ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA DAS MOLAS HORIZONTAIS E VERTICAL

VERTICAL

Outra forma de estudar o comportamento do sistema com NSS é analisando a energia potencial elástica das molas horizontais e vertical em função do deslocamento vertical da massa relativo às molas horizontais.

Timoshenko e Gere (1961) demonstra os três casos de equilíbrio representados por uma esfera apoiada sobre uma superfície, Figura 5.5. Conclui-se que em (a) superfície côncava tem-se o equilíbrio estável, em (b) superfície convexa tem-se o equilíbrio instável e em (c) superfície plana tem-se o equilíbrio indiferente ou neutro. Fazendo uma analogia ao gráfico da energia potencial elástica em função do deslocamento tem-se no primeiro caso (Figura 5.5a) que ao movimentar a esfera, seu centro de gravidade sobe, sendo necessária uma certa quantidade de trabalho para produzir um deslocamento, assim a energia potencial aumenta com qualquer deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio; no segundo caso (Figura 5.5b) ao movimentar a esfera, seu centro de gravidade cai, assim a energia potencial diminui com qualquer deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio; no terceiro caso (Figura 5.5c) não há alteração de energia potencial com o deslocamento da esfera.

(a) (b) (c)

Figura 5.5 - Estados de equilíbrio para um corpo rígido; (a) equilíbrio estável; (b) equilíbrio instável; (c) equilíbrio neutro. (TIMOSHENKO E GERE, 1961)

Figura 5.6 - Energia potencial elástica das molas horizontais parametrizada, , em função do

deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado,

Na Figura 5.6 é possível observar dois pontos de equilíbrio estável e um ponto de equilíbrio instável. Os dois pontos de equilíbrio estável em e e o ponto de equilíbrio instável em se dão quando . No decorrer do trabalho simula-se o comportamento dinâmico da massa com início do movimento em , posição de equilíbrio estável no deslocamento positivo.

Da mesma forma como foi avaliada a influência dos parâmetros , e no comportamento do gráfico da força das molas horizontais e vertical em função do deslocamento vertical relativo às molas horizontais, parametrizados, estuda-se a influência dos mesmos parâmetros no comportamento do gráfico da energia potencial elástica das molas horizontais e vertical em função do deslocamento relativo às molas horizontais, também parametrizados.

A Figura 5.7 mostra a energia potencial elástica parametrizada das molas horizontais, , em função do deslocamento vertical parametrizado da massa relativo às molas horizontais , equação 3.45. Para entender a influência de mantem-se constante o e varia o valor de para cada curva gerada. O parâmetro , por depender de e , varia como resultado da equação da equação 3.30. Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.7 estão na Tabela 5.4. O deslocamento relativo varia de a , que é toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente.

Figura 5.7 - Energia potencial elástica das molas horizontais parametrizada, , em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, ; constante. Em 1, ; 2,

; 3, ; 4, ; 5, Interpreta-se a Figura 5.7:

 Para vê-se apenas um ponto de equilíbrio estável, um comportamento semelhante a um sistema com PSS, uma mola linear ligada diretamente à massa. Reforça a interpretação da Figura 5.2, esta condição influencia pouco no comportamento dinâmico da massa.  Para a se vê os três pontos de equilíbrio ilustrados na

Figura 5.6, percebe-se que quanto maior o valor de maior a energia potencial elástica no ponto de equilíbrio instável. Confirma a interpretação da Figura 5.6 em que os pontos de equilíbrio estável do

-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 z parametrizado V ^k h p a ra m e tr iza d o 1 2 3 4 5

ponto de equilíbrio instável que apresenta boas respostas dinâmicas.

A Figura 5.8 mostra a energia potencial elástica parametrizada das molas horizontais em função do deslocamento vertical parametrizado da massa relativo às molas horizontais , equação 3.45. Para entender a influência de mantem-se constante o e varia o valor de para cada curva gerada. O parâmetro , por depender de e , varia como resultado da equação 3.30. Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.8 estão na Tabela 5.5. O deslocamento relativo varia de a , que é toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente.

Figura 5.8 - Energia potencial elástica das molas horizontais parametrizada, , em função do deslocamento da massa relativo às molas horizontais parametrizado, ; constante. Em 1, ;

2, ; 3, ; 4, -1.4⁰ -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 z parametrizado V^k h p a ra m e tr iza d o 1 2 3 4

Interpreta-se a Figura 5.8:

 O valor de limita o curso de deslocamento da massa, a medida que aumenta o valor de as curvas ficam mais extensas.

 Na curva 1 tem-se , como observado na Figura 5.7, a curva apresenta um ponto de equilíbrio instável.

 Conforme o valor de aumenta e fica mais distante de , a energia potencial elástica no ponto de equilíbrio instável fica menor, aproximando o comportamento da curva à de um sistema com um ponto de equilíbrio estável, sistema com PSS.

Das interpretações das Figuras 5.3 e 5.8 escolhe-se como base para as análises dinâmicas o valor de para por possuir um comportamento bem definido para um sistema com estrutura de rigidez negativa e apresentar um curso de deslocamento suficiente para ter boas respostas dinâmicas.

Como última análise estuda-se a influência do na construção dos gráficos vistos anteriormente.

Estuda-se a soma da energia potencial elástica parametrizada das molas horizontais e mola vertical, , em função do deslocamento vertical parametrizado da massa relativo às molas horizontais , equação 3.50. Para entender a influência de mantêm-se constantes , e e varia o valor de para cada curva gerada. Os valores dos parâmetros usados para gerar o gráfico da Figura 5.9 estão na Tabela 5.7. O deslocamento relativo varia de a , que é toda a extensão que a massa pode se deslocar fisicamente.

Interpreta-se a Figura 5.9:

 Quanto menor o valor de mais o comportamento da curva se aproxima à de um sistema com PSS, menos a estrutura de rigidez negativa influencia no comportamento dinâmico da massa. Em têm-se apenas um ponto de equilíbrio estável.

 Os três pontos de equilíbrio ilustrados na Figura 5.6 ficam evidentes em , desta forma escolhe-se o valor de como base para as análises dinâmicas.

Figura 5.9 - Energia potencial elástica das molas horizontais parametrizada, , em função do deslocamento relativo da massa parametrizado, , para diferentes valores de