UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE COMPUTAÇÃO
Prof. Lucas Amorim
Matemática Discreta
Notas de Aula
Derecky Costa da Fonseca Andrade
Lucas Buarque de Araújo Barros
Pedro Henrique Silva Souza Barros
Pedro Javier Paneca Cordova
Maceió - AL 6 de Julho de 2018
1 Introdução 1 1.1 Motivação . . . 2 1.2 Noções Básicas . . . 2 1.3 Estruturas Matemáticas . . . 3 1.4 Conjuntos e Tuplas . . . 3 1.5 Conjuntos . . . 3 1.5.1 Representação . . . 3 1.5.2 Características . . . 4 1.6 Tuplas . . . 4 1.6.1 Características . . . 4
1.6.2 Algumas variações de tuplas . . . 5
1.7 Relações e Funções . . . 5
1.8 Relações . . . 5
1.9 Funções . . . 6
1.9.1 Características . . . 6
1.9.2 Exemplo de aplicação à computação . . . 7
2 Teoria dos Conjuntos 8 2.1 O que é um conjunto? . . . 8 2.2 Notação . . . 8 2.2.1 Extensão . . . 8 2.2.2 Compreensão . . . 9 2.2.3 Representação gráfica . . . 9 2.3 Conjuntos especiais . . . 10 2.3.1 Conjunto universo . . . 10 2.3.2 Conjunto vazio . . . 10 2.4 Conjuntos numéricos . . . 10
2.4.1 Conjunto dos Números Naturais . . . 10
2.4.2 Conjunto dos Números Inteiros . . . 10
2.4.3 Conjunto dos Números Racionais . . . 10
2.4.4 Conjunto dos Números Irracionais . . . 11
2.4.5 Conjunto dos Números Reais . . . 11
2.5 Comparação de conjuntos . . . 11 2.5.1 Igualdade de Conjuntos . . . 11 2.5.2 Desigualdade de conjuntos . . . 11 2.6 Subconjunto . . . 11 2.6.1 Subconjunto próprio . . . 12 2.6.2 Exemplos de subconjuntos . . . 12 2.6.3 Propriedades de subconjuntos . . . 12 2.6.4 Conjunto Potência . . . 12
2.7 Operações entre conjuntos . . . 12
2.7.1 União . . . 12
2.7.2 Intersecção . . . 13
2.7.3 Diferença . . . 13
2.7.4 Complemento . . . 14
2.8 Leis da álgebra dos conjuntos . . . 14
2.8.1 Relações com as Equivalências Lógicas . . . 14
2.8.2 Leis da Álgebra dos conjuntos . . . 14
2.9 Cardinalidade . . . 16 2.10 Produto cartesiano . . . 16 3 Relações 17 3.1 Relação . . . 17 3.2 Tipos de Relações . . . 17 3.2.1 Um para Um . . . 17 3.2.2 Um para Muitos . . . 18 3.2.3 Muitos para Um . . . 18
3.2.4 Muitos para Muitos . . . 18
3.3 Relações em um conjunto . . . 19
3.4 Tipos de relações em um conjunto . . . 20
3.4.1 Relação reflexiva . . . 20 3.4.2 Relação simétrica . . . 20 3.4.3 Relação anti-simétrica . . . 21 3.4.4 Relação transitiva . . . 21 3.4.5 Relação de equivalência . . . 21 3.4.6 Relações de ordem . . . 22 3.5 Combinação de relações . . . 22 3.5.1 Composição de relação . . . 23 3.5.2 Relações n-árias . . . 23 4 Funções 25 4.1 Introdução . . . 25 4.1.1 Imagem . . . 25 4.2 Representação . . . 25 4.3 Propriedades . . . 27 4.4 Sequências . . . 28 4.5 Série . . . 28 4.6 Recursão . . . 29 5 Demonstrações Matemáticas 30 5.1 Inferência Lógica . . . 30 5.1.1 Modus Ponens . . . 30 5.1.2 Modus Tollens . . . 30 5.1.3 Silogismo Hipotético . . . 31 5.1.4 Silogismo Disjuntivo . . . 31
5.1.6 Simplificação . . . 31 5.1.7 Conjunção . . . 31 5.1.8 Resolução . . . 31 5.2 Equivalência Lógica . . . 32 5.2.1 Exemplo 1: 𝑑 é verdade? . . . 33 5.3 Métodos de prova . . . 34 5.3.1 Prova Direta . . . 34
5.3.2 Prova por contraposição . . . 35
5.3.3 Prova por contradição (ou redução ao absurdo) . . . 35
5.3.4 Prova por contraexemplo . . . 36
5.3.5 Prova por Indução . . . 37
5.3.6 Curiosidade . . . 39
6 Introdução à Teoria dos Números 40 6.1 Teoria dos números . . . 40
6.2 Divisibilidade . . . 40 6.3 Números Primos . . . 41 6.4 MDC e MMC . . . 42 6.4.1 Algoritmo . . . 43 6.5 Algoritmo de Euclides . . . 44 6.6 Aritmética Modular . . . 44 7 Aplicações 46 7.1 Alguns resultados úteis . . . 46
7.2 Congruências Lineares . . . 48
7.3 Teorema Chinês do Resto . . . 49
7.4 Pequeno teorema de Fermat . . . 50
1
Introdução
Matemática discreta, ou matemática finita, é o estudo de estruturas algébricas que são essencialmente discretas. Assim, podemos dividir, basicamente, a matemática em dois distintos conceitos:
• Matemática Contínua
Estuda elementos que variam, entre si, de forma suave, ou seja, que apresentam diferentas mínimas entre si, infinitamente pequenas.Por exemplo, se tomarmos os números reais (R), sabemos que entre dois números quaisquer tomados arbitraria-mente, podemos definir subintervalos dentro deste, que possui infinitos elementos.
Geralmente, é aplicada em fenômenos físicos do mundo real, onde as quantidades são contínuas. Por exemplo: Distâncias, Tempo, Massa, Corrente, Resistência, etc..
• Matemática Discreta
Estuda elementos que variam de maneira abrupta entre si. Apesar de também co-nhecido como matemática finita, o conjunto de objetos estudados pela matemática discreta pode ser infinito.
Tomemos como exemplo o conjunto dos inteiros (Z), é infinito, mas dentro de um intervalo arbitrariamente definido, há uma quantidade finita de elementos.
A matemática discreta é comumente aplicada em problemas quantitativos, como alocação de salas, localizar a menor rota (google maps, waze). A computação, no geral é representada de forma discreta, e alguns dos tópicos da matemática discreta, principalmente a propriedade dos números primos, nos fornece uma codificação, que é o alicerce econômico mundial, como veremos posteriormente.
A divisão entre matemática discreta e matemática contínua, no entanto, é imprecisa. Classicamente, a matemática é dividia em áreas como:
• Lógica;
• Teoria dos Conjuntos; • Teoria dos Números;
• Teoria dos Grafos; • Combinatória; • Geometria;
• Análise Real e Cálculo; • Análise Complexa; • Entre outros.
Note que dentre as áreas listadas, lógica, teoria dos conjuntos, teoria dos números, teoria dos grafos e combinatória, lidam diretamente com objetos discretos, já as demais lidam com objetos discretos e/ou contínuos ou somente contínuos.
1.1
Motivação
Um dos questionamentos que sempre surgem na cabeça do aluno, é sobre o motivo de estudar determinada disciplina, então, aqui podemos citar algumas soluções para o o questionamento Por que estudar matemática discreta?
O sistema binário, aquele assume apenas valores 0 e 1, é um sistema discreto, portanto a computação, em sua completude, é absolutamente discreta.
Devido ao estudo da matemática discreta, pôde-se elaborar conceitos que permite-nos criar modelos matemáticos que representem problemas reais e, através de um computador, encontrarmos soluções (programas).
Através do estudo de demonstrações matemáticas, consequentemente, aprimoraremos nossa capacidade de raciocínio lógico e argumentativo.
1.2
Noções Básicas
Para iniciar nossos estudos, adquiriremos primeiramente algumas noções básicas, fun-damentais para juntamente do curso, tornar-mos aptos a responder as seguintes perguntas:
• O que são e quais são as principais estruturas algébricas estudadas pela matemática discreta?
• Como interpretar e escrever afirmações matemáticas feitas sobre estas estruturas?
1.3. ESTRUTURAS MATEMÁTICAS 3
1.3
Estruturas Matemáticas
O termo estruturas matemáticas é comumente conhecido como estruturas algébricas, deste vasto conjunto de estruturas, esta disciplinas só tratará daquelas que são discretas. Mas para isso, entendamos primeiramente o que são estruturas algébricas de forma ingênua e não formalizada:
Uma Estrutura algébrica é formada por um conjunto associado a uma ou mais opera-ções sobre o conjunto que satisfazem certos axiomas1.
Portanto, Estruturas algébricas estão intimamente correlacionadas à teoria dos con-juntos. Como dito anteriormente, as estruturas discretas, são estruturas algébricas cujos elementos variam de forma abrupta, por exemplo, Números naturais (N), Números inteiros (Z), Grafos, entre outros.
1.4
Conjuntos e Tuplas
Conjuntos e Tuplas são estruturas que equivalem a coleções de outras estruturas, porém, elas têm características distintas.
1.5
Conjuntos
Conjunto é uma coleção Não ordenada de elementos distintos. Alguns conjuntos importantes:
• N: Conjunto dos números naturais; • Z: Conjunto dos números inteiros; • Q: Conjunto dos números racionais; • I: Conjunto dos números irracionais; • R: Conjunto dos números reais; • C: Conjunto dos números complexos.
1.5.1
Representação
• Representação em chaves2
𝐴 = {1, 33, 4} 𝐵 = {1, 2, 3, ...}
1Axioma, também conhecido como postulado, é uma sentença ou proposição que não é provada ou
demonstrada, mas é considerada verdadeira para a elaboração de uma teoria.
• Representação formal em chaves
𝑋 = {𝑥 ∈ 𝑋|𝑥 = 𝑎2, ∀𝑎 ∈ N} • Representação diagrama de Venn-Euler
𝐴 𝐵
1.5.2
Características
1. A ordem dos elementos não importa {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}
2. As repetições de elementos não são levadas em consideração {𝑎, 𝑎, 𝑏} = {𝑎, 𝑏}
1.6
Tuplas
Tupla é uma coleção ordenada de elementos. Sendo assim, as tuplas são uma genera-lização do conceito de par ordenado, podendo ter mais que um par de elementos.
Representação
A representação é feita através de uma listagem de elementos entre parênteses: • (𝑎, 𝑏)
• (1, 2, 𝑎, 10) • (𝑎, {1, 2}, 4)
1.6.1
Características
1. A ordem dos elementos importa (𝑎, 𝑏) ̸= (𝑏, 𝑎)
2. As repetições dos elementos importam (𝑎, 𝑎, 𝑏) ̸= (𝑎, 𝑏)
1.7. RELAÇÕES E FUNÇÕES 5
1.6.2
Algumas variações de tuplas
• Cadeia (ou String) é uma tupla que só contém simbolos. Representada sem os parênteses delimitando-os e sem as virgulas semparando-os.
Exemplos: aaba, ac23e, 1037, etc.
• Sequência é uma tupla que, geralmente, tem infinitos elementos do mesmo tipo (só inteiros, por exemplo). Tem um nome representado entre chaves, mas seus elementos são representados sem delimitadores. Por exemplo:
{𝑎𝑛} = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, . . .
1.7
Relações e Funções
Estas duas definições estão diretamente ligadas, visto que o conjunto de todas as funções existentes está contido no conjunto de Relações, podemos formalmente afimar que:
𝜁 ⊂ Γ
Onde 𝜁 representa o conjunto de todas as funções e Γ representa o conjunto de todas as relações.
A princípio focaremos no entedimento de relação.
1.8
Relações
Podemos definir relação como uma associação entre elementos, de dois conjutos não vazios. Suponhamos que 𝐴, 𝐵 ̸= ∅ são conjuntos e 𝑎1 ∈ 𝐴 e 𝑏1, 𝑏2 ∈ 𝐵 e seja 𝑅 uma
relação binária arbitrária, onde 𝑎1 está relacionado com 𝑏1 e 𝑏2. Assim podemos dizer:
𝑎1𝑅𝑏1
e
𝑎1𝑅𝑏2
Existem alguns tipos de relações:
• Relações entre elementos do mesmo conjunto • Relações de equivalência
• Relações de ordem
Dentre outras, e cada tipo de relação tem suas devidas propriedades 1.
Vários conceiros já são conhecidos nossos que tratam-se de relações, por exemplo:
• Igualdade podemos estabelecer esta relação entre números, conjuntos, tuplas, etc. exemplos: 𝐴 = 𝐵 ou então seu oposto Desigualdade: 𝐴 ̸= 𝐵.
• Pertence Podemos estabelecer esta relação entre elemento e conjunto ou conjunto e conjunto, por exemplo: 𝑎 ∈ 𝐴, 𝐴 ∈ 𝐵, respectivamente.
Dentre muitas outras relações comumente usadas, algumas mostradas com maior rigor nos capítulos posteriores.
1.9
Funções
Função, também conhecida como aplicação, é uma relação estabelecida entre dois conjuntos, com algumas propriedades. A representação mais usual deste tipo de relação é 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 onde 𝑓 é a função ao qual queremos representar, 𝐴 é um conjunto ao qual chamamos de domínio e 𝐵 também conjunto ao qual chamamos de contradomínio. Agora, podemos definir formalmente função como:
Definição: Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, uma relação 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 e o conjuntos dos pares ordenados G = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐵 | 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵} dizemos que 𝑓 é uma função se, e somente se, para todos 𝑏1 ̸= 𝑏2 ∈ 𝐵 com (𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2) ∈ G , temos que 𝑎1 ̸= 𝑎2.
Em outras palavras, ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃𝑏 ∈ 𝐵 tal que 𝑎 se relaciona com 𝑏. Então, quando 𝑎 se relaciona com 𝑏 por 𝑓 podemos dizer que 𝑏 = 𝑓(𝑎), onde o conjunto formado por todo 𝑏 que contém esta característica é chamado de imagem de 𝐴.
De maneira mais clara, e direta, podemos dizer que para que uma relação seja con-siderada função, todo elemento de 𝐴 deve ter um, e apenas um, elemento associado em 𝐵.
1.9.1
Características
As funções podem ser divididas, basicamente, em três tipos, mas para melhor entendê-los, devemos ter uma distinção clara entre contra-domínio e imagem.
O conjunto imagem é sempre limitado pelo contra-domínio. formalmente falando: 𝐼𝑚 ⊆ 𝐶𝑑𝑜𝑚
Onde: 𝐼𝑚 representa o conjunto imagem e 𝐶𝑑𝑜𝑚 Representa o contra-domínio. Note que
o conjunto imagem pode ser igual ao conjunto do contra-domínio, neste caso, dizemos que a função é sobrejetora.
Além da sobrejetividade de uma função, quando em uma função não existe o caso em que para 𝑎1, 𝑎2 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵, 𝑏 = 𝑓(𝑎1) = 𝑓 (𝑎2) Dizemos que essa função é injetora. E
uma função pode ser bijetora se, e somente se, ela é injetora e sobrejetora. Para melhor fixar:
• Injetora Para que uma função seja injetora, não existe dois elementos em 𝐴 que tenha um mesmo representante em 𝐵
1.9. FUNÇÕES 7 • Sobrejetora Para que uma função seja sobrejetora, o conjunto imagem de 𝐴 em 𝐵 é igual ao conjunto 𝐵, ou seja, o conjunto imagem é igual ao conjunto do contra-domínio.
• Bijetora Para que uma função seja bijetora, esta deve ser injetora e sobrejetora. O conceito dado acima é o conceito matemático de função, mas esta pode ser dada de outras formas, desde que para cada entrada e uma saída correspondente. por exemplo:
• Uma tabela de associação;
x n(x)
Ken 2.5 Kay 7.0 Nat 5.0 Frank 8.5
Tabela 1.1: função n(x) das notas de uma turma • Função como uma programa
1 d e f f ( n ) :
2 r e t u r n (2+ f ( n−1) i f( n>1) e l s e 1 )
1.9.2
Exemplo de aplicação à computação
Tudo que um programa de computador faz pode ser visto como o simples cálculo de uma função. Exemplo: Google Maps para achar caminhos em uma cidade.
Pois, dado um mapa de uma cidade e dados dois pontos (endereços) no mapa, ele calcula o caminho mais rápido entre os dois pontos. Podemos considerar, portanto, que esse sistema define uma função com essas características:
• Entrada: Uma tripla composta por (𝑀𝑎𝑝𝑎, 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜1, 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑁)
• Saída: Uma tupla composta por (𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜1, 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜2, . . . , 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑁) que representa o
2
Teoria dos Conjuntos
2.1
O que é um conjunto?
Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da matemática, sendo o elemento principal da teoria dos conjuntos.
A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A.
Exemplo
• Uma coleção de números é um conjunto, {1, 2, 3}.
• Uma coleção de letras é um conjunto, {𝑎, 𝑏, 𝑐}.
• Uma coleção de nomes é um conjunto, {𝐻𝑜𝑚𝑒𝑟, 𝐵𝑎𝑟𝑡, 𝐿𝑖𝑠𝑎}.
2.2
Notação
É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por:
1. Extensão: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos). 2. Compreensão: definindo uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de
forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell 1).
3. Representação gráfica: usando Diagramas de Venn.
2.2.1
Extensão
A notação padrão em Matemática lista os elementos (objetos do conjuntos) separados por vírgulas e delimitados por chaves. Usualmente os conjuntos são denotados por letra maiusculas e seus elementos por letras minúsculas.
Um certo conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:
A = {1, 2, 3}
2.2. NOTAÇÃO 9 Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:
A = {1, 2, 2, 2, 1, 3, 3}
2.2.2
Compreensão
Um certo conjunto A também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A.
Por exemplo, a frase “B é o conjunto dos triângulos retângulos” define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B.
O mesmo conjunto A da seção anterior poderia ser representado por uma regra:
A = {𝑥|𝑥é um número inteiro tal que 1 ≤ 𝑥 ≤ 3}
2.2.3
Representação gráfica
Diagrama de Venn é um sistema de organização de conjuntos numéricos, onde os elementos são agrupados em figuras geométricas, facilitando a visualização da divisão feita entre os diferentes grupos.
O diagrama de Venn, também conhecido como Diagrama de Conjuntos ou Diagrama Lógico, costuma ser usado como método para organizar informações e dados recolhidos em pesquisas quantitativas.
Esteticamente, o diagrama de Venn é formado por figuras geográficas sobrepostas, nor-malmente círculos. Os elementos semelhantes entre os diferentes grupos são representados justamente nas partes que estão sobrepostas dos círculos (a intersecção).
1 2 3 𝐴 𝐵 𝐶 7 4 5 6 Onde temos : A = {1, 4, 5, 7} B = {2, 4, 6, 7} C = {3, 5, 6, 7}
2.3
Conjuntos especiais
2.3.1
Conjunto universo
Em matemática, principalmente na teoria dos conjuntos e nos fundamentos da mate-mática, um universo é uma classe que contem (como elementos) todas as entidades que se deseja considerar em uma certa situação. Assim, todos os conjuntos em questão seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo é indicado geralmente por U.
2.3.2
Conjunto vazio
Em matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos, o conjunto vazio é o único conjunto que não possui elementos. Dizemos que o seu tamanho ou cardinalidade é zero. Duas notações para o conjunto vazio, bastante comum, são “{ }” ou ∅.
2.4
Conjuntos numéricos
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
2.4.1
Conjunto dos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . }
2.4.2
Conjunto dos Números Inteiros
Os números inteiros são constituídos dos números naturais e seus simétricos negativos, incluindo o zero. O conjunto de todos os números inteiros é representado pela letra Z.
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
2.4.3
Conjunto dos Números Racionais
Em Matemática, um Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão ou fração a/b de dois números inteiros, um numerador a e um denominador não nulo b. Podemos considerar que todos os números inteiros também são racionais. Basta tomar b igual a 1.
2.5. COMPARAÇÃO DE CONJUNTOS 11 O conjunto dos números racionais, representado por Q, é definido por:
Q = {︂
𝑥 | 𝑥 = 𝑚
𝑛 e 𝑚, 𝑛 ∈ Z & 𝑛 ̸= 0 }︂
2.4.4
Conjunto dos Números Irracionais
Os números irracionais são representados pela letra I. Estes números não admitem serem escritos na forma de fração, pois em suas formas decimais, consistem em números infinitos não periódicos.
2.4.5
Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.
Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (in-cluindo o zero, os positivos e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3, 141592 . . . .
2.5
Comparação de conjuntos
2.5.1
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence também a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertencer a B
A = B ⇐⇒ ∀𝑥|(𝑥 ∈ A → 𝑥 ∈ B) ∧ (𝑥 ∈ B → 𝑥 ∈ A)
2.5.2
Desigualdade de conjuntos
Se existe elemento de A que não pertence a B ou existe elemento de B que não pertence a A, então diz-se que A não é igual a B
A ̸= B ⇐⇒ ∃𝑥|(𝑥 ∈ A ∧ 𝑥 /∈ B) ∨ (𝑥 /∈ A ∧ 𝑥 ∈ B)
2.6
Subconjunto
O conjunto A é dito um subconjunto de B se e somente se todo elemento de A é também um elemento de B. Com isso dizemos que A está contido em B.
A ⊆ B ⇐⇒ (𝑥 ∈ A → 𝑥 ∈ B) Se A não está contido em B, escreve-se A ¬ ⊆ B.
2.6.1
Subconjunto próprio
Se A é um subconjunto de B, mas queremos enfatizar que A ̸= B, escrevemos A ⊂ B e dizemos que A é um subconjunto próprio de B.
2.6.2
Exemplos de subconjuntos
Sejam os conjuntos A = {1, 7, 9, 15} e B = {7, 9}, C = {7, 9, 15, 20}, podemos dizer, por exemplo que: 𝐵 ⊆ 𝐶; 𝐵 ⊆ 𝐴; 𝐵 ⊂ 𝐴; 𝐴 ̸⊂ 𝐶; 15 ∈ 𝐶; {7, 9} ⊆ 𝐵; {7} ⊂ 𝐴; ∅ ⊆ 𝐶
Seja A um conjunto e seja B = {A, {A}}, note que podemos dizer, por exemplo, que: 𝐴 ∈ 𝐵 e {𝐴} ∈ 𝐵; {𝐴} ⊆ 𝐵 e {{𝐴}} ⊆ 𝐵, e também 𝐴 ̸⊂ 𝐵.
2.6.3
Propriedades de subconjuntos
Vale ressaltar duas propriedades importantes da relação "está contido": • Reflexiva: Todo conjunto é subconjunto dele mesmo:
A ⊆ B • Transitiva:
(𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐶) → (𝐴 ⊆ 𝐶)
• Além disso: O conjunto vazio é subconjunto próprio de qualquer conjunto: ∅ ⊂ 𝐴
2.6.4
Conjunto Potência
Também conhecido como conjunto das partes, o conjunto potência de um conjunto A é formado por todos os subconjuntos possíveis de A. A notação utilizada é 𝒫(𝐴) ou P(A). Em relação à cardinalidade do conjunto P(A), note que se A possui 𝑛 elementos, então P(A) possui 2ˆ𝑛 elementos, pois esse é o número de subconjutnos de A. Por exemplo, se A = {1, 2, 3}, então:
𝑃 (𝐴) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
2.7
Operações entre conjuntos
2.7.1
União
Podemos criar outro conjunto com os elementos que pertencem a A ou a B. Este novo conjunto será chamado de união de A e B, e o descrevemos da seguinte maneira: A ∪ B. Algebricamente, a união é dada da seguinte forma:
2.7. OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 13 Na imagem abaixo é possível observar o resultado de união dos conjuntos A e B.
𝐴 𝐵
2.7.2
Intersecção
Continuamos com o exemplo dos conjuntos A e B definidos anteriormente. Podemos fazer um novo conjunto formado pelos elementos que os nossos conjuntos A e B têm em comum. Este novo conjunto chamaremos de intersecção de A e B que escrevemos da seguinte forma: A ∩ B. Algebricamente, a intersecção é dada da seguinte forma:
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈 |(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵)} E graficamente, temos:
𝐴 𝐵
2.7.3
Diferença
Além da união e intersecção, podemos realizar a diferença de conjuntos. Neste caso devemos selecionar os elementos de um conjunto que não estejam no outro. Por exemplo, se realizamos a operação A menos B, selecionamos os elementos de A que não estão em B. Representamos a diferença A menos B assim: A-B. Algebricamente, a diferença é dada da seguinte forma:
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈 |(𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 /∈ 𝐵)} E graficamente, temos:
2.7.4
Complemento
O complemento de um conjunto representa tudo aquilo que resta no universo quando retirado o conjunto. Por exemplo, o complemento de A, que denotamos (𝐴𝐶ou) ¯𝐴 pode
ser representado algebricamente por:
(𝐴𝐶ou) ¯𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑈 |𝑥 /∈ 𝐴} = {𝑥|¬(𝑥 ∈ 𝐴)}
E podemos representar graficamente por:
𝐴 𝐵
2.8
Leis da álgebra dos conjuntos
2.8.1
Relações com as Equivalências Lógicas
É possível mapear algumas relações entre algumas leis da álgebra de conjuntos com conceitos já familiares de Equivalências Lógicas. Segue abaixo tabela com algumas dessas relações:
Equivalência lógica Identidade de conjuntos
𝑝 ∨ 1 = 𝑝 A ∪ U = U
𝑝 ∧ 0 ≡ 0 A ∩ ∅ = ∅
¬(¬𝑝) ≡ 𝑝 (A𝐶)𝐶 = A
𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
𝑝 ∨ ¬𝑝 ≡ 1 A ∪ A𝐶 = U
2.8.2
Leis da Álgebra dos conjuntos
Em seguida, veremos mais algumas leis da álgebra dos conjuntos que apesar de, em sua maioria, bastante intuitivas, são extremamente relevantes.
Lei dos elementos neutros
A ∪ ∅ = A A ∩ U = A
Leis de dominação
A ∪ U = U A ∩ ∅ = ∅
2.8. LEIS DA ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS 15 Leis da idempotência A ∪ A = A A ∩ A = A Leis Comutativas A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A Leis associativas (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Leis distributivas A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Leis de absorção A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (B ∪ C) = A
Lei do duplo complemento ou lei da involução
𝐴𝐶𝐶 = 𝐴
Leis dos complementares
A ∪ A𝐶 = U A ∩ A𝐶 = ∅
Leis de De Morgan
(A ∪ B)𝐶 = A𝐶 ∩ B𝐶 (A ∩ B)𝐶 = A𝐶 ∪ B𝐶
2.9
Cardinalidade
Na matemática, a cardinalidade de um conjunto é uma medida do "número de ele-mentos do conjunto". Por exemplo, o conjunto A={2,4,6} contém 3 eleele-mentos e por isso possui cardinalidade 3.
A cardinalidade de um conjunto A é usualmente denotada |A|, com uma barra vertical de cada lado. Exemplos: • |{𝑎, 𝑏}| = 2 • |{𝑎, 𝑎}| = 1 • |∅| = 0
2.10
Produto cartesiano
Um produto cartesiano entre conjuntos em um conjunto de tuplas em que, no caso especial do produto entre dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados (que são tuplas com dois elementos) em que o primeiro elemento vem de A e o segundo vem de B, representado por 𝐴 × 𝐵, onde:
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)|𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}
Por exemplo, temos o conjunto A formado pelos seguintes elementos {1, 2, 3, 4} e o conjunto B formado pelos elementos {2, 3},
𝐴 × 𝐵 = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3)}
Também podemos realizar o produto de 𝐵 × 𝐴 e verificar que os pares formados são diferentes, concluindo que 𝐴 × 𝐵 ̸= 𝐵 × 𝐴.
Com isso temos que 𝐵 × 𝐴 = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} Generalizando, para um produto cartesiano entre n conjuntos, temos:
𝐴1× 𝐴2× 𝐴3× . . . 𝐴𝑛 = {(𝑎1, 𝑎2, . . . 𝑎𝑛)|𝑎1 ∈ 𝐴1∧ 𝑎2 ∈ 𝐴2∧ · · · ∧ 𝑎𝑛 ∈ 𝐴𝑛}
Por exemplo:
{𝑎, 𝑏}×{1, 2}×{𝑎, 𝑏} = {(𝑎, 1, 𝑎), (𝑎, 1, 𝑏), (𝑎, 2, 𝑎), (𝑎, 2, 𝑏), (𝑏, 1, 𝑎), . . . , (𝑏, 2, 𝑏)} Por tanto, o produto cartesiano possui duas propriedades que podemos ressaltar: • Não comutatividade 𝐴 × 𝐵 ̸= 𝐵
3
Relações
3.1
Relação
Conhecendo-se produto cartesiano, pode-se dizer intuitivamente que uma Relação é um fator limitante, pois dados os conjuntos 𝐴 , 𝐵, e uma relação 𝑅, como visto no capítulo anterior podemos representar o conjunto imagem de 𝐴 em 𝐵 sobre esta relação 𝑅, como 𝑅: 𝐴 → 𝐵, então podemos dizer que este novo conjunto sobre a Relação R é um subconjunto de 𝐴 × 𝐵, ou seja, (𝐴, 𝑅(𝐴)) ⊆ 𝐴 × 𝐵. Para melhor fixar, suponhamos que: Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 3, 5} e 𝐵 = {3, 9, 15, 20} e a relação 𝑅: 𝐴 → 𝐵 tal que 𝑅 = {(𝑎, 𝑏)|𝑏 = 3𝑎}é dada pelos pares ordenados 𝑅 = {(1, 3), (3, 9), (5, 15)}, note que esta função é injetora, pois para cada elemento de 𝐴 existe um, e apenas um, correspondente em 𝐵 e não existe dois elementos em 𝐴 com um mesmo correspondente em 𝐵, mas esta não é bijetora pois o elemento 20 de b, não tem correspondente em 𝐴, portanto o conjunto 𝐼𝑚 ̸= 𝐶𝑑𝑜𝑚.
3.2
Tipos de Relações
As relações podem ser classificadas como:
3.2.1
Um para Um
Este tipo de relação ocorre quando, dado os conjuntos 𝐴 e 𝐵, cada componente do par ordenado (𝑎, 𝑏) onde 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵 aparece somente uma única vez na relação. Note que este tipo de relação configura-se como uma função, se todos os elementos de 𝐴 possuem um associado em 𝐵
Exemplos:
1. uma função injetora;
2. dados os conjuntos 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3}e o conjunto 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, 𝑏3}e as relações 𝑅1, 𝑅2
e 𝑅3:
𝑅1 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅1 = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏2), (𝑎3, 𝑏3)}
𝑅2 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅2 = {(𝑎1, 𝑏3), (𝑎2, 𝑏2), (𝑎3, 𝑏1)}
3.2.2
Um para Muitos
Este tipo de relação ocorre quando dado os conjuntos 𝐴 e 𝐵, um elemento de 𝐴 está associado a vários componentes de 𝐵. Note que este tipo de relação não configura-se como uma função.
Exemplos:
1. dados os conjuntos 𝐴 = {𝑎1} e o conjunto 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, 𝑏3} e as relações 𝑅1 e 𝑅2:
𝑅1 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅1 = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎1, 𝑏2), (𝑎1, 𝑏3)}
𝑅2 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅2 = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎1, 𝑏3)}
2. dados os conjuntos 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3}e o conjunto 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, 𝑏3}e as relações 𝑅1, 𝑅2
e 𝑅3:
𝑅1 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅1 = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎1, 𝑏2), (𝑎1, 𝑏3)}
𝑅2 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅2 = {(𝑎1, 𝑏3), (𝑎1, 𝑏2), (𝑎2, 𝑏1)}
𝑅3 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅1 = {(𝑎3, 𝑏1), (𝑎3, 𝑏2)}
3.2.3
Muitos para Um
Este tipo de relação ocorre quando dado os conjuntos 𝐴 e 𝐵, temos mais de um elemento de 𝐴 associado a um mesmo elemento de 𝐵. Este tipo de relação pode ser uma função desde que todos os elementos de 𝐴 tenham um associado em 𝐵.
Exemplos:
1. A função 𝑓(𝑎) = 𝑎2 , onde 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 = 𝑓(𝑎) ∈ 𝐵;
2. De forma mais geral, as funções 𝑓(𝑎) = 𝑎𝑛 , onde 𝑛 é um natural par e 𝑎 ∈ 𝐴 e
𝑏 = 𝑓 (𝑎) ∈ 𝐵;
3. dados os conjuntos 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3} e o conjunto 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2}e as relações 𝑅1, 𝑅2 e
𝑅3:
𝑅1 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅1 = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏1), (𝑎3, 𝑏1)}
𝑅2 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅2 = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏3)}
𝑅3 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅1 = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎3, 𝑏1)}
3.2.4
Muitos para Muitos
Este tipo de relação ocorre quando dado os conjuntos 𝐴 e 𝐵, temos mais de um elemento de 𝐴 associado a um mesmo elemento de 𝐵 e mais de um elemento de 𝐴 associado a mais de um elemento de 𝐵.
Exemplo:
3.3. RELAÇÕES EM UM CONJUNTO 19 2. dados os conjuntos 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3} e o conjunto 𝐵 = {𝑏1, 𝑏2, 𝑏3} e as relações 𝑅1 e
𝑅2:
𝑅1 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅1 = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎1, 𝑏2), (𝑎2, 𝑏2)}
𝑅2 : 𝐴 → 𝐵 ⇒ 𝑅2 = {(𝑎1, 𝑏1), (𝑎2, 𝑏1), (𝑎3, 𝑏1), (𝑎1, 𝑏2), (𝑎2, 𝑏2), (𝑎3, 𝑏3)}
3.3
Relações em um conjunto
Outro tipo, não tão comum de representação, é a representação por grafos direcionados. Quando temos o tipo de par ordenado (𝑎, 𝑎), representamos como um nó ligado a si mesmo e quando temos um par ordenado do tipo (𝑎, 𝑏) representamos como um nó 𝑎 ligado à um nó 𝑏. Como nos exemplos abaixo:
1 2 4 3 Figura 3.1: 𝑅1 = {(1, 1), (2, 4), (4, 3)}. 1. 1 2 3 4 Figura 3.2: 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 < 𝑦} = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}. 2. 3.
1
3 2
4
Figura 3.3: 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑜𝑟𝑑𝑒𝑦} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.
3.4
Tipos de relações em um conjunto
3.4.1
Relação reflexiva
Uma relação 𝑅 em 𝐴, é reflexiva se, ∀𝑥 ∈ 𝐴 temos que (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅. Exemplo: Relação reflexiva do conjunto {1, 2, 3}
1 3
2
Figura 3.4: 𝑅𝑟 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2), (3, 3)}.
3.4.2
Relação simétrica
Uma relação 𝑅 em 𝐴 é simétrica se, e somente se, para todos os 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, temos que: Se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅, então (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅.
Exemplo: Relação simétrica no conjunto {1, 2, 3, 4}:
1 2
3 4
3.4. TIPOS DE RELAÇÕES EM UM CONJUNTO 21
3.4.3
Relação anti-simétrica
Uma relação 𝑅 em 𝐴 é anti-simétrica se, e somente se, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, temos: Se 𝑥 ̸= 𝑦 e se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅, então (𝑦, 𝑥) /∈ 𝑅.
Exemplo: Relação anti-simétrica no conjunto { 1, 2, 3, 4}:
1 4
3 2
Figura 3.6: 𝑅𝑎 = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (4, 1)}.
3.4.4
Relação transitiva
Uma relação 𝑅 em 𝐴 é transitiva se, e somente se, para todos {𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴}, temos: Se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 e (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅, então (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅.
Exemplo: Relação transitiva no conjuto {1, 2, 3, 4}:
1 2 3 4 Figura 3.7: 𝑅𝑡= {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (1, 4), (2, 4), (4, 4)}.
3.4.5
Relação de equivalência
Para que haja uma relação de equivalência, o conjunto deve satisfazer as relações de reflexividade, simetria e transitividade.
a b c d e Figura 3.8: 𝑅𝑒𝑞 = {(𝑎, 𝑎), (𝑎, 𝑒), (𝑒, 𝑎), (𝑒, 𝑒), (𝑏, 𝑏), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑏), (𝑐, 𝑐), (𝑐, 𝑑), (𝑑, 𝑐), (𝑑, 𝑑), (𝑏, 𝑑), (𝑑, 𝑏)}.
3.4.6
Relações de ordem
Relação de ordem é uma relação binária que tenta extender o conceito intuitivo de ordem, determinando uma maior, um menor. Lembrando que Ordem e Relação de Ordem são coisas que variam a depender da literatura, aqui, estabelecemos como relação de ordem um conjunto que esteja parcialmente ordenado.
Exemplo: Relação de ordem no conjunto {1, 2, 3, 4}
1 2 3 4 Figura 3.9: 𝑅𝑜𝑟𝑑 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}.
3.5
Combinação de relações
Note, que uma combinação entre relações em conjuntos nos dá como saída um outro conjunto de pares ordenados, portando uma combinação de relações mantém a mesma propriedade de conjuntos, como mostrado no exemplo a seguir:
Exemplo: Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4} e as relações de 𝐴 em 𝐵: • 𝑅1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
3.5. COMBINAÇÃO DE RELAÇÕES 23 Então, temos que:
• 𝑅1∪ 𝑅2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3)}
• 𝑅1∩ 𝑅2 = {(1, 1)}
• 𝑅1− 𝑅2 = {(2, 2), (3, 3)}
• 𝑅2− 𝑅1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4)}
3.5.1
Composição de relação
Neste curso estamos tratando de relações binárias, portanto uma composição de rela-ção, trata-sa da seguinte questão; Sejam as relações 𝑅: 𝐴 → 𝐵 e 𝑆 : 𝐵 → 𝐶. Portanto a composição de 𝑅 e 𝑆 é a relação consistindo dos pares ordenados (𝑎, 𝑐) tal que 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑐 ∈ 𝐶 e para a qual existe um elemento 𝑏 ∈ 𝐵 de forma que (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 e (𝑏, 𝑐) ∈ 𝑆.
A representação de 𝑅 e 𝑆 é denotada por 𝑆 ∘ 𝑅.
Exemplo: Dados 𝑅 = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)} e 𝑅 = {(1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} então:
𝑆 ∘ 𝑅 = {(1, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1)}
3.5.2
Relações n-árias
Estas relações envolve mais que dois conjuntos. Sejam 𝐴1, 𝐴2, , 𝐴𝑛, então uma relação
n-ária sobre esses conjuntos é um subconjunto de 𝐴1 × 𝐴2 × ×𝐴𝑛. estes conjuntos são
chamados de domínio da relação e n o grau.
Estes tipos de relações são usadas para representar bancos de dados em computadores.
Legenda: atributo relação tupla tupla + relação atributo + relação atributo + relação + tupla
4
Funções
4.1
Introdução
Sabe-se até o momento a definição de função e que esta pode ser expressada de inúmeras formas, no cálculo, por exemplo, uma função aparece comumente na forma 𝑓 (𝑥) = 4𝑥3+ 7, as vezes até um pouco mais complicada, como: 𝑓(𝑥) = ∑︀∞
𝑖=1𝑥𝑖, mas nem
sempre é mencionado o conjunto a que se refere. Segue uma definição generalizada, de relações em dois conjuntos.
Definição: Uma função 𝑓 do conjunto 𝐴 para o conjunto 𝐵 é um mapeamento (ou uma associação) de cada elemento 𝑎 ∈ 𝐴 para um único Elemento 𝑏 ∈ 𝐵.
Com isso temos que para uma função f, o conjunto A é chamado de domínio da função f, o conjunto B é chamado de contradomínio da função f onde podemos representar pela notação f: A → B.
4.1.1
Imagem
O conjunto imagem de um função f : X → Y é o conjunto de todos os elementos de Y que são imagem de algum elemento de X. Costuma ser representado por I(f) ou Im(f), com isso temos que o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio : I(f) ⊆ Y.
A imagem de um dado elemento x do domínio é o único y do contradomínio associado a ele pela função f. è representada por f(x). Formalmente temos que :
I(f ) = {𝑦 ∈ Y|𝑦 = f(x) para algum x ∈ X}
4.2
Representação
Fórmula algébrica
As funções precisam de pelo menos duas: uma variável independente e uma variável dependente, geralmente representadas pelas letras x e y, respectivamente.
As funções, portanto, fazem uso de equações para relacionar elementos (números) entre conjuntos.
Com isso definimos funções como formulações algébricas, como por exemplo 𝑓(𝑥) = 𝑥2+√𝑥 + 10.
Gráfico
O gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados (x, y) tal que y = f(x). Quando possível, usualmente fazemos uma representação geométrica do gráfico da função. Comumente, temos os gráficos de funções de uma variável, para as quais seu esboço é dado pelo conjunto de pontos (x, f(x)) no plano cartesiano. Neste caso, usualmente as variáveis independentes são chamadas de abcissas e marcadas sobre o eixo horizontal. As variáveis dependentes são chamadas de ordenadas e marcadas sobre o eixo vertical.
𝑥 𝑓 (𝑥)
𝑓 (𝑥) = 𝑥2
Figura 4.1: Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2
Tabela
A tabela é uma forma simples de representar uma função, pois apenas mostra as correspondências entre os objetos e imagens.
Função Matemática x f(x) 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25
Tabela 4.1: Tabela referênte a função f(x) = x2
Algoritmo
As funções, também conhecidas como sub-rotinas, são muito utilizadas em programa-ção. Um dos grandes benefícios é não precisar copiar o código todas as vezes que precisar
4.3. PROPRIEDADES 27 1 i n t mdc (i n t a , i n t b ) { 2 i f( b == 0 ) 3 r e t u r n a ; 4 e l s e 5 r e t u r n mdc ( b , a % b ) ; 6 }
Figura 4.2: Algoritmo escrito em C para calculo do MDC.
executar aquela operação, além de deixar a leitura do código mais intuitiva. Abaixo uma função escrita na linguagem C para o calculo do MDC.
4.3
Propriedades
Função Injetiva
Denominamos função injetora, a função que transforma diferentes elementos do domí-nio (conjunto A) em diferentes conjuntos da imagem (elementos do conjunto B), ou seja, não existe elemento da imagem que possui correspondência com mais de um elemento do domínio. Formalmente temos:
𝑥1 ̸= 𝑥2, onde 𝑥1 e 𝑥2 ∈ A ⇒ 𝑓 (𝑥1) ̸= 𝑓 (𝑥2) em B
Função sobrejetiva
Portanto, dizemos que uma função é sobrejetiva apenas quando para qualquer elemento 𝑦 ∈ B, podemos encontrar um elemento 𝑥 ∈ A de modo que f(x)=y. Em outras palavras, dizemos que a função é sobrejetiva quando todo elemento do Contradomínio (conjunto B) é imagem de pelo menos um elemento do domínio (conjunto A), ou seja, Im(f)= B.
Função bijetiva
A função bijetora, também chamada de bijetiva, é um tipo de função matemática que relaciona elementos de duas funções.
Desse modo, os elementos de uma função A possuem correspondentes em uma função B, portanto uma função bijetiva é, ao mesmo tempo, uma injetiva e sobrejetiva. Impor-tante notar que elas apresentam o mesmo número de elementos em seus conjuntos.
Composição
A função composta, também chamada de função de função, é um tipo de função matemática que combina duas ou mais variáveis.
Sendo assim, ela envolve o conceito de proporcionalidade entre duas grandezas, e que ocorre por meio de uma só função.
Dada uma função f (f : A → B) e uma função g (g : B → C), a função composta de g com f é representada por gof. Já a função composta de f com g é representada por f o g, portanto f o g (x) = f(g(x)).
Logo, seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1, temos que f o g (x) = f(g(x)) = (𝑥 + 1)2.
Inversa
O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora. Com isso, seja a função f : A → B. A sua função inversa será indicada por f−1
: B → A, ou seja, temos que x = f(y).
4.4
Sequências
Matematicamente, denomina-se uma sequência como sendo qualquer função f cujo domínio é N* , onde (𝑎
1, 𝑎2, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑛, . . . ) pode ser representado como :
𝑓 (1) = 𝑎1, 𝑓 (2) = 𝑎2, 𝑓 (3) = 𝑎3, 𝑓 (4) = 𝑎4, . . . , 𝑓 (𝑛) = 𝑎𝑛
Geralmente quando queremos determinar certos elementos de um conjunto, ordenamos esses elementos seguindo um determinado padrão. Dizemos que esse conjunto corresponde a uma sequencia ou sucessão. Elementos de uma sequencia podem ser de vários tipos.
Se uma sequência qualquer possui o último termo dizemos que ela é uma sequência finita.
Por exemplo temos :
• A sequencia finita (𝑢𝑛) das iniciais da nossa universidade : 𝑢𝑛= (𝑈, 𝐹, 𝐴, 𝐿) .
• A sequencia de Fibonnacci (𝐹𝑛) é construída da forma : 𝐹𝑛= (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . ).
4.5
Série
Uma série é definida a partir de uma sequência 𝑎𝑛 de modo que a soma ∑︀𝑛=1𝑎𝑛 =
𝑎1+ 𝑎2+ 𝑎3+ . . . .
Porém, esse tipo de abordagem pode trazer diversas dificuldades:
• nem sempre é possível definir um valor resultante da soma para uma série. • não é possível em geral trocar a ordem dos termos da série;
• algumas séries possuem soma infinita. Alguns exemplos de séries :
• Série geométrica. • Série harmônica. • Série alternada. • Série telescópia.
4.6. RECURSÃO 29
4.6
Recursão
Na matemática e na ciência da computação, a recursão especifica (ou constrói) uma classe de objetos ou métodos (ou um objeto de uma certa classe) definindo alguns poucos casos base ou métodos muito simples (frequentemente apenas um), e então definindo regras para formular casos complexos em termos de casos mais simples.
Por exemplo, segue uma definição recursiva da ancestralidade de uma pessoa: • Os pais de uma pessoa são seus antepassados (caso base).
• Os pais de qualquer antepassado são também antepassados da pessoa em conside-ração (passo recursivo).
É conveniente pensar que uma definição recursiva define objetos em termos de objetos “previamente definidos” dessa mesma classe que está sendo definida.
Definições como esta são frequentemente encontradas na matemática, por exemplo, a definição formal dos números naturais diz que 0 (zero) é um número natural, e todo número natural tem um sucessor, que é também um número natural (axiomas de Peano)1.
O algoritmo na Figura 4.2 também esta escrito de forma recursiva.
Um outro exemplo de procedimento recursivo e que representa a função 𝑓(𝑥) = 𝑥! é o seguinte: 𝑓 (𝑥) = {︃ 1 se 𝑥 = 0 𝑥.𝑓 (𝑥 − 1) se 𝑥 > 0 1https://pt.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano
5
Demonstrações Matemáticas
Através da generalização, em sua maioria das vezes, a matemática demonstra suas propriedades, teoremas, etc... Através dessas ferramentas é possível verificar a veracidade de afirmações.
5.1
Inferência Lógica
Primeiramente, façamos um rápido passeio na lógica proposicional, afim de melhor entender conceitos posteriores.
Suponhamos as seguintes proposições: 𝑎: Estudar e 𝑏: Passar de ano, note que isola-damente estas afirmações não nos dão um sentido completo, mas através de conectores, podemos dar um sentido à essas proposições. Por exemplo:
𝑎 → 𝑏 ou seja, esta representação significa "Se estudar, então passará de ano."Em outras palavras a utilização do conector de implicação (→), deu às proposições um sentido. E neste caso, se 𝑎 é verdadeiro, 𝑏 também o é. Vejamos alguns tipos de inferências:
5.1.1
Modus Ponens
Sejam verdadeiras as seguintes afirmações: 𝑝 → 𝑞 e 𝑝, em outras palavras seja 𝐼(𝑝 → 𝑞)1 = 𝑉 e 𝐼(𝑝) = 𝑉 , ou seja, ambas as afirmações são verdadeiras. Então, podemos
concluir que 𝐼(𝑞) = 𝑉 . Utilizemos de uma tabela para melhor esclarecer: 𝑝 𝑞 𝑝 → 𝑞 (𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝 𝑞
0 0 1 0 0
0 1 1 0 1
1 0 0 0 0
1 1 1 1 1
Tabela 5.1: Modus Ponens
5.1.2
Modus Tollens
Sejam verdadeiras as afirmações: ¬𝑞 2 e 𝑝 → 𝑞 , podemos concluir que 𝐼(𝑝) = 𝑉 . Esta
demonstração poderá ser feita quando falarmos de equivalências lógicas.
1Adotamos como I(a) uma função que determina o valor lógico da proposição 𝑎, ou seja, esta só poderá
assumir duas possíveis valorações V (verdadeiro) ou F (falso)
5.1. INFERÊNCIA LÓGICA 31 Podemos explicar Modus Tollens, a princípio, da seguinte forma, utilizando da teoria dos conjuntos:
𝑃 ⊆ 𝑄, mas 𝑥 /∈ 𝑄, portanto 𝑥 /∈ 𝑃 .
5.1.3
Silogismo Hipotético
Este tipo de inferência trata-se da propriedade de transitividade, como vemos na teoria dos conjuntos, por exemplo. dado que 𝑝 → 𝑞 e 𝑞 → 𝑟, então podemos afirmar que 𝑝 → 𝑟. Em outras palavras 𝐼(𝑝 → 𝑞) = 𝑉 e 𝐼(𝑞 → 𝑟) = 𝑉 , então 𝐼(𝑝 → 𝑟) = 𝑉 .
5.1.4
Silogismo Disjuntivo
Esta inferência, por sua vez, nos dá que se 𝐼(𝑝∨𝑞) = 𝑉 e 𝐼(¬𝑝) = 𝑉 , então 𝐼(𝑞) = 𝑉 , O silogismo disjuntivo é tirado de forma direta, pois, avaliando a tabela verdade da operação ∨, Se 𝐼(𝑝 ∨ 𝑞) = 𝑉 e 𝐼(𝑝) = 𝐹 , então necessariamente 𝐼(𝑞) = 𝑉 .
5.1.5
Adição
Esta pode-se dizer, que é o contrário do Silogismo disjuntivo, pois, dado que 𝐼(𝑝) = 𝑉 , então 𝐼(𝑝∨𝑞) = 𝑉 , pois devido a definição da operação ∨, dado que 𝑝 é verdade, independe de 𝑞 o valor lógico da proposição.
5.1.6
Simplificação
Dados que 𝐼(𝑝 ∧ 𝑞) = 𝑉 , então podemos dizer que 𝐼(𝑝) = 𝑉 e 𝐼(𝑞) = 𝑉 , também uma inferência direta da definição da operação ∧, pois, nesta, a única condição para que 𝑝 ∧ 𝑞 ser verdadeira, é se 𝑝 e 𝑞 são verdadeiras.
5.1.7
Conjunção
Esta é a volta da inferência de simplificação citada acima. Pois, dado que 𝐼(𝑝) = 𝑉 e 𝐼(𝑞) = 𝑉, então 𝐼(𝑝 ∧ 𝑞) = 𝑉 . Também extraída diretamente da definição da operação ∧.
5.1.8
Resolução
Esta inferência, não há uma passagem direta, mas vejamos intuitivamente o que acon-tece. Dado que 𝐼(𝑝∨𝑞) = 𝑉 e 𝐼(¬𝑝∨𝑟) = 𝑉 , note que o valor lógico das duas proposições conjuntas independe de 𝑝 e ¬𝑝, pois como um átomo só pode conter um valor, se 𝐼(𝑝) = 𝑉 , então 𝐼(¬𝑝) = 𝐹 (assim como se 𝐼(𝑝) = 𝐹 , então 𝐼(¬𝑝) = 𝑉 ), então dado que as duas proposições são verdadeiras, podemos concluir que 𝐼(𝑞 ∨ 𝑟) = 𝑉3.
3Esta inferência é melhor analisada através de um método de resolução chamado Cálculo proposicional,
ao qual não abordaremos aqui, pois foge um pouco da metodologia adotada, mas fica aí para os curiosos de plantão, ou para aqueles que tenham sede de conhecimento matemático. I approve!
5.2
Equivalência Lógica
Nesta secção mostraremos algumas equivalências lógicas importantes para resolução de problemas lógicos. Pode-se afirmar que a equivalência mais utilizada é a seguinte:
(𝑝 → 𝑞) = (¬𝑝 ∨ 𝑞)
A veracidade desta equivalência pode ser facilmente visualizada com o auxílio de uma tabela verdade: 𝑝 𝑞 ¬𝑝 𝑝 → 𝑞 ¬𝑝 ∨ 𝑞 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1
Tabela 5.2: Equivalência com operador implica
Abaixo, temos uma tabela com equivalências lógicas. Onde, adotamos 𝑉 como verda-deiro e 𝐹 como falso.
Equivalência Nome
𝑝 ∧ 𝑉 ≡ 𝑝e 𝑝 ∨ 𝐹 ≡ 𝑝 Leis de Identidade
𝑝 ∨ 𝑉 ≡ 𝑉 e 𝑝 ∧ 𝐹 ≡ 𝐹 Leis de Dominação
𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝 e 𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝 Leis de Idempotência
¬(¬𝑝) ≡ 𝑝 Lei da Dupla Negação
𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝 e 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝 Leis de Comutatividade (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) e (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟) Leis de Associatividade 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)e 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ (𝑝 ∧ 𝑟) Leis de Distributividade ¬(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞 e ¬(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ¬𝑝 ∧ ¬𝑞 Leis de Morgan 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝 e 𝑝 ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝 Leis de Absorção 𝑝 ∨ ¬𝑝 ≡ 𝑉 e 𝑝 ∧ ¬𝑝 ≡ 𝐹 Leis de Negação
Tabela 5.3: Equivalências Lógicas
Além das Leis lógicas citadas acima, temos também as equivalências lógicas envolvendo afirmações condicionais e bicondicionais, apresentadas nas tabelas abaixo.
5.2. EQUIVALÊNCIA LÓGICA 33 Equivalências lógicas envolvendo condicionais
𝑝 → 𝑞 ≡ ¬𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 → 𝑞 ≡ ¬𝑞 → ¬𝑝 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ¬𝑝 → 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ ¬(𝑝 → ¬𝑞) ¬(𝑝 → 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ ¬𝑞 (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑝 → 𝑟) ≡ 𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) (𝑝 → 𝑟) ∧ (𝑞 → 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑟 (𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑝 → 𝑟) ≡ 𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) (𝑝 → 𝑟) ∨ (𝑞 → 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟
Tabela 5.4: Equivalências Lógicas envolvendo afirmações condicionais
Equivalências Lógicas envolvendo Bicondicionais 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝)
𝑝 ↔ 𝑞 ≡ ¬𝑝 ↔ ¬𝑞 𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (¬𝑝 ∧ ¬𝑞)
¬(𝑝 ↔ 𝑞) ≡ 𝑝 ↔ ¬𝑞
Tabela 5.5: Equivalências lógicas envolvendo afirmações bidirecionais
5.2.1
Exemplo 1: 𝑑 é verdade?
Considere as seguintes premissas: I: 𝑎 → ¬𝑏
II: 𝑎 III: 𝑐 ∨ 𝑑 IV: 𝑐 → 𝑏
Queremos verificar se 𝑑 é verdade. Então executamos os seguintes passos: Passo Proposição Origem da proposição
1 𝑎 → ¬𝑏 Premissa I
2 𝑎 Premissa II
3 ¬𝑏 Modus Ponens (de 1 e 2)
4 𝑐 → 𝑏 Premissa IV
5 ¬𝑐 Modus Tollens (de 3 e 4)
6 𝑐 ∨ 𝑑 Premissa III
7 𝑑 Silogismo disjuntivo
Tabela 5.6: Resolução do Exemplo Com isso, vemos que 𝑑 é verdade.
5.3
Métodos de prova
Os métodos de prova nos permitem ter uma certeza matemática a respeito de um determinado problema, para isso, utiliza-se de técnicas, das quais abordaremos as se-guintes: Prova Direta, Prova Contrapositiva, Prova por Redução ao Absurdo, Prova por Contraexemplo e Prova por Indução.
5.3.1
Prova Direta
O método de prova direta, como o próprio nome diz, utiliza-se da premissa para provar a hipótese. Dado 𝑝 → 𝑞, podemos admitir que 𝑝 é verdade e tentarmos chegar a 𝑞. Por exemplo:
Dadas as premissas:
1 Um número inteiro não nulo a divide um número inteiro 𝑏 se existe um inteiro 𝑘, tal que 𝑏 = 𝑎𝑘.
2 Se 𝑎 divide 𝑏, dizemos que 𝑏 é múltiplo de 𝑎.
3 Um número inteiro 𝑎 é dito par se 2 divide 𝑎, ou seja, se existe número inteiro 𝑘 tal que 𝑎 = 2𝑘, portanto, 𝑎 é múltiplo de 2.
4 Um número inteiro 𝑏 é dito ímpar se 2 não divide 𝑏, nesse caso pode-se provar que existe um número inteiro 𝑘 tal que 𝑏 = 2𝑘 + 1
5 Um número real 𝑟 é dito racional se existirem números inteiros 𝑝, 𝑞 tais que 𝑟 = 𝑝 𝑞
6 Um número real 𝑟 é dito irracional se não for racional, ou seja, se não existem inteiros 𝑝, 𝑞 tal que 𝑟 = 𝑝
𝑞
Então, com base nessas premissas, podemos provar os seguintes exemplos:
Exemplo 2: Demonstre que, se 𝑛, 𝑚 são números pares, então 𝑛 + 𝑚 também é par. Demonstração. Como 𝑛 e 𝑚 são pares, pela premissa 3, 𝑛 = 2𝑘 e 𝑚 = 2𝑙, onde 𝑘 e 𝑙 são inteiros. Logo:
𝑛 + 𝑚 = 2𝑘 + 2𝑙 = 2(𝑘 + 𝑙) Concluímos que 𝑛 + 𝑚 é múltiplo de 2, ou seja, é par.
Exemplo 3: Se 𝑛 é ímpar então 𝑛2 é ímpar.
Demonstração. Como 𝑛 = 2𝑘 + 1 é ímpar ∀𝑘 ∈ N, então 𝑛2 = (2𝑘 + 1)2 = 4𝑘2+ 4𝑘 + 1 Colocando 2 em evidência, temos
𝑛2 = 2(2𝑘2+ 2𝑘) + 1
Sabemos que 2𝑘2+ 2𝑘 é um natural positivo, então podemos chamá-lo de 𝑤, logo:
5.3. MÉTODOS DE PROVA 35 Como queríamos provar.
5.3.2
Prova por contraposição
Neste tipo de demonstração, dada uma proposição 𝑝 → 𝑞, então nós negamos a con-clusão e tentamos obter como resultado a negativa da premissa, ou seja ¬𝑞 → ¬𝑝. Isto é equivalente, pois, como vimos anteriormente, 𝑝 → 𝑞 ≡ ¬𝑞 → ¬𝑝.
Exemplo 4: Sejam 𝑛 e 𝑚 números inteiros para os quais 𝑛 + 𝑚 é par, então 𝑛 e 𝑚 têm a mesma paridade.
• Hipótese: 𝑛 + 𝑚 é par.
• Objetivo: 𝑛 e 𝑚 têm a mesma paridade.
Demonstração. Consideremos agora como hipótese: 𝑛 e 𝑚 têm paridades diferente e como objetivo (tese) 𝑛 + 𝑚 é ímpar.
Pela hipótese, um dos números é par, e o outro é ímpar. Escolhamos 𝑛 = 2𝑘 e 𝑚 = 2𝑙 + 1, para inteiros 𝑘 e 𝑙 (o caso 𝑛 ímpar e 𝑚 par pode ser obtido apenas trocando-se n por m). Logo:
𝑛 + 𝑚 = 2𝑘 + 2𝑙 + 1 = 2(𝑘 + 𝑙) + 1 = 2𝑞 + 1, onde 𝑞 = 𝑘 + 𝑙 é inteiro. Portanto, 𝑛 + 𝑚 é ímpar.
Exercício: Prove que se 3𝑛 + 2 é impar, então 𝑛 é ímpar.
5.3.3
Prova por contradição (ou redução ao absurdo)
Neste caso, dados uma proposição 𝑝, utilizaremos de ¬𝑝 para chegar em uma contra-dição. Ou seja, teríamos:
• Hipótese: ¬𝑝
• Objetivo: contradição (Ex.: 𝑝 ∧ ¬𝑝 Exemplo do conceito de contradição:
• Hipótese: Algum dia será possível criar um programa de computador que sempre vença uma partida de xadrez.
• Contradição: Se duas instâncias desse programa se enfrentarem elas empatam ou uma das duas perde!
Exemplo 5: Demonstre que a raiz quadrada de 2 é irracional (𝑝).
Supomos que a raiz quadrada de 2 é irracional, ou seja ¬𝑝. Com isto seria possível encontrar números inteiros 𝑎, 𝑏, com 𝑏 ̸= 0, tais que √2 poderia ser representado como fração irredutível 𝑎
𝑏. Disto, podemos afirmar que:
2 = (√2)2 = (𝑎 𝑏)
2 = 𝑎2
2𝑏2 = 𝑎2
Disto temos que 𝑎2 é par e, pelo Exemplo 3, sabemos que 𝑎 é par. Como 𝑎 é par,
então, 𝑎 = 2𝑘 para algum inteiro 𝑘, e daí:
2𝑏2 = 𝑎2 = (2𝑘)2 = 4𝑘2 (÷2) 𝑏2 = 2𝑘2
O que nos diz que 𝑏 também é par. Note que isto é uma contradição, pois se ambos 𝑎 e 𝑏 são pares, a fração irredutível 𝑎
𝑏 poderia ser reduzida. Portanto,
√
2não pode ser racional, assim, é irracional.
Exemplo 6: Demonstre que se 3𝑛 + 2 é ímpar, então 𝑛 é ímpar. • Hipóteses:
– 3𝑛 + 2é ímpar – 𝑛 não é ímpar • Objetivo: Contradição
Como 𝑛 não é ímpar, n é par: 𝑛 = 2𝑘 para algum 𝑘 inteiro. Substituindo 𝑛 na expressão da hipótese:
3𝑛 + 2 = 3(2𝑘) + 2 = 6𝑘 + 2 = 2(3𝑘 + 1)
Com isto, vemos que 3𝑛 + 2 é par, uma contradição. E isto prova que 𝑛 não pode ser par, 𝑛 é ímpar.
5.3.4
Prova por contraexemplo
Um contraexemplo é uma exceção a uma regra geral. O método de prova por con-traexemplo consiste em usar um único concon-traexemplo para negar (provar a falsidade) de uma regra geral. Portanto, este método de prova serve para negar uma afirmação (ao contrário dos demais).
Exemplo 7: Considere a afirmação: Todo número inteiro positivo é a soma de dois quadrados perfeitos.
0 = 02 + 02 1 = 02 + 12 2 = 12 + 12
· · ·
Será?! Obviamente, para representar um número precisamos de quadrados perfeitos iguais ou menores que o próprio número. Para o número 3, só podemos considerar 02 e 12, pois 22
é um contra exemplo. Assim, vemos que não é possível obter 3 da soma de dois quadrados perfeitos. Neste caso, 3 é um contraexemplo e prova a falsidade da afirmação.
5.3. MÉTODOS DE PROVA 37
5.3.5
Prova por Indução
De todos os conjuntos numéricos citados, os conjuntos dos naturais, N, é o mais antigo, criado com o intuito de contar objetos.
Afim de definir os números naturais4, podemos por conhecimento prévio definir da
seguinte forma:
1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 = (1 + 1) + 1, 4 = 3 + 1 = (1 + 1 + 1) + 1,
. . .
Podemos, com o nosso conhecimento até o momento, definir esta sequência acima utilizando de de função, da seguinte forma. Seja 𝑆 : 𝑋 → 𝑋, e suponhamos que 1 ∈ 𝑋. então representaremos essa função 𝑆(𝑥) = 𝑥 + 1 a qual denominaremos de Sucessor. A função sucessor nos dá a seguinte informação:
𝑆(1) = 1 + 1 = 2 𝑆(2) = 𝑆(𝑆(1)) = 2 + 1 = 3
Então, dado um subconjunto 𝑋 do conjunto dos números naturais, 𝑋 ∈ N, tal que 1 ∈ 𝑋 e sempre que um número 𝑥 ∈ 𝑋 então 𝑥 + 1 ∈ 𝑋, assim 𝑆 = N.
E assim por diante, assim podemos construir o conjunto dos naturais N de uma maneira formal. Baseado nesse conjunto, podemos definir o Princípio da indução finita.
Princípio da indução finita: (Primeira Forma): Seja 𝑃 (𝑛) uma afirmação dependente de 𝑛 ∈ N, se:
• 𝑃 (0) é verdadeiro;
• 𝑃 (𝑛 + 1) é verdadeiro sempre que 𝑃 (𝑛) for verdadeiro Então 𝑃 (𝑛) é verdadeiro ∀𝑛 ∈ N.
Princípio da indução finita: (Segunda Forma): Suponhamos que dada uma afirmação 𝑃 (𝑛) dependente de 𝑛 ∈ N:
• Se 𝑃 (𝑛) é verdadeiro;
• ∀𝑛 ∈ N, 𝑃 (𝑛) é verdadeiro, sempre que 𝑃 (𝑘) for verdadeiro com, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, então 𝑃 (𝑛) é verdadeiro ∀𝑛 ∈ N.
Este princípio simples é uma das técnicas matemática de demonstração mais podero-sas.
Suponha que tenhamos uma sentença matemática 𝐹 (𝑥) que dependa de uma variável natural 𝑥 ∈ N, esta sentença pode ser verdadeira para um dado 𝑘 ∈ N, mas o que garante
4A princípio, iremos intuitivamente definir o conjuntos dos naturais sem o prévio conhecimento de
que isto ocorre para todos os valores 𝑥 ∈ N? Então o princípio da indução nos permite verificar a veracidade desta sentença.
Por exemplo, dada a seguinte sentença 𝐹 (𝑥) = 𝑥 é par, é claramente falsa, pois temos 𝑥 = 1 ⇒ 𝐹 (1) = 1 é falsa, mas a seguinte sentença 𝐹1(𝑥) = 2𝑥 é par, temos que
𝑥 = 1 ⇒ 𝐹1(1) = 2é verdadeira. 𝑥 = 2 ⇒ 𝐹1(𝑥) = 4, 𝑥 = 3 ⇒ 𝐹1(𝑥) = 6.
Aparentemente esta segunda sentença é verdadeira, mas o que nos garante que para um número muito grande esta se mantém?
Para isso o princípio da indução nos permite essa verificação por meio dos seguintes passos:
• Passo 1: Passo base
Aqui definimos um valor que satisfaça uma sentença 𝐹 (𝑥). Por exemplo para a sentença anterior 𝐹1(𝑥) = 2𝑥 é par, temos que para 𝑥 = 1 ⇒ 𝐹1(1) = 2 × 1 = 2 é
par, logo é verdadeira.
• Passo 2: Hipótese de indução
Neste passo, assumiremos que para todo 𝑘 ∈ N, ou seja 𝐹1(𝑘) = 2𝑘 é par.
• Passo 3: Passo de indução
Este é o passo crucial para a demonstração, aqui tentaremos mostrar que 𝐹1(𝑘 + 1)
é par, se isso for verdade, mostramos, devido à generalização do caso, pois 𝑘 ∈ N, então k pode ser qualquer valor de N. Então, para o nosso caso exemplo, temos que:
𝐹1(𝑘 + 1) = 2(𝑘 + 1) = 2𝑘 + 2
Note que 2𝑘 = 𝐹1(𝑘) e 2 = 𝐹1(1), então temos que 𝐹1(𝑘 + 1) é a soma de dois
números pares, portanto é par5.
Assim, terminamos o princípio da indução. Para fixar melhor, vamos fazer um outro exemplo. Mostremos que 𝑛(𝑛+1)
2 = 1 + 2 + 3 + · · · + 𝑛.
• Passo Base de indução Para 𝑛 = 1, temos: 𝑛(𝑛 + 1) 2 = 1 ⇒ 1(1 + 1) 2 = 1 ⇒ 2 2 = 1 logo para 𝑛 = 1 a afirmação é verdadeira.
• Hipótese de indução
Aqui assumiremos que para um certo 𝑘 ∈ N, 1 ≤ 𝑘 < 𝑛, a afimação é verdadeira, então:
𝑘(𝑘 + 1)
2 = 1 + 2 + · · · + 𝑘
5Aqui assumimos como verdade que este caso da soma de dois pares resulta em um valor par. Você
5.3. MÉTODOS DE PROVA 39 • Passo de indução
Aqui, como mostramos acima, tentaremos mostrar que para 𝑛 = 𝑘 + 1, a afirmação é verdade:
(𝑘 + 1)((𝑘 + 1) + 1)
2 = 1 + 2 + · · · + 𝑘 + (𝑘 + 1)
Vamos brincar algebricamente com o segundo membro da equação, note que 1 + 2 + · · · + 𝑘 = 𝑘(𝑘+1)2 , então substituindo: (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) 2 = 𝑘(𝑘 + 1) 2 + (𝑘 + 1) ⇒ (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) 2 = 𝑘(𝑘 + 1) + 2(𝑘 + 1) 2 ⇒ (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) 2 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) 2 Como queríamos mostrar.
5.3.6
Curiosidade
Caso tenha curiosidade, existem outros métodos de prova, como Casa dos pombos, Prova por construção, Prova por análise de casos, dentre outros, que no momento fogem do escopo, da disciplina neste ponto. 6
6
Introdução à Teoria dos Números
6.1
Teoria dos números
A teoria dos números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }.
A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os mé-todos que são usados e das questões que são investigadas, a saber 1:
• Teoria elementar dos números : utiliza somente os métodos elementares da aritmé-tica para a verificação e comprovação das propriedades essenciais do conjunto dos números inteiros e em particular as propriedades dos números primos.
• Teoria analítica dos números: utiliza a análise real e análise complexa, especialmente para estudar as propriedades dos números primos.
• Teoria algébrica dos números : utiliza álgebra abstrata e estuda os números algé-bricos.
• Teoria geométrica dos números: utiliza métodos geométricos, algébricos e analíticos.
6.2
Divisibilidade
Dados dois inteiros 𝑏 e 𝑎, dizemos que 𝑏 divide 𝑎 e escrevemos 𝑏|𝑎 se ∃𝑘 ∈ Z com 𝑎 = 𝑏𝑘. Com isso temos alguns exemplos :
• 2|4, porque 4 = 𝑘.2, onde 𝑘 = 2. • 8|56, porque 56 = 𝑘.8, onde 𝑘 = 7. • 3|3, porque 3 = 𝑘.3, onde 𝑘 = 3. • 𝑎|0, para todo inteiro 𝑎.
• 𝑎|𝑎, para todo inteiro 𝑎. • 1|𝑎, para todo inteiro 𝑎.
6.3. NÚMEROS PRIMOS 41 Da definição, conseguimos algumas propriedades advindas da Teoria dos números:
Propriedade 1: Se 𝑎|𝑏 e 𝑏|𝑐, então 𝑎|𝑐.
Demonstração. Pela prova direta temos, 𝑏 = 𝑎 * 𝑘1 (para algum inteiro 𝑘1). Vemos
também que 𝑐 = 𝑏 * 𝑘2 (para algum inteiro 𝑘2). Logo temos que 𝑐 = (𝑎 * 𝑘1) * 𝑘2, ou seja
𝑐 = 𝑎 * (𝑘1* 𝑘2). Como 𝑘1* 𝑘2 é um número inteiro, temos portanto 𝑎|𝑐 como queríamos
demostrar.
Propriedade 2: Se 𝑎|𝑏 e 𝑎|𝑐, então 𝑎|(𝑏 + 𝑐).
Demonstração. Pela prova direta temos, 𝑏 = 𝑎*𝑘1(para algum inteiro 𝑘1). Vemos também
que 𝑐 = 𝑎 * 𝑘2 (para algum inteiro 𝑘2). Logo temos que 𝑏 + 𝑐 = (𝑎 * 𝑘1) + (𝑎 * 𝑘2), ou seja
𝑏 + 𝑐 = 𝑎 * (𝑘1+ 𝑘2). Como 𝑘1+ 𝑘2 é um número inteiro, temos portanto 𝑎|(𝑏 + 𝑐) como
queríamos demostrar.
6.3
Números Primos
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C.2.O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números.
Também é definido que os números maiores que 1 e que não são primos, são chamados de números compostos.
Exemplo :
• De números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
• De números compostos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, . . .
Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (des-considerando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatorização).
Por exemplo temos: • 21 = 3. 7
• 100 = 2.2.5.5 = 22 . 52
• 641 = 641
1 i n t i s P r i m o (i n t d ) { 2 i n t i ; 3 composto = 0 ; 4 f o r ( i = 2 ; i < n ; i ++) 5 { 6 i f( d \% i == 0 ) 7 { 8 composto = 1 ; 9 } 10 } 11 r e t u r n ! composto ; 12 13 }
Figura 6.1: Algoritmo escrito em C para testar se um número d é primo. Porém, naturalmente surge uma pergunta, quantos números primos existem?
Vamos representar assim o conjunto de todos os primos : 𝑝1, 𝑝2, . . . , 𝑝𝑚. Seja o
número N formado pelo produto de todos eles : N = 𝑝1.𝑝2.𝑝3. . . 𝑝𝑚. Vamos agora
analisar o sucessor de N, ou seja, N+1. Veja que, para qualquer número primo 𝑝𝑖 (com i
variando de 1 a m, tempos 𝑝𝑖 | N (ou seja, todo primo divide N).
Como, todo primo 𝑝𝑖 é maior que 1, podemos concluir, que 𝑝𝑖 não divide (N + 1).
Assim temos que N+1 não pode ser primo, pois ele é maior de que todos os primos, e também não pode ser escrito como um produto de primos, porque nenhum primo é divisor de N+1. Isso claramente contraria o Teorema Fundamental da Aritmética.
6.4
MDC e MMC
MDC significa máximo divisor comum. O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais é o maior de seus divisores. Dois números naturais sempre tem divisores em comum. Exemplo:
• mdc(4,6) = 2 • mdc(30, 105) = 15
MMC significa mínimo múltiplo comum. Minimização, que é a operação e o menor múltiplo comum é o resultado dessa operação.
O mmc de dois ou mais números inteiros é o menor número que é múltiplos dos dois ao mesmo tempo. Com exceção do zero. Exemplo:
• mdc(4,6) = 12 • mdc(30, 105) = 210
