Na seguinte descrição, supõese uma máquina de 2 polos (com p = 2). Essa análise é posteriormente generalizada para uma máquina multipolo por meio do Exemplo 9.2.
Nas máquinas CA, idealmente os enrolamentos em cada fase devem produzir um campo radial distribuído senoidalmente (F, H e B) no entreferro. Teoricamente, isso requer um enrolamento distribuído senoidalmente em cada fase. Na prática, isto se aproxima de uma variedade de formas discutidas nas Referências [1] e [2]. Para visualizar a distribuição senoidal, considerar o enrolamento da fase a, mostrado na Figura 9.2a, em que, nas ranhuras, o número de espiras por bobina para a fase a se incrementa progressivamente afastandose do eixo magnético, alcançando o máximo em θ = 90°. Cada bobina, tal como a bobina com os lados 1 e 1′, abrange 180 graus onde a corrente entra no lado 1 da bobina e retorna no lado 1′ contornando a extremidade posterior na parte de trás da máquina. Essa bobina (1, 1′) é conectada em série com a bobina (2, 2′), no lado 2 dessa bobina, e assim por diante. Graficamente, como exemplo, um enrolamento para a fase a pode ser desenhado como mostrado na Figura 9.2b, em que os maiores círculos representam as maiores densidades de condutores, observando que todos os condutores no enrolamento estão em série e por isso conduzem a mesma corrente.
FIGURA 9.1 Eixo magnético das três fases em uma máquina de 2 polos.
FIGURA 9.2 Enrolamento distribuído senoidalmente para a fase a.
Na Figura 9.2b, na fase a, a densidade de condutores ns(θ), em termos do número de condutores por
ângulo em radianos, é uma função senoidal do ângulo θ, e pode ser expressa como
em que s é a máxima densidade de condutores, que ocorre em θ = π/2. Se o enrolamento da fase tem um
Igualando o lado direito das Equações 9.2 e 9.3,
FIGURA 9.3 Cálculo da distribuição de campo no entreferro.
Substituindo s da Equação 9.4 na Equação 9.1 resulta na distribuição de densidade de condutores
senoidal no enrolamento da fase a como
Em uma máquina multipolo (com p > 2), o pico da densidade de condutor permanece o mesmo, Ns/2,
conforme a Equação 9.5, para uma máquina de dois polos. (Isso é mostrado no Exemplo 9.2 e no Exercício 9.4.)
Antes de restringir a expressão da densidade de condutores para o intervalo 0 < θ < π, você pode interpretar o intervalo negativo, de π < θ < 2π, da densidade de condutores associando com a condução da corrente em direção oposta, como indicado na Figura 9.2b.
Para obter a distribuição de campo no entreferro (fmm, densidade de fluxo e intensidade de campo magnético) causada pela corrente do enrolamento, usase a simetria na Figura 9.3.
Os campos orientados radialmente no entreferro nos ângulos θ e (θ + π) são iguais em magnitude, mas opostos em direção. Supõese que seja positiva a direção do campo que se afasta do centro da máquina. Portanto, a intensidade de campo magnético no entreferro estabelecida pela corrente ia (por isso o subscrito
“a” do inglês air gap) nas posições θ e (θ + π) será igual em magnitude, mas com sinais opostos: Ha(θ + π) =
–Ha(θ). Para explorar esta simetria, aplicase a Lei de Ampère a uma trajetória fechada mostrada na Figura 9.3 através dos ângulos θ e (θ + π). Supõese que a permeabilidade seja infinita no ferro do estator e rotor e por conseguinte a intensidade de campo H seja zero no ferro. Em termos de Ha(θ), a aplicação da Lei de
em que ℓg é o comprimento de cada entreferro, e o sinal negativo está associado à integral na direção para
dentro porque, enquanto a trajetória de integração é para dentro, a intensidade de campo é medida no lado de fora. No lado direito da Equação 9.6, ns(ξ) × dξ é o número de voltas fechadas no ângulo diferencial dξ com
relação ao ângulo ξ como medido na Figura 9.3. Na Equação 9.6, a integração de 0 a π fornece o número total de condutores fechados pela trajetória escolhida, incluindo os condutores “negativos” que conduzem a corrente na direção oposta. Substituindo a expressão da densidade de condutores da Equação 9.5 na Equação 9.6,
Utilizando a Equação 9.7, a densidade de fluxo radial Ba(θ) e a fmm Fa(θ) atuando no entreferro no
ângulo θ podem ser escritas como
a.
b.
No enrolamento da fase a, distribuído senoidalmente, mostrado na Figura 9.3, Ns = 100; a corrente é ia = 10
A; o comprimento do entreferro é ℓg = 1 mm. Calcule os ampères espiras contidos e a correspondente H, F e
B do campo para as seguintes trajetórias de integração da Lei de Ampère: (a) para θ igual a 0° e 180°, como
mostrado na Figura 9.5a; (b) para θ igual a 90° e 270°, como mostrado na Figura 9.5b.
Amostra
Em θ = 0°, das Equações 9.7 a 9.9,
Todas as quantidades do campo alcançam sua magnitude máxima em θ = 0° e θ = 180°, porque a trajetória através delas fecha todos os condutores que estão conduzindo a corrente na mesma direção.
Das Equações 9.7 a 9.9, em θ = 90°,
A metade dos condutores fechados por essa trajetória, como mostrado na Figura 9.5b, conduz a corrente em direção oposta à outra metade. O efeito líquido é o cancelamento de todas as quantidades do campo no entreferro em 90 e 270 graus.
FIGURA 9.5 Trajetórias correspondentes ao Exemplo 9.1.
Devemos notar que há um número limitado de ranhuras ao longo da periferia do estator, e, em cada fase, está distribuída somente uma fração do total de ranhuras. Apesar dessas limitações, a distribuição do campo
anteriormente. Como o objetivo do livro não é o projeto da máquina, deixamos para os leitores interessados investigar detalhes sobre o tema, nas Referências [1] e [2].
Exemplo 9.2
Considere o enrolamento da fase a para um estator de 4 polos (p = 4), como mostrado na Figura 9.6a. Todos os condutores estão em série. Assim como na máquina de 2 polos, a densidade de condutores é uma função senoidal. O número total de espiras por fase é Ns. Obtenha as expressões para a densidade de condutores e a
distribuição de campo, ambas em função da posição.
Amostra Definir um ângulo elétrico θe em termos do ângulo real (mecânico) θ:
Saltando alguns passos (veja o Exercício 9.4), podemos mostrar que em termos de θe a densidade de
condutores na fase a de um estator de p polos deve ser
Para calcular a distribuição de campo, aplicase a Lei de Ampère ao longo da trajetória através de θe e (θe
+ π), conforme mostra a Figura 9.6a, e usase a simetria. O procedimento é similar àquele utilizado para uma máquina de 2 polos (os passos intermediários são saltados, deixandoos como dever de casa no Exercício 9.5). Os resultados para uma máquina multipolo (p ≥ 2) são como a seguir.
9.2.1
da distribuição abrange 180 graus mecânicos; portanto, a distribuição é repetida duas vezes em torno da periferia do entreferro.
Enrolamentos Trifásicos do Estator Distribuídos Senoidalmente
Na seção anterior, focamos somente a fase a, que tem seu eixo magnético ao longo de θ = 0°. Há mais dois enrolamentos idênticos distribuídos senoidalmente para as fases b e c, com eixos magnéticos em θ = 120° e θ = 240°, respectivamente. Esses enrolamentos são conectados geralmente em estrela juntando os terminais a′, b′ e c′, conforme mostrado na Figura 9.7b.As distribuições de campo no entreferro devido às correntes ib e ic são idênticas em forma àquelas nas
Figuras 9.4a e 9.4b, devido a ia, mas alcançam o valor máximo ao longo de seus respectivos eixos magnéticos
da fase b e fase c. Pela Lei de Correntes de Kirchhoff, na Figura 9.7b,
Exemplo 9.3
Em qualquer instante t, os enrolamentos do estator de uma máquina de 2 polos mostrado na Figura 9.7b têm
ia = 10 A, ib = –7 A e ic = –3 A. O comprimento do entreferro ℓg = 1 mm, e cada enrolamento tem Ns = 100
espiras. Desenhe a densidade de fluxo em função de θ produzido por cada corrente e a densidade de fluxo resultante Bs (θ) no entreferro devido ao efeito combinado das três correntes do estator nesse tempo. Note que
o subscrito “s” (que se refere ao estator, do inglês stator) inclui o efeito das três fases do estator na distribuição de campo no entreferro.
Amostra Da Equação 9.8, o pico da densidade de fluxo produzido pela corrente i de qualquer fase é
As distribuições das densidades de fluxo são desenhadas em função de θ na Figura 9.8 para os valores fornecidos das correntes de fase.
Note que Ba tem seu pico em θ = 0°, Bb tem seu pico negativo em θ = 120°, e Bc tem seu pico negativo
• •
números complexos, que foram abordados no Capítulo 3.
De forma similar, em máquinas CA, em qualquer instante t, as distribuições espaciais senoidais dos campos (B, H, F) no entreferro podem ser representadas por vetores espaciais. Em qualquer instante t, na representação de uma distribuição de campo no entreferro com vetores espaciais, devese notar o seguinte:
O pico da distribuição de campo é representado pela amplitude do vetor espacial.
A distribuição de campo tem seu pico positivo, e o ângulo θ, medido com relação ao eixo magnético da fase a (por convenção escolhido como o eixo de referência), é representado pela orientação do vetor espacial.
De modo similar aos fasores, os vetores espaciais são expressos por números complexos. Esses vetores espaciais são denotados pelo sinal “→” na parte superior, e sua dependência do tempo é explicitamente mostrada.
Consideremos primeiro a fase a. Na Figura 9.9a, em qualquer instante t, a fmm produzida pelo enrolamento da fase a distribuído senoidalmente tem uma forma cossenoidal (distribuição) no espaço, ou seja, essa distribuição sempre atinge o valor de pico ao longo do eixo magnético da fase a; em outras partes, esse valor varia com o cosseno do ângulo θ afastandose do eixo magnético.
A amplitude da distribuição espacial cossenoidal depende da corrente ia da fase, a qual varia com o tempo.
Portanto, como mostrado na Figura 9.9a, em qualquer instante t, a distribuição da fmm devido a ia pode ser
FIGURA 9.9 Representação do vetor espacial da fmm em uma máquina.
A amplitude de é (Ns/2) vezes ia(t), e é sempre orientado ao longo do eixo magnético da fase a no
ângulo 0°. O eixo magnético da fase a é sempre utilizado como eixo de referência. Uma representação similar à distribuição da fmm pode ser utilizada para a distribuição da densidade de fluxo.
Analogamente, em qualquer tempo t, as distribuições da fmm produzida pelos enrolamentos das outras duas fases podem ser representadas pelos vetores espaciais orientados ao longo de seus respectivos eixos magnéticos em 120° e 240°, como mostrado na Figura 9.9a para os valores negativos de ib e ic. Em geral, em qualquer instante, temos os seguintes três vetores espaciais representando as respectivas distribuições de fmm:
Note que a distribuição senoidal da fmm no entreferro em qualquer tempo t é uma consequência da distribuição senoidal dos enrolamentos. Como mostrado na Figura 9.9a para um valor positivo de ia e valores
negativos de ib e ic (tal que ia + ib + ic = 0), cada um desses vetores está apontado na direção de seu eixo
magnético correspondente, com sua amplitude dependendo da corrente no enrolamento nesse tempo. Devido às três correntes do estator, a distribuição resultante da fmm é representada pelo vetor espacial resultante, que é obtido pela soma dos vetores na Figura 9.9b:
em que s é a amplitude do vetor espacial e θFs é a orientação (com o eixo a como referência). O vetor
espacial representa a distribuição da fmm no entreferro nesse tempo t
FIGURA 9.10 (a) Vetor espacial da resultante da densidade de fluxo; (b) distribuição da densidade de fluxo. devido às três correntes; s representa o pico da amplitude da distribuição, e θFs é a posição angular em que
o pico positivo da distribuição é localizado. O subscrito “s” se refere à fmm composta devido às três fases do estator. O vetor espacial nesse tempo na Figura 9.9b representa a distribuição de fmm no entreferro, que é desenhado na Figura 9.9c.
Expressões similares a na Equação 9.16a podem ser obtidas para os vetores espaciais representando a densidade de fluxo composta do estator e as distribuições da intensidade de campo:
Como estão relacionadas entre si, essas três distribuições de campo, representadas por vetores espaciais definidos nas Equações 9.16a a 9.16c? Essa questão é respondida pelas Equações 9.21a e 9.21b na Seção
9.4
Exemplo 9.4
Em uma máquina trifásica de dois polos, cada um dos enrolamentos distribuídos senoidalmente tem Ns = 100
espiras. O comprimento do entreferro é ℓg = 1,5 mm. Em um tempo t, ia = 10 A, ib = –10 A, e ic = 0 A.
Utilizando vetores espaciais, calcule e desenhe a resultante da distribuição de densidade de fluxo no entreferro nesse tempo.
Amostra Das Equações 9.15 e 9.16, notando que matematicamente 1 ∠ 0° = cos θ + j sen θ
Das Equações 9.8 e 9.9, Ba(θ) = (µ0/ℓg)Fa(θ). A mesma relação se aplica às quantidades de campo devido
às três correntes de fase do estator sendo aplicadas simultaneamente; isto é, Bs(θ) = (µ0/ℓg)Fs(θ). Portanto,
em qualquer tempo t,
Esse vetor espacial é desenhado na Figura 9.10a. A distribuição de densidade de fluxo tem um valor de pico de 0,73 T, e o pico positivo está localizado em θ = –30°, como mostrado na Figura 9.10b. Em outras partes, a densidade de fluxo radial no entreferro, devido à ação composta das três correntes de fase, é cossenoidalmente distribuída.