usando uma modelagem markoviana
4.4.1
Teoria do m´etodo
O m´etodo a ser desenvolvido se baseia no artigo de M. Malfait e D. Roose [Malfait e Roose 1997]. A id´eia ´e a mesma que no m´etodo precedente : determinar a probabili- dade a posteriori P (xk = 1|wk), ∀k e modificar os coeficientes wavelets, multiplicando
cada um por esta probabilidade a posteriori correspondente.
A novidade no m´etodo ´e de considerar duas medidas. A primeira d´a uma aprox- ima¸c˜ao do coeficiente de H¨older local que descreve a regularidade local da imagem. A segunda ´e usada para melhorar esta primeira, introduzindo um conhecimento a priori, que ´e o fato de que os coeficientes importantes est˜ao agrupados onde a ima- gem possui caracter´ısticas de interesse. Estas duas medidas est˜ao juntas num modelo
probabil´ıstico bayesiano.
Considerando-se as mesmas nota¸c˜oes anteriores: X representa a m´ascara com os r´otulos 0 e 1, M ´e a m´ascara das medidas obtidas em cada localiza¸c˜ao das compo- nentes, W ´e m´ascara dos coeficientes de uma componente em um n´ıvel de decom- posi¸c˜ao. Segundo a rela¸c˜ao de Bayes, tem-se:
P (X|M) = P (M|X)P (X)/P (M) (4.35)
que pode ser simplificada, pois, M pode ser assumido uniformemente distribu´ıdo [Malfait e Roose 1997],
P (X|M) ∝ P (M|X)P (X). (4.36)
Se, por exemplo, um pixel apresenta um alto valor, significando que esta localiza¸c˜ao corresponde a uma caracter´ıstica da imagem (uma borda por exemplo), ent˜ao na vizinhan¸ca dele, outros pixels devem apresentar tamb´em um alto valor. ´E esta raz˜ao pela qual se considera X como um campo de Markov. Quanto mais vizinhos de um pixel apresentarem um alto valor, ent˜ao maior deve ser a probabilidade que ele possua esta caracter´ıstica.
Teorema de Hammersly-Clifford:
X ´e um campo de Markov considerado com uma vizinhan¸ca V , se e somente se P (X) ´e uma distribui¸c˜ao de Gibbs
P (X) = 1 Ze −U(X)= 1 Ze − c∈CVc(X)
em que, U(X) ´e chamado o potencial do campo X, que pode ser decomposto em uma soma de potencial medido sobre algumas clicas c de um conjunto de clicas C. Seja uma vizinhan¸ca V de um pixel x
v1 v2 v3 v4 x v5 v6 v7 v8 ent˜ao uma clica de V ´e por exemplo
v1 v2 v3
v4 . e o conjunto C deve cobrir toda a vizinhan¸ca V .
Cap´ıtulo 4: Aplica¸c˜ao da transformada wavelets na redu¸c˜ao do ru´ıdo speckle 49 Este teorema explica porque as duas leis presentes na equa¸c˜ao 4.36, a probabi- lidade a priori P (X) e a probabilidade condicional P (M|X), s˜ao modeladas pelas fun¸c˜oes de probabilidade de Gibbs. Em seguida, s˜ao calculadas estas duas leis.
Os potenciais da lei a priori
Os campos, em que os r´otulos est˜ao agrupados, devem ser representados por uma probabilidade maior, pois os pixels de uma caracter´ıstica da imagem (r´otulo igual a 1) est˜ao agrupados na localiza¸c˜ao desta caracter´ıstica, da mesma forma que os pixels de uma regi˜ao homogˆenea (r´otulo igual a 0). Os potenciais das clicas s˜ao ent˜ao definidos da seguinte maneira para facilitar o agrupamento dos r´otulos :
VNl(X) = xk∈Nl Vl,k(xl, xk) com Vl,k(xl, xk) = −γ, se xl = xk γ, se xl = xk
em γ ´e um valor escolhida experimentalmente.
O teorema de Daubechies [Daubechies 1992] d´a uma estima¸c˜ao da regularidade da fun¸c˜ao atrav´es dos coeficientes de wavelets ml
ml= 1 depth depth j=1 | wj,l wj+1,l| ≈ 2 a (4.37)
em que a ´e o coeficiente de H¨older e depth ´e o profundidade da decomposi¸c˜ao wavelets. Quanto mais o sinal for regular, maior ´e este coeficiente (e conseq¨uentemente sua medida), e em caso contr´ario ele se torna maior negativamente.
No caso em estudo, fazer um limiariza¸c˜ao destas medidas, d´a uma ”boa” m´ascara de inicializa¸c˜ao. Os coeficientes com uma medida importante (forte irregularidade) s˜ao iguais `a 1, e os outros (fraca irregularidade) iguais `a 0.
Os potenciais da lei condicional
Os potenciais desta lei s˜ao constru´ıdos de um modo um pouco arbitr´ario. Basi- camente, esta lei permite evitar algumas incoerˆencias entre o r´otulo e a medida do
coeficiente. Por exemplo, sabendo que a probabilidade a priori favorece o agrupa- mento de r´otulos, ´e bom que um grupamento com r´otulo de 1 n˜ao ocorra onde a imagem ´e regular. ´E assim que ´e constru´ıda a lei condicional:
Toma-se P (mk|xk = 1) = e−V (mk|xk=1), com, por exemplo, as probabilidades
P (mk|xk = 1) = 0, 05 para mk pequeno, P (mk|xk = 1) = 0, 95 para mk grande.
Para os valores mk entre estes dois extremos, i.e. dif´ıceis de classificar, ´e usado para
V (mk|xk) uma fun¸c˜ao linear como ´e mostrado na Figura 4.6. Nesta figura, T ´e um li-
miar que delimita os coeficientes do ru´ıdo com os coeficientes do sinal. Na pr´atica, um escolho l´ogico ´e de colocar o limiar de tal modo que energia dos coeficientes menores que T seja igual `a variˆancia do ru´ıdo (se a variˆancia n˜ao ´e conhecida, pode-se ent˜ao usado o estimador de Donoho e Johnstone [Donoho e Johnstone 1995]).
Figura 4.6: representa¸c˜ao das fun¸c˜oes de probabilidade condicional.
´
E determinado para cada um dos pixels, um potencial ligado `as leis a priori e condicional, balanceara pelos 2 parˆametros α e β:
U(xk) = αV (mk|xk) + βVNk(xk)
Cap´ıtulo 4: Aplica¸c˜ao da transformada wavelets na redu¸c˜ao do ru´ıdo speckle 51 P (X|M) = 1 Z exp{− k U(xk)}, (4.38)
com Z sendo uma constante de normaliza¸c˜ao. ´
E obtido ent˜ao, em fun¸c˜ao da medida M calculada, a probabilidade da cada m´ascara poss´ıvel. A lei marginal buscada pode ent˜ao ser obtida por P (xk= 1|M)
4.4.2
Aplica¸c˜ao
4.4.2.1 A medida m
Durante a utiliza¸c˜ao da medida criada, a partir do teorema de Daubechies, encontra- se alguns coeficientes nulos ou muitos pequenos. Isso provoca uma estima¸c˜ao pouco confi´avel. ´E por isto, que ´e aplicado uma outra medida [Pizurica et al. 2002], ml
dada por ml = 1 depth depth j=1 | Ij(l, k) Ij+1(l, k)|, com Ij(k, l) = n∈C(k,l) |wj,n|
em que C(k, l) representa um cone ao tonro do pixel (k, l). O cone escolhido para a implementa¸c˜ao deve conter o pixel e os seus 8 vizinhos. Esta medida ´e uma aprox- ima¸c˜ao n˜ao de 2a, mas sim de 2a+1. Ent˜ao a id´eia n˜ao muda, pois, esta medida
resulta, do mesmo jeito, numa boa m´ascara para a inicializa¸c˜ao.
4.4.2.2 Problema de complexidade
Considerando-se o n´umero enorme de m´ascaras poss´ıveis (2nm, para uma imagem
n × m), ´e com certeza fisicamente imposs´ıvel implementar esta lei. Desta forma procura-se proceder da seguinte maneira
• depois calcular a lei a posteriori para uma m´ascara Xl, troca-se alguns r´otulos
xk para construir uma nova m´ascara ˆXl+1;
• calcula-se P ( ˆXl+1|M), e testa-se esta m´ascara ´e significativa em compara¸c˜ao
com a precedente;
• seja:
r = P ( ˆXl+1|M) P (Xl|M)
,
se r > 1, mant´em-se a m´ascara e se r < 1, mant´em-se a m´ascara com a proba- bilidade r;
• no caso em que n˜ao se mant´em ˆXl+1, ent˜ao recome¸ca-se com Xl. No caso em
que se mant´em ˆXl+1, considera-se esta como uma m´ascara representativa da
imagem. E esta m´ascara ´e notada ent˜ao Xl+1.
Quando constr´oi-se um n´umero N suficiente de m´ascaras representativas, pode- se ent˜ao considerar que elas tˆem um peso importante na lei a posteriori P (X|M). Pode-se ent˜ao estimar a sua lei de probabilidade marginal por
P (xk|M) ≈ 1 N N l=1 fk(Xl), (4.39) com fk(Xl) = 0, se xk= 0, 1, se xk= 1. .
O algoritmo descrito ´e aplicado `as algumas imagens corrompidas por um ru´ıdo speckle artificial. A Tabela 4.8 mostra os resultados obtidos usando a defini¸c˜ao da rela¸c˜ao sinal/ru´ıdo definida no in´ıcio do Cap´ıtulo.
Como o mostra a Tabela 4.9, o tempo de execu¸c˜ao deste algoritmo ´e consider´avel e que pode prejudicar sua aplica¸c˜ao, no caso da utiliza¸c˜ao de um computador com baixo capacidade de processamento.
Cap´ıtulo 4: Aplica¸c˜ao da transformada wavelets na redu¸c˜ao do ru´ıdo speckle 53 lena baboon cameraman peppers
SNR antes o tratamento 9,4566 9,5496 9,2239 9,6333 SNR depois o tratamento 11,7664 14,5161 12,9802 11,7700 Tabela 4.8: resultados do algoritmo sobre 4 imagens corrompidas por um ru´ıdo
artificial.
64 × 64 128 × 128 256 × 256 512 × 512 Tempo de execu¸c˜ao 4 min 9 min 19 min 60 min
Tabela 4.9: tempo de execu¸c˜ao do algoritmo em fun¸c˜ao do tamanho da imagem.
4.5
Resultados Experimentais
A compara¸c˜ao matem´atica realizada pelo c´alculo da rela¸c˜ao sinal/ru´ıdo durante a explica¸c˜ao dos m´etodos de extra¸c˜ao de ru´ıdo do tipo speckle, ´e uma boa medida para classificar os algoritmos. Mas esta medida quantitativa n˜ao ´e suficiente. ´E necess´ario uma medida qualitativa que depende dos objetivos do estudo, principal- mente da an´alise de um especialista. Por esta raz˜ao, s˜ao apresentados os resultados experimentais utilizando-se os quatro filtros implementados e que s˜ao aplicados `a al- gumas imagens para permitir uma compara¸c˜ao visual do desempenho de cada filtro. As p´aginas seguintes mostram estes resultados.
Cap´ıtulo 4: Aplica¸c˜ao da transformada wavelets na redu¸c˜ao do ru´ıdo speckle 55
Cap´ıtulo 4: Aplica¸c˜ao da transformada wavelets na redu¸c˜ao do ru´ıdo speckle 57
O m´etodo dos contornos ativos
5.1
Introdu¸c˜ao
Os contornos ativos, ou seja snakes, introduzidos em 1987 por Kass [Kass, Witkin e Terzopoulos 1987], permitem segmentar as imagens por detec¸c˜ao de contornos. Este m´etodo ´e aplicado com alguns sucesso a v´arios problemas de processamento de imagem e de vis˜ao artificial, tais como a detec¸c˜ao de bordas, a detec¸c˜ao e o fechamento de contornos e rastreamento de objetos (na vigilˆancia eletrˆonica, por exemplo).
N˜ao existe solu¸c˜ao perfeita para todos casos, por causa da originalidade de cada problema em que possui imagens espec´ıficas. Mas os snakes inovaram na solu¸c˜ao de problemas que a detec¸c˜ao das bordas por gradiente forte n˜ao conseguiu, devido aos contornos com pouco contraste, a presen¸ca de ru´ıdo, entre outros motivos.
O m´etodo do snake consiste em tra¸car uma linha inicial ao redor ou dentro do objeto de interesse. Esta linha se deforma, segundo algumas for¸cas que puxam ou empurram-na at´e `as bordas do objeto. Esta detec¸c˜ao ´e realizada por itera¸c˜oes suces- sivas de minimiza¸c˜ao de uma energia.
Existem dois tipos de modelos de contornos ativos na literatura: os contornos ativos param´etricos [Kass, Witkin e Terzopoulos 1987] e os contornos ativos geom´etricos [Caselles et al. 1993, Malladi, Sethian e Vemuri 1995]. Nesta parte do trabalho
Cap´ıtulo 5: O m´etodo dos contornos ativos 59 concentra-se unicamente no modelo param´etrico por ser mais simples de implemen- tar.