κ-Entropia de bloco para s = 4 - κ-entropia de bloco para sequˆ encias nucleot´ıdicas contidas

5.4 κ-entropia de bloco para sequˆ encias nucleot´ıdicas contidas no cromossomo Y

5.4.3 κ-Entropia de bloco para s = 4

Durante uma varredura da sequência polinucleot´ıdica do cromossomo Y utilizando blocos de tamanho s = 4, realizamos os seguintes procedimentos: das 256 possibilidades de blocos que podem ser encontrados durante uma varredura com quatro nucleot´ıdeos tomados 4 a 4, consideramos em nossa contagem apenas os blocos AAAA, AAAT , AAAG, AAAC, AAT T , AAT G, AAT C, AAGG, AAGC, AACC, AT T T , AT T G, AT T C, AT GG, AT GC, AT CC, AGGG, AGGC, AGCC, ACCC, T T T T , T T T G, T T T C, T T GG, T T GC, T T CC, T GGG, T GGC, T GCC, T CCC, GGGG, GGGC, GGCC, GCCC e CCCC. As- sim, quaiquer outros blocos (de tamanho s = 4) que vierem a ser encontrados durante uma varredura da sequência de interesse, este será enquadrado em uma dessas possibilidades. Por exemplo, se durante uma varredura nos depararmos com o bloco T CGT , este será contado como T T GC, o mesmo racioc´ınio se extendendo a blocos como T AAA, AT AA, T AT T , T T AT , etc§.

E importante salientar que essa escolha é totalmente arbitrária e não possui nenhum tipo de rela¸cão com as energias apresentadas na tabela 4.1. Nosso foco aqui reside apenas na aplica¸cão da equa¸cão (5.2) e posterior análise do resultado apresentado no âmbito da teoria de informa¸cão.

Feitas essas considera¸cões, obtemos as várias componentes da fun¸cão de probabilidade ρijkl, com i, j, k, l = A, T, G, C para cada uma das 35 possibilidades através da contagem

direta dos blocos relevantes e, em seguida, utilizamos a equa¸cão (5.2) para determinar a entropia de informa¸cão condizente com o parâmetro s em questão. A s´ıntese da aplica¸cão desse procedimento é exibida da figura 5.14. Interessante notar que quando s = 4, a entropia de informa¸cão possui um comportamento um tanto diferente aos aqueles apresentados quando s = 1, 2. Embora ainda exista uma região de oscila¸cão, seguida por um crescimento linear em intervaloes distintos de L (figuras 5.15 e 5.16), a região de satura¸cão é menos presente nesse caso, sumindo à medida que κ aumenta, adquirindo um comportamento mais próximo do linear.

5.4 κ-entropia de bloco para sequˆencias nucleot´ıdicas contidas no cromossomo Y 83 space 0 , 0 0 , 4 0 , 8 1 , 2 1 , 6 2 , 0 2 , 4 2 , 8 0 , 0 0 0 , 2 5 0 , 5 0 0 , 7 5 1 , 0 0 _{κ = 4,9} κ = 4,8 κ = 4,7 κ = 4,6 κ = 4,5 κ = 4,4 κ = 4,3 κ = 4,2 κ = 4,1

S

{κ }

(

s

=

4 ,

L

) [

10 ]

L ( n B ) [ 1 0

]

Figura 5.14: Para s = 4, o comportamento da entropia com o tamanho L da sequˆencia

nucleot´ıdica para valores de κ compreendidos entre 4, 1 e 4, 9. ´E interessante notar que, dife-

rentemente de uma análise utilizando blocos s = 1, 2, a entropia perde o caráter de satura¸cão à medida que κ aumenta.

5.4 κ-entropia de bloco para sequˆencias nucleot´ıdicas contidas no cromossomo Y 84 0 , 0 0 , 4 0 , 8 1 , 2 1 , 6 2 , 0 2 , 4 2 , 8 0 , 1 3 0 , 2 6 0 , 3 9 0 , 5 2 0 , 6 5

S

{κ }

(s

=

4 ,

L

)

[1

0 ]

L ( n B ) [ 1 0

]

C r o m o s s o m o Y ( H o m o s a p i e n s ) C r e s c i m e n t o m o n o t ô n i c o

Figura 5.15: Entropia de informa¸c˜ao contra L, tamanho da sequˆencia, para s = 4 e κ = 4, 6.

0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0 3 , 5 0 , 0 0 0 , 0 5 0 , 1 0 0 , 1 5 0 , 2 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0 3 , 5 S{κ } (s = 4 , L ) [1 0 9 ] L ( n B ) [ 1 0 6] L ( n B ) [ 1 0 6]

Figura 5.16: Entropia de informa¸c˜ao contra L, com s = 4 e κ = 4, 6 numa regi˜ao compreendida

entre 1 < L < 1, 0× 106 _{nB. A regi˜}_{ao mostrada nessas figuras correspondem `}_{aquela antes da} entropia crescer suavemente com L (figura 5.15).

5.5 Conclus˜oes 85

5.5 Conclus˜oes

Independentemente do tamanho do bloco utilizado na varredura de uma sequência polinucleot´ıdica e apesar de conhecermos o comportamento qualitativo das diversas componentes da fun¸cão de probabilidade, ainda é um desafio tentar descrever essas componentes de forma quantitativa como fizemos no caso das sequências generalizadas de Cantor (cap´ıtulo 3): especificamente, para o caso da sequência nucleot´ıdica estudada (cromossomo Y), não temos equa¸cões anal´ıticas análogas a (3.3) e (3.4). Isso é reflexo da extrema complexidade da maneira como os diversos nucleot´ıdeos encontram-se dispostos na sequência, ou seja, não temos acesso às regras de itera¸cão que permitem obter uma sequência demasiadamente grande de DNA através de uma sequência inicial.

Apesar dessa desvantagem aparente, observamos alguns fatos pertinentes e que serão descritos a seguir. Primeiramente, é fato marcante que a entropia de informa¸cão S_{κ} admite um perfil geral que independe dos valores de κ. Para blocos de tamanho s = 1, 2, 4, observamos que S_{κ} possui três comportamentos distintos em rela¸cão ao tamanho L da sequência nucleot´ıdica cerrada no cromossomo Y: (i) fortes oscila¸cões numa região onde L < 2, 5_{× 10}6, (ii) crescimento monotônico para 2, 5 _{× 10}6 < L < 5, 5 _{× 10}6 e (iii) satura¸cão quando L > 5, 5_{× 10}6. Vemos, no entanto, que essa última caracter´ıstica desaparece quando s = 4 à medida que κ aumenta (figura 5.14).

A respeito do papel fundamental que o parâmetro deformador κ desempenha dentro desta análise, ou qualquer outra que venha a ser feito posteriormente, nos perguntamos se é poss´ıvel, frente a uma gama de representa¸cões da entropia em rela¸cão ao tamanho do sistema (um para cada κ), escolhermos uma, e somente uma dessas representa¸cões, que nos permita caracterizar por completo uma sequência polinucleot´ıdica em diferentes contextos de análise (diferentes s). Responder essa questão é um tanto excitante e ao mesmo tempo muito pretenciosa da nossa parte, pelo menos, frente a uma das maiores realiza¸cões da ciência (iniciado com Gregor Mendel, Ernst Haeckel e Friedrich Miescher [27]): o “DNA”, ou mais ainda, o conhecimento de que todas as coisas vivas, com seus vários graus de complexidade, são ordenadas, reguladas e codificadas dentro dessa molécula. Esta e outras questões, assim como os principais resultados apresentados nesse cap´ıtulo, são tão relevantes que culminaram na publica¸cão do artigo A κ-statistical analysis of the

5.5 Conclus˜oes 86

Y-chromosome [82].

Direcionando agora nossa aten¸cão à região onde a entropia apresenta, para todos os valores de s considerados, comportamento linear. Como foi mostrado, essa região está compreendida no intervalo onde 2, 5_×106 < L < 5, 5_×106. Assim, para cada valor de κ, a entropia possui nessa região uma dependência geral em L tal que S_{κ}(L) = α + βL, onde α e β são constantes reais. Para s = 1, 2, 4, temos S_{κ}(L = s) = 0 e, assim, α = _−βs. Portanto, a entropia no intervalo anterior pode ser escrita como S_{κ}(L) = β(L_{− s). Na} região de interesse, L_{s: consequentemente, S}_{κ}(L)_{≈ βL.}

Neste momento, estabelecemos que das inúmeras retas da forma βL que possam representar S_{κ} naquela região, adotaremos a reta onde β = 1 como sendo a que descreve de maneira única o comportamento da entropia na região tratada¶. A simplicidade dessa escolha, nos permite estabelecer uma fronteira entre duas classes de valores de κ: se κS=L

for o valor de κ no qual a igualdade entre a entropia e o tamanho da sequência na região mencionada é observada, então κS=Ldivide as fam´ılias de curvas de S{κ}×L em duas clas-

ses: uma em que a entropia da regi˜ao linear cresce muito lentamente com L (κ < κS=L)

e outra onde a entropia nessa mesma regi˜ao cresce rapidamente com L (κ > κS=L).

Usando dessas considera¸cões, na região onde 2, 5_×106 < L < 5, 5_×106 nB e, portanto, no intervalo onde a entropia apresenta comportamento linear com L, verificamos que para s = 1, κS=L = 9, 35± 0, 03; com s = 2 esse valor é de κS=L = 6, 80± 0, 06 (blocos AT e

T A tomados como iguais). No entanto, quando s = 2, mas AT e T A (assim como outros) s˜ao tomados como diferentes, κS=L = 5, 01 ± 0, 03, mas tomados dentro do intervalo

2, 5_{× 10}6 < L < 5, 0_{× 10}6 nB.

Prosseguindo, para s = 4 e dentro do que foi mencionado na subse¸c˜ao 5.4.3, κS=L =

3, 88_{± 0, 01, mas dentro do intervalo 2, 5 × 10}6 < L < 5, 5_{× 10}6 nB. Então, é fato que quando s aumenta, o valor de κS=L diminui dentro das situa¸cões expostas nas subse¸cões

antecedentes. Interessante observar também que quando abordamos s = 2 sob os dois aspectos analisados anteriormente (considerando AT e T A como iguais ou diferentes, por exemplo), há uma diminui¸cão do valor de κS=L. Finalmente, talvez o aspecto mais

marcante e sutil da análise do comportamento da região linear, é que o critério de escolha de κ através da condi¸cão S = L implica que a entropia na região linear é independente

5.5 Conclus˜oes 87

CAP´ITULO

6 Conclus˜oes e Pesperctivas

De maneira análoga ao realizado nos cap´ıtulos 3 e 5, os métodos e medidas apresentados podem ser estendidos sem muitas dificuldades ao estudo de quaisquer sequências provenientes de regras de intera¸cão associadas a fractais, assim como quaisquer sequências polinucleot´ıdicas referentes aos 22 pares de cromossomos da espécie em questão.

Também, seria interessante realizar (mais tarde) um estudo comparativo entre os resultados apresentados nas subse¸cões 5.4.1, 5.4.2, 5.4.3 com as energias que estabilizam as estrutura do DNA (se¸cão 4.3). Para dar uma ideia de como isso pode ser feito, considere por exemplo as intera¸cões do tipo ponte de hidrogênio que foram discutidas no cap´ıtulo 4. Se estabelecermos nosso pensamento no âmbito energético e complementar, ou seja, do ponto de vista das regras de Chargaff [34]), vemos numa primeira análise que para uma varredura em blocos de tamanho s = 1, a estabilidade na sequência diminui à medida que L aumenta (figura 5.2): como visto no cap´ıtulo 4, subse¸cão 4.3.1, pares de bases A_{− T são menos estáveis (dupla ponte de hidrogênio) do que pares G − C (tripla ponte} de hidrogênio) onde a energia decorrente desse tipo de intera¸cão nessa configura¸cão de pares é cerca de 2, 5 vezes maior que a primeira. Obviamente, estamos afirmando isso do ponto de vista de um modelo em que toda a sequência fosse preenchida com bases G_{− C} ou, no m´ınimo, o contrário do que foi observado acima. De maneira análogo, podemos

estender essas ideais e investigar poss´ıveis conexões entre as intera¸cões de pilha (subse¸cão 4.3.2 ) e as análises realizadas quando de uma varredura em blocos de tamanho s = 2. Esse tipo de análise é bastante empolgante, pois nos permitiria obter subs´ıdios reais para uma abordagem mais complexa sustentada numa Teoria de Ensembles e, consequentemente, termodinâmica, fomentada no formalismo generalizado de Kaniadakis: a própria abordagem através de ensembles constitui um problema em aberto nesse formalismo.

Aprofundando mais ainda nossos estudos de uma sequência cromossômica, podemos explorar uma dimensão mais prática e de amplo interesse relacionado a essas sequências, a saber, como a disposi¸cão dos nucleot´ıdeos estão organizados de modo a armazenar dados [83]. Em alguma medida, acreditamos que esse objetivo pode ser alcan¸cado através da compreensão dos processos que descrevem, por exemplo, a distribui¸cão dos tamanhos dos genes contidos numa sequência cromossômica, já que é sobre esses que recai grande parte das funcionalidades genéticas de uma espécie.

APˆENDICE

A

Fundamentos da κ-´algebra

A.1 Fun¸c˜ao Geradora

Apresentaremos a seguir a estrutura completa da denominada κ-álgebra que funda- menta a se¸cão 2.5, apresentada originalmente em [1] e [4]. Come¸caremos essa tarefa, intro- duzindo as propriedades relacionadas a fun¸cão gκ(x): a fun¸cão geradora da κ-deforma¸cão.

gκ(x) ser´a qualquer fun¸c˜ao real que observa as seguintes propriedades:

(i) gκ(x)∈ R; (ii) gκ(−x) = −gκ(x); (iii) _dxd [gκ(x)] > 0; (iv) gκ(±∞) = ±∞; (v) g(x)_{≈ x quando x → 0.} 90

A.1 Fun¸c˜ao Geradora 91

Através da fun¸cão geradora, podemos construir uma outra fun¸cão real x_{κ} que de- pende tanto da variável x quanto de um parâmetro κ, denominado de parâmetro deformador. Arbitrariamente, define-se a fun¸cão x_{κ} como

x_{κ}_≡ 1 κsinh

−1_[g

κ(κx)] (A.1)

A fun¸c˜ao x_{κ} herda todas as propriedades da fun¸c˜ao gκ(x) e possui outras adicionais,

ou seja, (i) x_{κ} _{∈ R;} (ii) (_−x)_{κ}=_−x_{κ}; (iii) _dxd x_{κ} > 0; (iv) (_±∞)_{κ} =_±∞ (v) x_{κ}_{≈ x, para x → 0 e, portanto, 0}_{κ} = 0; (vi) x_{κ} _{≈ x, para κ → 0 e, portanto, x}_{0} = x; (vii) x_{κ} = x_{−κ}

Se expressarmos a fun¸c˜ao inversa de x_{κ} por x{κ}, podemos usar o fato de que (x{κ})_{κ} = (x_{κ}){κ} = x, e representar essa fun¸c˜ao inversa como

x{κ} = 1 κg

−1_(sinh[κx]). _(A.2)

O propósito principal por trás das propriedades e defini¸cões anteriormente apresentadas, reside, num primeiro momento, em estabelecer regras de grupo condizentes com a estrutura algébrica associado a um grupo Abeliano∗. Feito isso, podemos redefinir certas fun¸cões e opera¸cões ordinárias como, por exemplo, a soma e o produto entre elementos de um grupo. Por último, e mais importante, usar essas redefini¸cões para representar ana- liticamente certas quantidades f´ısicas usadas para parametrizar as propriedades de um

∗_{Num contexto de fun¸c˜}_{oes, qualquer conjunto que satisfa¸ca as propriedades associativa, fechamento,}

A.1 Fun¸c˜ao Geradora 92

sistema particular. Isso, claro, terá como consequência a generaliza¸cão de quantidades tais como a entropia. Continuando, discriminamos algumas propriedades de grupo asso- ciados a defini¸cão em (A.2). Com ela, define-se uma regra de composi¸cão como se segue

Proposi¸cão 1: A κ-soma é definida através de

(x_{⊕ y)}κ = x. _{κ}+ y_{κ}. (A.3) Quando κ_{→ 0, A soma em (A.3) reduz-se a uma soma ordinária. Pode ser mostrado} ainda que a regra de composi¸cão expressa na equa¸cão (A.3) é associativa, possui elemento neutro 0, admite_{−x como elemento simétrico. Sendo assim, a κ-soma forma um conjunto} Abeliano.

Proposi¸cão 2: O κ-produto é definido através de

(x_{⊗ y)}κ = x. _{κ}.y_{κ}. (A.4) Análogo à κ-soma, o κ-produto reduz-se ao produto ordinário x.y quando κ _{→ 0 e,} também, forma um grupo Abelino, sendo, portanto, associativo, comutativo, admitindo 1{κ} como elemento neutro e h_x1

{κ}

i{κ}

como elemento inverso.

Proposi¸cão 3: A propriedade distributiva é, em rela¸cão à κ-soma, verificada, ou seja,,

z_⊗(xκ _{⊕ y) = (z}κ _{⊗ x)}κ _⊕(zκ _{⊗ y).}κ (A.5) Preposi¸c˜ao 4: A fun¸c˜ao x{κ} possui as seguintes propriedades:

i) x{κ}_{⊕ y}κ {κ} = (x + y){κ}

A.1 Fun¸c˜ao Geradora 93

Proposi¸cão 5: A fun¸cão x_{κ} e sua inversa x{κ} obedecem as seguintes regras de escalas: i) x0 {κ0} = zx{κ} ii) x0{κ 0 } _{= zx}{κ}_, _(A.7) onde x0 = zx e κ0 = κ_z. Proposi¸cão 6: A propriedade z.(x_{⊕ y) = (z.x)}κ _⊕(z.y),κ (A.8) ´ e observada.

Utilizando essas proposi¸cões, construiremos duas fun¸cões que serão de grande utilidade nos desenvolvimentos subsequentes. Estas fun¸cões são o que denominamos de exponencial e logar´ıtmica κ-deformadas, representadas respectivamente por exp_{κ} e ln_{κ}. Como veremos, são fun¸cões que retomam as formas ordinárias quando κ _{→ 0. Para fazer isso,} definimos a κ-diferencial como

dx_{κ} = d_{κ}x= lim.

z→xx κ

z. (A.9)

Assim, a κ-diferencial de uma fun¸c˜ao f = f (x) ´e expressa por

df (x)

dx_{κ} = limz→x[f (x)− f(z)]

x_zκ i−1, (A.10)

A.1 Fun¸c˜ao Geradora 94

Com isso em m˜aos, definimos a exp_{κ} como

d dx_{κ}

exp_{κ}(x)= exp_{κ}(x). (A.11) Usando (A.11), ´e poss´ıvel mostrar que a forma alg´ebrica da κ-exponencial fica

exp_{κ}(x) =n1 + [g(κx)]21/2+ g(κx)o1/κ. (A.12) A fun¸cão κ-exponencial possui várias propriedades interessantes. Pode ser visto de (A.12), por exemplo, que exp_{κ}(x).exp_{κ}(_{−x) = 1, ou seja, a κ-exponencial é uma} fun¸cão simétrica de seu argumento. Além dessa, temos também que

[exp_{κ}(x)]r = exp_{κ/r}(rx) (A.13)

exp_{κ}(x).exp_{κ}(y) = exp_{κ}(x_{⊕ y)}κ (A.14) Através da equa¸cão (A.12), podemos ainda expressar a fun¸cão inversa da κ-exponencial como ln_{κ}(x) = 1 κg −1 xκ_{− x}−κ 2 , (A.15)

onde ln_{κ}(x) e g−1 são as fun¸cões inversas de exp_{κ}(x) e g, respectivamente. As equa¸cões (A.12) e (A.15) definem uma classe de fun¸cões exponenciais e logar´ıtmicas deformadas que dependem da fun¸cão geradora. Além de depender do parâmetro deformador κ, elas podem depender de outros parâmetros via fun¸cão geradora g. Fun¸cões que são deforma¸cões das exponenciais e logar´ıtmica ordinárias são bastante comuns na literatura f´ısica. Exemplos disso podem ser encontradas em [84, 85] que possuem um parâmetro de deforma¸cão cada e em [86], que possui dois parâmetros de deforma¸cão. Também, usando os postulados aqui apresentados, podemos encontrar expressões trigonométricas deformadas, construir outros grupos com regras de adi¸cão, multiplica¸cão e propriedades particulares.

No documento Descrição não-convencional de fractais generalizados de Cantor e de sequências cromossômicas do DNA humano no Formalismo de Kaniadakis (páginas 98-111)