O operador de energia Teager é definido como,
Ψ(x(t)) = ˙x(t)2− x(t) ¨x(t) (4.6)
em caso continuo (onde ˙xsignifica a primeira derivada de x e ¨xsignifica a segunda derivada de x). Para o caso discreto tem-se,
Ψ[x(n)] = x[n]2− x[n − 1]x[n + 1] (4.7)
Na literatura tradicional de processamento de sinal quando se fala de energia de um sinal, é comum se referir à média do quadrado da soma das amplitudes do sinal como representação de energia. Um alternativa comum é o uso da Transformada Discreta de Fourier do sinal, no qual o quadrado da amplitude das amostras das frequências da transformada calculada assume-se como a energia dos respectivos componentes de frequência. Têm-se, portanto, que um sinal unitário de 10 Hz tem a mesma energia que um sinal de 100 Hz, mesmo que a energia necessária para gerar o sinal de 100 Hz seja muito maior que a energia necessária para gerar o sinal de 10 Hz (58).
O Operador de energia Teager ou operador Teager-Kaiser calcula a energia de um sinal baseado não apenas na amplitude, mas na frequência do sinal. Como mostrado em (58), seja xn amotras de um sinal representando o movimento de um corpo oscilatório. Sendo,
xn= A cos(Ωn + φ) (4.8)
onde Ω é a frequência digital do sinal em radianos/amostra e é dada por:
Ω =2π f
fd (4.9)
onde f é a frequência analógica e fd é a frequência de amostragem e φ é uma fase inicial arbitrária em radianos. Considerando três pontos amostrados igualmente espaçados, temos que
xn= A cos(Ωn + φ)
xn+1= A cos(Ω(n + 1) + φ) xn−1= A cos(Ω(n − 1) + φ)
(4.10)
usando conhecimentos de identidades trigonométricas, chega-se a
4.3. ENERGIA TEAGER 56
a Equação4.11é válida somente para frequências de amostragem no mínimo quatro vezes maior que a frequência analógica. Para valores pequenos de ω, temos que sin(Ω) = Ω, limitando o Ω < π4, tem-se
A2Ω2= x2n− xn+1xn−1 (4.12)
A expressão4.12dá uma boa medida do sinal oscilante quando a taxa de amostragem do sinal é maior que oito vezes a frequência de oscilação do sinal. Sendo essa expressão uma forma simples de algoritmo para obter a medida de energia de qualquer componente simples do sinal.
En= x2n− xn+1xn−1= A2sin2(Ω) ≈ A2Ω2 (4.13)
onde Ené a saída do algoritmo e xné o sinal analisado. Dessa expressão verifica-se que a energia é independente da fase inicial, φ, da oscilação e é capaz de responder muito rápido em dois instantes de amostragem para mudanças de amplitude (A) e em frequência (Ω).
4.3.1
Propriedades da Energia Teager
4.3.1.1 Um sinal senoidal exponencialmente amortecido
Seja um sinal
xn= Ae−ansin Ωn + φ (4.14)
esse sinal representa uma senoide exponencialmente amortecida com constante de tempo da exponencial sendo proporcional a 1a. Temos, então, uma energia Teager dada por
En≈ A2e−2anΩ2 (4.15)
visto que o sinal tem frequência constante e decresce exponencialmente, a energia Teager do sinal decresce com uma taxa duas vezes mais rápida que o sinal de entrada. O resultado pode ser observado na Figura4.19.
Fonte:Kaiser(58) Figura 4.19 – Sinal senoidal exponenciamente amortecido e sua respectica energia Teager
Se o sinal for uma constante a energia Teager resulta em En= 0.
4.3.1.2 Um sinal Chirp
Um sinal chirp corresponde a uma senoide cuja frequência varia no tempo. O algoritmo de Teager é capaz de rastrear efetivamente a mudança de frequência do sinal chirp. Pode ser observado na Figura4.20a energia Teager do sinal chirp e como a energia rastreia a mudança na frequência.
Fonte:Kaiser(58) Figura 4.20 – Sinal chirp e sua respectica energia Teager
4.3. ENERGIA TEAGER 58
4.3.1.3 Um sinal composto de dois componentes de frequência
Seja o sinal
xn= A1sin(Ω1n+ φ1) + A2sin(Ω2n+ φ2) (4.16) as amplitudes e frequências dos dois componentes são A1, A2, Ω1eΩ2respectivamente. Aplicando o algoritmo de Teager a esse sinal de entrada, temos que:
En≈ A21Ω21+ A22Ω22+ A1A2[1 − cos(Ω1+ Ω2)] cos[(Ω1− Ω2)n + (φ1− φ2)] (4.17)
nesse caso a energia Teager total não é somente a soma da energia Teager de cada termo, mas também tem um termo cruzado tendo uma variação cossenoidal relativo à diferença de frequência de cada componente de frequência. O efeito desse termo cruzado pode ser observado na Figura 4.21.
Fonte:Kaiser(58) Figura 4.21 – Sinal com dois componentes de frequência e sua respectica energia Teager
Uma característica muito importante desse algoritmo, é que nos casos em que o sinal é formado apenas por uma única componente senoidal que varia a frequência rapidamente, o algoritmo é eficaz em rastrear eficientemente a frequência instantânea do sinal.
5 Resultados e Discussão
Neste capítulo serão apresentados os experimentos realizados em bancada, bem como os experimentos simulados, também serão apresentados os parâmetros utilizados, as condições e restrições de cada experimento e os resultados obtidos em cada um dos experimentos. A implementação do algoritmo foi feita em um software de simulação matemática, em uma plataforma computacional com processador Intel Core i5-5200U, CPU 3.20 GHz, memória de 4 GB com sistema operacional Windows de 64 bits.
Os resultados são baseados em dados coletados em bancada no laboratório da WEG, utilizando um osciloscópio de 4 canais não isolados de 100 MHz, com 2 GSa/s (modelo: DSO5014A – Agilent Technologies) e uma ponteira de corrente AC/DC Agilent 1146A, com capacidade de 0 a 70A rms (100A pico), saída 10mV/A, 100mV/A. Todas as medições foram feitas com uma frequência de amostragem de 5000 amostras/segundo (5 kHz). E, em todos os casos, o motor foi ligado com tensão de alimentação de 126V (um terço da tensão nominal de 380V) e frequência de rede de 60 Hz. A partida do motor foi realizada a vazio, ou seja, desacoplada de qualquer carga em seu eixo. E a ligação foi feita através de um gerador com controle de tensão.
A análise dos resultados visa avaliar a eficiência do uso do filtro passa faixa como ferramenta de detecção de falha em rotores com barras falhadas, tendo a energia Teager como uma ferramenta de quantificação da falha. Para cada rotor foram feitas três medições e os rotores são classificados como:
• Rotor 1 – Sem falha (R1);
• Rotor 2 – 1 barra totalmente falhada (R2);
• Rotor 3 – 2 barras adjacentes totalmente falhadas (R3);
• Rotor 4 – 2 barras a 90◦totalmente falhadas (R4);
• Rotor 5 – 2 barras a 180◦totalmente falhadas (R5);
• Rotor 6 – 1 barra com porosidade (R6).