Segmentação do ventrículo esquerdo em usando contornos ativos (snake)

(1)

TELEINFORM ´ATICA

Antoine Bouhours

SEGMENTAC

¸ ˜

AO DO VENTR´ICULO ESQUERDO EM

ECOCARDIOGRAMAS USANDO CONTORNOS ATIVOS

(SNAKE

)

FORTALEZA - CEAR ´A SETEMBROO - 2006

c

(2)

Antoine Bouhours

SEGMENTAC

¸ ˜

AO DO VENTR´ICULO ESQUERDO EM

ECOCARDIOGRAMAS USANDO CONTORNOS ATIVOS

(SNAKE

)

DISSERTAC

¸ ˜

AO

Disserta¸cão submetida ao corpo docente da Coordena¸cão do Pro-grama de Pós-Gradua¸cão em Engenharia de Teleinformática da Universidade Federal do Ceará como parte dos requisitos necessários para obten¸cão do grau de MESTRE EM ENGENHARIA DE TELEINFORM ÁTICA.

´

Area de concentra¸c˜ao: Sinais e Sistemas

Paulo C´esar Cortez (Orientador)

(3)

Antoine Bouhours

Disserta¸c˜ao de Mestre em Engenharia de Teleinform´atica aprovada em 09/10/2006.

Paulo C´esar Cortez (Orientador)

Dr. Giovanni Cordeiro Barroso

Dr. Jo˜ao C´esar Moura Mota

Dra. Bernadettie Dorizzi

(4)

Dedico este trabalho a Lia

(5)

Sum´ario v

Lista de Tabelas vi

Lista de Figuras viii

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Motiva¸c˜ao . . . 2

1.2 Objetivos . . . 4

1.2.1 Objetivo Geral . . . 4

1.2.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 4

1.3 Organiza¸c˜ao . . . 5

2 O ru´ıdo speckle 6 2.1 An´alise do ru´ıdo speckle . . . 6

2.2 O filtro mediano . . . 8

2.3 Aplica¸c˜ao . . . 12

2.4 Evolu¸c˜ao das t´ecnicas para extrair ru´ıdo speckle . . . 13

3 An´alise da regularidade de uma fun¸c˜ao 15 3.1 A transformada de Fourier . . . 16

3.1.1 Integral de Fourier . . . 16

3.1.2 A transformada de Fourier com janela deslisante . . . 17

3.2 Wavelets . . . 18

3.2.1 A transformada em wavelet cont´ınua . . . 18

3.2.1.1 Exemplo de wavelets . . . 19

3.2.1.2 Coeficientes e regularidade . . . 20

3.2.2 A discretiza¸c˜ao . . . 21

3.2.3 A an´alise multiresolu¸c˜ao (AMR) . . . 22

3.2.3.1 Espa¸co dos detalhes e wavelets . . . 23

(6)

3.2.3.2 Obtendo-se uma base ortonormal de L2₍_R_{) . . . .} ₂₄

3.2.3.3 Algoritmo r´apido para a transformada wavelets . . . 26

4 Aplica¸cão da transformada wavelets na redu¸cão do ru´ıdo speckle 29 4.1 Limiariza¸cão dos coeficientes wavelets . . . 31

4.1.1 Os limiares cl´assicos . . . 31

4.1.2 O limiar de Donoho e Johnstone . . . 32

4.1.3 Aplica¸c˜ao . . . 35

4.2 Estima¸c˜ao bayesiana no dom´ınio das wavelets . . . 37

4.2.1 Transformada logar´ıtmica . . . 37

4.2.2 Caracter´ısticas estat´ısticas . . . 38

4.2.3 O processamento bayesiano . . . 39

4.2.4 Aplica¸c˜ao . . . 41

4.3 Estima¸c˜ao e redu¸c˜ao do ru´ıdo empragedo wavelets . . . 42

4.3.1 Descri¸c˜ao do m´etodo . . . 42

4.3.2 Aplica¸c˜ao . . . 46

4.4 Elimina¸c˜ao do ru´ıdo no dom´ınio daswavelets usando uma modelagem markoviana . . . 47

4.4.1 Teoria do m´etodo . . . 47

4.4.2 Aplica¸c˜ao . . . 51

4.4.2.1 A medida m . . . 51

4.4.2.2 Problema de complexidade . . . 51

4.5 Resultados Experimentais . . . 53

5 O m´etodo dos contornos ativos 58 5.1 Introdu¸c˜ao . . . 58

5.2 Osnake tradicional . . . 59

5.2.1 As energias . . . 59

5.2.2 Aplica¸c˜ao num´erica . . . 63

5.3 O fluxo de vetores gradiente . . . 65

5.3.1 Aplica¸c˜ao num´erica . . . 68

6 Segmenta¸cão do ventr´ıculo esquerdo 70 6.1 Deteçcão das cavidades . . . 70

6.2 Determina¸c˜ao das bordas do ventr´ıculo . . . 71

7 Conclus˜oes, Contribui¸c˜oes e Trabalhos Futuros 79

Referˆencias Bibliogr´aficas 81

(7)

2.1 resultados do filtro mediana ponderado sobre 4 imagens com um ru´ıdo speckle artificial. . . 13 2.2 tempo de execu¸cão do algoritmo em fun¸cão do tamanho da imagem. . 13 4.1 estima¸cão do ˆσ em imagens corrompidas por um ru´ıdo aditivo

gaus-siano ou por ru´ıdo multiplicativo. . . 34 4.2 resultados da limiariza¸c˜ao sobre 4 imagens corrompidas por um ru´ıdo

speckle artificial. . . 36 4.3 tempo de execu¸c˜ao do algoritmo em fun¸c˜ao do tamanho da imagem. . 37 4.4 resultados do algoritmo sobre imagens corrompidas por um ru´ıdospeckle

artificial de variância 0,04. . . 42 4.5 tempo de execu¸cão do algoritmo em fun¸cão do tamanho da imagem. . 42 4.6 resultados do algoritmo sobre imagens corrompidas por um ru´ıdo

arti-ficial. . . 47 4.7 tempo de execu¸c˜ao do algoritmo em fun¸c˜ao do tamanho da imagem. . 47 4.8 resultados do algoritmo sobre 4 imagens corrompidas por um ru´ıdo

artificial. . . 53 4.9 tempo de execu¸c˜ao do algoritmo em fun¸c˜ao do tamanho da imagem. . 53

(8)

Lista de Figuras

2.1 uma distribui¸c˜ao do ru´ıdo speckle . . . 10

2.2 imagem ruidosa e imagem filtrada pelo filtro da mediana adaptado, c= 2 e K = 3. . . 12

3.1 representa¸c˜ao de duas wavelets particulares: √1_aiψ(t−_aixi), i= 1,2. . . . 19

3.2 exemplo de wavelets a) Haar, b) derivada segunda da gaussiana. . . . 20

3.3 3 tipos diferentes de discretiza¸c˜ao da transformada wavelet. . . 22

3.4 imagens original e transformada wavelet de ”Lena”. . . 28

4.1 a) lena, b) cameraman, c) baboon e d) peppers. . . 30

4.2 fun¸c˜ao de limiariza¸c˜ao abrupta. . . 31

4.3 fun¸c˜ao de limiariza¸c˜ao suave. . . 32

4.4 exemplo de reparti¸c˜ao dos coeficientes wavelets de um sinal 1D tendo N amostras. . . 34

4.5 resultado da limiariza¸c˜ao dos coeficientes wavelets de ”Lena”. . . 36

4.6 representa¸c˜ao das fun¸c˜oes de probabilidade condicional. . . 50

4.7 aplica¸c˜ao dos diferentes filtros a ’lena’. . . 54

4.8 aplica¸c˜ao dos diferentes filtros a ’cameraman’. . . 55

4.9 aplica¸c˜ao dos diferentes filtros a ’baboon’. . . 56

4.10 aplica¸c˜ao dos diferentes filtros a ’peppers’. . . 57

5.1 exemplo dos vizinhos considerados no c´alculo da energia. . . 62

(9)

5.3 a) campo de vetores gradiente, b) Zoom da concavidade [Xu e Prince

1997]. . . 69

6.1 deteçcão das diferentes regiões escuras em um ecocardiograma . . . . 71

6.2 convergˆencia do snake tradicional. . . 72

6.3 convergˆencia do snake (amarelo) . . . 73

6.4 influˆencia da for¸ca P sobre osnake . . . 74

6.5 influˆencia da for¸ca P sobre osnake. . . 75

6.6 ventr´ıculo direito segmentado (1000 pontos) . . . 76

6.7 aplica¸c˜ao dos contornos ativos a um ecocardiograma sem e com pre-processamento. . . 77

6.8 de cima em baixo e de esquerda a direita: contornos ativos aplicados a uma seq¨uencia de imagens de um ecocardiograma. . . 78

(10)

Lista de Nota¸

c˜

oes e S´ımbolos

f(_·) designa simplesmente a fun¸cão f. Esta nota¸cão permite falar das transladadas e das dilatadas de f facilmente. Por exemplo f(3_·) é a fun¸cão: x_−→f(3x)

L2₍_R₎ _{designa o conjunto das fun¸c˜}_{oes reais a valores reais de quadrado} in-tegr´avel

< f, g > designa o produto escalar sobre L2₍_R₎ _{entre as fun¸c˜}_oes _f _e _g

E[X] designa a esperan¸ca da variável aleatória X V[X] designa a variância da variável aleatória X

⊕ designe a soma direta de espa¸cos vetoriais

∝ representa uma proporcionalidade entre dois termos

sinc(x) designa o sinus cardinal de x: sinc(x) = sin(x)_x

1[a,b] representa a fun¸c˜ao igual a 1 sobre o segmento [a, b] e 0 fora

∇ representa o operador gradiente: _∇f = (∂f_∂x,∂f_∂y)

∇2 _{representa o operador lagrangiano:} _∇2_f ₌ ∂2_f

∂x2 +

∂2_f

∂y2

f2 representa a norma de f em L2(R). f2 =

Rf(x)

2_dx

(11)

A

S doen¸cas card´ıacas constituem a principal causa de mortalidade em pa´ıses de-senvolvidos e ocupam uma posi¸cão de destaque em pa´ıses em desenvolvimento, sendo no Brasil a segunda causa de morte. Na busca por sua identifica¸cão, diversos exames podem ser feitos, dentre eles o ECG (eletrocardiograma), medicina nuclear e o ecocardiograma de esfor¸co (ECE). Este último é prefer´ıvel por ser um método de baixo custo, comparando-se com medicina nuclear, além de ser um método não evasivo. Por estas razões é muito utilizado no diagnóstico preciso de isquemia (perda de elasticidade muscular), inclusive na sua intensidade. Entretanto, o diagnóstico por ECE é realizado por uma análise visual de um v´ıdeo por um especialista, portanto subjetivo.

Esta disserta¸cão descreve um método de segmenta¸cão do ventr´ıculo esquerdo em ecocardiogramas, utilizando-se de contornos ativos (snakes) na tentativa de tornar o ECE o mais objetivo poss´ıvel, permitindo uma medida automática do volume do ventr´ıculo esquerdo através da análise do ECE a fim de detectar a isquemia. Técnicas de elimina¸cão de ru´ıdo speckle são implementadas e confrontadas, pois o ECE é sempre contaminado por este tipo de ru´ıdo, resultando em uma análise visual de dif´ıcil percep¸cão. Tais técnicas utilizam a transformada wavelets na constru¸cão dos filtros, sendo então, implementados e avaliados quatro diferentes algoritmos, tomando-se como parâmetro o tempo de processamento e a rela¸cão sinal/ru´ıdo. Desenvolve-se também uma técnica de deteçcão do ventr´ıculo esquerdo, usando o método dos

(12)

xii

(13)

T

HE cardiac illnesses represent the most of death cause in developed countries and one of the commonest in developing countries, which is the case of Brasil. In order to detect them, diﬀerent existing methods can be applied. Among them, the ECG (electrocardiogram), methods developed from nuclear medicine and ecocardio-gram of eﬀort (ECE). This last one is preferred due to its low cost, in comparison with the nuclear medicine and its non-invasive ability. For these reasons, ECE is used to diagnostic the isquemia (muscular elasticity loss). But the diagnostic is done by a specialist through the visualization of a video, and is consequently subjective.

This master degree dissertation describes a segmentation method of the left ven-tricle in ecocardiograms, using the active contours model (snake), in order to the ECE becomes more objective, allowing an automatic measure of left ventricle and conse-quently the detection of isquemia. Denoising techniques are implemented because this kind of image is corrupted by the speckle noise, what is harmful for analises. Wavelet-based technics are developed and four algorithms are compared in measur-ing the time of execution and the resultmeasur-ing signal to noise ratio. From the resultmeasur-ing denoised images, a technique for left ventricle border detection is developed using the snake methods. Partial results show an eﬀective result for the detection of intern myocardium borders which represent the left ventricle.

(14)

R´

esum´

e

L

ES maladies cardiques constituent la principale cause de mortalité dans les pays développés et est une des plus communes également dans les pays sous-développés, dont le Brésil. Afin de les détecter, plusieurs examens peuvent être faits. Parmi eux, l’ECG (electrocardiogramme), les méthodes de médecine nucléaire et l’echocardiogramme d’effort (ECE). En général, c’est ce dernier qui est préféré puisqu’il est, relativement à la médecine nucléaire bien moins cher en plus de représenter une méthode non évasive. C’est pour ces raisons que l’ECE est très utilisé pour les diagnostiques d’isquémie (perte d’élasticité musculaire). Cependant, dans le cas de l’ECE, le diagnostique est réalisé par la visualisation par un spécialiste d’une vidéo et demeure donc soumise à sa subjectivité.

Ce mémoire décrit une méthode de segmentation du ventricule gauche dans les echocardiogrammes, en utilisant la méthode des contours actifs (snake). L’objectif est de rendre ainsi l’ECE plus objectif en mesurant automatiquement le volume du ventricule gauche, l’estimation de ce dernier permettant de détecter la présence d’isquémie. Des techniques d’élimination de bruit speckle sont implémentées et con-frontées, puisque les images ultrasons sont toujours contaminées par ce type de bruit, néfaste pour l’analyse. Ces techniques reposent sur la transformée en ondelettes. Sont implémentés et évalués alors quatre algorithmes, en prenant en compte leur temps d’exécution ainsi que le rapport signal à bruit. A partir des images résultantes de ce traitement, est développée une technique pour détecter les contours du ventricules

(15)

(16)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

S

A imagem fascina pela sua capacidade de exprimir um evento fixo no tempo,empre a imagem é um modo de descri¸cão e de comunica¸cão entre os homens. como fotografar um momento importante, ela sempre permite uma pausa no tempo, dando a possibilidade de exprimir mais, o que a memória ou a l´ıngua faz com menos facilidade. Ela pode descrever uma a¸cão - um bom desenho é sempre melhor que um longo discurso - um sentimento, uma atitude.

A evolu¸cão da pintura, por exemplo, explica bem a necessidade do uso de imagens. A pintura evoluiu por diversos requisitos de momento, de época, seguindo algumas regras, dependendo da época. Assim, os primitivos italianos representaram o Divino e a sua carga emocional era controlada por regras restritas. A luz da cor do ouro para colocar a a¸cão fora da Terra, a ausência de expressividade nos rostos para mostrar uma fatalidade, são exemplos das informa¸cões contidas nas obras da época. Bem mais tarde, buscava-se a representa¸cão do real, ou seja, como descrever fielmente a realidade. Assim, a no¸cão de perspectiva é muito trabalhada. Os trabalhos de Leonardo da Vinci mostram um grande interesse a respeito desta realidade, assim como de propor¸cões também. Depois, ainda para continuar a ilustrar as diferentes pesquisas na história da arte, a focaliza¸cão dos pintores é sobre eles mesmos. Os céus perturbados de Vincent Van Gogh, as árvores vermelhas de Vlaminck, os cavalos azuis

(17)

de Franz Marc, ou seja O Grito de Münch não refletem a realidade, mas sim o estado de esp´ırito do pintor. Por estes exemplos da evolu¸cão da pintura, pode-se ver que várias são as informa¸cões que o pintor pode transmitir pelo seu quadro. E de vários modos também, esta informa¸cão pode ser encontrada. Enquanto outros utilizam muitas cores para se exprimir, Miro usa unicamente duas ou três cores cercadas de poucas linhas.

Conforme descrito anteriormente, pode se ver uma similaridade com o dom´ınio cient´ıfico. Em lugar de colocar a informa¸cão na imagem, os cientistas de visão artificial extraem informa¸cões. Da mesma forma que o pintor escolhe a sua técnica de expressão (impressionismo, realismo ...) para descrever a sua ”informa¸cão”, o cientista escolhe uma técnica para tratar a imagem, dependente da informa¸cão que ele quer extrair. Trabalhar com as imagens em n´ıvel de cinza ou em cores, ou seja, transformar a imagem (por exemplo no dom´ınio da freqüência), utilizando diferentes métodos que dependem do que se quer da imagem.

1.1 Motiva¸

c˜

ao

As doen¸cas cardiovasculares são responsáveis pela segunda causa de mortes no Brasil. Embora haja esfor¸cos no controle e diagnóstico dos principais fatores de risco - diabetes, hipertensão arterial, fumo e dislipidemias - estima-se em mais de 300 mil o número de óbitos anuais causados por esta patologia. Nos pa´ıses em desenvolvimento, há uma verdadeira epidemia da doen¸ca coronária, em virtude da rápida urbaniza¸cão, obesidade e acesso a alimentos mais calóricos nas classes C e D. Fator como o aumento da longevidade e o envelhecimento da popula¸cão brasileira também contribuem para agravar esta situa¸cão.

(18)

Cap´ıtulo 1: Introdu¸cão 3 elevado, sendo de suma importância implementar um método seguro, não evasivo e de grande eficácia neste diagnóstico. A Medicina Nuclear é op¸cão viável, mas peca pelo alto custo [Markman 1997].

Neste contexto, a Ecocardiografia Bidimensional possibilita a visualiza¸cão de al-tera¸cões do músculo card´ıaco, que raramente são detectadas no indiv´ıduo em repouso, pois, é necessário que haja uma isquemia em progresso, como a que ocorre ao se for-mar trombo que bloqueie a circula¸cão dentro da coronária. Submetido ao esfor¸co, no entanto, vasos estreitados podem se limitar a quantidade de sangue requerida e tornar evidente a isquemia. Baseado nesse efeito foi criado o Ecocardiograma de Esfor¸co (ECE), inicialmente com os pacientes sendo submetidos a esfor¸co f´ısico em esteiras ou bicicletas ergométricas, mas a execu¸cão do ECE com o paciente em pé, nem sempre é fact´ıvel. Isto levou ao método de realizar o exame com o paciente deitado, sendo o cora¸cão estimulado a trabalhar como se houvesse esfor¸co, f´ısico, pelo uso de substâncias inotrópicas, o Ecocardiograma com Estresse por Dobutamina (EED) [Markman 1997].

(19)

1.2 Objetivos

No contexto de um projeto maior, em que esta disserta¸cão se inclui, o objetivo final é a segmenta¸cão, i.e., a determina¸cão de uma região precisa do ventr´ıculo esquerdo do cora¸cão em imagens de ultra-som, resultantes do ECE. A área deste ventr´ıculo, no caso, é a informa¸cão a ser extra´ıda, pois, com base em sua intensidade é que se faz a determina¸cão exata das dimensões da isquemia. Além disso, esta dimensão orienta o especialista no planejamento operatório, se for o caso.

Na maioria dos casos, as imagens oriundas de ECE estão corrompidas por um ru´ıdo, chamado speckle, e precisam de um pré-processamento antes de qualquer opera¸cão de segmenta¸cão. Também é empregada, neste trabalho, a transformada wavelets com a finalidade de reduzir ru´ıdo do tipospeckle.

1.2.1 Objetivo Geral

O principal objetivo desta disserta¸cão é implementar e avaliar o desempenho de um algoritmo de segmenta¸cão do ventr´ıculo esquerdo, a partir de um exame ECE, baseado em contornos deformáveis (snake).

1.2.2 Objetivos Espec´ıficos

Entretanto, outros objetivos espec´ıficos est˜ao no escopo do desenvolvimento deste trabalho, dentre estes podem-se citar:

• estudar a natureza e o ru´ıdospecklepresente em sequˆencia de imagens de exames ECE;

• estudar, implementar e avaliar filtros baseados na transformada wavelet para a extra¸c˜ao deste tipo de ru´ıdo;

(20)

Cap´ıtulo 1: Introdu¸c˜ao 5

• servir de referˆencia inicial para outros trabalhos do grupo.

1.3 Organiza¸

c˜

ao

No primeiro Cap´ıtulo 2 é estudado a natureza e modelagem do ru´ıdo do tipo speckle. São descritos alguns filtros aplicados na extra¸cão deste tipo de ru´ıdo, como

o filtro mediana, é introduzida a teoria da transformada wavelets. O estudo da regu-laridade de uma fun¸cão é desenvolvido no Cap´ıtulo 3, iniciando-se pela transformada deFourier, concluindo-se com a transformada wavelet cont´ınua e discreta.

No Cap´ıtulo 4, após a apresenta¸cão teórica da decomposi¸cão em wavelets, quatro filtros diferentes são descritos e avaliados: o primeiro utilizando a limiariza¸cão dos coeficientes obtidos, o segundo usando um conhecimento estat´ıstico a priori da dis-tribui¸cão do ru´ıdo, o seguinte construindo esta disdis-tribui¸cão durante o processamento e, por fim, o último método que utiliza uma modelagem markoviana das componentes de decomposi¸cão para extrair o ru´ıdo presente na imagem. Uma avalia¸cão entre estes métodos é realizada de forma a encontrar o melhor método poss´ıvel, a ser aplicado às imagens antes do processo de segmenta¸cão.

(21)

O ru´ıdo

speckle

2.1 An´

alise do ru´ıdo

speckle

Uma imagem ultra-som é o resultado de um conjunto complexo de fenômenos f´ısicos - o envio, a absor¸cão, a reflexão, a dispersão pelos tecidos e a deteçcão do eco de ondas acústicas em freqüências t´ıpicas de ultra-som [Burckhardt 1978].

A principal fonte de degrada¸cão desse tipo de imagens é um ru´ıdo chamadospeckle. Na imagem resultante de eco das ondas acústicas, este ru´ıdo aparece como um con-junto de pontos espalhados na imagem. A imagem possui então uma estrutura gra-nulada que é descrita não só pela textura mas também de speckle.

Por causa das propriedades macroscópicas dos órgãos estudados (os tecidos bi-ológicos possuem superf´ıcies tais que o sinal ultra-sônico é emitido em diferentes dire¸cões), o ru´ıdospeckle, em geral, obscurece assim algumas regiões importantes para o diagnóstico médico. Fisicamente, o ru´ıdospeckle resulta da acumula¸cão das reflexões aleatórias de ondas provindo de uma mesma célula de resolu¸cão (que corresponde ao pixel da imagem mostrada). Este é constitu´ıdo através da interferência de ondas acústicas oriundas da heterogeneidade da superf´ıcie encontrada. As superposi¸cões das ondas com diferentes fases e diferentes amplitudes atribuem valores aospixels no encontro das ondas, que podem ser de 0 até o máximo - que depende se a interferência

(22)

Cap´ıtulo 2: O ru´ıdo speckle 7 ´e construtiva ou destrutiva [Wagner et al. 1983].

Estat´ısticas do ru´ıdo speckle

Uma primeira an´alise das propriedades estat´ısticas do ru´ıdo speckle ´e realizada no trabalho de Goodmann [Goodman 1977].

Quando há um número importante de pontos de reflexão num elemento de res-olu¸cão, e quando as fases das ondas incidentes estão distribu´ıdas uniformemente sobre [0,2π], então a amplitude da onda que resulta dessas componentes aleatórias possuem uma parte real Ar e uma parte imaginaria Ai, cuja densidade de probabilidade con-junta é dada por [Goodman 1977]:

p(Ar, Ai) = 1

2πσ2exp(−

A2 r+A2i

2σ2 ). (2.1)

A equa¸cão 2.1 corresponde simplesmente ao produto de duas gaussianas de média nula e de variância σ2_{, às vezes, chamada de} _{densidade de probabilidade gaussiana} circular. As leis de conserva¸cão da probabilidade fornecem então a distribui¸cão da

magnitude M =A2

r +A2i, dada por

p(M) = M

σ2 exp(−

M2

σ2 ) com M ≥0, que ´e conhecida pela lei de densidade de Rayleigh.

A experiência confirma esta distribui¸cão. Aplicando-se uma deteçcão por ultra-som às regiões completamente homogêneas mas com média diferente, o histograma confirma a modelagem do speckle por a lei de Rayleigh.

A distribui¸cão de Rayleigh tem uma propriedade importante: a sua média é pro-porcional ao seu desvio padrão

E[M]

V[M] = 1,91 (2.2)

(23)

Em geral, a experiência mostra que infelizmente não existe uma tal linearidade entre a esperan¸ca e o desvio padrão do ru´ıdo. Segundo o material usado, a propor-cionalidade da Equa¸cão 2.2 é mais ou menos respeitada. Desta forma, é comum que a equa¸cão do sistema se apresente como uma daquelas a seguir:

y = x+xM (2.3)

y = xM (2.4)

y = x+√xM (2.5)

Como conseqüência e gra¸cas a estas informa¸cões, métodos de supressão de ru´ıdo speckle em imagens são necessários para melhorar sensivelmente a qualidade e o di-agnóstico médico em imagens de eco. A idéia é eliminar a componente ru´ıdosa da imagem mas saber que as formas, o contraste entre elas, e as caracter´ısticas devem ser preservados após esta opera¸cão.

2.2 O filtro mediano

Entendendo a problemática do ru´ıdo speckle, a primeira idéia, e a mais simples, que pode surgir para resolver este problema é a aplica¸cão de filtro mediana. Este consiste no uso de uma janela que se desloca sobre a imagem, substituindo o valor dos pixels centrais pelo valor mediano, obtido pela mediana dos valores presentes na janela. Por exemplo, se a mediana é aplicada com uma janela de tamanho 3_×3

⎛

⎜ ⎜ ⎝

1 1 1 1 1 1 1 1 1

⎞

⎟ ⎟ ⎠

`a imagem seguinte

⎛

⎜ ⎜ ⎝

15 23 33 17 136 62 12 58 44

⎞

(24)

Cap´ıtulo 2: O ru´ıdo speckle 9 a imagem resultante ´e:

⎛

⎜ ⎜ ⎝

15 23 33 17 33 62 12 58 44

⎞

⎟ ⎟ ⎠

porque mediana([15,23,33,17,136,62,12,58,44]) = 33. Assim pode-se ver que se um pixel anormal vindo da forma¸cão do ru´ıdo speckle apresenta um valor bem diferente dos seus vizinhos, o filtro mediana corrige. É um método simples e que se tornou o mais popular durante muito tempo na área do tratamento das imagens, possuindo muitas variantes. O filtro mediana é um caso especial de uma classe mais geral de filtros estat´ısticos [Bovik, Huang e Munson 1983,Lee e Kassam 1985] que são aplicados ao problema da restaura¸cão de imagens.

´

E conhecido que os filtros da mediana conservam as bordas. Porém, na presen¸ca do ru´ıdo, eles introduzem uma distor¸cão nestas bordas, embora esta distor¸cão seja menor do que aquelas introduzidas por filtros lineares [Loupas, MacDicken e Allan 1989].

Mas o filtro mediana não é adaptativo. Este não distingue nem as caracter´ısticas da imagem, nem a importância do ru´ıdo. Isto é um problema que encontra diferentes solu¸cões alternativas, como por exemplo o filtro mediana direcional [Jha e Jernigan 1989,Evans e Nixon 1993] que se adapta de acordo com as caracter´ısticas das imagens. Em particular, Loupas et al. [Loupas, MacDicken e Allan 1989] propõem um filtro mediana dependente do ru´ıdo e da média local. Estes constroem uma máscara com pesos sobre os coeficientes. Estes pesos são constru´ıdos para uma janela 2K+1_×2K+1 centrada em (K+ 1, K+ 1), da forma seguinte

wi,j =⌊wK+1,K+1−αd⌋,

(25)

Comentário: no caso de ausência de ru´ıdo, o coeficiente αé nulo, e recai no caso do filtro mediana puro, cujos pesos são todos iguais.

Escolha do coeficiente α

A Figura 2.1 ilustra a distribui¸cão do ru´ıdo speckle. Esta resulta da experi-menta¸cão [Loupas, MacDicken e Allan 1989]. Nesta Figura, regiões homogêneas com um n´ıvel de cinza diferentes estão observadas por ultra-sons e é representado o desvio padrão resultante

Figura 2.1: uma distribui¸c˜ao do ru´ıdo speckle

Por causa do processamento do sinal dentre doscanner (algoritmo de compressão, interpola¸cões...), não aparece uma rela¸cão linear como sugere a rela¸cão teórica (equa¸cão 2.2). Esta experiência sugere que a média é proporcional à variância e não ao desvio padrão. Então uma modelagem da forma seguinte

y=x+√xn (2.6)

(26)

Cap´ıtulo 2: O ru´ıdo speckle 11 recebido, em fun¸cão da variância do ru´ıdo e da média m da região

V[y] = V[m+m12n] (2.7)

V[y] = mV[n] (2.8)

σ2 = mσ_n2 (2.9)

O que resulta em:

σ2n=

σ2

m,

em que a média é proporcional à variância. A defini¸cão dos pesos torna-se:

wi,j =⌊wk+1,k+1−cd

σ2

m⌋

em que c´e uma constante permitindo ajustar a modelagem.

Quando todos os pesos dos coeficientes da janela est˜ao calculados, aplica-se o filtro mediana nesta janela mesma, i.e. coloca-se para o pixel central o valor yM P que verifica a f´ormula da mediana:

yM P

l=0

H(l) =

w(i, j) + 1

2 , (2.10)

(27)

2.3 Aplica¸

c˜

ao

O algoritmo se faz ent˜ao em 3 etapas:

• as estat´ısticas locais est˜ao calculadas dependentes dos valores presentes na janela. Assim obtˆe-se σ2

n=σ2/m;

• o histograma H ´e calculado, a partir de uma varredura do n´ıvel de cinza l, seguido da incrementa¸c˜ao de H(l), proporcional ao peso associado ao pixel;

• por fim, o valor mediano ´e computado a partir da equa¸c˜ao 2.10

Exemplo:

Figura 2.2: imagem ruidosa e imagem filtrada pelo filtro da mediana adaptado,

c= 2 e K = 3.

(28)

Cap´ıtulo 2: O ru´ıdo speckle 13 lena baboon cameraman peppers

SNR antes do tratamento 9.5529 9.4556 9.6756 9.3671 SNR depois do tratamento 15.7380 12.5443 14.5690 15.8092 Tabela 2.1: resultados do filtro mediana ponderado sobre 4 imagens com um ru´ıdo

speckle artificial.

64_×64 128_×128 256_×256 512_×512 Tempo de execu¸c˜ao 10 sec 1 min 6 min 27 min

Tabela 2.2: tempo de execu¸c˜ao do algoritmo em fun¸c˜ao do tamanho da imagem.

2.4 Evolu¸

c˜

ao das t´

ecnicas para extrair ru´ıdo

speckle

Goodman apresenta o mecanismo estat´ıstico do ru´ıdospeckle no artigo [Goodman 1977]. Ele chega à conclusão que uma filtragem linear é necessária para a elimina¸cão do ru´ıdo. Após o trabalho de Goodman, outros autores, a partir de seu trabalho, reconhecem que uma filtragem linear não é ótima para a elimina¸cão do ru´ıdo, pois, esta supressão se acompanha de uma perda das informa¸cões de bordas, fazendo uma suaviza¸cão forte demais. Para responder a este problema, são propostas filtragens utilizando filtros medianos adaptativos que eliminam o ru´ıdo de um modo eficiente, mas o filtro mediano sendo um filtro passa-baixas, não conserva os detalhes [Loupas, MacDicken e Allan 1989, Karaman, Kutay e Bozdagi 1995].

(29)

s˜ao as primeiras tentativas de redu¸c˜ao dospeckle.

(30)

Cap´ıtulo 3

An´

alise da regularidade de uma

fun¸c˜

ao

Os primeiros filtros desenvolvidos foram heur´ısticos como o filtro mediano visto no cap´ıtulo 2. Em seguida, outros filtros baseados na representa¸cão espacial da imagem para eliminar o ru´ıdospeckle forem constru´ıdos. Assim o filtro de Wiener ficou famoso. Algumas aproximas estatisticamente adaptativas apareceram usando o critério do erro m´ınimo quadrático, como o filtro de Kuan [Kuan et al. 1985] e o filtro de Lee [Lee 1983]. A vantagem dos métodos adaptativos está em, como o nome indica, abordar a natureza não-estacionária da imagem, adaptando-se à informa¸cão local com maior facilidade do que os filtros clássicos. Pode ser também mencionado o filtro Gamma-MAP desenvolvido por Nezry [Lopes, Nazry e Laur 1993, Nezri 1992], em que são estabelecidas mais especificamente as distribui¸cões estat´ısticas do ru´ıdo e do sinal, para depois aplicar um critério MAP.

De um modo independente, a pesquisa usando a teoria daswavelets se intensifica e oferece uma poderosa ferramenta para a elimina¸cão do ru´ıdo. A sua grande vantagem é de ter a possibilidade de localizar as caracter´ısticas da imagem no dom´ınio espacial e no dom´ınio freqüencial ao mesmo tempo. A transformada em wavelets tinha sido aplicada por Mallat [Mallat 1989] ao processamento de imagens, no caso particular

(31)

de uma decomposi¸c˜ao dyadic [Mallat 1989].

3.1 A transformada de Fourier

A teoria de Fourier permite decompor um sinal em uma série de senóides de freqüências diferentes. A fun¸cão analisada pode ser comparada a uma partitura de música, cujas senóides correspondem a diferentes notas.

Neste parágrafo é introduzida esta transformada, porém sem se deter em todos os detalhes [Gasquet e Witomski 1990].

3.1.1 Integral de Fourier

A defini¸cão e as propriedades da transformada de Fourier são em primeiro lugar dadas em L1₍_R_{), e depois estudas no espa¸co de Schwartz} _S₍_R_{) constitu´ıdo pelas} fun¸cões infinitamente deriváveis e com decrescimento rápido, em que a inversa da transformada existe. Enfim, gra¸cas a densidade do S(R_{) dentro do} _L2₍R_{), é poss´ıvel}

generaliz´a-la no espa¸co L2₍_R_).

Definic¸˜ao : Para f _∈L1₍_R_{), a sua transformada de Fourier} _fˆ_´_{e definida por}

∀ξ_∈R_,Ff(ξ) = ˆf(ξ) =< f, ei2πξx>=

R

f(x)e−i2πξxdx. (3.1)

(32)

Cap´ıtulo 3: Análise da regularidade de uma fun¸cão 17 na freqüência fica melhor. Pode-se exprimir isso de um modo matemático [Flandrin 1998].

A transformada de Fourier consiste em analisar uma fun¸c˜ao a partir das sen´oides

ei2πξt_{. Mas o suporte destas fun¸cões é infinito e nenhum intervalo de tempo está} privilegiado. Desta forma, qualquer informa¸cão temporal da fun¸cão f(t) é então perdida, nenhuma informa¸cão temporal aparece. Por exemplo, se uma senóide pura aparecer num sinal a um instante t0, podem-se perfeitamente determinar ω gra¸cas a transformada do sinal. É fácil ver no espectro do sinal a presen¸ca de uma componente de freqüência ω. Mas não é poss´ıvel saber qualquer informa¸cão sobre o momento t0 da sua apari¸cão.

3.1.2 A transformada de Fourier com janela deslisante

Para contornar a dificuldade apresentada anteriormente, o método mais intu-itivo para obter informa¸cões temporais do sinal é a análise do sinal por intervalos de tempo. Fazendo a transformada de Fourier unicamente sobre um intervalo, por exemplo [₋A, A], o sinal é então analisado com uma precisão A. É o princ´ıpio da transformada de Fourier com janela deslisante.

A transformada de Fourier com janela deslisante consiste em multiplicar a fun¸c˜ao

f por uma janela que vai se mover sobre toda fun¸c˜ao. Ao tornar-se a fun¸c˜ao-janela

g =1[−A,A], esta faz cortar o sinal em peda¸cos de tamanho 2A. A f´ormula de

trans-forma¸cão é então a seguinte

∀ξ _∈R_,Sf(ξ, u) =< f, ei2πξxg(x₋u)>=

R

f(x)g(x₋u)e−i2πξxdx. (3.2)

A fun¸cão é analisada com a ajuda da fam´ılia de fun¸cão _{ei2πξx_g₍_x₋_u₎_}

u∈(R),ξ∈(R), em

(33)

3.2 Wavelets

3.2.1 A transformada em

wavelet

cont´ınua

Mas a transformada de Fourier com janela deslisante apresenta algumas limita¸cões por causa da fam´ılia de decomposi¸cão própria a transformada de Fourier. Mesmo com uma compressão da janela, o truncamento das exponenciais em torno de um valoru, não faz aparecer fielmente o comportamento do sinal emu, então só pode-se falar do comportamento do sinal em torno deucom uma precisão do tamanho da janela. Isto possibilita a constru¸cão de novas fam´ılias de decomposi¸cão, e é assim que a teoria das wavelets nasce.

Uma wavelet ψ é uma fun¸cão do espa¸co L2₍_R₎_∩_L1₍_R_{) com uma média nula e} uma norma igual a 1:

R

ψ(x)dx= 0 e ψ2 = 1.

Existem outras wavelets deL2₍_R_{) e que não estão}_L1₍_R_{), mas é considerado} uni-camente a interseçcão destes espa¸cos. Estawavelet-mãe gera uma fam´ılia dewavelets constitu´ıda das suas dilata¸cões e das suas transla¸cões:

{ψx,a(t) = √1

aψ( t₋x

a )}x∈R,a∈R∗+

e a transformada wavelets continua de uma fun¸c˜ao f de L2₍_R_{) ´e dada por}

∀x_∈R_,_∀_{a >}₀_{, W f}₍_{x, a}_{) =} _{< f, ψ}_x,a_> ₌

R

f(t)√1

aψ( t₋x

a )dt, (3.3)

em que x é o parâmetro de transla¸cão da wavelet ψ e a de escala. Desta forma, x

define as redondezas da análise. Por sua vez, a é o parâmetro de escala e define a precisão da análise, ou melhor, quanto maior éa, maisψx,a está dilatada e maior é a abrangência da análise sobre a fun¸cão f(t).

(34)

Cap´ıtulo 3: An´alise da regularidade de uma fun¸c˜ao 19

Figura 3.1: representa¸c˜ao de duas wavelets particulares: _√1 aiψ(

t−xi

ai ), i= 1,2.

3.2.1.1 Exemplo de wavelets

Wavelet de Haar é a mais simples das wavelets, definida sobre o intervalo [0,1], é uma fun¸cão constante em intervalos

H(x) = 1 se x ∈[0, 1 2[, 0 se x_∈]1

2,1].

Esta wavelet é muito simples de ser implementada. Além disso, o suporte dela é compacto, o que dá uma boa localiza¸cão no tempo, mas por outro lado a sua descon-tinuidade provoca uma má localiza¸cão freqüencial. Na figura 3.2 a) é apresentada a forma da wavelet-mãe de Haar.

Derivadas da Gaussiana uma gaussiana G(x) = e−πx2

não tem uma média nula, o que não permite que ela seja uma wavelet. Porém, todas suas derivadas o são

∀n_∈N∗_,d

n_G

dxn.

(35)

Figura 3.2: exemplo dewavelets a) Haar, b) derivada segunda da gaussiana.

3.2.1.2 Coeficientes e regularidade

A principal vantagem da análise por wavelet é a sua capacidade de produzir grandes coeficientes em que o sinal está fortemente irregular, e coeficientes com val-ores pequenos em que ele está mais suave, por ser o número dos momentos nulos que controla os coeficientes nas zonas suaves do sinal. Por exemplo, se a wavelet ψ

tivesse K momentos nulos, isso significa que todos polinômios com grau menor ou igual a K são ortogonais a ψ, i.e., um coeficiente de wavelet nulo. Então, para uma fun¸cão f suficientemente suave, existe um p > K (p, K _∈N_{) tal que esta fun¸cão seja}

p-deriv´avel, e todos K primeiros termos na decomposi¸c˜ao de Taylor de f abrangem um coeficiente de wavelet nulo.

´

E a partir desta observa¸cão que é poss´ıvel fazer uma elimina¸cão do ru´ıdo num sinal considerando somente os valores dos coeficientes.

(36)

Cap´ıtulo 3: Análise da regularidade de uma fun¸cão 21 menor é o suporte da wavelet, menos numerosos são os grandes coeficientes afetados por uma irregularidade do sinal. Por outro lado, escolher uma wavelet com muitos momentos nulos permite obter fracos coeficientes nas partes regulares do sinal. Ao favorecer-se uma destas propriedades, acaba-se comprometendo a outra.

3.2.2 A discretiza¸

c˜

ao

Até agora, as fórmulas escritas anteriormente são para o caso cont´ınuo e não podem ser convenientemente implementadas em computadores. Uma discretiza¸cão dos fatoresae de transla¸cões x, ao construir um série (an) e (xn), é necessária. Desta forma, uma discretiza¸cão intuitiva seria amostrar em intervalo regular as escalas e os parâmetros de transla¸cão (conforme Figura 3.3 a) ). Esta abordagem permite que as propriedades da transformada em wavelets sejam conservadas. Porém, ela não está adaptada para suportar análise das freqüências das wavelets, o que resulta em uma complexidade algor´ıtmica enorme, pela grande quantidade de coeficientes produzidos. A discretiza¸cão comum para as escalas consiste em escolher an = an0. Assim, as freqüências são varridas mais rapidamente e é guardado uma alta precisão para as grandes freqüências (conforme Figura 3.3 b) ). Escolhendo a0 = 2, obtem-se assim a

transformawavelet dyadicque pode ser implementada facilmente com o algoritmo `

a trous [Mallat 1998].

(37)

Figura 3.3: 3 tipos diferentes de discretiza¸c˜ao da transformadawavelet.

3.2.3 A an´

alise multiresolu¸

c˜

ao (AMR)

definição: Uma análise multiresolu¸cão deL2₍_R₎_{consiste em uma s´}_{erie crescente} de sub-espa¸cos fechados (Vj)j_∈Z de L2(R), verificando pelo menos as propriedades

seguintes:

1. _∀j _∈Z_{, V}_j _⊂_V_j+1

2. _∀j _∈Z_{, f}₍_.₎_∈_V_j _{⇔ ∀}_j _∈Z_{, f}₍₂_.₎_∈_V_j+1

3. _∀k _∈Z_{, f}₍_.₎_∈_V₀ _⇔_f₍_.₋_k₎_∈_V₀

4. lim j→−∞Vj =

j=∞

j=−∞

Vj ={0}

5. lim j_→∞Vj =

j=∞

j=−∞

Vj ´e denso em L2(R)

j é a resolu¸cão e representa o n´ıvel de análise da fun¸cãof em análise. A aproxima¸cão

(38)

3.2.3.1 Espa¸co dos detalhes e wavelets

´

E poss´ıvel [Daubechies 1992] obter uma base ortonormal de V0: _{φ(_{· −}n)_}n∈Z.

As propriedades 2 e 3 da defini¸c˜ao da AMR permitem dizer ent˜ao que: _{φj,n}n_∈Z =

{2j2φ(2j · −n)}_n

∈Z forma uma base ortonormal de Vj para todo j ∈ Z. Estas bases parecem então adequados para os problemas de aproxima¸cões. Além disso, a partir da expressão das fun¸cões das bases, veja-se que quando se passa de uma resolu¸cãoj a uma resolu¸cão mais largaj₋1, as altas freqüências são perdidas e que são chamadas de detalhes. Chama-se Wj−1 o espa¸co contendo estes detalhes, Wj−1 é então o complementar ortogonal de Vj₋1 em Vj.

Agora, precisa-se extrair bases ortonormais dos espa¸cos de detalhes. Assim, uma interpreta¸cão mais eficiente das singularidades do sinal é realizada, ao conhecer-se as fun¸cões de base e suas propriedades.

V0 ⊂ V1, então pois φ(·)∈ V0 e φ(·)∈ V1. Existe então uma série de coeficientes

hk tal que

φ(t) = k_∈Z

hk

√

2φ(2t₋k). (3.4)

Do mesmo modo W0 ⊂ V1. Ent˜ao se ψ ∈W0, existe uma s´erie de coeficientes gk tal que

ψ(t) = k_∈Z

gk

√

2φ(2t₋k). (3.5)

Estas duas rela¸cões são conhecidas como asrela¸cões de escalas. Agora, assume-se que (hk)k_∈Z é conhecido.

(39)

ˆ

φ(ω) = m0(

ω

2) ˆφ(

ω

2), (3.6)

ˆ

ψ(ω) = m1(

ω

2) ˆφ(

ω

2), (3.7)

em que

m0(ω) = √1

2

k∈Z

hke−2iπωk,

m1(ω) = √1

2

k∈Z

gke−2iπωk,

sendo as fun¸c˜oes de transferˆencia dos filtros _√1 2he

1

√

2g.

Para simplificar a constru¸c˜ao dos espa¸cos, procura-se uma fun¸c˜ao φ tal que ˆ

φ(0) = 1. Então a partir da rela¸cão 3.6 usada com ela mesma, obtém-se finalmente ˆ

φ(ω) =

∞

j=1

m0(ω 2j).

Esta express˜ao permite que se construa ˆφ e ent˜ao φ por transformada de Fourier inversa.

Escolher g tal que

gk= (−1)1−kh1−k

´e suficiente para construir, a partir da Equa¸c˜ao 3.7, uma fam´ılia dewavelets transladadas

ψ(_{· −}n)_n_∈_Z que formam uma base ortonormal de W0 [Meyer, Cohen 1990]. Con-seqüentemente, por compressão e dilata¸cão e de acordo com a propriedade 2 da defini¸cão de uma AMR, uma base ortonormal de Wj,∀j ∈Z pode ser constru´ıda.

3.2.3.2 Obtendo-se uma base ortonormal de L2₍_R₎ Considera-se uma AMR de L2₍_R_), _...V

(40)

Vj =VL⊕WL⊕WL+1⊕ · · · ⊕Wj−1.

Fazendo se mover L _{→ −∞} e j _{→ ∞}, VL → {0} e Vj → L2(R), seguindo as propriedades 4 e 5 da defini¸c˜ao da AMR, resulta em

L2(R_{) =}_⊕j=∞

j=−∞Wj.

Sabendo que se tem uma base para cada um dos Wj, a partir da fun¸cão ψ, é poss´ıvel então escrever a decomposi¸cão de uma fun¸cão f de L2(R_{) por}

f(t) = j_∈Z

k_∈Z

djkψjk(t)

em que (dj,k)k∈Z coresponde aos coeficientes de wavelet de f para a resolu¸c˜ao j.

Como a base de Wj ´e ortonormal, estes coeficientes s˜ao obtidos pelo produto escalar associado aL2₍_R_):

dj,k =< f, ψj,k > .

O conjunto das_{ψj,k}j,k∈Z2 formam ent˜ao uma base ortonormal deL2(R) na qualf

´e decomposta em uma soma de detalhes cada vez mais finos, `a medida quej aumenta.

Coment´ario: o espa¸coL2₍_R_{) pode ser tamb´em decomposto da maneira seguinte:}

L2(R_{) =} _V_L_⊕j=∞

j=L Wj

Uma fun¸c˜aof deL2₍_R_{) pode ent˜ao ser decomposta dessa forma:}

f(t) = k_∈Z

cLkφLk(t) +

k_∈Z

j_∈Z

djkψjk(t),

em que

k_∈ZcLkφLk(t) é a proje¸cão de f sobre o espa¸co de aproxima¸cão VL e

k_∈Z

j_∈Zdjkψjk(t) cont´em os detalhes que s˜ao perdidos ao aproximar-se f sobre

(41)

3.2.3.3 Algoritmo r´apido para a transformada wavelets

Na prática, os sinais e imagens manipulados são necessariamente de dimensão finita. Supondo que o sinal seja definido sobre [0,1] e que ele seja feito de N = 2J pontos, pode-se falar que a fun¸cão é aproximada sobre o espa¸co VJ. O sinal é então representado pelo vetor _{cJ,k}k_∈0,...,2J₋₁:

f(t) = 2J

−1

k=0

cJ,kφJ,k(t).

Considerando-se o sinalf periódico (esta suposi¸cão é uma realidade pois trabalha-se, neste caso, com imagens), o que simplifica a descri¸cão dos coeficientes _{cj,k}k∈Z e

{dj,k}k_∈Z, caracterizando que as proje¸c˜oes nos espa¸cos Vj eWj sejam peri´odicas, para todok de Z_, _c_j,k ₌_c_j,k+2j e d_jk =d_j,k+2j.

Realizar uma transformada em wavelets ortogonal do sinal f é equivalente a de-compor f sobre V0⊕W0⊕ · · · ⊕WJ₋1 e então equivalente a encontrar os coeficientes associados a cada um destes sub-espa¸cos. Isto pode ser obtido através das etapas de análise e s´ıntese.

• A etapa de análise consiste em encontrar a partir dos 2J _coeficientes _c_{J,k, os 2}J coeficientes c0,k e dj,k representando f sobre V0 ⊕W0 ⊕ · · · ⊕WJ₋1. Para os encontrar, usa-se a rela¸cão : Vj =Vj−1⊕Wj−1. Tem-seφj−1,k ∈Vj eψj−1,k ∈Vj, para então decompor φj−1,k e ψj−1,k sobre Vj pelas rela¸cões 3.4 e 3.5, para em seguida aplicar o produto escalar de f nestas fun¸cões, obtendo-se:

cj₋1,k = 2j

−1

n=0

cj,nhn₋2k

dj₋1,k = 2j

−1

n=0

cj,ngn₋2k

• A etapa de s´ıntese é a inversa da precedente. Considerando ainda a fórmula de decomposi¸cão, para cadaj, é obtém-se:

cj,k = 2j−1

−1

n=0

cj₋1,nhk₋2n+ 2j−1

−1

n=0

(42)

A transformada bidimensional

Decompor uma fun¸c˜ao discretaf del2₍_Z2_{) consiste em calcular os produtos escalares} a partir de vetores de uma base del2₍_Z2_{). A sucess˜ao dos filtros sobre}_N

j n´ıveis para decompor uma fun¸c˜ao corresponde `a seguinte base no caso das wavelets ortogonais,

{φNj,n,m(k, l)_}(m,n)∈Z2,{ψ_j,n,mr(k, l)}₁

≤j_≤Nj,(n,m)∈Z2_,r

∈{H,V,D_}

(k,l)∈Z2 (3.8)

A representa¸c˜ao multi-escala de a0 ₌_f _{resultante, consiste em uma aproxima¸c˜ao}

aNj _{na resolu¸cão 2}Nj _{e dos coeficientes das wavelets} _dj,H_{, d}j,V_{, d}j,D _{às resolu¸cões, tal} que 1_≤2j _≤₂Nj_.

Como no caso 1D, uma algoritmo r´apido pode ser utilizado para realizar a trans-formada discreta 2D,

an,mj+1= (aj ∗¯h¯h)_2n,2m dn,mj+1,H = (aj∗g¯¯h)_2n,2m

dn,mj+1,V = (aj∗¯hg¯)_2n,2m dn,mj+1,D = (aj∗g¯g¯)_2n,2m em que ¯h(n) =h(₋n) e ¯g(n) =g(₋n).

Neste caso, a transformada inversa ´e dada por:

an,mj = (ˇaj+1∗hh)n,m+ ( ˇd j+1,H

∗gh)_n,m+ ( ˇdj+1,V _∗hg)_n,m+ ( ˇdj+1,D_∗gg)_n,m (3.9) em que ˇan ´e igual a ap se 2p=n e 0 sen˜ao.

(43)

(44)

Cap´ıtulo 4

Aplica¸

c˜

ao da transformada

wavelets

na redu¸c˜

ao do ru´ıdo

speckle

Neste cap´ıtulo são apresentados alguns métodos de redu¸cão do ru´ıdo speckle nas imagens ao usar algoritmos que empregamwavelets. Embora uma grande quantidade de algoritmos exista para a redu¸cão do ru´ıdo speckle em imagens, são apresentados quartos algoritmos,

• estima¸c˜ao dos coeficientes dewavelets da imagem ao utilizar um limiar;

• estima¸c˜ao bayesiana da imagem no dom´ınio das wavelets usando uma mode-lagem das distribui¸c˜oes do ru´ıdo e da imagem;

• estima¸c˜ao da imagem ao construir empiricamente as distribui¸c˜oes dos coefi-cientes de wavelets da imagem;

• modelagem markoviana dos coeficientes dewavelets predominantes da imagem.

(45)

As aplica¸cões realizadas ao fim de cada seçcão usam um ru´ıdo speckle artificial, cuja constru¸cão é explicada na sub-seçcão 4.1.2.

Para avaliar os algoritmos desenvolvidos, utilizam-se as imagens cl´assicas mostradas na Figura 4.1.

Figura 4.1: a) lena, b) cameraman, c) baboon e d) peppers.

Para medir o desempenho dos algoritmos, é utilizado a rela¸cão sinal/ru´ıdo calcu-lada pela fórmula seguinte

SNR= 10 log

(I(i, j))2

|I(i, j)2₋_J₍_{i, j}₎2_|

,

em que I é a imagem original não-ruidosa e J é a imagem ruidosa. Esta rela¸cão é calculada na imagem original e depois de aplicado cada algoritmo.

(46)

Cap´ıtulo 4: Aplica¸c˜ao da transformadawavelets na redu¸c˜ao do ru´ıdo speckle 31

4.1 Limiariza¸

c˜

ao dos coeficientes

wavelets

4.1.1 Os limiares cl´

assicos

A partir da decomposi¸cão em wavelets, uma primeira idéia é a de utilizar um limiar fixo sobre os coeficientes obtidos. É observado que os grandes coeficientes correspondem às bordas, às caracter´ısticas da imagen, e que os menores correspondem mais ao ru´ıdo ou às fracas varia¸cões. Com base nisto, uma limiariza¸cão simples pode dar já um resultado interessante. Considera-se um ru´ıdo aditivo : y_k,lj = xj_k,l+nj_k,l, em que y_k,lj é o coeficiente da transformada wavelet no pixel (k, l) e no n´ıvel j, xj_k,l

o coeficiente original e nj_k,l o coeficiente wavelets vindo do ru´ıdo. Por exemplo, a limiariza¸c˜ao qualificada como abrupta (hard-thresholding) feita em cada coeficiente pode ser usada. Ela ´e a mais intuitiva, faz-se da forma seguinte,

ˆ

xj_k,l = 0, se |y j

k,l|< T,

y_k,lj , c.c. (4.1)

em que T é um limiar. É guardado assim unicamente os coeficientes significativos, zerando os outros. Na Figura 4.2 é apresentada a fun¸cão de limiariza¸cão abrupta.

Figura 4.2: fun¸c˜ao de limiariza¸c˜ao abrupta.

(47)

diminui os grandes coeficientes, i.e. maior do que o limiar, para reduzir o efeito do ru´ıdo mesmo nos coeficientes maiores,

xj_k,l = 0 se |y

j k,l| < T

y_k,lj + sign(y_l,kj )T c.c. (4.2)

Figura 4.3: fun¸c˜ao de limiariza¸c˜ao suave.

O coeficiente limiarizado é menor do que aquele do sinal. Esta limiariza¸cão garante que o sinal resultante, ou seja o sinal original estimado, é mais regular do que o sinal ruidoso. Na Figura 4.3 a fun¸cão de limiariza¸cão suave é apresentada.

4.1.2 O limiar de Donoho e Johnstone

Mas em geral, é imposs´ıvel encontrar um modo de estima¸cão, dentre todos tipos de limiariza¸cão, que minimize o erro produzido pela limiariza¸cão dos coeficientes. Donoho e Jonhstone [Donoho e Johnstone 1995] propõem um limiar para minimizar o erro do estimador quando o ru´ıdo é aditivo gaussiano. Este limiar é dado por

T =σn

2 log(N) em que σ2

(48)

Cap´ıtulo 4: Aplica¸cão da transformadawavelets na redu¸cão do ru´ıdo speckle 33 Conhecendo o valor de N, o problema se resume na determina¸cão de σn. No Cap´ıtulo 2, é considerada uma imagem como uma representa¸cão por região. Então, assumindo que a imagem possui regiões suaves com n´ıvel de cinza constante poder-se estimar a variância localmente, mesmo se é perdida a qualidade de bordas. Neste caso, a limiariza¸cão se aplica às componentes da decomposi¸cão wavelet, que apresenta as caracter´ısticas da imagem, suas bordas em diferentes n´ıveis de precisão. Então desta vez, ao contrário do Cap´ıtulo 2, a imagem é considerada como uma representa¸cão por bordas, e a variância não pode ser estimada localmente. A idéia é de considerar a totalidade dos coeficientes de uma componente e de observar que a maioria dos coeficientes wavelets provieram do ru´ıdo e que eles têm valores pequenos.

(49)

Figura 4.4: exemplo de reparti¸c˜ao dos coeficientes wavelets de um sinal 1D tendo N

amostras.

Se M é o valor mediano de _{|yl,k|,0 ≥ k ≥ N/2}, pode-se mostrar que quando o ru´ıdo é aditivo gaussiano: E[M] = 0,6745σn [Donoho e Johnstone 1995]. Pode-se então estimar σn por

ˆ

σn=

M

0,6745.

Para ilustrar a qualidade deste estimador, pode-se aplicar um ru´ıdo aditivo gaus-siano de variância σn = 25 às imagens. Os resultados são dados na Tabela 4.1.

lena baboon cameraman peppers Ru´ıdo aditivo gaussiano (σn= 25) 25,9451 28,4015 25,3470 25,6785 Ru´ıdo multiplicativo(σn = 0.2) 0,2512 0,2607 0,2649 0,1863 Tabela 4.1: estima¸c˜ao do ˆσ em imagens corrompidas por um ru´ıdo aditivo gaussiano

ou por ru´ıdo multiplicativo.

(50)

Cap´ıtulo 4: Aplica¸cão da transformadawavelets na redu¸cão do ru´ıdo speckle 35 de um ru´ıdo não-gausiano, cujo a simula¸cão é descrita na sub-seçcão seguinte. A Tabela 4.1 mostra a sua estima¸cão para algumas imagens. Os resultados mostram que a qualidade do estimador é correta no caso não-gaussiano também.

O limiar constru´ıdo por Donoho e Johnstone não é o limiar ótimo para o caso de um ru´ıdo speckle, pois o ru´ıdo é não gaussiano e conseqüentemente uma adapta¸cão deve ser realizada. Porém, deste estudo guardaremos a estima¸cão da variância que será útil adiante.

4.1.3 Aplica¸

c˜

ao

Da teoria dewavelets, encontra-se que as pequenas varia¸cões contidas em uma pe-quena região são expressas pelaswavelets finas e estão representadas por um pequeno valor. Isto acontece exatamente para os valores oriundos do ru´ıdo aditivo. Então a partir desta observa¸cão, a idéia de aplicar um limiar aos coeficientes por um dos métodos de limiariza¸cões precedentes pode ser eficiente.

Mas, no caso em que o ru´ıdo é de natureza multiplicativo, obtém-se um mau resultado. Em uma superf´ıcie homogênea de alto valor, as diferen¸cas entre doispixels vizinhos pode ser enorme. O exemplo seguinte ilustra o problema.

A simula¸cão do ru´ıdospeckle é aquela utilizada no Matlab. Considera-se a imagem sobre [0,1], a modelagem para o ru´ıdo speckle é: J =I +nI, em que I é a imagem original,n segue uma lei uniforme de média nula e de variância 0,04 e J é a imagem resultante.

exemplo: considerando uma regi˜ao homogˆenea representada pela matriz I

I =

⎛

⎜ ⎜ ⎝

150 150 150 150 150 150 150 150 150

⎞

⎟ ⎟ ⎠

(51)

J =

⎛

⎜ ⎜ ⎝

107 97 160 192 137 193 132 95 130

⎞

⎟ ⎟ ⎠

As grandes diferen¸cas aparecendo entreI eJ, explicam que algumaswavelets finas provocam grandes coeficientes e que são então guardados pela limiariza¸cão, mesmo estando-se numa região homogênea.

Para resolver um pouco esta dificuldade, toma-se o logaritmo da imagem corromp-ida e se aplica a limiariza¸cão sobre a imagem resultante. Obtém-se então um ru´ıdo aditivo log(1 +n) e a limiariza¸cão é finalmente mais adaptada.

Os resultados da Tabela 4.2 mostram a melhor rela¸c˜ao sinal/ru´ıdo (expresso em

dB) encontrado dentre diferentes limiares e conservando uma boa qualidade de ima-gem. A melhora qualidade foi obtida ao utilizando uma limiariza¸c˜ao suave.

lena baboon cameraman peppers

SNR original 9,7020 9,5055 9,5763 9,6073

SNR da imagem limiarizada 18,8761 14,9794 19,5648 20,0451 Tabela 4.2: resultados da limiariza¸c˜ao sobre 4 imagens corrompidas por um ru´ıdo

speckle artificial.

(52)

Cap´ıtulo 4: Aplica¸cão da transformadawavelets na redu¸cão do ru´ıdo speckle 37 A grande vantagem desta abordagem é o baixo tempo de processamento obtido gra¸cas a decomposi¸cão rápida em wavelets. A Tabela 4.3 confirma este resultado:

64_×64 128_×128 256_×256 512_×512 Tempo de execu¸c˜ao 0,26 sec 0,35 sec 0,6 sec 1,6 sec

4.2 Estima¸

c˜

ao bayesiana no dom´ınio das wavelets

4.2.1 Transformada logar´ıtmica

Como é explicado na seçcão 2.1, quando uma área homogênea é gerada por ultra-ssom, o desvio padrão do sinal aparece proporcional à média, o que sugere um modelo multiplicativo para o ru´ıdo. Um modelo mais geral (como descrito por Jain [Jain 1989]) possui a forma

g =f η+ηa

comη sendo o ru´ıdo multiplicativo eηa _{sendo o ru´ıdo aditivo. Diante da importância} do ru´ıdo multiplicativo, o ru´ıdo aditivo é freqüentemente não considerado; usando-se apenas :

g =f η

o que acarreta uma compress˜ao logar´ıtmica dada por

(53)

se impõem pouco a pouco, já que permitem uma elimina¸cão do ru´ıdo conservando-se os detalhes importantes.

No método desenvolvido por Gupta et al.[Gupta, Chauhan e Saxena 2005] é uti-lizada a transformadawavelets do tipo redundante. A transformadawavelets discreta redundante (TWDR) possui algumas vantagens importantes em compara¸cão com a transformada com sub-amostragens. O fato de sub-amostrar faz que a transformada fique sens´ıvel às transla¸cões da imagens; o que significa que a transformada de uma imagem e da sua translada são diferentes (transforma¸cão shift-variant). Isso não acontece com a TWDR que é invariante à transla¸cão [Michailovich e Tannenbaum 2006].

Com a aplica¸cão TWDR é conservado o mesmo número depixels da imagem orig-inal; o fato de não sub-amostrar permite às imagens obtidas conservar o mesmo tamanho que a imagem original. Esta particularidade possibilita principalmente poder comparar as diferen¸cas entre as transformadas mais facilmente.

Aplicando a TWDR `a Equa¸c˜ao 4.3, tem-se

W(log(g)) =W(log(f)) +W(log(η)) (4.4) que, al´em de ser linear, a ortogonalidade da transformada emwavelets permite conser-var as propriedades estat´ısticas do sinal, i.e., que se log(η) segue uma lei de densidade qualquer, a sua transformada segue esta mesma lei.

4.2.2 Caracter´ısticas estat´ısticas

A equa¸c˜ao geral 4.4 resultante da transformada wavelets ´e agora escrita

(54)

ǫj_l,k, em que l, k s˜ao as coordenardes do pixel na imagem de detalhes no n´ıvel j para qualquer componente H,V ou D.

´

E comum na literatura (por exemplo [R.F.Wagner et al. 1983, Burckhardt 1978]) de modelar o ru´ıdo aditivo distribu´ıdo por uma distribui¸c˜ao de Rayleigh, conforme a equa¸c˜ao:

p(ǫ) = |ǫ|

2α2exp(−

ǫ2

2α2). (4.6)

Tomando n=_|ǫ_|, tem-se

p(n) = n

α2exp(−

n2

2α2)1R+. (4.7)

De um outra lado, uma distribui¸cão gaussiana generalizada pelos coeficientes wavelets do sinal é freqüentemente adotada. Esta pode se aproximar por uma simples gaussiana p(x)

p(x) = 1

σx

√

2πexp(− x2 2σ2

x

) (4.8)

em que σx ´e a desvio padr˜ao do sinal x.

4.2.3 O processamento bayesiano

A partir da modelagem realizada anteriormente, a Equa¸c˜ao 4.5 torne-se

y=x+sign(y₋x)_|ǫ_| (4.9) e pode-se tamb´em estimar a probabilidade do sinal original condicional ao sinal rece-bido, conforme a seguinte equa¸c˜ao.

p(y_|x) = pn(_|y₋x_|) (4.10)

= |y−x|

α2 exp(−

(y₋x)2

(55)

e usando-se a rela¸c˜ao bayesiana, tem-se:

p(x_|y) = p(y|x)p(x)

p(y) . (4.12)

Pode-se então encontrar o estimador MAP ˆxque maximize a probabilidade precedente (a posteriori porquê é depois da observa¸cão do sinal recebido), conforme a equa¸cão seguinte

ˆ

x = arg maxp(x_|y) (4.13)

= arg maxp(y_|x)p(x) (4.14)

= arg maxp(_|y₋x_|)p(x) (4.15) = arg max[log(p(_|y₋x_|)) + log(p(x))] (4.16)

ou seja, usando-se a rela¸c˜ao 4.11, tem-se

ˆ

x= arg max[log(|y−x|

α2 )−

(y₋x)2

2α2 + log(p(x))]. (4.17) ´

E assumido que p(x) pode ser aproximada por uma gaussiana, ou seja o seu maximo é encontrado num único ponto. Pode-se então encontrar o estimador ao calcular a derivada de 4.17

−_y 1 −x +

y₋x

α2 +

d(log(p(x)))

dx

x=ˆx = 0, (4.18)

inserindo a modelagem dep(x), tem-se

log(p(x))) =₋log(√2πσx)₋ x 2 2σ2

x

. (4.19)

A partir da equa¸c˜ao 4.18 resulta ent˜ao o estimador pesquisado:

ˆ

x=sign(y)max0,2|y|σ

2

x+α2|y| −

α4_y2_{+ 4}_α4_σ2

x+ 4α2σx4 2(α2₊_σ2

x)

(56)

4.2.4 Aplica¸

c˜

ao

Do estimador precedente, é óbvio que uma escolha deve ser tomada para a variância do sinal σx. A idéia é usar uma janela relativamente pequena varrendo a imagem, e dentre a qual calcula-se a variância do sinal recebido nesta janela. A janela sendo relativamente pequena, a estima¸cão é então mais representativa e o erro resultante minimizado.

Da Equa¸cão 4.5, tem-se a rela¸cão das variâncias

σ_y2 =σ_x2+ 2α2 (4.21)

Usando o trabalho de Donoho e Johnstone [Donoho e Johnstone 1994, Donoho e Johnstone 1995], existe então a estima¸cão da variância do ru´ıdo:

σ2n= 2α2 =C

mediana(|y_l,k|)

0,6745

para yl,k ∈ {D} (4.22) em que a constanteCé usada para equilibrar a conserva¸cão da informa¸cão da imagem e a elimina¸cão do ru´ıdo.

Tendo os valores de y, o estimador emp´ırico ´e ent˜ao simplesmente usado para encontrarσ2

y:

σy2 = 1

N2

(l,k)∈M

yl,k2 (4.23)

em que M é a janela local de tamanho N _×N. A partir da Equa¸cão 4.21 é então poss´ıvel estimar a variância do sinal:

σ2

x = max(0, σy2−σn2)

(57)

lena baboon cameraman peppers SNR da imagem original 9,7098 9,5446 9,5842 9,6353 SNR de imagem tratada 16,1261 14,7314 14,6815 15,6903

Tabela 4.4: resultados do algoritmo sobre imagens corrompidas por um ru´ıdo speckle artificial de variˆancia 0,04.

64_×64 128_×128 256_×256 512_×512 Tempo de execu¸c˜ao 0,1 sec 0,3 sec 1,2 sec 5,1 sec

A Tabela 4.5 mostra pelo tempo de processamento a baixa complexidade do al-goritmo apresentado

Como o mostra as Tabelas 4.4 e 4.5, este método parece bom e eficiente. Mas, às vezes, a rela¸cão sinal/ru´ıdo não significa uma boa qualidade da imagem.

4.3 Estima¸

c˜

ao e redu¸c˜

ao do ru´ıdo empragedo

wavelets

4.3.1 Descri¸

c˜

ao do m´

etodo

(58)

Cap´ıtulo 4: Aplica¸cão da transformadawavelets na redu¸cão do ru´ıdo speckle 43 Para cada componente da decomposi¸cão em wavelets (Horizontal, Vertical e Di-agonal) e em cada n´ıvel de decomposi¸cão, especificam-se os coeficientes interessantes - fazendo parte da imagem original - construindo uma máscara. Para evitar qualquer confusão, é notado wk o coeficiente de detalhe wavelet sem notar nem o n´ıvel nem a componente considerados. Os rótulos da máscara são definidos da seguinte maneira:

• xk = 1, se o coeficiente de wavelet wk ´e um coeficiente de interesse, que repre-senta uma parte do sinal;

• xk = 0, se o coeficiente dewavelet wk é originado principalmente do ru´ıdo. Sejam yk o verdadeiro coeficiente enk o valor adicionado por causa do fenômeno do ru´ıdo. Usa-se então a seguinte modelagemwk =yk+nk.

´

E conhecido que a probabilidade condicional ´e o estimador que minimiza o erro quadr´atico com o valor buscado:

ˆ

yk = E[yk|xk, wk] (4.24)

= E[yk|wk, xk = 1]P(xk = 1|wk) +E[yk|wk, xk = 0]P(xk= 0|wk) (4.25) Utiliza-se ent˜ao este estimador para recuperar a imagem original. Deste estimador anteriormente definido, podem ser feitas as aproxima¸c˜oes seguintes:

• se xk = 1, o coeficiente faz parte do sinal, considera-se ent˜ao o ru´ıdo nulo,

E[yk|wk, xk = 1] =wk;

• sexk = 0, o coeficiente faz parte do ru´ıdo, considera-se ent˜aoyknulo,E[yk|wk, xk = 0] = 0.

Isto que resulta em

ˆ

(59)

Aplicando-se da lei de Bayes, pode-se expressar P(xk = 1|wk) como uma raz˜ao de esperan¸ca generalizado [Middleton e Esposito 1968], o estimador torna-se

ˆ

yk =

ξkµk 1 +ξkµk

wk em que, ξk =

pWk|Xk(wk|1)

pWk|Xk(wk|0)

, µk=

P(Xk = 1|ε)

P(Xk = 0|ε),

(4.27) em que ε traduz um conhecimento a priori que é utilizado para estimar as probabil-idades de presen¸ca e ausência do sinal (comentário sobre a nota¸cão: as variáveis em maiúscula correspondem às variáveis aleatórias adotam-se valores de variáveis escritas em minúscula).

Para o conhecimento a priori de cada um dos coeficientes das wavelets, usa-se um indicador ek que exprime a atividade espacial local. Ao considerar uma janela 3_×3, para o coeficiente ao centro da janela wk, a sua atividade espacial local ´e ent˜ao definida da forma seguinte

ek =

l_∈{1,...,8}

(2xl−1). (4.28)

Observa-se que a atividade é fortemente negativa se todos vizinhos não represen-tam caracter´ıstica (_∀l, xl = 0), que é grande em caso contrário, quando todos são importantes (_∀l, xl = 1), e que no caso em que se tem uma indecisão (número de vizinhos xl = 0 igual ao numero de vizinhos xl = 1), ek = 0. Estas observa¸cões confirmam que a Equa¸cão 4.28 exprime bem um conhecimento a priori.

O que resulta para µk

ˆ

µk=

P(Xk = 1|ek)

P(Xk = 0|ek)

=rpEk|Xk(ek|1)

pEk|Xk(ek|0)

(4.29) em que r ´e a raz˜ao das probabilidades a priori

r= P(Xk= 1)

P(Xk= 0)

. (4.30)