝑎 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑐) + 𝑘.𝑚(𝑎 + 𝑐) − (𝑏 + 𝑐) = 𝑘.𝑚 Portanto, temos que m | (a + c) - (b + c) . Agora, pela definição de "congruência modulo m", temos que : (a + c) ≡ (b + c) (mod m)
7
Aplicações
7.1
Alguns resultados úteis
Teorema 7.1: Se 𝑎 e 𝑏 são números inteiros positivos, então existem inteiros 𝑠 e 𝑡 tal que 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏
Em outras palavras, o teorema nos diz que o 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) pode ser expresso através de uma combinação linear, com coeficientes inteiros de 𝑎 e 𝑏.
Exemplo 1.
𝑚𝑑𝑐(6, 14) = 2 e
2 = (−2).6 + 1.14 logo 𝑠 = −2 e 𝑡 = 1.
Exemplo 2. Expresse o 𝑚𝑑𝑐(252, 198) como combinação linear de 252 e 198. 252 = 1.198 + 54 ⇒ 54 = 252 − 1.198
198 = 3.54 + 36 ⇒ 36 = 198 − 3.54 54 = 1.36 + 18 ⇒ 18 = 54 − 1.36
36 = 2.18 + 0 ⇒ 0 = 36 − 2.18
Note que podemos expressar o 𝑚𝑑𝑐(252, 198) = 18 como a combinação 18 = 54−1.36, assim, podemos substituir sucessivamente cada expressão, até encontrar a combinação em função de 252 e 198:
18 = 54 − 1.36
18 = 54 − 1.(198 − 3.54) ⇔ 18 = 54 − 198 + 3.54 = 4.54 − 198 18 = 4.(252 − 1.198) − 198 ⇔ 4.252 − 4.198 − 198 = 4.252 − 5.198 portanto, 18 = 4.252 − 5.198, com isso 𝑠 = 4 e 𝑡 = −5.
Outra forma de resolver essa questão seria usando o método dos quocientes. Passo a passo:
1. Encontre o 𝑚𝑑𝑐(252, 198) pelo método de euclides: 𝑚𝑑𝑐(252, 198) = 𝑚𝑑𝑐(198, 54) = 𝑚𝑑𝑐(54, 36) = 𝑚𝑑𝑐(36, 18) = 𝑚𝑑𝑐(18, 0) = 18.
7.1. ALGUNS RESULTADOS ÚTEIS 47 2. Salve os quocientes resultantes das divisões:
Quocientes 1 3 1 2
3. Após ter em mãos todos os quocientes, elimine o ultimo e crie uma tabela com a lista invertida dos quocientes restantes:
Lista 1 3 1
4. Agora, o primeiro elemento da nova lista será multiplicado por 1, o resultado será salvo e depois multiplicará o próximo número da lista. Tendo o resultado da mul- tiplicação, somamos com o elemento que multiplicou o número anterior e salvamos esse resultado. Faremos isso para todos os elementos da lista:
Lista 1 3 1
1 1 4 5
(a) 1 × 1 = 1 (b) (3 × 1) + 1 = 4
(c) (1 × 4) + 1 = 5
5. O ultimo passo será guardar os dois últimos elementos dos resultados que encontra- mos e analisar o tamanho da sua lista:
(a) Se a quantidade de elementos da sua lista for par, o penúltimo resultado vira negativo.
(b) Se a quantidade de elementos da sua lista for ímpar, o último resultado vira negativo.
Como nossa lista possui três elementos (1, 3, 1), a quantidade de elementos é impar, então o elemento 5 vira negativo (−5). Nossos coeficientes: 𝑠 = 4 𝑒 𝑡 = −5
Logo:
18 = 252.(4) + (−5).198
É importante lembrar que o maior coeficiente em módulo acompanha o menor nú- mero e o menor em módulo acompanha o maior número. Este método é bastante usado quando queremos automatizar o processo utilizando um algoritmo computa- cional.
Temos como consequência deste teorema, dois Lemas:
Lema 7.1. Se 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números inteiros positivos, tal que 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1 e 𝑎|𝑏𝑐, então 𝑎|𝑐.
Lema 7.2. Se 𝑝 é um número primo, e 𝑝|𝑎1𝑎2. . .𝑎𝑛 em que cada 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛 é
Conhecendo-se os Lemas 7.1 e 7.2, é suficiente para que possamos provas o seguinte teorema:
Teorema 7.2. Seja 𝑚 um número inteiro positivo e 𝑎, 𝑏 e 𝑐 números inteiros. Se 𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑐 𝑚𝑜𝑑(𝑚) e 𝑚𝑑𝑐(𝑐, 𝑚) = 1, então 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑚).
demonstração. 𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑐 𝑚𝑜𝑑(𝑚) ⇒ 𝑚|(𝑎𝑐 − 𝑏𝑐) ⇒ 𝑚|𝑐(𝑎 − 𝑏) pelo lema 7.1 como 𝑚𝑑𝑐(𝑐, 𝑚) = 1 ⇒ 𝑚|(𝑎 − 𝑏) e pela definição de congruência, 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑(𝑚).