1. Definição de matriz
Chama-se matriz de ordem m x n (lê-se “m por n”) a uma tabela de m . n nú meros reais, dispostos em m
linhas e n colunas. Representa-se por A ou Am×n. Seja a matriz A de ordem 2 x 3:
O elemento m, situado na 1a. linha e na 1a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a11.Lê-se a índice
um um ou simplesmente a um um.
O elemento n, situado na 1a. linha e 2a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a12. Lê-se a índice um
dois ou simplesmente a um dois.
O elemento p, situado na 1a. linha e 3a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a13. Lê-se a índice um
três ou simplesmente a um três.
De modo análogo, x é o elemento a21, y é o ele -mento a22e z é o elemento a23.
Assim sendo, uma matriz A, de ordem 2 x 3, pode ser assim representada:
De modo geral, representando por aijo elemento da
linha de ordem i e da coluna de ordem j, podemos
representar a matriz A de ordem m x n como se segue:
ou simplesmente A = (aij)mxn Observações
• Ao apresentarmos uma matriz como “tabela”, es ta mos dando uma noção intuitiva de matriz. Formal men -te, matriz é uma função que a cada par (i; j) associa o número real aij.
a
11a
21a
m1a
12a
22a
m2a
13a
23a
m3…
…
…
a
1na
2na
mn a11 a21 a12 a22 a13 a23 A = ou a11 a21 a12 a22 a13 a23 A = ou a11 a21 a12 a22 a13 a23 A =m
x
n
y
p
z
A =
Matrizes – Determinantes – Sistemas Lineares
– Módulos
1 – Matrizes 2 – Multiplicação de matrizes 3 – Propriedades 4 – Determinantes 5 – Determinante nulo 6 – Determinante se altera 7 – Determinante não se altera 8 – Abaixamento da ordem 9 – Regra de Chió e Teorema de Binet 10 – Inversão de matrizes 11 – Cálculo de um elemento da inversa e propriedades 12 – Sistemas lineares – Regra de Cramer 13 – Escalonamento 14 – Escalonamento 15 – Substituição, eliminação 16 – Característica de uma matriz1
Matrizes
• Matriz • Colunas• Matriz nula • Matriz unidade
Artur Cayley – (1821-1895) Multiplicação de Matrizes
• Linha de uma matriz é uma ênupla de elementos com o mesmo primeiro índice. Exemplo: a segunda linha da matriz A é (a21, a22, a23, … a2n).
• Coluna de uma matriz é uma ênupla de elemen -tos com o mesmo segundo índice. Exemplo: a segunda coluna da matriz A é (a12, a22, a32, … am2).
• Fila de uma matriz significa linha ou coluna indis -tin tamente. • A matriz Amxné chamada: Retangular ⇔ m n Quadrada ⇔ m = n Matriz Linha ⇔ m = 1 Matriz Coluna ⇔ n = 1 Exemplo Matriz Retangular: A = 3 linhas 2 colunas Matriz Quadrada: B = Matriz Linha: C = [1 2 6 7] 1 linha
2. Matriz nula
Matriz nula é aquela que tem todos os elementos
iguais a zero.
É representada pelo símbolo Omxn.
Exemplo
O3×2=
3. Matriz unidade
ou matriz identidade
A matriz A = (aij)nxn é chamada matriz unidade ou
identidade de ordem n e é representada por In, se e somente se:
⇔ ∀i, j ∈{ 1, 2, 3, ..., n}
Matriz identidade de ordem 3:
I3=
4. Matriz oposta
A matriz oposta de A = (aij)mxné a matriz
– A = (– aij)mxn.
5. Matriz transposta
A matriz transposta da matriz A = (aij)mxné a matriz
At = (bji)nxm, tal que bji = aij, ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m}, ∀j ∈{1, 2, 3, ..., n}
6. Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, de mesma ordem, são iguais se, e somente se, todos os elementos correspondentes forem dois a dois iguais.
Se A = (aij)mxne B = (bij)mxn, então cada elemento aij de A é igual ao correspondente elemento bijde B.
Sim bolicamente:
para ∀i ∈{1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈{1, 2, 3, ..., n}
7. Adição de matrizes
Dadas duas matrizes de mesma ordem, A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, define-se soma de A com B como sendo a matriz C = (cij)mxn, tal que cada elemento de C é a
so ma dos elementos correspondentes de A e B.
Sim boli camente:
para ∀i ∈{1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈{1, 2, 3, ..., n}
8. Subtração de matrizes
Dadas duas matrizes, A e B, de mesma ordem, define-se diferença entre A e B como sendo a soma de
A com a oposta de B.
Simbolicamente:
9. Multiplicação de
número real por matriz
Dada a matriz A = (aij)mxne o número real α, define-se o produto de αpor A como sendo a matriz B= (bij)mxn tal que cada elemento bij de B é igual ao produto do número αpelo correspondente elemento da matriz A.
Simbolicamente: para ∀i ∈{1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} Exemplo: 3 .
1 4 3 0 7 – 3 = 3 12 9 0 21 – 9• Obter a transposta é trocar, ordena damente,
linhas por colunas
•• A transposta da transposta de A é a própria
matriz A
Saiba mais
?
?
B =
α . A
⇔
bij = α . aij
2 4 3 1 5 6A – B = A + (– B)
C = A + B
⇔ c
ij
= a
ij
+ b
ij
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 … 0 0 1 0 … 0 In=0 0 1 … 0 ...…… 0 0 0 … 1A = B
⇔ a
ij= b
ij aij = 1 ⇔ i = j aij= 0 ⇔ i j 0 0 0 0 0 0 2 linhas 2 colunas 1 4 3 6
Sendo A = (aij)2x3tal que aij= i + 2j, ∀i ∈ {1; 2} ∀j ∈ {1; 2; 3}, pede-se: RESOLUÇÃO: A = ⇒ A = RESOLUÇÃO: – A = RESOLUÇÃO: At=
3 5 7 4 6 8 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 3 4 5 6 7 8 a11 a21 a12 a22 a13 a23paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elemento aijda matriz abaixo corresponde à temperatura observada no instante i do dia j.
Determine
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior tem -peratura;
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação.
Resolução
a) A maior temperatura é dada pelo elemento a24(40,5 °C) da matriz e ocorreu no instante 2 do dia 4.
b) As temperaturas do terceiro dia são a13 = 38,6, a23 = 37,2 e a33= 36,1. A média, em graus Celsius, é:
= = = 37,3
possuem todos os elementos correspondentes, dois a dois, iguais. Por exemplo, com relação às matrizes
A = , B = e C =
observa-se que A = B e A ≠ C. Considere as matrizes
M = , N = e P = . Determine: a) x + y + z, sabendo que M = N b) M + P c) M – P d) 2M Resolução
a) Se M = N, temos: x = 3, y = 0 e z = 12. Dessa forma, resulta x + y + z = 3 + 0 + 12 = 15 b) M + P = + = = = c) M – P = – = = = d) 2M = =
4 0 24 – 2 0 – 4 6 10 2 2.3 2.5 2.1 2.(– 1) 2.0 2.(– 2) 2.2 2.0 2.12 3 0 7 – 3 3 – 2 0 4 1 2 + 1 0 – 0 12 – 5 – 1 – 2 0 + 3 – 2 – 0 3 – 3 5 – 1 1 – 0 – 1 0 5 2 – 3 0 3 1 0 2 0 12 – 1 0 – 2 3 5 1 1 0 17 1 – 3 – 2 6 6 1 2 – 1 0 + 0 12 + 5 – 1 + 2 0 – 3 – 2 + 0 3 + 3 5 + 1 1 + 0 – 1 0 5 2 – 3 0 3 1 0 2 0 12 – 1 0 – 2 3 5 1 – 1 0 5 2 – 3 0 3 1 0 2 y z – 1 0 – 2 x 5 1 2 0 12 – 1 0 – 2 3 5 1 8 6 – 1 0 2 6 – 1 0 2 6 – 1 0 111,9 –––––– 3 38,6 + 37,2 + 36,1 –––––––––––––––– 3 a13+ a23+ a33 ––––––––––––––– 3 35,6 36,1 35,5 36,4 37,0 35,7 38,6 37,2 36,1 38,0 40,5 37,0 36,0 40,4 39,2estão à venda em uma prateleira que permite separá-las em tamanho (pequeno, médio e grande) e cor (verde, azul, branca e preta), conforme a figura seguinte:
Para controlar o es to que, a lo ja utiliza uma matriz A = (aij)3×4 em que (i; j) indi ca a po sição em que as camisas se encon tram na prateleira e aij indica a quan tidade de camisas daquela cor e ta -manho correspon den te. Assim, por exemplo, a23= 5 significa que existem cinco camisas brancas de tamanho médio. Quan
-do A = , pode-se dizer que
a) existem 7 camisas verdes médias. b) existem 18 camisas médias.
c) existem quantidades iguais de camisas azuis e pretas. d) estão em falta camisas azuis grandes.
e) há mais camisas grandes que pequenas.
RESOLUÇÃO:
Conforme a matriz, têm-se:
1 camisa verde média, 1 + 6 + 5 + 8 = 20 camisas médias, 7 + 6 + 2 = 15 camisas azuis, 3 + 8 + 4 = 15 camisas pretas, 2 + 7 + 4 + 3 = 16 camisas pequenas e 9 + 2 + 0 + 4 = 15 camisas grandes. Resposta: C A = B, qual o valor de x + y + z? RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 2 . A – B = 2 . – = = – =
5 0 0 2 7 – 1 1 4 2 0 1 3 6 4 2 2 8 2 1 4 2 0 1 3 3 2 1 1 4 1 1 4 2 0 1 3 3 2 1 1 4 1 z = 3 x = 1 ⇒ x + y + z = 1 + 4 + 3 = 8 y = 4 3 = z x = 2x – 1 ⇒ y = 4 z 4 2 1 1 2x – 1 1 x 3 y 2 1 2 1 9 7 6 2 4 5 0 3 8 4Verde Azul Branca Preta
Pequeno Médio Grande
1. Definição
O produto da matriz A = (aik)mxp pela matriz
B = (bkj)pxné a matriz C = (cij)mxn tal que cada elemento
cijde Cé igual à soma dos produtos dos elementos da
i-ésima linha de Apelos correspondentes elementos da j-ésima coluna de B.
Simbolicamente
C = A.B
c
ij= a
i1. b
1j+ a
i2. b
2j+ a
i3. b
3j+ ... + a
ip. b
pj2
Multiplicação de matrizes
• Produto • Linha por coluna Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M1012. Existência da matriz produto
a) A matriz produto A . B existe se, e somente se, onúmero de colunas da matriz A for igualao número
de linhas da matriz B;
b) Existindo, a matriz produto A . B tem o mesmo
número de linhas da matriz A e o mesmo número de colunas da matriz B;
c) A existência de A. B não implica a existência de
B . A.
Note que, sendo A = (aij)2x7e B = (bjk)7x5, temos: a) A matriz produto A . B existe, pois o número de colunas de A (sete) é igual ao número de linhas de B (sete);
b) A matriz produto C = A . B é de ordem 2x5, pois a matriz A possui duas linhas e a matriz B possui 5 colunas.
c) Não existe a matriz produto D = B . A, pois o nú -mero de colunas de B (cinco) é diferente do nú-mero de linhas de A (dois). 2x3 e B = 3x3 , obter a matriz A.B.
Resolução
• O elemento c11da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira
linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 7, pois:
• O elemento c12 da matriz produto A . B é obtido utilizando a
primeira linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
• O elemento c13 da matriz produto A . B é obtido utilizando a
primeira linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 9, pois:
• O elemento c21 da matriz produto A . B é obtido utilizando a
segunda linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 6, pois:
• O elemento c22 da matriz produto A . B é obtido utilizando a
segunda linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
• O elemento c23 da matriz produto A . B é obtido utilizando a
segunda linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 8, pois:
Assim sendo, A . B =
冢
. = 1 3 2 2 1 1冣 冢
2 1 3 1 0 2 1 1 0冣
冢
7 6 3 3 9 8冣
2 1 1(
)
. 32 0(
)
= = 2.3 + 1.2 + 1.0(
)
= 7 3 9(
)
7 3 9 6 3 8 6 3 2 1 1(
)
. 10 1(
)
= = 2.1 + 1.0 + 1.1(
)
= 7 3 9(
)
7 3 9 6 3 6 2 1 1(
)
. 2 1 1(
)
= = 2.2 + 1.1 + 1.1(
)
= 7 3 9(
)
7 3 9 6 1 3 2(
)
. 32 0(
)
= = 1.3 + 3.2 + 2.0(
)
= 7 3 9(
)
7 3 1 3 2(
)
. 10 1(
)
= = 1.1 + 3.0 + 2.1(
)
= 7 3(
)
7 1 3 2(
)
. 21 1(
)
= = 1.2 + 3.1 + 2.1(
)
= 7(
)
冣
2 1 3 1 0 2 1 1 0冢
冣
1 3 2 2 1 1冢
RESOLUÇÃO: A.B = . = calcular a matriz A . B. RESOLUÇÃO: A.B = . = obter, se possível, A . B e B . A RESOLUÇÃO: A . B = . = ∃B . A são, respectivamente, 3 x r, 3 x s e 2 x t. Se a matriz (A – B).C é de ordem 3 x 4, então r + s + t é igual a:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
RESOLUÇÃO:
I) Se existe A3xr– B3xs, então as matrizes A e B possuem a mesma ordem. Portanto, r = s e (A – B)3xr.
II) Se (A – B)3xr.C2xt= [(A – B).C]3x4, conclui-se que r = 2 e t = 4. III)De (I) e (II), conclui-se que r = s = 2 e t = 4 e, portanto
r + s + t = 8. Resposta: B
冤
3 – 2 1 1 5 – 3冥
冤
2 3 – 4 – 1 1 2 1 2 5冥
冤
–11 11 8 –3 30 –15冥
冤
3 – 2 1 1 5 – 3冥
冤
2 3 – 4 – 1 1 2 1 2 5冥
冢
– 1 1 0 2 3 5 0 – 2 – 1冣 冢
2 – 1 2 1 3 – 2 2 0 4冣 冢
– 4 – 5 – 7 5 14 17 – 2 – 6 – 4冣
冢
– 1 1 0 2 3 5 0 – 2 – 1冣 冢
2 – 1 2 1 3 – 2 2 0 4冣
冢
2 3 1 4冣 冢
1 1 5 2冣 冢
3 7 12 23冣
冢
2 3 1 4冣
冢
1 1 5 2冣
preciso que n = p, ou seja, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Existindo o produto, a matriz C, resultante do produto AB, terá o mesmo número de linhas que a primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz. Dessa forma, se n = p, então Amxn . Bpxr = Cmxr.Dadas as matrizes e B = , deter
mine: a) A.B b) B.A Resolução a) A2x2. B2x3= C2x3⇒ ⇒ . = Observe que: c11 = a11 . b11 + a12 . b21 = 2 . 1 + 3 . (– 1) = –1 c12 = a11 . b12 + a12. b22 = 2 . 1+ 3 . 2 = 8 c13 = a11 . b13 + a12. b23 = 2 . 0 + 3 . 5 = 15 c21 = a21 . b11+ a22. b21 = (– 1) .1 + 0 . (– 1) = – 1 c22 = a21 . b12+ a22. b22 = (– 1) . 1 + 0 . 2 = – 1 c23 = a21 . b13+ a22. b23 = (– 1) . 0 + 0 . 5 = 0 Dessa forma, resulta C =
b) B2x3.A2x2 não existe, pois o número de colunas (3) da pri mei ra matriz B, é diferente do número de linhas (2) da se gunda matriz A.
Respostas: a) C = – 1
冣
b) não existe B.A. – 1 8 – 1 15 0冢
冣
– 1 – 1 8 – 1 15 0冢
冣
c11 c21 c12 c22 c13 c23冢
冣
1 –1 1 2 0 5冢
冣
2 – 1 3 0冢
冣
1 – 1 1 2 0 5冢
冣
2 – 1 3 0冢
utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas de mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês.
Tabela 1: Produção de armários em outubro de 2005
Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de
a) 170 b) 192 c) 120 d) 218 e) 188
RESOLUÇÃO: A matriz A =
2× 3
representa a tabela 1, a matriz
B =
3× 2
representa a tabela 2 e a matriz C = B.A
representa a quantidade de fechaduras usadas em cada modelo.
C = . =
Assim,
No modelo requinte, foram usadas 100 + 72 + 46 = 218 fechaduras. Resposta: D
FECHADURAS POR MODELO
TIPO BÁSICO LUXO REQUINTE
Dourada 78 86 100 Prateada 56 64 72 Bronzeada 36 38 46
78 56 36 86 64 38 100 72 46 3 4 5 3 4 5 10 8 4 12 8 6 10 8 4 12 8 6 3 4 5 3 4 5 MADEIRATIPO MOGNO CEREJEIRA
Dourada 10 12
Prateada 8 8
Bronzeada 4 6
MODELO
MADEIRA BÁSICO LUXO REQUINTE
Mogno 3 5 4
Cerejeira 4 3 5
1. Comutativa
A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja: as matrizes AB e BA não são obrigatoriamente iguais. Existem, portanto, matrizes A e B tais que AB BA.
2. Anulamento do produto
Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do anulamento do produto”, ou seja: o produto de duas matrizes pode ser nulo mesmo que ambas sejam não nulas. Existem, portanto, matrizes A e B tais que A 0,
B 0 e AB = 0.
3. Cancelamento
Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do cancelamento”, ou seja: na igualdade AB = AC não se
pode “cancelar” A e concluir que B = C. Existem, portanto, matrizes A, B e C tais que AB = AC e B C.
4. Propriedades da transposta
Se A e B forem matrizes conformes para a operação indicada e k é um número real, então:
a) A = B
⇔ A
t= B
tb) (A
t)
t= A
c) (A + B)
t= A
t+ B
td) (kA)
t= k . A
te) (AB)
t= B
t. A
t3
Propriedades
• Comutativa • Anulamento de produto • CancelamentoPara saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M102
A = , B= e C = , determine: a) AB b) BA c) AC d) CA Resolução a) A . B = . = = = = b) B . A = . = = = = c) A . C = . = = = d) C . A = . = = = =
Observe que A.B ≠ B.A e A.C = C.A. Conclui-se que o produto entre matrizes não é comutativo, ou seja, diferentemente do que ocorre com o produto de números reais, podemos ter A.B e B.A com A.B ≠ B.A.
Respostas:
a) A.B = b) B.A =
c) A.C = d) C.A =
A = e B =
determine A.B e B.A.
Resolução A.B = . = = = = B.A = . = = = =
Observe que, diferentemente do que ocorre com o produto de números reais, temos A.B=O sendo A ≠ O e B ≠ O, em que O é a matriz nula.
2 – 2 2 – 2 1.1 + 1.1 (– 1).1 + (– 1).1 1.1 + 1.1 (– 1).1 + (– 1).1 1 1 1 1 1 –1 1 –1 0 0 0 0 1.1 + 1.(– 1) 1.1 + 1.(– 1) 1.1 + 1.(– 1) 1.1 + 1.(– 1) 1 –1 1 –1 1 1 1 1 1 –1 1 –1 1 1 1 1 2 4 0 2 2 4 0 2 4 2 1 1 2 4 1 3 2 4 0 2 2.0 + 0.1 0.0 + 2.1 2.1 + 0.2 0.1 + 2.2 1 2 0 1 2 0 0 2 2 4 0 2 1.0 + 0.2 2.0 + 1.2 1.2 + 0.0 2.2 + 1.0 2 0 0 2 1 2 0 1 4 2 1 1 2.0 + 1.1 0.0 + 1.1 2.1 + 1.2 0.1 + 1.2 1 2 0 1 2 0 1 1 2 4 1 3 1.1 + 0.1 2.1 + 1.1 1.2 + 0.0 2.2 + 1.0 2 0 1 1 1 2 0 1 2 0 0 2 2 0 1 1 1 2 0 1 Sendo A = , B = e C = , obter: RESOLUÇÃO: A . B = B . A =Conclusão: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A.B e B.A nem sempre são iguais.
RESOLUÇÃO: B + C = A . (B + C) =
(B + C) . A =
Conclusão: Observe que A . (B + C) ≠ (B + C) . A
determine A . B.
RESOLUÇÃO:
A . B = . =
Conclusão: Existem matrizes A e B, tais que A 0, B 0 e A . B = 0.
1 2 2 4– 2 1 – 6 3
0 0 0 0 1 2 2 4 – 2 1 – 6 3 3 4 1 1 . 2 – 2 1 3 = 4 6 6 7 2 1
.
3 1
=
10 3
1 3 – 2 5 + 2 1 3 – 4= 3 4 1 1 1 3 – 2 5 . 2 – 2 1 3 = 6 – 4 – 5 18 2 – 2 1 3 . 1 3 – 2 5= 5 7 1 19 2 – 2 1 3
1 3 – 2 5 2 1 3 – 4
tem cinco antenas que transmitem uma para a outra, conforme mostrado na matriz A = (aij), em que aij = 1 significa que a antena i transmite diretamente para a antena j, e aij= 0 significa que a antena i não transmite para a antena j.
Qual o significado do elemento b41da matriz B = A2?
a) Como b41 = 0, isso significa que a antena 4 não trans mite para a antena 1.
b) Como b41= 1, isso significa que a antena 4 transmite para a antena 1.
c) Como b41= 3, isso significa que a antena 4 transmite para a antena 1.
d) Como b41= 3, isso significa que existem 3 maneiras dife ren tes de a antena 4 transmitir para a antena 1, usan do ape -nas uma retransmissão entre elas.
e) Como b41= 3, isso nada significa, pois bijsó pode valer 0 ou 1, conforme definido no enunciado da questão.
RESOLUÇÃO
Como B = A2= A . A, temos:
b41= a41. a11+ a42. a21+ a43. a31+ a44. a41+ a54. a51= = 1 . 0 + 1 . 1 + 1 . 1 + 0 . 1 + 1 . 1 = 3
Este resultado significa que existem 3 maneiras distin tas de a antena 4 transmitir informações para a antena 1, usando apenas uma única retransmissão entre elas. A saber:
4 transmite para a antena 2 e esta retransmite para 1, 4 transmite para a antena 3 e esta retransmite para 1, 4 transmite para a antena 5 e esta retransmite para 1.
Resposta: D
0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 01. Conceito
Submetendo os elementos de uma matriz quadra
-da (tabela de números) a operações (mediante uma
definição), obtém-se como resultado um número que é chamado determinante dessa matriz.
O determinante da matriz
é indicado por:
2. Como calcular
a) Matriz de Ordem 1: A = (a11)⇒det A = a11
ou a11 a21 . . an1 a12 a22 . . an2 a13 a23 . . . … … … … … a1n a2n . . ann det M ou det
a11 a21 . . an1 a12 a22 . . an2 a13 a23 . . an3 … … … … … a1n a2n . . ann a11 a21 . . an1 a12 a22 . . an2 a13 a23 . . . … … … … … a1n a2n . . annM = a) Matriz é tabela de números reais.
b) Determinante é um número real.
c) Só se define deter minante se a matriz for qua -drada.
Saiba mais
?
?
4
Determinantes
• Matriz quadrada • Determinante é número • Matriz é tabela Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M103IV) Obter o det A fazendo a diferença entre a soma das parcelas do item (II) e a soma das parcelas do item (III).
det A = a
11
. a
22. a
33+ a
12. a
23. a
31+ a
13. a
21. a
32– a
13. a
22. a
31– a
11. a
23. a
32– a
12. a
21. a
33Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M104
No Portal Objetivo
b) Matriz de Ordem 2
c) Matriz de Ordem 3
Neste caso, podemos usar um dispositivo prático
(Regra de Sarrus), que consiste em:
I) Repetir as duas pri mei ras colunas ao lado na ter -ceira colu na:
II) Obter os produtos a11. a22. a33, a12. a23. a31e a13. a21. a32
III) Obter os produtos a13. a22. a31, a11. a23. a32e a12. a21. a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 det A = a11 a12 a11 a12 A =
⇒ det A = = a11.a22– a12.a21 a21 a22 a21 a22 Resolução = 1 . 2 . 3 + 2 . 0 . 1 + 1 . 2 . 3 – 1 . 2 . 1 – 3 . 0 . 1 – 3 . 2 . 2 = = 6 + 0 + 6 – 2 – 0 – 12 = – 2 Resposta: det A = – 2 Resolução det A = = 2 . 7 – 5 . 3 = –1 Resposta: det A = –1 2 3 5 7 2 3 5 7 1 2 1 1 2 2 2 0 2 2 1 3 3 1 3 = det A = 1 2 1 2 2 3 1 0 3 RESOLUÇÃO: det(A) = 1 = 1 . 2 – 3 . 4 = – 10 4 3 2 1 4 3 2
RESOLUÇÃO: = = – 6 + 16 = 10 det (At. B). RESOLUÇÃO: At. B = . = det(At. B) = 48 – 70 – 12 – 42 + 16 + 60 = 0 numeradas de 1 a 6, depois em cada face do cubo foi registrada uma matriz de ordem 2, com elementos definidos por:
aij= em que f é o valor associado à face cor
res pondente. Qual é o valor do determinante da matriz regis -trada na face 5?
a) 63 b) 61 c) 60 d) 6 e) 0
RESOLUÇÃO:
Para a face 5, temos f = 5. Dessa forma, os elementos da matriz A são definidos por
aij= Assim, det (A) = det = 63 – 2 = 61 Resposta: B
uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilo gramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que
A =
Com base na fórmula p(x) = det A, podemos concluir que o peso médio de uma criança de 5 anos é, em kg, igual a: a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 RESOLUÇÃO p(x) = det A = 1 . 0 . + 3 . 2 . 1 + 0 . (– 1) . (– x) – – 1 . 0 . 0 – 1 . (– x) . 2 – (– 1) . 3 . = = 0 + 6 + 0 – 0 + 2x + 2 = 2x + 8 Para x = 5, temos p(5) = 2 . 5 + 8 = 18 Resposta: A 2 ––– 3 2 ––– 3
1 – 1 1 3 0 – x 2 0 2 –– 3 2i + 5, se i = j j, se i ≠ j 7 1 2 9 2i + f, se i = j j , se i ≠ j 2 0 – 1 3 2 – 3 1 2 4 – 1 0 1 8 4 – 7 5 – 2 – 1 3 2 – 3 2 3 0 2 – 1 – 3 1 2 4 – 1 0 1 1 2 1 1 –1 3 3 1 3 1 2 1 1 –1 3 3 1 3 1 2 1 1 –1 3 3 1 31. Fila nula
O determinante de uma matriz quadrada se anula quando a matriz possui uma fila nula.
Exemplo
De fato:
2. Filas paralelas iguais
O determinante de uma matriz quadrada se anula quando a matriz possui duas filas paralelas iguais.
Exemplo
De fato:
3. Filas paralelas proporcionais
O determinante de uma matriz quadrada se anula quando a matriz possui duas filas paralelas propor-cio nais. Exemplo
De fato:
4. Fila combinação linear
O determinante de uma matriz quadrada se anula quando a matriz possui uma fila que é combinação
linear das demais filas paralelas. Exemplo De fato: 1 3 1 5 4 5 2 4 2
= 0, pois a primeira linha é igual à terceira (L1= L3).
1 5 2 1 5
3 4 4 3 4 = 0
1 5 2 1 5
– 8 – 20 – 30 + 8 + 20 + 30
2 0 7 2 0
3 0 3 3 0 = 0
5 0 1 5 0
– 0 – 0 – 0 + 0 + 0 + 0
= 0, pois a segunda coluna é nula. 2 3 5 0 0 0 7 3 1
= 0, pois a segunda linha é
propor cional à primeira (L2= 3.L1).
5 15 1 2 6 5 3 9 2 5 2 3 5 2 15 6 9 15 6 = 0 1 5 2 1 5 – 18 – 225 – 60 + 60 + 18 + 225
= 0, pois a terceira linha é com bina -ção linear das duas primeiras (L3= 2 . L1+ 1 . L2). 1 3 5 1 1 3 2 0 4
1 1 2 1 1
3 1 0 3 1 = 0
5 3 4 5 3
– 10 – 0 – 12 + 4 + 0 + 18
5
Determinante nulo
• Fila nula • Filas paralelas iguais• Filas paralelas proporcionais • Fila combinação lineara) se c = d = 0, então det A = 0. b) se a = 6, b = 8 e e = 5, então det A = 0. c) se a = 3, b = 4 e e = 10, então det A = 0. d) se a = b = c = d = 1 e e = 32, então det A = 0. Resolução a) se c = d = 0, então: A = e det A = 0,
pois a segunda linha é nula. b) se a = 6, b = 8 e e = 5, então:
A = e det A = 0,
pois a 3a. linha é igual à 1a. linha.
c) se a = 3, b = 4 e e = 10, então:
A = e det A = 0,
pois a 3a. linha é proporcional à 1a. linha (3a. linha = 2 . (1a. linha)).
d) se a = b = c = d = 1 e e = 32, então:
A = e det A = 0,
pois
= 32 + 6 + 0 – 30 – 8 – 0 = 0
Note que, neste caso, det A = 0 e em A não há fila nula, nem filas pa
-ralelas iguais e nem filas pa-ralelas proporcionais. Certa mente, uma
das filas é combinação linear das demais filas paralelas. Verifique, por exemplo, que:
(3a. linha) = 6 . (1a. linha) + 2 . (2a. linha).
= 0 Resolução ⇔ 15 + 2x + (– 8) – 2 – (– 3x) – 40 = 0 ⇔ 5x – 35 = 0 ⇔ x = 7 Resposta: V = {7} Observação:
Para x = 7, o determinante é zero, pois a terceira linha é combinação linear das outras duas.
De fato: 3a. linha = 1 . (2a. linha) – 1 . (1a. linha)
3 2 2 3 2 4 1 x 4 1 1 –1 5 1 –1 = 0 ⇔ 3 4 1 2 1 –1 2 x 5 1 1 5 1 1 0 1 1 0 1 6 8 32 6 8 =
1 0 6 1 1 8 5 1 32 3 0 6 4 c 8 5 d 10 6 0 6 8 c 8 5 d 5 a 0 6 b 0 8 5 0 e a 0 6 b c 8 5 d eObservações: Se todos os ele mentos de uma fila de uma matriz quadrada M forem nulos, então det (M) = 0.
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -lelas iguais, então det (M) = 0.
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -lelas proporcionais, então det (M) = 0.
= b.(2 + c) + 2a.(3 + b) + 3c(1 + a) – 2b(1 + a) – c(3 + b) – 3a(2 + c) = = 2b + bc + 6a + 2ab + 3c + 3ac – 2b – 2ab – 3c – bc – 6a – 3ac = 0 Observações: Se uma fila de uma matriz quadrada M é com -binação linear das demais filas paralelas, então det (M) = 0.
1 a 1 + a 3 b 3 + b 2 c 2 + c 1 2 3 1 2 3 5 1 2 1 2 3 2 4 6 5 1 2 a b c 3 5 1 a b c 2 6 0 5 5 0 4 8 0
Observando que cada elemento da coluna 3 é igual ao dobro do cor res pondente elemento da coluna 1 sub traído do triplo do cor -res pon dente elemento da coluna 2, conclui-se que o determinante é nulo. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 RESOLUÇÃO: = 0 ⇔ –2x + 18 + 140 + 5 – 21x – 48 = 0 ⇔ ⇔ – 23x + 115 = 0 ⇔ 23x = 115 ⇔ x = 5
Observe que para x = 5, C3= C1+ C2 Resposta: E
giário foram dis tri buídos em uma sala de espera, como repre -sen tado a seguir:
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz e se substituirmos o nome de cada um desses can dida -tos pelo número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela letra com a qual se inicia o nome, obteremos uma nova matriz.
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2
RESOLUÇÃO:
A matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo número que indica a posição, em nosso alfabeto, ocupada pela primeira letra do respectivo nome é:
e o seu determinante é = 0, pois a
terceira linha é combinação linear das outras duas linhas. Ela é igual à soma da primeira linha com a segunda linha.
Resposta: C. 1 3 4 2 4 6 1 1 2
1 3 4 2 4 6 1 1 2 Alberto Carlos Daniele Bruno Denise Fernanda André Alvaro Barone 2 7 1 3 –1 4 5 6 x 5 6 x 3 – 1 4 2 7 1 2a – 3b 1 3 b 3 1 a 5 31. Trocando filas paralelas
O determinante de uma matriz quadrada muda de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posição.
Exemplo
Trocando entre si as duas últimas co lu nas, por exemplo, obtêm-se
2 3 1 2 3 5 0 2 5 0 = 7 e 1 1 0 1 1 – 0 – 4 – 0 + 0 + 6 + 5 2 1 3 2 1 5 2 0 5 2 = – 7 1 0 1 1 0 – 6 – 0 – 5 + 4 + 0 + 0
6
Determinante se altera
• Multiplicando a matriz por • Muda de sinal α • Multiplicando o determinante por αnPara saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M105
2. Multiplicando uma fila por
α
O determinante de uma matriz quadrada fica multiplicado por α, quando os elementos de uma fila são mul
-tiplicados por α. Exemplo
Multiplicando os elementos da primeira linha por 3, por exemplo, têm-se:
e
De fato:
3. Multiplicando a matriz por
α
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n fica multiplicado por
α
n, quando a matriz é multiplicadapor α. Exemplo
Multiplicando todos os elementos dessa matriz, por exemplo, por 2, obtém-se
De fato: 1 1 1 2 1 3 3 2 0 = 4 3 1 1 6 1 3 9 2 0 = 3 . 1 1 1 2 1 3 3 2 0 = 12 = – 4 1 2 1 1 3 4 – 1 0 1 ⇒ det M =
1 2 1 1 3 4 – 1 0 1 M = 1 1 –1 1 1 2 3 0 2 3 1 4 1 1 4 = + 3 – 0 – 2 + 3 + 0 – 8 =– 4
det M = = 2 2 –2 2 2 4 6 0 4 6 = 2 8 2 2 8 det (2M) = + 24 – 0 – 16 + 24 + 0 – 64 =– 32
⇒ det (2M) = 23. det M = 8 . (– 4) = – 32 2M = 2 4 2 2 6 8 – 2 0 2 3 6 9 3 6 1 1 2 1 1 1 3 0 1 3 – 9 – 18 – 0 + 0 + 12 + 27 =12
1 2 3 1 2 1 1 2 1 1 1 3 0 1 3 – 3 – 6 – 0 + 0 + 4 + 9 =4
-do-se que = – 17. ResoluçãoPara calcularmos o valor de , é im -portante que ob servemos que os elementos da segunda coluna são múltiplos de 3 e portanto, podemos colocar o 3 em evidência.
Dessa forma, resulta
= 3 .
Agora, devemos observar que trocando as duas primeiras colu nas, desse novo deter minante, de posição entre si, obteremos o deter minante cujo resultado é igual a – 17. Não podemos es quecer que ao trocar duas linhas ou duas colu
-2 x 4 1 2 3 5 8 2 2 x 4 3 6 9 5 8 2 2 x 4 3 6 9 5 8 2 1 2 3 2 x 4 5 8 2 2 x 4 3 6 9 5 8 2
nas de posição entre si, o sinal do determinan -te é al-terado. Assim, temos: = 3 . = = – 3 . = = (– 3) . (– 17) = 51 Resposta: 51 , sabendo-se que = k Resolução = 2 . 3 . = = – 6 . = + 6 . = – 6 . = – 6k Resposta: = – 6k 1 2 3 2 x 4 5 8 2 2 x 4 3 6 9 5 8 2 2 x 4 1 2 3 5 8 2 2n y b 6m 3x 3a 2p z c a m x b n y c p z m a x n b y p c z m x a n y b p z c n y b m x a p z c 2n y b 6m 3x 3a 2p z c a m x b n y c p z
2n y b 6m 3x 3a 2p z c Considere as matrizes A = , B = , C = , D = e RESOLUÇÃO: det(A) = = 8 – 6 = 2 det(B) = = 6 – 8 = – 2Observação: Comparando os determinantes da matriz A e da matriz B, verifica mos que o determinante de uma matriz qua dra -da mu-da de sinal quando trocamos duas filas paralelas de posição entre si.
RESOLUÇÃO:
det(C) = = 24 – 18 = 6 = 3 . 2 = 3 det A
Observação: Os elementos da primeira linha da matriz C são iguais aos correspondentes elementos da primeira linha de A, mul tiplicados por 3. Por este motivo, o det(C) = 3 . det A.
RESOLUÇÃO:
det(D) = = 72 – 54 = 18 = 9 . 2 = 32. 2 = 32. det A
Observação: A matriz D = 3 . A, enquanto det D = 32. det A, pois
A e D são matrizes de ordem 2.
concluir que det é igual a:
a) – 30 b) – 5 c) 10 d) 15 e) 30 RESOLUÇÃO: = 2 . 3 . = – 6 . = (– 6).5 = – 30 Resposta: A 2c 3p z 2b 3n y 2a 3m x c p z b n y a m x a m x b n y c p z
2c 3p z 2b 3n y 2a 3m x a m x b n y c p z 3 9 6 24 3 3 6 8 2 8 1 3 1 3 2 8 3 9 6 24 3 3 6 8 2 8 1 3 1 3 2 8determinante é det(M) = 2. O valor da expressão
det(M) + det(2M) + det(3M) é:
a) 12 b) 15 c) 36 d) 54 e) 72
RESOLUÇÃO:
Sendo M uma matriz quadrada de ordem 3 e det(M) = 2, temos: det(2M) = 23.det(M) = 8.2 = 16 e det(3M) = 33.det(M) = 27 . 2 = 54
Assim, det(M) + det(2M) + det(3M) = 2 + 16 + 54 = 72 Resposta: E
-nante de uma matriz quadrada por um número real k é o mesmo que multiplicar os elementos de uma única fila (linha ou coluna) desse deter minante por k. Por exemplo:
k . = = = =
= = =
Considere os determinantes
A = e B = . Utilize seus
co nhecimentos sobre o tema e o texto da questão para deter -minar qual das alternativas relaciona de forma correta A e B.
a) B = A b) B = – A c) B = d) B = 3A e) A = 3B RESOLUÇÃO: B = = 3 . = 3 . A Resposta: D – 1 1 3 2 2 5 1 – 3 0 – 6 5 3 1 3 2 3 – 3 3 9 6 2 5 1 – 3 0 – 6 5 3 1 3 2 3 A ––– 2 – 3 3 9 6 2 5 1 – 3 0 – 6 5 3 1 3 2 3 – 1 1 3 2 2 5 1 – 3 0 – 6 5 3 1 3 2 3 a m x b n y kc kp kz a m x kb kn ky c p z ka km kx b n y c p z a m kx b n ky c p kz a km x b kn y c kp z ka m x kb n y kc p z a m x b n y c p z
7
Determinante não se altera
• Trocando linhas por colunas • Somando uma combinação linear1. Trocando linhas por colunas
O determinante de uma matriz quadrada A não se altera quando trocamos ordenadamente as linhas pelas
colunas. Simbolicamente Exemplo De fato: = 35 – 2 1 3 1 1 4 5 3 1 ⇒ det M = det Mt= – 2 1 5 – 2 1 1 1 3 1 1 =
35
3 4 1 3 4 – 15 + 24 – 1 – 2 + 9 + 20 det M = – 15 + 24 – 1 – 2 + 20 + 9 – 2 1 3 – 2 1 1 1 4 1 1 =35
5 3 1 5 3 det Mt = M = – 2 1 3 1 1 4 5 3 1 det A = det AtPara saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M106
2. Somando uma combinação linear
Se a uma fila de uma matriz quadrada M somarmos uma combinação linear das demais filas paralelas, obteremos uma nova matriz N tal que det N = det M(Teorema de Jacobi).
Exemplos: 1) e 2) De fato: 1 2 – 3 – 2 1 4 – 3 12 4 1+ 2 . 1 + 3 .(– 2) 5+ 2 . 2 + 3 . 1 – 2 + 2.(– 3) + 3 . 4 = 1 2 – 3 – 2 1 4 = 1 2 – 3 – 2 1 4 1 5 – 2 2 7 1 6 = 43 + (–7) . 6 6 51 + (–7) . 7 7 = 51 7 43 6 – 9 – 48 + 16 + 4 + 72 – 24 1 –2 –3 1 – 2 2 1 12 2 1 =
11
–3 4 4 –3 4 + 3 – 20 – 8 – 2 + 30 + 8 1 – 2 1 1 – 2 2 1 5 2 1 =11
– 3 4 – 2 – 3 4 De fato: 51 7 43 6 = 306 – 301 = 5 2 7 1 6 = 12 – 7 = 5 det(At), sendo Ata matriz transposta de A, ou seja, a matriz que seobtém trocan do, ordenadamente, em A, as linhas pelas colunas.
Resolução
det(A) = = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
det(At) = = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
Observe que det(A) = det(At)
Resposta: det(A) = det(At) = 12
Resolução
Lembrando que o determinante de uma matriz não se altera quando adicionamos a uma fila qualquer uma combinação linear das demais filas paralelas, podemos calcular
det(M) = , adicionando à primeira coluna de M,
a seguinte combinação linear: – 100.(coluna 2) – 10.(coluna 3)
Dessa forma resulta det(M) = =
= =
Note que, embora o determinante original e o novo deter minante sejam iguais, o determinante resultante pode ser cal culado mais facilmente. Assim det(M) = = = = 3 + 18 + 64 – 24 – 18 – 8 = 35 Resposta: 35 1 4 1 2 3 2 8 9 1 281 394 211 2 3 2 8 9 1 1 4 1 2 3 2 8 9 1 8 9 1 2 3 2 281 – 100.2 – 10.8 394 – 100.3 – 10.9 211 – 100.2 – 10.1 281 394 211 2 3 2 8 9 1 281 394 211 2 3 2 8 9 1
281 394 211 2 3 2 8 9 1 1 – 2 1 0 2 – 6 1 0 1 1 0 1 – 2 2 0 1 – 6 1 1 0 1 – 2 2 0 1 – 6 1At (transposta de A).
RESOLUÇÃO:
det A = = – 42
det(At) = = – 42
Observação: Comparando os determinantes de A e de At, verifi
-camos que o determinante de uma matriz A não se altera quando trocamos ordenamente as linhas pelas colunas. Simbolicamente, det A = det At.
B = =
A matriz B, portanto, foi obtida de A, somandose aos ele men -tos da 3a. coluna uma combinação linear das outras colunas.
Cal cular det(A), det(B) e observe que, apesar de A ≠ B, temos det(A) = det(B). RESOLUÇÃO: det(A) = = 1 + 4 + 0 – 4 – 0 – 0 = 1 det(B) = = 5 + 16 + 0 – 20 – 0 – 0 = 1 a) 1 b) 0 c) abc d) a + b + c e) 3 RESOLUÇÃO:
Somar a 2a. coluna na 3a. coluna.
Resposta: B
a) 0 b) 2 c) – 2 d) 1 e) 572
RESOLUÇÃO:
I) multiplicar a 1a. linha por (– 17) e somar na 2a. linha.
II) multiplicar a 1a. linha por (5) e somar na 3a. linha.
Resposta: B 1 17 – 5 3 52 –16 – 2 – 33 11 = 1 0 0 3 1 –1 –2 1 1 = 2 1 17 – 5 3 52 – 16 – 2 – 33 11 1 1 1 a b c b + c a + c a + b = 1 1 1 a b c a + b + c a + b + c a + b + c = (a + b + c) . 1 1 1 a b c 1 1 1 = 0 1 1 1 a b c b + c a + c a + b 1 0 2 2 1 0 10 4 5 1 0 2 2 1 0 2 1 1
1 0 2 2 1 0 2 + 2 . 1 + 3 . 2 1 + 2 . 0 + 3 . 1 1 + 2 . 2 + 3 . 01 0 2 2 1 0 10 4 5 1 0 2 2 1 0 2 1 1 2 – 1 3 – 2 – 2 3 0 3 1 2 – 2 0 – 1 – 2 3 3 3 1 2 – 2 0 – 1 – 2 3 3 3 1
uma sala de aula em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou
o valor do determi nan te da matriz A = .
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz
B = .
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais. O professor então comentou que o que eles haviam observado era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos or denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de A, representada por At, cujo determinante é igual ao deter
-minante da matriz original.
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, podemos con siderar que essa propriedade pode ser expressa matemati ca -mente pela sentença:
a) det(A) = – det(A) b) det(A) =
c) det(A) = d) det(At) = det(A)
e) det(At) = – det(A)
RESOLUÇÃO:
Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, ao trocarmos ordena -damente as linhas pelas colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de A e representada por At. O que o
professor tentou mostrar para os alunos é que duas matrizes transpostas possuem determinantes iguais. Matematicamente, det(A) = det(At). Resposta: D 1 ––––––– det(At) 1 –––––– det(A)
2 4 6 3 8 0 3 1 4 2 0 0 0 3 0 0 1 2 1 3 0 2 1 5 1 2 0 0 0 0 4 3 0 1 2 6 1 0 2 1 3 4 3 1 5 8 2 0 3 11. Menor complementar
O menor complementar Dij, do elemento aij da matriz quadrada M, é o determinante que se obtém de M, eliminando-se dela a linha “i”e a coluna “j”.
2. Cofator ou
complemento algébrico
O cofator do elemento aij da matriz quadrada M é
Aij= (–1)i+j. D
ij, em que Dijé o menor complementar de aij.
3. Teorema de Laplace
Simbolicamente:
Se M = , então
ou
O Teorema de Laplace permite calcular o deter mi nan te de uma matriz de ordem n como sendo a soma de n determinantes de ordem n – 1. Permite, pois, abaixar a
ordem. det M = ai1. Ai1+ ai2. Ai2+ … + aij. Aij+ … + ain. Ain det M = a1j. A1j+ a2j. A2j+ … + aij. Aij+ … + anj. Anj
a11 . ai1 . an1 a12 . ai2 . an2 … … … a1j . aij . anj … … … a1n . ain . annO determinante de qualquer matriz qua drada M de ordem n é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos seus respec -tivos cofatores.
8
Abaixamento da ordem
• Menor complementar • Cofator • Teorema de Laplace Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M107-tor do elemento a23da matriz M = Resolução Na matriz M = , temos a23= 3 e, portanto, D23= = 2 – 5 = – 3 A23= (– 1)2 + 3. D 23= (– 1)5. = = (– 1) . (– 3) = 3 Resposta: D23= – 3; A23= 3 a33da matriz M = Resolução Na matriz M = , temos a13= 2 e a33= – 1 Logo: A13= (–1)1 + 3. = 1 . (8 – 8) = 0 A33= (–1)3 + 3. = 1 . (8 – 20) = – 12 Resposta: A13= 0; A33= – 12 M = aplicado o Teorema de
Laplace e utilizando a 3a. coluna.
Resolução
De acordo com os exercícios 1 e 2, temos A13= 0; A23= 3;
A33= –12.
Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos: det M = a13. A13+ a23. A23+ a33. A33= = 2 . 0 + 3 . 3 + (– 1) . (– 12) = 9 + 12 = 21 Resposta: det M = 21
冣
1 4 1 5 8 2 2 3 – 1冢
1 4 5 8 4 1 8 2冢
1冣
4 1 5 8 2 2 3 – 1冣
1 4 1 5 8 2 2 3 – 1冢
1 1 5 2 1 1 5 2冢
1冣
4 1 5 8 2 2 3 – 1冣
1 4 1 5 8 2 2 3 –1冢
a) os cofatores dos elementos da 2a. linha de M.b) o valor de det M utilizando o Teorema de Laplace na segun -da linha de M. RESOLUÇÃO: a) A21= (–1)2+1 = – 1 . 4 = – 4 A22= (–1)2+2 = 0 A23= (–1)2+3 = – 1 . 4 = – 4 b) det M = a21. A21+ a22. A22+ a23. A23 det M = 2 . (– 4) – 2 . 0 + 5 . (– 4) det M = – 28
Obs.: Atenção professor: se julgar conveniente, calcule pela Regra de Sarrus, confirmando o resultado.
14e a44da matriz M = RESOLUÇÃO: A14= (–1)1+4 = – 1(15 + 4 + 2 + 3 + 2 – 20) = – 6 A44= (–1)4+4 = 6 + 6 + 8 – 8 + 9 + 4 = 25 3 –1 2 4 2 –3 2 1 1 –1 2 1 2 –3 2 1 1 5
冢
3 – 1 2 1 4 2 – 3 2 2 1 1 5 – 1 0 0 – 1冣
1 2 – 3 0 – 2 4 – 1 5 3 1 2 – 3 0 – 2 4 = – 6 + 0 – 8 + 6 – 20 + 0 = – 28 1 – 3 0 4 1 – 3 – 1 3 0 4 – 1 3冢
1 2 – 3 0 – 2 4 – 1 5 3冣
RESOLUÇÃO:
= (– 1) . A14 + 0 . A24+ 0 . A34+ (– 1) . A44=
= (– 1) . A14+ (– 1) . A44= (– 1) . (– 6) + (– 1) . 25 = 6 – 25 = – 19 Obs.: Os cofatores A14e A44foram calculados no exercício an terior.
uma sala de aula em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou
o valor do determi nan te da matriz A = .
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz
B = .
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais. O professor então comentou que o que eles haviam observado era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos or denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de A, representada por At, cujo determinante é igual ao deter
-minante da matriz original.
O valor encontrado por cada um dos dois grupos é igual a: a) – 24 b) 12 c) 24 d) 25 e) 28
RESOLUÇÃO:
De acordo com o Teorema de Laplace, temos:
det(A) = = 2 . = = 2 . (– 3) . = (– 6) . (– 4) = 24 Resposta: C 3 –1 2 1 4 2 –3 2 2 1 1 5 –1 0 0 –1 3 –1 2 1 4 2 –3 2 2 1 1 5 –1 0 0 –1 3 1 2 1 2 1 2 3 1 3 0 1 2 1 0 2 1 4 3 1 5 2 0 3 1 2 0 0 0 0 4 3 0 1 2 6 1 0 2 1 3 4 3 1 5 8 2 0 3 1
2 4 6 3 8 0 3 1 4 2 0 0 0 3 0 0 1 2 1 3 0 2 1 5 1 2 0 0 0 0 4 3 0 1 2 6 1 0 2 1 3 4 3 1 5 8 2 0 3 11. Regra de Chió
A Regra de Chió permite abaixar em uma unidade a ordem de uma matriz quadrada M sem alterar o valor do seu determinante.
Só pode ser utilizada se a matriz M possuir um elemento igual a 1.
Consiste em
a) Eliminar de M a linha e a coluna que contém o elemento aij= 1.
1 a b c x m n p y q r s z t u v
9
Regra de Chió e
Teorema de Binet
• Teorema de Binet• Regra de Chió Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M108M =
Resolução
O único elemento de M que é igual a 1 é o a43, que dificulta o cálculo pela Regra de Chió. Um recurso é transformar a11= 3 em a11= 1 fazendo, pelo Teorema de Jacobi,
(1a. coluna) – (3a. coluna). Assim sendo: det M = = = = = = . (– 1)1 + 1= 1 . (– 33) = – 33 Resposta: det M = – 33 Observação
Outro recurso para transformar a11 = 3 em a11 = 1 é trocar a
1a. linha com a 4a. linha e em seguida a 1a. coluna com a
3a. coluna. A = e B = Resolução Primeiro Processo A . B = . = det (AB) = = 162 – 19 = 143 Segundo Processo
det (AB) = det A . det B = . =
= (8 + 3) . (15 – 2) = 11 . 13 = 143
Resposta: det (AB) = 143
5 1 2 3 2 3 –1 4 9 19 1 18
9 19 1 18 5 1 2 3 2 3 –1 4 5 1 2 3 2 3 –1 4 3 – 6 – 1 2 – 7 – 1 – 1 2 4 1 0 2 1 4 3 – 4 . 0 2 – 4 . 2 3 – 4 . 1 2 2 – 2 . 0 – 3 – 2 . 2 1 – 2 . 1 0 – 1 – 0 . 0 2 – 0 . 2 4 – 0 . 1 1 0 2 1 4 3 2 3 2 2 – 3 1 0 – 1 2 4 3 2 – 1 2 4 3 2 3 2 2 – 3 1 0 – 1 2 4 3 2 –1 2 4 3 2 3 2 2 –3 1 0 –1 2 4b) De cada um dos ele mentos restantes, subtrair o produto dos elementos correspondentes na linha e na coluna eliminadas.
c) Calcular o determinante da matriz assim obtida e multiplicar o resultado por (–1)i + j.
Observação
Torna-se mais cômodo utilizar o elemento igual a 1 que se encontre num dos “cantos” da matriz, isto é, a11 ou a1nou an1ou ann.
2. Teorema de Binet
Para calcular o determinante do produto de duas ma -trizes quadradas e de mesma ordem A e B, podemos, portanto:
a) obter o produto A . B das duas matrizes e, em seguida, calcular o determinante dessa matriz;
b) calcular, separadamente, os determinantes de A e de B e, em seguida, multiplicar os dois valores obtidos (Teorema de Binet).
Se A e B são matrizes quadradas de mes
-ma ordem, então det (A.B) = det A . det B
1 x y z a m – a . x . . b n – b . x . . c p – c . x . . 1 a b c x m – a . x n – b . x p – c . x y q – a . y r – b . y s – c . y z t – a . z u – b . z v – c . z . (–1)i + j m – a . x n – b . x p – c . x q – a . y r – b . y s – c . y t – a . z u – b . z v – c . z
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT2M109
a: a) 1 b) –1 c) 2385 d) 0 e) –1938 RESOLUÇÃO: a11 ↓ = (– 1)2. = = = 0 – 1 = – 1 Resposta: B
M = utilizando a Regra de Chió.
RESOLUÇÃO: det M = – = = – = – = = – (2 – 4 – 4 + 2 + 2 – 8) = – (– 10) = 10 Calcule:
a) det A b) det B c) det (A + B) d) det (A . B)
RESOLUÇÃO:
a) det A = 20 + 3 ⇒ det A = 23 b) det B = 8 + 5 ⇒ det B = 13
c) A + B = + =
det (A + B) = 54 (Observe que: det(A + B) ⫽ det A + det B) d) det (A . B) = det A . det B = 23 . 13 = 299
estagiário foram distribuídos em uma sala de espera, como representado a seguir:
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz e se substituirmos o nome de cada um desses candidatos pelo número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela letra com a qual se inicia o nome, obte -remos uma nova matriz.
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 192 b) – 119 c) 0 d) 119 e) 192
RESOLUÇÃO:
O determinante da matriz obtida, substituindo cada um dos no mes pelo número que indica a posição, em nosso alfabeto, ocupa -da pela primeira letra do respectivo nome é:
= (– 1)1+1. = – 192 Resposta: A
