Se dois ângulos são opostos pelo vér tice, então eles são congruentes.

b a

360° – x

Replementares ⇔a +

b = 360°

180° – x

Suplementares ⇔a +

b = 180°

90° – x

Complementares ⇔ a +

b = 90°

todas as estrelas nascem e se põem quatro minutos mais cedo, a cada dia que passa. Ao final de 365 dias, esse adiantamento dará um total de 24 horas. Por isso, se você observar o céu todas as noites, sempre à mesma hora, notará que seu aspecto irá modifi cando-se. Al - gu mas estrelas e constelações deixam de ser visíveis, enquanto outras vão surgindo no horizonte no lado Leste. E se voltar a observar o céu daqui a três meses, verá que tal mo - dificação será bem mais sensível. Ao término de seis meses, você poderá verificar que todas as constelações visíveis serão diferentes, pois você estará vendo o outro lado do céu estrelado, que era invisível em virtude da luz solar.

Ronaldo Rogério de Freitas Mourão. O Livro de Ouro do Universo, 6a_{. Ed. Ediouro}

Publicações S/A

Na figura acima, o astrônomo observou que as

estrelas A, B e C estão posicionadas de tal modo que BD é bissetriz do ângulo A— DC. Se^ ADB = 3x – 10° e C^ DB = 2x + 8°, então, a^ medida do ângulo ADC é:^ a) 80° b) 82° c) 84° d) 86° e) 88° Resolução I) 3x – 10° = 2x + 8° ⇒ x = 18° II) C^DB = 2x + 8° = 2 . 18° + 8° = 44° III) A^DC = 2 . 44° = 88° Resposta: E majestosas para nobres e reis, mas apenas castelos tinham muros altos, torres e fossos. Embora os palácios fossem grandes residên - cias e pudes sem ter muros ao seu redor, não tinham muros altos de proteção e não eram projetados para finalidades militares.

O fosso – um grande dique ou trincheira ao redor do muro externo do castelo – era a primeira linha de defesa. Ele poderia ser cheio de água ou seco (um fosso seco poderia ser forrado com estacas pontiagudas de madeira). Normalmente, havia uma ponte elevadiça que permanecia erguida quando o castelo era atacado. Vários fossos eram também locais para depósito de lixo e detritos. A existência de um fosso dependia do terreno – nem todos os castelos tinham fossos. Alguns eram construídos no alto de uma rocha e não preci - savam deles. Os castelos de Edinburgo e de Stirling na Escócia, por exemplo, estão no alto

de uma encosta rochosa. Vários castelos alemães ao longo do Rio Reno foram cons - truídos nas áreas mon tanhosas do vale.

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Durante um ataque a um castelo medieval, os sentinelas er gueram a ponte levadiça, até que ela formasse um ângulo α com a horizontal. Se a medida do ângulo _{α é a metade da medida do} seu suplemento, então, o complemento de α vale: a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70° Resolução α = ⇒ 3α = 180° ⇒ α = 60° Logo, o complemento de _{α é 30°.} Resposta: A A B C D 180° –_α ––––––––– 2 ângulo AO^B. RESOLUÇÃO: 3x – 20° = x + 11° 2x = 31° x = 15,5°, ou seja, x = 15° 30’ plemento, do suplemento e do replemento de um ângulo de 40° são, respec tiva mente, iguais a

a) 30°, 60° e 90° b) 30°, 45° e 60° c) 320°, 50° e 140° d) 50°, 140° e 320° e) 140°, 50° e 320° RESOLUÇÃO: 1) complemento: 90° – 40° = 50° 2) suplemento: 180° – 40° = 140° 3) replemento: 360° – 40° = 320° Resposta: D

RESOLUÇÃO: I) 90° = 89° 59’ 60” II) 89° 59’ 60” – 69° 51’ 22” ––––––––––––––––––– 20° 08’ 38” seu suplemento. O complemento desse ângulo mede: a) 60° b) 90° c) 120° d) 30° e) 45°

RESOLUÇÃO:

I) x = II) Logo, o complemento 2x = 180° – x é 90° – 60° = 30° 3x = 180°

x = 60° Resposta: D

igual à quinta parte do suplemento desse ângulo. A medida do ângulo é igual a: a) 80° b) 60° c) 40° d) 30° e) 20° RESOLUÇÃO: 2(90° – x) = ⇔ 900° – 10x = 180° – x ⇔ ⇔ 9x = 720° ⇔ x = 80° Resposta: A Turquia), viveu um homem admi rável, mais tarde con siderado um dos Sete Sábios da Grécia Antiga, chamado Tales. Ele é considerado o primeiro filósofo e o primeiro matemá tico grego e é provável, mas não aceito unanimemente, que tenha vivido entre 640 a.C. e 564 a.C.

Embora a Filosofia, a Astrono mia e a Matemática fossem suas paixões, a atividade rotineira de Tales era o comércio. Aris tóteles conta, em seu livro Política, que muitos na cidade o criticavam por descuidar-se dos negó cios e desperdiçar seu tempo com aqueles interesses estra nhos. Indiferente às crí - ticas, um dia percebeu que se avizinhava uma excepcional safra de azeitonas e alugou para si todas as prensas extratoras de azeite existentes na região. Quando a colheita chegou, ganhou muito dinheiro realugando-as e declarou ter demonstrado que os filósofos, quando que rem, também sabem como en rique cer. Se não o fazem é por que dão valor a outras coisas que lhes parecem muito mais impor tantes.

Jamais saberemos como ocorreu a Tales a revolucionária ideia que deu rumos definitivos ao pensamento matemático, ou seja, a de que suas verdades devem ser justificadas, demonstradas, provadas por meio do raciocínio.

Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências. 2a_{. ed. Livraria da Física.}

As fontes históricas da Geometria mencionam que Tales de - mons trou o seguinte teorema: Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então, eles são congruentes.

Utilizando esse teorema, você descobrirá que o valor de x na figura seguinte é: a) 16° b) 18° c) 20° d) 22° e) 24° RESOLUCÃO: 3x – 30° = 60° – 2x ⇒ 5x = 90° ⇒ x = 18° Resposta: B 180° – x ––––––––– 5 180° – x –––––––– 2 60º-2x 3x-30º

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M116

1. Nomenclatura

Dadas, num plano, duas retas, r e s, e uma transversal t, obtemos oito ângulos com as designações

• correspondentes: a^eα^; b^eβ^; c^eγ^; d^eδ^ • alternos externos: a^ e ^γ; b^ e δ^ • alternos internos: c^ e α^ ; d^ e β^ • colaterais externos: a^ e δ^; b^ e ^γ • colaterais internos: c^ e β^; d^ e α^

2. Retas paralelas

Duas retas são paralelas se, e somente se, são co - planares com intersecção vazia ou são coincidentes. Representa-se r // s.

3. Ângulos correspondentes

Duas retas paralelas distintas formam com uma trans versal ângulos correspondentes congruentes e reci procamente.

4. Ângulos alternos

Duas retas paralelas distintas formam com uma trans versal ângulos alternos congruentes e reci pro - camente.

5. Ângulos colaterais

Duas retas paralelas distintas formam com uma trans versal ângulos colaterais suplementares e reci - pro camente.

r // s⇔ β + δ = 180°

r // s⇔ γ ≅ β

r // s⇔ α ≅ β

3

Paralelismo

Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M117

circunferência terrestre, o sábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena no Egito (A e S, respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios solares caíam vertical mente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2° com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra.

Resolução

Seja x o comprimento da circunferência da