Efeito do dom´ınio de estabilidade

Nesta se¸c˜ao ser´a analisado por meio de simula¸c˜ao o efeito do dom´ınio de estabili- dade usado no projeto de sistemas de controle H∞n˜ao linear via aproxima¸c˜ao sucessiva

de Garlerkin sobre a resposta do sistema de levita¸c˜ao. Nesse estudo n˜ao ser´a inclu´ıdo o uso de fun¸c˜oes pondera¸c˜ao para que estas n˜ao tenham efeito sobre o dom´ınio de estabilidade.

Primeiro, fixando |x1| < 3 mm e adotando x2 < 0.1 m/s, x2 < 0.2 m/s, x2 < 0.3

m/s e x2 < 0.4 m/s foram projetados controladores para esses quatro dom´ınios de

estabilidade. Simulando o sistema, partido da condi¸c˜ao inicial x0 = 1 mm, a resposta do

sistema para os quatro diferentes sistemas de controle podem ser vistos na figura 4.8(a). ´

E poss´ıvel notar que o aumento da faixa de x2 no projeto, aumenta o sobressinal mas

diminui o tempo de subida. O tempo de acomoda¸c˜ao n˜ao se altera significativamente. Fixando |x2| < 0.2 m/s e adotando x1 < 1 mm, x1 < 2 mm, x1 < 3 mm e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x₁<|3|mm t(s) x1 (m m ) x₂<|0.1| x₂<|0.2| x₂<|0.3| x₂<|0.4|

(a) x1(t) para x0 = 1 mm e dom´ınio de estabili-

dade |x1| < 3 mm e |x2| < a, a = 0.1, 0.2, 0.3, 04 m/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x₂<|0.2| t(s) x1 (m m ) x₁<|1| x₁<|2| x₁<|3| x₁<|4|

(b) x1(t) para x0 = 1 mm e dom´ınio de estabi-

lidade |x2| < 0.2 m/s e |x1| < a, a = 1, 2, 3, 4

mm

Figura 4.8: Efeito do dom´ınio de estabilidade sobre a resposta

0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -10 0 10 20 30 40 |x₁| (mm) |x₂| (m/s) Mp (% ) (a) Sobressinal 0.1 0.2 0.3 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -0.5 0 0.5 1 |x₁| (mm) |x₂| (m/s) ts (s ) (b) Tempo de acomoda¸c˜ao

Figura 4.9: Dom´ınio de estabilidade |x1| < a, a = 1, 2, 3, 4 mm e |x2| < b, b =

x1 < 4 mm foram projetados controladores para esses quatro dom´ınios de estabilidade.

Adotando x0 = 1 mm, obteve-se a resposta do sistemas para cada um desses sistemas de

controle, como pode ser visto na figura 4.8(b). O aumento do intervalo de x1 diminui

o tempo de subida mas aumenta o sobressinal. O tempo de acomoda¸c˜ao diminui consideravelmente.

Projetando controladores para dom´ınios de estabilidade com |x1| variando de 1

a 4 mm e com |x2| variando de 0.1 a 0.4 m/s, foram obtidas as respostas no tempo

partindo de x0 = 1 mm. O sobressinal e o tempo de acomoda¸c˜ao para cada dom´ınio

de estabilidade podem ser vistos na figuras 4.9(a) e 4.9(b), respectivamente. Pode- se concluir que a escolha da regi˜ao de estabilidade est´a relacionada com a resposta transit´oria do sistema.

Conclus˜ao

O objetivo desta tese foi investigar aspectos pr´aticos que facilitem a aplica¸c˜ao da teoria de controle H∞ n˜ao linear. Nesse sentido, as seguintes contribui¸c˜oes foram

propostas:

• Inclus˜ao de fun¸c˜oes pondera¸c˜ao com dinˆamica para melhorar a resposta da planta, como erro de rastreamento, esfor¸co de controle e melhorar caracter´ısticas de sen- sibilidade e robustez. O uso dessas fun¸c˜oes ´e comum no projeto de controladores H∞ para plantas lineares. Neste trabalho foi mostrado que ´e poss´ıvel us´a-las no

projeto envolvendo plantas n˜ao lineares, obtendo vantagens, como no caso linear. Foi projetado um controlador H∞ n˜ao linear com fun¸c˜oes pondera¸c˜ao para um

sistema de levita¸c˜ao magn´etica, obtendo-se vantagens sobre o controlador sem fun¸c˜oes pondera¸c˜ao com dinˆamica.

• Um algoritmo para solu¸c˜ao da EHJI referente ao problema de controle H∞ n˜ao

linear via realimenta¸c˜ao da sa´ıda. Esse algoritmo transforma a EHJI, via apro- xima¸c˜oes sucessivas em uma seq¨uˆencia de PDEs lineares. Para resolver essas PDEs lineares foi usado o m´etodo de Galerkin, que aproxima a equa¸c˜ao a uma base de fun¸c˜oes. Essa base de fun¸c˜oes, se bem escolhida, pode resultar em um controlador com bom desempenho. Para o sistema de levita¸c˜ao magn´etica, as EHJIs para o problema de realimenta¸c˜ao de estados e realimenta¸c˜ao da sa´ıda foi resolvida pelo m´etodo proposto. A escolha de uma base de fun¸c˜oes adequada, re- sultou em um sistema de controle com uma regi˜ao de estabilidade bem conhecida

e o m´etodo pode ser aplicado resolver problemas pr´aticos.

• Foi provada a convergˆencia do m´etodo de aproxima¸c˜oes sucessivas para a EHIJ do problema de realimenta¸c˜ao de sa´ıda e a convergˆencia da solu¸c˜ao aproximada pelo m´etodo de Galerkin, tanto para o problema de realimenta¸c˜ao de estados, como para o problema de realimenta¸c˜ao da sa´ıda.

Com rela¸c˜ao ao algoritmo para solu¸c˜ao da EHJI os seguintes pontos devem ser destacados:

• O m´etodo proposto exige a escolha de base de fun¸c˜oes adequada para aproximar a EHJI. No entanto, o conhecimento da dinˆamica do sistema facilita essa escolha e proporciona controladores menos conservadores como um obtido por aproxima¸c˜ao em s´erie de Taylor, cuja base de fun¸c˜oes n˜ao ´e poss´ıvel escolher.

• O m´etodo exige o c´alculo de muitas integrais. O modo como o algoritmo foi estruturado, por´em, diminui a quantidade de c´alculos de integrais que o m´etodo de Galerkin associado com aproxima¸c˜oes sucessivas exige.

A principal vantagem do m´etodo proposto ´e que a regi˜ao de estabilidade ´e co- nhecida previamente. Ela corresponde `a regi˜ao de estabilidade da lei de controle usada para inicializar o m´etodo. O m´etodo de expans˜ao em s´erie de Taylor n˜ao fornece essa regi˜ao de estabilidade. Apesar de haver uma conjectura que diz que a regi˜ao de esta- bilidade aumenta com o aumento do n´umero de termos na expans˜ao da EHJI em s´erie de Taylor (van der Schaft, 1992), essa conjectura nunca foi provada e nem ao menos h´a algum m´etodo que permita uma estimativa segura dessa regi˜ao antes de o sistema de controle ser implementado.

Alguns resultados desta tese est˜ao apresentados nos seguintes artigos, j´a pu- blicados ou em fase de revis˜ao: Ferreira, Rocha e Sales (2008a,b,c); Rocha et al. (2008a,b,c,d).

Para continuidade desta pesquisa, prop˜oem-se

(i) Estudar a escolha de fun¸c˜oes pondera¸c˜ao lineares e n˜ao lineares que permitam obter melhor desempenho, levando em conta as n˜ao linearidades da planta.

(ii) Buscar m´etodos que sistematizem a escolha de fun¸c˜oes base usadas para aproxi- mar a solu¸c˜ao da EHIJ pelo m´etodo de Galerkin.

(iii) Implementar o controlador H∞ n˜ao linear para inje¸c˜ao da sa´ıda obtido para o

sistema de levita¸c˜ao magn´etica estudado.

(iv) Redu¸c˜ao da complexidade das leis de controle, principalmente devido `a inclus˜ao do observador, para facilitar a implementa¸c˜ao de tais controladores. No sistema de levita¸c˜ao, em particular, nem todos os estados necessitam ser estimados.

O problema de realimenta¸c˜ao da sa´ıda ´e bem mais complexo que o problema de realimenta¸c˜ao de estados e ´e um campo de pesquisa bastante aberto, sobretudo em controle n˜ao linear. Espera-se que as contribui¸c˜oes desse trabalho facilitem o uso pr´atico da teoria de controle H∞ n˜ao linear.

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