A complexidade computacional ´e uma ´area da ciˆencia da computa¸c˜ao que busca determi- nar por quais motivos certos problemas ditos decid´ıveis s˜ao t˜ao dif´ıceis de serem resolvidos pelos computadores. Sendo assim, a teoria da complexidade computacional estuda a classifica¸c˜ao de problemas com base na complexidade dos algoritmos que os resolvam.
Um problema ´e dito dif´ıcil se a sua solubilidade requer recursos significativos para qualquer que seja o algoritmo utilizado. A teoria da complexidade computacional formaliza esta ideia por meio da introdu¸c˜ao de modelos matem´aticos de computa¸c˜ao para estudar estes problemas e quantificar os recursos necess´arios para resolvˆe-los, tais como tempo e armazenamento.
Para medir a eficiˆencia de um algoritmo frequentemente usamos um tempo te´orico que o programa leva para encontrar uma resposta em fun¸c˜ao dos dados de entrada. Sendo assim, o tempo de execu¸c˜ao depende, em geral, das instˆancias dos dados de entrada, ou seja, instˆancias maiores exigir˜ao mais tempo para resolver. Assim, o tempo necess´ario para resolver um problema (ou o espa¸co necess´ario, ou qualquer outra medida de complexidade) ´e calculado em fun¸c˜ao do tamanho da instˆancia. Isso geralmente leva em considera¸c˜ao o tamanho da entrada em bits.
Um algoritmo ´e denominado polinomial (exponencial) quando sua complexidade ´e uma fun- ¸c˜ao polinomial (exponencial) no tamanho da entrada. Um algoritmo ´e dito ser eficiente quando sua complexidade ´e um polinomial no sentido acima.
Seria, o m´etodo de an´eis de polinˆomios, explosivo em tamanho, e consequentemente, em espa¸co? Ou sua complexidade ´e an´aloga `a complexidade das tabelas verdade?
De fato, uma cr´ıtica a respeito do tamanho das f´ormulas escritas em uma vers˜ao polinˆomica ´
e pertinente. Mas o mesmo ocorre com as tabelas de verdade `a medida que aumentamos as premissas utilizadas no argumento. No entanto, provar em sistemas polinomiais pode ser um procedimento muito mais intuitivo e natural do que por meio da utiliza¸c˜ao de tabelas de verdade ou pelo m´etodo de tablˆos, j´a que tudo se reduz a realizar simples opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao.
Como demonstrado em (D’Agostino 1992), tablˆos anal´ıticos tais como propostos por Smullyan, n˜ao conseguem simular polinomialmente as tabelas- verdade (para a l´ogica cl´assica, pelo menos, mas certamente para outras l´ogicas). Assim os tablˆos, sem dispositivos adicionais (como no caso dos chamados KE-tablˆos e outros m´etodos) s˜ao inerentemente piores do que tabelas-verdade.
Tal como no caso do sistema KE para a l´ogica cl´assica, ´e esperado que nosso tratamento polinomial tenha um desempenho melhor, em termos de complexidade de prova, do que os tablˆos convencionais, e pelo menos compar´aveis ao m´etodo das tabelas-verdade. De fato, conjecturamos que o C´alculo de An´eis de Polinˆomios possa simular polinomialmente as tabelas- verdade em todos os casos (determinist´ıco e n˜ao determin´ısticos). Mas esta conjectura tem de esperar por sua vez.
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