O software PoLCa4 ´e um programa que traduz senten¸cas dos mais diferentes sistemas l´ogicos (tais como multivalorados, paraconsistentes, etc.), cujas semˆanticas s˜ao determin´ısticas ou n˜ao- determin´ısticas, em an´eis de polinˆomios com coeficientes em corpos finitos (corpos de Galois), automatizando assim todos os casos vistos nos exemplos acima. Provas em tais sistema reduzem- se, ent˜ao, a manipula¸c˜ao intuitiva e natural de polinˆomios.
Resumidamente, dado uma cole¸c˜ao de tabelas de verdade, descritas por matrizes determin´ıs- ticas ou n˜ao-determin´ısticas (Nmatrizes) que definem operadores l´ogicos de aridades arbitr´arias, o software PoLCa (Polynomial Ring Calculus Software) computa os polinˆomios cujas vari´aveis inteiras representam os argumentos dos operadores l´ogicos, de modo que tais polinˆomios simu- lam todos os valores de entrada/sa´ıda da correspondente (determin´ıstica ou n˜ao-determin´ıstica) tabela de verdade. A corretude do programa ´e garantida pelos teoremas 1.4.1 e 3.3.1.
A entrada do programa ´e escrita em arquivo de texto, onde s˜ao especificadas as N-matrizes dos operadores de interesse. O interessante ´e que m´ultiplos operadores l´ogicos podem ser dados
no mesmo arquivo de entrada, desde que o n´umero de valores de verdade seja o mesmo para todos.
A primeira linha (cabe¸calho) do arquivo deve especificar, nesta ordem, o n´umero de valores de verdade, o n´umero de operadores l´ogicos cujas N-matrizes ser˜ao especificadas e a aridade de cada um dos operadores. Tais valores devem ser especificados com n´umeros naturais separados por espa¸co(s). Por exemplo, se o sistema possui dois operadores, um tern´ario e um un´ario, em uma l´ogica com cinco valores de verdade, a primeira linha do arquivo de entrada deve conter:
5 2 3 1 (cinco valores de verdade, dois operadores, aridade dos operadores (neste caso, respectivamente, trˆes e um)
Em uma l´ogica com n valores de verdade, estes valores ser˜ao representados por n´umeros naturais 0,1,2...,n-1. Se o operador ´e un´ario, basta especificar os valores da aplica¸c˜ao do operador a 0,1,...n-1, usando n´umeros entre espa¸cos. Por exemplo, consideremos a seguinte tabela de verdade para o operador un´ario o(x):
x 0 1 2
o(x) 1 0 2 Ele ser´a representado, no programa, pela linha:
1 0 2
Para um operador o() de aridade m, com n valores de verdade, especificam-se recursivamente as n tabelas do operador o’() de aridade m-1, quando o primeiro argumento de o() ´e fixado em 0,1,...,n-1. Novamente usam-se inteiros entre espa¸cos. Quebras de linha podem sempre ser adicionadas arbitrariamente, facilitando a formata¸c˜ao. Por exemplo, dada a tabela verdade de um operador bin´ario, com argumentos x e y,
x/y 0 1 2 0 0 1 1 1 0 1 2 2 1 2 2 a representar´ıamos por: 0 1 1 0 1 2 1 2 2
Para representar conjuntos de valores (valores n˜ao determin´ısticos) nas tabelas, basta colocar os elementos do conjunto entre chaves separados por v´ırgula. Por exemplo, se para determinados valores de seus argumentos um operador pode levar aos valores 1 ou 2, coloca-se na repectiva posi¸c˜ao de sua N-matriz {1, 2}.
Um arquivo de entrada exemplo, para uma l´ogica com trˆes valores de verdade, um operador un´ario e um bin´ario, poderia ser:
3 2 1 2 {1, 2} 0 {1, 2}
1 0 1 {1, 2} 0 {0, 1} {2, 0} 1 {1, 0, 2}
A sa´ıda do programa tamb´em ´e puramente textual. Para cada operador cuja tabela verdade (ou N-matriz) foi espeficada na entrada, um polinˆomio separado ´e retornado. As vari´aveis s˜ao letras que seguem ordem alfab´etica refletindo a ordem dos argumentos impl´ıcita na especifica¸c˜ao das tabelas verdade da entrada, conforme explicado acima.
Os polinˆomios s˜ao especificados em parcelas, uma correspondendo aos valores determin´ısticos da tabela verdade diferentes de zero (se houver), e cada uma das demais correspondendo a cada entrada n˜ao determin´ıstica da tabela verdade (se houver). Cada parcela referente a uma entrada n˜ao determin´ıstica ´e dada em dois fatores, onde o segundo representa a entrada n˜ao determin´ıstica, usando uma vari´avel oculta xa. Assim, para parcelas correspondentes a entradas
n˜ao determin´ısticas, o primeiro fator ´e um polinˆomio que leva a 0 ou 1, e o segundo fator leva ao conjunto de valores pela vari´avel oculta (note que tal fator n˜ao ´e ´unico, havendo possivelmente mais de um polinˆomio com vari´avel oculta que representa o mesmo conjunto de valores).
Todos os an´eis de polinˆomios apresentados neste cap´ıtulo foram calculados manualmente e, eventualmente, como no caso da l´ogica mCi (pentavalorada), com o aux´ılio do Mathema- tica. Ap´os o desenvolvimento do PoLCa, os resultados foram conferidos e arrumados (quando necess´ario).
Para maiores detalhes, veja:
Cap´ıtulo
4
A tese de Suszko e os An´eis de Polinˆomios
“How was it possible that the humbug of many logical values persisted over the last fifty years?” (Roman Suszko in 22ndConference on the History of Logic).
Enquanto que, no cap´ıtulo anterior desenvolvemos um anel de polinˆomios para sistemas cuja verofuncionalidade foi generalizada por meio das matrizes n˜ao-determin´ısticas, neste cap´ıtulo centramos nosso interesse nos sistemas cuja verofuncionalidade foi perdida quando reduzidos pela chamada Redu¸c˜ao de Suszko.
Assim, nossa contribui¸c˜ao foi definir, minuciosamente, os an´eis de polinˆomios para os sis- temas reduzidos pela Redu¸c˜ao de Suszko (especificamente, as l´ogicas paraconsistentes P1
3, P41,
LFI1 e l´ogica de Belnap, e consequentemente os teoremas 4.3.1, 4.3.2, 4.3.4 e 4.3.5) , os quais foram apresentados no artigo Two’s company: “The humbug of many logical values”, (Caleiro et al. 2005), de Carlos Caleiro, Walter Carnielli, Marcelo Coniglio e Jo˜ao Marcos.
4.1
A tese de Suszko
Em 1976, durante uma conferˆencia em Crac´ovia (Polˆonia), o l´ogico polonˆes Roman Suszko reclama que mesmo depois de 50 anos do desenvolvimento das l´ogicas multivaloradas de Jan Lukasiewicz, ainda persistimos em trabalhar com uma das maiores fraudes conceituais desen- volvida em l´ogica matem´atica at´e os dias de hoje: as multivalora¸c˜oes. Para Suszko s´o h´a dois valores de verdade na l´ogica: o verdadeiro e o falso, e qualquer multiplica¸c˜ao de valores l´ogicos seria uma p´essima ideia. A tese filos´ofica subjacente a esta afirma¸c˜ao ´e decorrente da distin¸c˜ao existente entre os valores de verdade alg´ebricos e os valores de verdade l´ogicos. Para Suszko, en- quanto os valores de verdade alg´ebricos possuem um objetivo meramente referencial, os valores de verdade l´ogicos, aqueles que de fato existem, resumem-se a apenas dois valores: o verdadeiro e o falso. Na realidade, trata-se de uma atualiza¸c˜ao e amplia¸c˜ao da discrimina¸c˜ao Fregeana entre o sentido e a referˆencia de conceitos saturados.
A Tese de Suszko, grosseiramente, nos diz que toda l´ogica tarskiana multivalorada pode ser caracterizada por uma l´ogica bivalorada. Na realidade Suszko ilustra sua proposi¸c˜ao de- monstrando como a l´ogica trivalorada de Lukasiewicz, L3, pode ser tratada em fun¸c˜ao de uma
semˆantica n˜ao-verofuncional e bivalorada.
A fim de que possamos realizar a tradu¸c˜ao polinomial dos sistemas reduzidos `a la Suszko com maior clareza, iniciamos este cap´ıtulo com a defini¸c˜ao do procedimento de transforma¸c˜ao de um sistema multivalorado em bivalorado. Al´em disso, discutiremos as principais diferen¸cas entre as formas polinomiais das tradu¸c˜oes desses sistemas antes e depois da redu¸c˜ao de Suszko.