Este cap´ıtulo tem por finalidade apresentar todos os resultados obtidos a partir de testes realizados com a plataforma desenvolvida, bem como descrever e discutir os proce- dimentos adotados para que se chegasse a esses resultados.
4.1
Determina¸c˜ao da Ordem do Modelo
No cap´ıtulo de fundamenta¸c˜ao te´orica, mais precisamente na se¸c˜ao que discute acerca de modelos discretos, optou-se usar um modelo ARX (Auto-Regressivo com Entradas Ex´ogenas) para representar o sistema t´ermico tamb´em j´a abordado neste trabalho. Essa escolha se deve ao fato da propriedade auto-regressora desse modelo, permitindo adequ´a-lo facilmente a forma exigida pelo algoritmo dos m´ınimos quadrados recursivos, al´em de sua simplicidade em rela¸c˜ao ao modelo ARMAX, facilitando os c´alculos aqui apresentados.
O pr´oximo passo, j´a com a estrutura ARX em m˜aos, seria determinar a ordem mais adequada para o modelo ARX. Para isso lan¸ca-se m˜ao do algoritmo PLS discutido em se¸c˜oes anteriores. No entanto, para a utiliza¸c˜ao desse algoritmo, algumas decis˜oes s˜ao de extrema importˆancia. A primeira delas ´e a escolha do sinal de entrada adequado, de forma que o sistema seja devidamente excitado, contribuindo para a estima¸c˜ao de sua ordem. O sinal de excita¸c˜ao escolhido foi uma onda quadrada, especificada em termos de temperatura, com dois graus de diferen¸ca entre o n´ıvel alto (44.5oC) e o n´ıvel baixo
(42.5oC) e um per´ıodo de duzentos segundos. Essa escolha foi baseada em sugest˜oes de
Hemerly (2000), que utiliza um sinal parecido para excita¸c˜ao de seu sistema e tamb´em na conveniˆencia em rela¸c˜ao a resultados obtidos ainda nessa subse¸c˜ao.
A escolha do per´ıodo apresentado no par´agrafo anterior remete a outro problema: qual seria a taxa de amostragem ideal a ser adotada? ´E necess´ario lembrar que processos t´ermicos s˜ao lentos por natureza, justamente por lidar com varia¸c˜oes de temperatura. Em Hemerly (2000) ´e utilizado um per´ıodo de amostragem de 0.2 segundos para amostrar
dados que descrevem a velocidade de um motor de corrente continua. Considerou-se ent˜ao razo´avel a utiliza¸c˜ao de uma taxa de amostragem de 1 segundo, a mesma utilizada em Montenegro et al. (2006) para um processo t´ermico, al´em ´e claro, da simplifica¸c˜ao dos c´alculos e mostra gr´afica dos resultados.
Visto que a rela¸c˜ao entre o percentual do PWM, que determina o seu ciclo de traba- lho (duty cicle), e a temperatura alcan¸cada pelo sistema n˜ao ´e conhecida, alguns testes preliminares foram feitos. Configurou-se ent˜ao o PWM em 50% e, obtendo uma curva caracter´ıstica ap´os 1000 amostras a 1 segundo cada, e procedeu-se da mesma forma para um PWM de 55%. A figura 18 ((a) e (b)) mostra as curvas obtidas para o PWM igual a 50% (a) e 55% (b).
Figura 18: Respostas do Sistema ao PWM=50% e PWM=55%.
A partir da an´alise dos gr´aficos da figura 18 pˆode-se de fato excitar o sistema com a onda quadrada sugerida no par´agrafo anterior, obtendo-se a curva mostrada na figura 19 para um tempo de observa¸c˜ao de 1200 segundos.
A partir do conjunto de dados mostrados na figura 19 lan¸cou-se m˜ao do algoritmo PLS escrito em linguagem de script do Matlab e executado no mesmo ambiente. ´E importante que alguns aspectos desse algoritmo sejam novamente abordados. O script desenvolvido testa o conjunto de dados obtidos com o ensaio anterior para trˆes considera¸c˜oes de ordem: primeira segunda e terceira. Isso se deve ao fato de processos t´ermicos normalmente possu´ırem ordem baixa, ou pelo fato da possibilidade de um sistema poder ser representado por uma ordem menor, quando conveniente (OGATA, 2003) (AGUIRRE, 2000). Para cada uma das trˆes ordens foram acrescentados fatores de entrada e sa´ıda no modelo ARX, ou
0 200 400 600 800 1000 1200 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 Tempo(s) Temperatura(ºC)
Figura 19: Resposta do Sistema `a onda quadrada.
seja, para a primeira ordem y(n − 1)eu(n − 1), para a segunda y(n − 2)eu(n − 2) e o mesmo para a terceira ordem y(n − 3)eu(n − 3).
Em cada itera¸c˜ao do algoritmo PLS foi guardado o erro de predi¸c˜ao dos parˆametros. Os respectivos erros s˜ao mostrados na figura 20 para as trˆes ordens respectivamente:
Figura 20: Erros de cada itera¸c˜ao do PLS.
S´o com a an´alise dos gr´aficos da figura 20 (a, b e c) j´a ´e poss´ıvel perceber que um modelo de primeira ordem seria mais adequado, o que ´e constado pelos valores para os quais converge o erro m´edio quadr´atico para cada ordem, sendo para a primeira 0.9377 (a), para a segunda 4.7105 (b) e 3.7173 (c) para a terceira ordem. Apesar de muitas amostras (1200) terem sido coletadas e do referido ensaio com o algoritmo PLS apontar para um modelo de primeira ordem pode-se levantar a hip´otese do erro m´edio quadr´atico para a predi¸c˜ao dos parˆametros de terceira ordem venham a convergir para um valor menor
ou igual ao da primeira ordem, contudo, com os dados que se tem em m˜aos, o modelo de primeira ordem ser´a adotado, facilitando, mais uma vez os c´alculos subseq¨uentes. A equa¸c˜ao a seguir mostra o modelo ARX para o sistema t´ermico em quest˜ao, j´a com a sua ordem determinada.
y(k) = a1y(n − 1) + b1u(n − 1) (4.1)
Onde a1 e b1 s˜ao os coeficientes que ser˜ao determinados com o m´etodo dos m´ınimos
quadrados recursivos.
4.2
Projeto e Simula¸c˜ao do Controlador Adaptativo
A t´ecnica de projeto do controlador que ser´a executada a cada estima¸c˜ao de parˆametro, pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados recursivos, ´e a t´ecnica de aloca¸c˜ao de p´olos (HE- MERLY, 2000) (ASTROM; WITTENMARK, 1995). Como j´a explicado, esse procedimento permite que especifica¸c˜oes de desempenhos sejam dadas para a determina¸c˜ao dos p´olos de malha fechada do sistema. ´E preciso ent˜ao obter a fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema em malha fechada, cujo diagrama de blocos pode ser representado pelo diagrama da figura 4 do primeiro capitulo deste trabalho, substituindo-se C(s) por C(z), como sendo fun¸c˜ao de transferˆencia do controlador PI na vari´avel complexa z, e G(s) por G(z), como sendo a fun¸c˜ao de primeira ordem obtida a partir da transformada Z da equa¸c˜ao discreta (4.1).
C(z) = q0z + q1
z − 1 G(z) = b1
z − a1
(4.2) Onde C(z) e G(z) podem ser representadas na forma polinomial:
C(z) = B(z)
A(z) G(z) = Q(z) P (z)
De forma que, seguindo os passos de Montenegro et al. (2006), a fun¸c˜ao em malha fechada do referido sistema ´e dada por:
M(z) = B(z)Q(z) A(z)P (z) + B(z)Q(z) (4.3) Substituindo (4.2) em (4.3): M(z) = b1(q0z + q1) (z − a1)(z − 1) + b1(q0z + q1) (4.4)
O polinˆomio caracter´ıstico da fun¸c˜ao de transferˆencia em malha fechada do sistema ´e definido como o denominador de M(z):
Pc = (z − a1)(z − 1) + b1(q0z + q1)
Expandindo-se a equa¸c˜ao anterior:
Pc= z2 − z(1 + a1− b1q0) + b1q1+ a1 (4.5)
Como a equa¸c˜ao (4.5) ´e de segunda ordem ´e conveniente definir o polinˆomio carac- ter´ıstico de referˆencia (denF (z)) da equa¸c˜ao (2.33) como uma fun¸c˜ao gen´erica em z de segunda ordem:
Pr = (z − z1)(z − z2) (4.6)
Com z1 = v + jw e z2 = v − jw. Podendo a equa¸c˜ao (4.6) ser estendida para:
Pr = z2− 2vz + v2+ w2 (4.7)
Agora deve-se igualar o polinˆomio caracter´ıstico de referˆencia Prda equa¸c˜ao (4.7) com
o polinˆomio caracter´ıstico do sistema em malha fechada Pc da equa¸c˜ao (4.5), conforme a
equa¸c˜ao (2.34):
z2− 2vz + v2 + w2 = z2− z(1 + a
1− b1q0) + b1q1+ a1 (4.8)
Resolvendo agora a equa¸c˜ao (4.8) de forma a se obter os parˆametros do controlador (q0 e q1) em fun¸c˜ao dos p´olos e dos parˆametros da planta (a1 e b1) obt´em-se as equa¸c˜oes de
sintonia do controlador PI que ser˜ao utilizadas diretamente no script Matlab desenvolvido para simula¸c˜ao do controlador adaptativo.
q0 = −( 2v − a1− 1 b1 ) (4.9) e, q1 = v2+ w2− a 1 b1 (4.10) Para a determina¸c˜ao dos p´olos z1 = v + jw e z2 = v − jw utilizou-se a equa¸c˜ao
cujo polinˆomio caracter´ıstico ´e:
Pcs = s2+ 2ζwns + (wn)2 (4.11)
As especifica¸c˜oes de desempenho para a obten¸c˜ao dos p´olos desejados s˜ao dadas em fun¸c˜ao do coeficiente de amortecimento ζ e da freq¨uˆencia natural n˜ao amortecida do sistema wn. O coeficiente de amortecimento ζ foi arbitrado como sendo ζ = 0.99 de forma
que o sistema tenha uma resposta transit´oria o mais pr´oximo poss´ıvel do criticamente amortecido (OGATA, 2003), evitando o sobre-sinal, reduzindo a possibilidade de satura¸c˜ao do sinal de controle. A freq¨uˆencia natural n˜ao amortecida ´e encontrada a partir da equa¸c˜ao (2.17), especificando-se um tempo de acomoda¸c˜ao de 250 segundos (devido a natureza lenta do sistema) e sendo ζ = 0.99, obteve-se um wn = 0.0145rad/s.
Substituindo-se os valores de ζ e wnno polinˆomio caracter´ıstico definido pela equa¸c˜ao
(4.11) obt´em-se a seguinte equa¸c˜ao:
Pcs = s2+ 0.032s + 0.0002612 (4.12)
Cujos p´olos s˜ao z1 = 0.9841 + j0.0022 e z1 = 0.9841 − j0.0022, com v = 0.9841 e
w = 0.0022 podendo ser substitu´ıdos na equa¸c˜ao (4.9) e (4.10), ficando os parˆametros do
controlador PI dependentes apenas dos parˆametros da planta que ser˜ao estimados a cada nova amostra obtida do processo.
O algoritmo de simula¸c˜ao do controle adaptativo foi desenvolvido seguindo-se os se- guintes passos:
• Gera-se a sa´ıda da planta a partir da equa¸c˜ao (4.1) admitindo-se a1 = 0.9829 e
b1 = 0.0168, obtidos a partir do algoritmo PLS anteriormente citado;
• Utiliza-se o algoritmo dos m´ınimos quadrados recursivos para estima¸c˜ao dos parˆametros
da planta, supondo que n˜ao s˜ao conhecidos;
• Projeta-se novamente o controlador para os novos parˆametros da planta, recalcu-
lando os seus ganhos;
• Obt´em-se o novo sinal de controle mediante a implementa¸c˜ao direta da equa¸c˜ao
(2.31);
Um detalhe importante a se mencionar ´e com rela¸c˜ao a satura¸c˜ao do sinal de controle. A partir de uma ensaio feito com o PWM a 100% obteve-se a curva da figura 21:
0 100 200 300 400 500 600 700 800 25 30 35 40 45 50 55 Tempo(s) Temperatura(ºC)
Figura 21: Satura¸c˜ao do Atuador.
O gr´afico da figura 21 mostra que a temperatura m´axima que o atuador (c´elula Peltier) atingir´a ser´a de aproximadamente 52oC. Como o sinal de controle ´e dado em unidades
de temperatura (oC), este tamb´em dever´a saturar a 52oC. A partir dessa observa¸c˜ao
estipulou-se uma rela¸c˜ao linear do sinal de controle gerado, dado em temperatura, com a percentagem do PWM desejada. Tomou-se ent˜ao o PWM a 50%, o que equivale a uma temperatura de 42.5oC como mostrado na figura 18 (a), e admitiu-se uma varia¸c˜ao de
±10oC em torno desse ponto de opera¸c˜ao, sendo que quando o erro do sinal de controle
em rela¸c˜ao a 42.5oC fosse maior que 10oC acima, o mesmo sinal de controle deveria
ser saturado em 1 (100% PWM), e para 10oC abaixo de 42.5oC em 0. A equa¸c˜ao que
calcula o valor percentual do PWM (isso ´e necess´ario para a implementa¸c˜ao do mesmo no microcontrolador) em rela¸c˜ao ao sinal de controle dado em unidades de temperatura ´e definida como a reta que passa entre os pontos citados anteriormente:
un(n) = (−0.05 ∗ erro) + 0.5; (4.13)
com erro = 42.5oC − (Sinal de Controle em T emp.)
A equa¸c˜ao anterior consiste numa lineariza¸c˜ao e normaliza¸c˜ao da rela¸c˜ao entre a tem- peratura lida pelo sensor e o sinal de PWM (sinal) de controle aplicado, devido a natureza intrinssicamente n˜ao linear dessa mesma rela¸c˜ao.
simula¸c˜oes foram feitas para um tempo de observa¸c˜ao de 1200 segundos, sendo que que o sinal de referˆencia (Setpoint) inicial foi de 45oC e transcorrido metade do tempo de
observa¸c˜ao vai para 50oC. Os seguintes resultados foram obtidos:
0 200 400 600 800 1000 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 Saída do Sistema Temperatura(ºC) Tempo(s)
Figura 22: Sa´ıda Simulada do Processo - Temperatura controlada.
Figura 23: Sinal Simulado de Controle
A figura 22 mostra a sa´ıda do sistema. ´E percept´ıvel que o controle atuou de forma adequada. ´E poss´ıvel notar um sobre-sinal quase que irris´orio na primeira metade do tempo de observa¸c˜ao, isso se deve a influˆencia do per´ıodo de adapta¸c˜ao, ou seja, o per´ıodo em que os parˆametros ainda est˜ao sendo estimados (ASTROM; WITTENMARK, 1995). ´E poss´ıvel observar tamb´em que o tempo de acomoda¸c˜ao de 250 segundos realmente ocorreu, principalmente na segunda metade do per´ıodo de observa¸c˜ao, quando a influˆencia da adapta¸c˜ao ´e menor.
Figura 24: Estima¸c˜ao Simulada dos parˆametros a1 e b1
A figura 23 mostra a coerˆencia entre o sinal de controle e o sinal que, de fato, ser´a enviado ao microcontrolador. Para esse caso a influˆencia da satura¸c˜ao foi m´ınima, apenas nos primeiros segundos da observa¸c˜ao.
A figura 24 (a), a1, e a figura 24 (a) (b), b1, mostra a r´apida convergˆencia dos
parˆametros para os valores esperados. N˜ao se espera que isso venha acontecer na im- plementa¸c˜ao real do mesmo algoritmo, dada as influˆencias de ru´ıdos externos e de n˜ao- linearidades n˜ao presentes na simula¸c˜ao.
4.3
Implementa¸c˜ao do Controlador Adaptativo
O algoritmo utilizado para a implementa¸c˜ao do controlador adaptativo ´e praticamente o mesmo utilizado na simula¸c˜ao apresentada na se¸c˜ao anterior. A principal diferen¸ca ´e que as medidas agora s˜ao obtidas diretamente do processo f´ısico, assim como a atua¸c˜ao ´e feita tamb´em sobre o mesmo processo. O Lm35 de fato envia as medidas para o mi- crocontrolador, que ap´os convertˆe-las, as envia para o microcomputador. Os c´alculos de estima¸c˜ao e projeto do controlador s˜ao ent˜ao realizados segundo o script desenvolvido no Matlab, baseado no m´etodo de aloca¸c˜ao de p´olos. ´E ent˜ao gerada a sa´ıda de controle e a percentagem PWM correta, que ´e ent˜ao enviada de volta ao microcontrolador que de fato atua no processo. A seq¨uencia de passos seguidos apresentada para a simula¸c˜ao pode ser refeita como:
• Uma medida de temperatura ´e obtida pelo microcomputador (Matlab) vinda do
• Utiliza-se o algoritmo dos m´ınimos quadrados recursivos para estima¸c˜ao dos parˆametros
da planta, que de fato n˜ao s˜ao conhecidos.
• Projeta-se novamente o controlador para os novos parˆametros da planta, recalcu-
lando os seus ganhos.
• Obt´em-se o novo sinal de controle mediante a implementa¸c˜ao direta da equa¸c˜ao
(2.31).
• Volta ao inicio para obter a nova medida do processo.
O algoritmo foi executado para uma estimativa inicial do parˆametro a1 = 0.00001
e b1 = 0.00001. Para que a planta fosse parcialmente estimada, um controlador pro-
porcional de ganho k = 8.0 foi introduzido nos primeiros quinze segundos do tempo de observa¸c˜ao (MONTENEGRO et al., 2006). Ap´os esse per´ıodo de quinze segundos o controla- dor auto-ajust´avel foi iniciado automaticamente. Os dados obtidos podem ser analisados nos gr´aficos que seguem:
0 200 400 600 800 1000 1200 30 35 40 45 50 55 Tempo(s) Parâmetro
Figura 25: Sa´ıda Real do Processo - Temperatura controlada.
A figura 25 mostra a sa´ıda real do sistema para o respectivo sinal de entrada (Setpoint). Em ambos os valores do Setpoint (45oC e 50oC) a a¸c˜ao do controlador ´e dificultada pela
a¸c˜ao de um ru´ıdo de origem desconhecida. N˜ao se sabe ao certo a origem desse ru´ıdo, se ´e na medi¸c˜ao ou interno ao sistema de controle - o que sugere o sinal de controle da figura 26 (a) e sinal de PWM da figura 26 (b). Todavia, pode-se afirmar que, a despeito do ru´ıdo que possui dimens˜oes toler´aveis, o controlador adaptativo atuou com eficiˆencia. A adapta¸c˜ao ocorreu mais r´apida do que se esperava para uma implementa¸c˜ao real (figura
Figura 26: Sinal Real de Controle.
Figura 27: Estima¸c˜ao Real dos Parˆametros.
27 (a) e (b) para a1 e b1 respectivamente), e a sa´ıda, de fato, conseguiu rastrear o sinal
de referˆencia. Para efeito de compara¸c˜ao e ratifica¸c˜ao do que foi at´e agora explanado, pode-se observar a figura 28, que mostra uma superposi¸c˜ao da sa´ıda simulada da figura 22, em verde, a sa´ıda real da figura 25, em azul e o sinal de referˆencia, em vermelho.
0 200 400 600 800 1000 1200 25 30 35 40 45 50 55 Tempo(s) Parâmetro Saídas Superpostas
5
Conclus˜ao
T´ecnicas de controle adaptativo tamb´em s˜ao classificadas na literatura como t´ecnicas avan¸cadas de controle, normalmente estudadas em cursos de p´os-gradua¸c˜ao, o que denota a complexidade do assunto abordado neste trabalho de conclus˜ao de curso. De uma forma geral, os objetivos dispostos durante o inicio do trabalho foram alcan¸cados. Um contro- lador adaptativo auto-ajust´avel (STR) foi projetado com sucesso e sua implementa¸c˜ao contribuiu para o entendimento de detalhes presentes apenas na ”pr´atica da teoria de controle”.
Contudo, alguns entraves foram encontrados durante o desenvolvimento do projeto. Dentre eles, destaca-se a falta de detalhes de implementa¸c˜ao na literatura utilizada. Percebeu-se que existe uma preocupa¸c˜ao muito grande com a parte te´orica de sistemas de controle, existindo um grande abismo que separa toda essa teoria de um experimento pr´atico, sendo que na maioria dos casos, uma simula¸c˜ao ´e aceita como resultado experi- mental.
Outra dificuldade foi a pouca literatura encontrada a respeito do m´etodo dos m´ınimos quadrados preditivos (PLS). Apenas em Hemerly (2000), o respectivo tema foi abordado de forma satisfat´oria. Obviamente alguns artigos, nenhum de autores brasileiros, citavam a t´ecnica, por´em, apenas como uma ferramenta, dando poucos detalhes, tanto te´oricos como pr´aticos.
Com rela¸c˜ao ao m´etodo dos m´ınimos quadrados recursivos, ao contrario do PLS, encontrou-se bastante informa¸c˜ao na literatura consultada. ´E claro que detalhes da al- goritmiza¸c˜ao n˜ao estavam presentes na mesma literatura, todavia, foram superados sem muitas dificuldades. A sua implementa¸c˜ao se deu em forma de uma fun¸c˜ao no Matlab, recebendo parˆametros vari´aveis, para suportar chamadas recursivas, principalmente, na inicializa¸c˜ao desses parˆametros. ´E importante lembrar que testes de valida¸c˜ao foram fei- tos, tanto para o algoritmo dos m´ınimos quadrados recursivos, como para os m´ınimos quadrados preditivos. Para esses testes lan¸cou-se m˜ao de resultados e fun¸c˜oes conhecidas,
de forma que os respectivos algoritmos responderam satisfatoriamente.
Na etapa de estudo do m´etodo de projeto da lei de controle baseado na aloca¸c˜ao ou imposi¸c˜ao de p´olos, imaginou-se que o problema demandaria um maior estudo do que o que realmente foi feito. Essa previs˜ao inicial deve-se ao fato da literatura utilizada associar a resolu¸c˜ao dessa t´ecnica `a resolu¸c˜ao de um problema matem´atico conhecido como equa¸c˜ao diofantina (ASTROM; WITTENMARK, 1995), (LORDELO; FERREIRA, 2005). Acontece que o sistema de equa¸c˜oes obtido da resolu¸c˜ao da igualdade entre o polinˆomio caracter´ıstico de referˆencia e o polinˆomio caracter´ıstico do sistema em malha fechada, foi um sistema de resolu¸c˜ao simples e intuitiva, dispensando toda e qualquer t´ecnica de maior complexidade.
Na implementa¸c˜ao dos c´odigos a serem gravados no microcontrolador tamb´em foram encontradas algumas dificuldades. A maior delas aconteceu durante a troca de informa¸c˜oes com o Matlab. Um valor do tipo inteiro, gerado no matlab, tinha que ser transformado para caracter antes de ser enviado para o microcontrolador, sendo que l´a, no microcon- trolador, o mesmo valor tinha que ser igualado a um inteiro sem sinal. Esse detalhe consumiu algumas preciosas horas de testes.
No que diz respeito aos resultados finais, observados nas figuras 25 e 28, a principal dificuldade foi a identifica¸c˜ao da causa dos ru´ıdos verificados quando a sa´ıda do sistema se iguala `a entrada de referˆencia. Sugere-se que num trabalho futuro, fa¸cam-se testes com filtros digitais na tentativa de amenizar a a¸c˜ao desses ru´ıdos.
A despeito das muitas dificuldades encontradas, resultados foram obtidos. Como j´a dito, um controlador adaptativo auto-ajust´avel foi, de fato, implementado, tendo res- pondido de forma satisfat´oria, como mostrado nesse trabalho. Sabe-se, entretanto, da literatura utilizada, que um sistema t´ermico ´e dos mais lentos dentre os sistemas a con- trolar, e que a inser¸c˜ao de um atraso de transporte ao modelo ARX obtido poderia ser considerado num trabalho futuro, necessitando de adequa¸c˜oes nos algoritmos dos m´ınimos quadrados recursivos e preditivos.