Descrição não-convencional de fractais generalizados de Cantor e de sequências cromossômicas do DNA humano no Formalismo de Kaniadakis

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

NYLADIH THEODORY CLEMENTE MATTOS DE SOUZA

Descri¸

c˜

ao N˜

ao-convencional de Fractais

Generalizados de Cantor e de Sequˆ

encias

Cromossˆ

omicas do DNA Humano no Formalismo de

Kaniadakis

Dezembro/2016

Natal-RN

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NYLADIH THEODORY CLEMENTE MATTOS DE SOUZA

Descri¸

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ao N˜

ao-convencional de Fractais

Generalizados de Cantor e de Sequˆ

encias

Cromossˆ

omicas do DNA Humano no Formalismo de

Kaniadakis

Tese apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em F´ısica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito obrigatório para obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em F´ısica.

Orientador: Profo Dr. Dory H´elio Aires de Lima Anselmo

Dezembro/2016

Natal-RN

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Sistema de Bibliotecas – SISBI

Catalogação da Publicação na Fonte - Biblioteca Central Zila Mamede Souza, Nyladih Theodory Clemente Mattos de.

Descrição não-convencional de fractais generalizados de Cantor e de sequências cromossômicas do DNA humano no Formalismo de Kaniadakis / Nyladih Theodory Clemente Mattos de Souza. - 2016.

117 f. : il.

Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Física. Natal, RN, 2017.

Orientador: Prof. Dr. Dory Hélio Aires de Lima Anselmo.

1. Entropia generalizada - Tese. 2. Teoria de informação - Tese. 3. Conjunto de Cantor - Tese. 4. DNA - Tese. 5. Formalismo de Kaniadakis – Tese. I. Anselmo, Dory Hélio Aires de Lima. II. Título.

(4)

A comiss˜ao examinadora, abaixo assinada, aprova a tese:

Descri¸cão nao-convencional de Fractais Generalizados de Cantor e de Sequências Cromossômicas do DNA Humano no Formalismo de Kaniadakis

Elaborada por:

Nyladih Theodory Clemente Mattos de Souza Como requisito para obten¸c˜ao do t´ıtulo de

DOUTOR EM F´ISICA Comiss˜ao Examinadora

(5)

Dedicat´

oria

`

A (tia)

Maria Nair de Souza (in memoriam).

(6)

Agradecimentos

A elabora¸cão de uma tese engloba dedica¸cão, priva¸cão, paciência e tenacidade daquele que aspira o t´ıtulo condizente com sua conclusão. Mas, tal processo não é, e nunca será, produto unicamente do esfor¸co individual, ele é fomentado através de um conjunto maior de indiv´ıduos que, sob o nome de uma institui¸cão e/ou individualmente, desempenharam ao longo do processo os mais variados e valiosos papeis. Todavia, desde já, pe¸co desculpas antecipadas se esqueci de mencionar um ou outro nome que contribui de alguma forma para que esse trabalho se tornar-se realidade.

Inicialmente, agrade¸co à Coordena¸cão de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (Capes) pelo investimento concedido a este e por fomentar, a mais de 65 anos, a pesquisa em todo o território nacional.

Agrade¸co a todos os professores e professoras da Universidade do Estado do Rio Grande do Norte (UERN), em especial àqueles que compõem o Departamento de F´ısica, que contribu´ıram para minha forma¸cão acadêmica à n´ıvel de gradua¸cão.

Na mesma dire¸cão, agrade¸co ao corpo docente que compõe o Programa de P´ os-Gradua¸cão em F´ısica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), agentes responsáveis por aprimorar e ampliar o horizonte de conhecimentos deste.

Agrade¸co ao Professor Dr. Dory Hélio Aires de Lima Anselmo (orientador) pela disponibilidade e aten¸cão despendido à realiza¸cão deste laborioso trabalho. O professor contribui em demasia com ideias, apoio técnico, sugestões valios´ıssimas e, acima de tudo, proporcionou sempre uma atmosfera de motiva¸cão que, para mim, foi essencial à conclusão desta tese.

Agrade¸co ao professor Dr. Raimundo Silva Junior pelo auxilio, ideias e sugest˜oes, sempre objetivas e diretas que , posteriormente, se concretizaram em dois trabalhos in-ternacionais que sintetizam os resultados desta obra.

Gostaria de agradecer também ao professor Dr. Vamberto Dias de Mello pela forma¸cão de base (inicia¸cão cient´ıfica) e pela colabora¸cão cient´ıfica (mestrado e doutorado) que contribu´ıram, parcial ou integral, na realiza¸cão do presente documento.

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Aos colegas (e hoje amigos) que compuseram a sala Jayme Tiomno durante o per´ıodo em que estendeu a confeçcão deste manuscrito, em particular, aos senhores Trarc´ısyo Sá e Sousa Duarte e Cristovão Prociano do Nascimento Júnior, que durante os vários cafés, promoviam conversas acalorados sobre os mais variados temas cient´ıficos (na maioria das vezes não o eram): particularmente, utilizo a teoria de perturba¸cão para explicar a gama de rea¸cões ali manifestada.

Aos meus irmãos, Hidalyn Theodory Clemente Mattos de Souza e Izabel Ma-ria Matos de Souza, assim como minha cunhada Eliângela Paulino Bento, pelos conselhos oferecidos através de fortalecedoras conversas que se estenderam durante toda a minha vida acadêmica e, principalmente, durante, até agora, minha estada nesta espera. Finalmente, agrade¸co aos meus pais Sr. Manoel de Souza e Sra. Marimilia Matos de Souza, meus primeiros educadores, a gênese de tudo o que fui, sou e serei.

(8)

Ep´ıgrafe

´

E um fato infeliz, que devido a ganância, preconceitos, vaidades, arrogância, passividade e aliena¸cão de poucos, muitas pessoas sejam submetidas e condicionadas a viver na total infelicidade, não desfrutando dos benef´ıcios que o conhecimento bem empregado poderia lhes proporcionar. Assim, qualquer realiza¸cão que se diz cient´ıfica ou baseada na ciência, deveria ser imbu´ıda de mecanismos que catalisassem a extirpa¸cão daquelas for¸cas demon´ıacas do carácter humano que tanto permeiam e desestruturam (em essência) as sociedades atuais. Autor anônimo

(9)

RESUMO

No presente trabalho, apresentamos uma análise, via teoria de informa¸cão no contexto da estat´ıstica generalizada de Kaniadakis, de conjuntos generalizados de Cantor (tipo d-(m, r)), e do cromossomo Y do DNA humano. Os objetivos de nosso estudo são deter-minar, através da κ -entropia (que é adequada para sistemas com correla¸cões de longo alcance), as leis de escala e dimensões fractais caracter´ısticas desses dois sistemas: um determin´ıstico, e outro encontrado na natureza. Para o conjunto generalizado de Cantor, determinamos anal´ıtica e numericamente os valores de κ (o parâmetro de deforma¸cão) que tornam a entropia linear com o tamanho do sistema, obtendo uma rela¸cão entre κ, a dimensão fractal (df) e a dimensão de suporte (d). Usando o conceito de blocos,

mos-tramos que para intervalos arbitrários de L (tamanho do sistema), e s (tamanho do bloco de informa¸cão) a κ-entropia apresenta comportamento auto-similar, bem como um com-portamento tipo lei de potência com respeito a s. Na análise entrópica do cromossomo Y observamos que, independentemente do valor de κ , a entropia de Kaniadakis, quando apresentada em fun¸cão do tamanho do sistema, apresenta em geral (mas não sempre) três regimes: um oscilatório, um monotonicamente linear, e outro de satura¸cão. Este ´

ultimo é resultado do fato de que a entropia é extensiva, e o sistema é finito. O segundo regime, por sua vez, denota uma ordem interna aparente. No entanto, não foi poss´ıvel observar um comportamento auto-similar. Nossa análise restringiu-se à parte codificante do cromossomo Y, onde desprezamos os trechos não-codificantes.

Palavras-chave: Entropia generalizada, teoria da informa¸c˜ao, conjunto de Cantor, DNA.

(10)

ABSTRACT

In the present work, we present a statistical analysis, via theory of information in the context of the Kaniadakis generalized statistics, of generalized Cantor sets (type d-(m, r)) and the Y chromosome of human DNA. The objectives of our study are to determine, through κ-entropy (which is suitable for systems with long-range correlations), the laws of scale, self-similar behaviors and characteristical fractal dimensions of these two systems: one deterministic, and the other found in nature. For the generalized Cantor set, we determine analytically and numerically the values of κ that make the entropy linear with the system size, obtaining a relation between κ (the deformation parameter), the fractal dimension (df) and the support dimension (d). Using the concept of blocks, we show

that for arbitrary intervals of L (system size), and s (size of the information block), the κ-entropy exhibits self-similar behavior, as well as a power law-like behavior with respect to s. In the entropy analysis of the Y chromosome we observed that, regardless of the value of κ, the Kaniadakis entropy, when presented as a function of the size of the system, presents in general (but not always) three regimes: one oscillatory, one monotonically linear, and another of saturation. The latter is a result of the fact that the entropy is extensive, and the system is finite. The second regime, in turn, denotes an apparent internal order. However, in this case it was not possible to observe a self-similar behavior. Our analysis was restricted to the coding part of the Y chromosome, where we have neglected the noncoding parts.

(11)

Lista de Figuras

2.1 Fun¸cões de distribui¸cões associadas à densidade de entropia ln_{κ}(αf ), com a condi¸cão de α = Z_{κ} e U = mv₂2. Para κ = 0, f representa a fun¸cão de

distribui¸c˜ao de velocidades (v) para part´ıculas brownianas. . . 21

3.1 Constru¸c˜ao do conjunto (2, 3)-Cantor por dizima¸c˜ao . . . 27

3.2 Constru¸c˜ao do conjunto (2, 3)-Cantor por regras de itera¸c˜ao . . . 28

3.3 Gr´afico anal´ıtico das express˜oes em (3.3) e (3.4) . . . 33

3.4 S_{κ} em fun¸c˜ao de p1; (0 ≤ p1 ≤ 1) para um sistema de dois n´ıveis . . . 34

3.5 Comportamento de S_{κ} mediante crescimento de L para a configura¸c˜ao m = 2, r = 3 e s = 9. . . 36

3.6 Comportamento anal´ıtico e computacional de κ em rela¸c˜ao a dimens˜ao fractal para conjuntos tipo Cantor unidimensionais. . . 38

3.7 Gráfico log S_{κ}em fun¸cão de log s−1para uma sequência contendo L = 1210 elementos. . . 40

3.8 Gráficos de κ contra df para dimensão topológica d = 1, 2, 3. . . 41

3.9 κ-Entropia de um conjunto tipo (2, 3)-Cantor incluindo valores de L_{6= 3}N _. ₄₃ 3.10 Comportamento de S_{κ} em rela¸c˜ao ao tamanho do sistema L para um conjunto tipo (2, 3)-Cantor com κ = 3, 90. . . 44

3.11 Comportamento de S_{κ} em rela¸c˜ao ao tamanho do sistema L para um conjunto tipo (2, 3)-Cantor com κ = 3, 50. . . 45

(12)

xii

4.1 A esquerda, o composto furano; `` a direita, a desoxirribose. . . 49 4.2 As quatro bases nitrogenadas contidas no DNA. . . 50 4.3 Conforma¸c˜ao molecular da desoxitimidina 50 - monofosfato. . . 51 4.4 Segmento de sequˆencia polinucleot´ıdica de uma fita de DNA. Para um

cromossomo qualquer, o tamanho dessa sequência, estrutura primário do DNA, é da ordem de 108 bN . Por motivos de ordem, designaremos a sequência acima com sendo formada de cima para baixo, e sempre de um término 30 para um término 50 (simbolicamente, 30 _{→ 5}0). . . 51 4.5 Representa¸cão esquemática de um segmento da molécula de DNA: sequência

primária à esquerda (de baixo para cima 30 _{→ 5}0) e sua sequência comple-mentar à direita. As regras de Changarff operam no interior da estrutura: retângulo em cinza (figura retirada e adaptada de [36]). . . 52 4.6 Representa¸cão esquemática da molécula de DNA semelhante à apresentada

por Watson e Crick em 1953 (lembrar que 1 nm = 10 ˚A). Essa estrutura ´

e uma das três conforma¸cões de hélice que o DNA pode apresentar e é denominada de modelo B_{−DNA. Os outros dois modelos são denominadas} de A_{− DNA [39] e Z − DNA [40] . . . 54} 4.7 . . . 54 4.8 Devido à presen¸ca dos ´ıons fosfato, o DNA apresenta caráter negativo.

Para neutralizar essa carga, o DNA encontra-se enrolado em ´ıons positivos conhecidos como as prote´ınas da h´ıstona (figura retirada e adaptada de [53]). 58

4.9 Normalmente, um ser humano possui exatamente 23 pares de cromossomos: 23 herdados do pai e 23 herdados da mãe (figura retirada de [54]). . . 58 4.10 Segmento de DNA com fun¸cão hereditária é denominado de Gene. Um

gene contém a instru¸cão para criar (codificar) um outro tipo de molécula essencial ao funcionamento de um organismo vivo: as prote´ınas. Podemos dividir ainda um gene em duas partes: introns e exons. Os introns são segmentos de um Gene (e portanto, é composto de DNA), que não se atribui nenhuma fun¸cão (DNA não codificante). Já os exons, contêm as instru¸cões para codificar (criar) prote´ınas (figura retirada e adaptada de [55]). 59

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xiii

5.1 Conjunto de todos os blocos (permuta¸c˜oes) poss´ıveis de tamanho 4 que podemos formar com as quatro bases nitrogenadas A, T, C e G. . . 65 5.2 Comportamento das quatro componentes da fun¸c˜ao de probabilidade p(s =

1, L) com o tamanho L da sequência polinucleot´ıdica contida no cromos-somo Y da espécie Homo sapiens. . . 67 5.3 Comportamento das componentes da funcão de distribui¸cão de

probabili-dades para L < 8, 0_{× 10}6 bN com s = 1. . . 68 5.4 Comportamento das 16 componentes da fun¸c˜ao de probabilidade com L

para um tamanho de blocos = 2. . . 70 5.5 Comportamento das componentes da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de

probabili-dades com o comprimento L para uma sequência polinucleot´ıdica contida no cromossomo Y varrida com um bloco de tamanho s = 2, mas num região onde L está compreendido entre 1 e 3, 0_{× 10}6 bases nitrogenedas. . . 71 5.6 Comportamento das componentes da fun¸cão de probabilidade pij para uma

varredura em blocos de tamanho s = 2 de uma sequência nucleot´ıdica contida no cromossomo Y. . . 73 5.7 Comportamento das componentes da fun¸cão de distribui¸cão de

probabili-dades com o comprimento L para uma sequência polinucleot´ıdica contida no cromossomo Y varrida com um bloco de tamanho s = 2 numa região onde L está compreendido entre 1 e 3, 0_{× 10}6 bases nitrogenedas. . . 74 5.8 Componentes da fun¸cão de probabilidade para s = 2 com ij = ji e ij_{6= ji. 75} 5.9 Gráfico da entropia de informa¸cão de uma sequência de nucleot´ıdeos

con-tidas no cromossomo Y com s = 1 e κ = 4, 0. . . 77 5.10 Gr´afico da entropia de informa¸c˜ao contra L para κ = 4, 0 (corresponde

ao gráfico da figura 5.9 com o valor inicial de S_{κ} contido no intervalor 5, 1_{− 6, 6). . . 78} 5.11 κ-entropia de informa¸cão contra tamanho L de um sequência varridas com

um bloco s = 1 para κ = 3, 8, 3, 9, 4, 0, 4, 1 e 4, 2. Observe da figura que a mudan¸ca de κ provoca um deslocamento vertical (pra cima, a medida que κ aumenta) numa curva, mas mantem perfil geral. . . 79

(14)

xiv

5.12 Para s = 2 e κ = 3.4, o comportamento da entropia com o tamanho L da sequência nucleot´ıdica é divido em três fases . . . 80 5.13 Para s = 2, o comportamento da entropia com o tamanho L da sequência

nucleot´ıdica é divido em três fases: (i) comportamento oscilatório, (ii) cres-cimento monotônico e (iii) região de satura¸cão. . . 81 5.14 Para s = 4, o comportamento da entropia com o tamanho L da sequência

nucleot´ıdica para valores de κ compreendidos entre 4, 1 e 4, 9. . . 83 5.15 Entropia de informa¸c˜ao contra L, tamanho da sequˆencia, para s = 4 e

κ = 4, 6. . . 84 5.16 Entropia de informa¸c˜ao contra L, com s = 4 e κ = 4, 6 numa regi˜ao

compreendida entre 1 < L < 1, 0 _{× 10}6 nB. A regi˜ao mostrada nessas figuras correspondem `aquela antes da entropia crescer suavemente com L (figura 5.15). . . 84

(15)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Formalismo de Kaniadakis e κ- ´Algebra 4

2.1 Descri¸c˜ao de dois sistemas f´ısicos . . . 6

2.2 Princ´ıpio de intera¸c˜ao cin´etico . . . 7

2.3 Abordagens clássica e quântica através do KIP . . . 9

2.4 O teorema H e o KIP . . . 12

2.5 Fundamentos b´asicos da κ-´algebra . . . 17

2.6 κ-estat´ıstica deformada . . . 19

2.7 Conclus˜oes . . . 22

3 An´alise de conjuntos fractais tipo d _{− (m, r) − Cantor no ˆambito da} κ-entropia de bloco 23 3.1 Fractais: conjuntos tipo (m, r)-Cantor . . . 25

3.1.1 Fun¸c˜ao de probabilidade para conjuntos tipo d-(m, r)-Cantor . . . . 26

3.1.2 Fun¸c˜ao de probabilidade para conjuntos tipo (m,r)-Cantor . . . 29

3.2 κ-Entropia de bloco no contexto da Teoria de Informa¸c˜ao . . . 31

3.3 κ-an´alise de bloco para sequˆencias fractais tipo (m,r)-Cantor . . . 33

3.4 κ-Entropia de conjunto tipo (2, 3)-Cantor para L_{6= 3}N_{. . . .} ₄₂

3.5 Conclus˜oes . . . 46 xv

(16)

xvi

4 Acido desoxirribonucleico´ 47

4.1 Estrutura prim´aria do DNA e as regras de Chargaff . . . 49

4.2 Estrutura secund´aria do DNA: o modelo de Watson-Crick . . . 53

4.3 Energia de estabiliza¸c˜ao . . . 53

4.3.1 Ponte de hidrogˆenio . . . 53

4.3.2 Intera¸c˜ao devido ao empilhamento . . . 55

4.4 Projeto Genoma Humano . . . 56

5 Blocos e probabilidades associadas a uma sequˆencia polinucleot´ıdica do cromossomo Y 61 5.1 Sobre o cromossomo Y . . . 62

5.2 Varredura de uma sequˆencia polinucleot´ıdica em blocos de tamanho s = 2n 63 5.3 Probabilidades em sequˆencias polinucleot´ıdicas relativas a blocos de tama-nho s = 2n . . . 64

5.3.1 Probabilidades correspondentes a blocos de tamanho s = 2 . . . 69

5.4 κ-entropia de bloco para sequˆencias nucleot´ıdicas contidas no cromossomo Y 76 5.4.1 κ-Entropia de bloco para s = 1 . . . 76

5.4.2 κ-Entropia de bloco para s = 2 . . . 78

5.4.3 κ-Entropia de bloco para s = 4 . . . 82

5.5 Conclus˜oes . . . 85

6 Conclusões e Pesperctivas 88 A Fundamentos da κ-álgebra 90 A.1 Fun¸cão Geradora . . . 90

A.2 Regras de grupo para o produto e potˆencia deformadas . . . 95

B Artigos 99

(17)

CAP´ITULO

1 Introdu¸c˜

ao

O cerne deste trabalho está concentrado na análise de dois sistemas de sequências de s´ımbolos: um baseado em sequências de s´ımbolos modelados por regras de itera¸cão fractais tipo d-(m, r)-Cantor e outra baseada na sequência de nucleot´ıdeos do cromossomo Y da espécie homo sapiens. Os motivos que nos impulsionaram a pesquisar essas sequências estão concentrados em parte nos conceitos e modelos trazidos pela mecânica estat´ıstica para tratar uma diversidade de fenômenos f´ısicos (e interdisciplinares a ela), como também do interesse e esfor¸co empregado pelos pesquisadores do mundo, desde do final do século XIX com a descoberta do DNA, intensificado no come¸co dos anos 90 pelo projeto genoma humano até o presente, em ampliar e desmistificar os segredos cerrados na molécula da vida (o DNA). Consideramos isso uma tarefa de dimensões colossais e temos a consciência de que esse é um trabalho que pode contribuir em ambos os campos.

De maneira elementar, a gênese desse trabalho encontra-se assentada nos denominados formalismos generalizados e não-convencionais da mecânica estat´ıstica, uma das áreas da f´ısica que concentra bastante interesse por tratar dos chamados sistemas anômalos. Uma dessas vertentes é a denominada estat´ıstica κ-deformada, introduzida pelo italiano Geogio Kaniadakis [1] no primeiro ano do século atual. Baseado na descri¸cão cinética das colisões

(18)

2

que ocorrem no interior de um sistema de N componentes∗, Kaniadakis postula que as in-tera¸cões entre os componentes de um sistemas são governadas pelo Princ´ıpio de Intera¸cão Cinético. O formalismo decorrente desse princ´ıpio nos proporciona um ferramental f´ısico-matemático tão abrangente, que nos permite investigar uma quantidade demasiadamente grande de fenômenos f´ısicos, além de alcan¸car naturalmente área interdisciplinares, como a Teoria de Informa¸cão.

Estudar fractais generalizados de Cantor dentro do contexto da teoria de informa¸cão, apoiada matematicamente num formalismo generalizado, foi academicamente motivado por um trabalho de Provata [2]. Este estudou os fractais mencionados, usando como base teórica um outro formalismo generalizado supracitado como q-estat´ıstica, proposta pelo grego radicado brasileiro Constantino Tsallis [3]. Seguindo os conceitos apresentados pelo primeiro desses autores, realizamos estudo análogo dentro da estrutura matemática do formalismo de Kaniadakis (cap´ıtulo 2). Consideramos as ideias e resultados contidos nesses trabalhos muito importantes, pois nos permitem comparar e extrapolar os resul-tados apresenresul-tados na dire¸cão da total descri¸cão desses fractais com também forneceram suporte conceitual que nos permitiram estudar e tirar conclusões demasiado interessantes das sequências polinucleot´ıdicas contidas no DNA.

Os objetivos gerais dessa tese consistem em (i) investigar e ampliar nossa descri¸cão de sequências fractais generalizadas tipo d-(m, r) - Cantor, (ii) descrever a distribui¸cão de grupos espec´ıficos de nucleot´ıdeos numa sequência polinucleot´ıdica do cromossomo Y, (iii) seguindo, investigar o grau de desordem nessa sequência através da medida da entropia informacional embebida do formalismo de Kaniadakis, (iv) estabelecer os critérios que nos permitem identificar essa sequência de forma única para diferentes configura¸cões condizentes com os parâmetros geométricos dessas sequências.

De acordo com esses objetivos, essa tese encontra-se organizada em cap´ıtulos enre-dados da seguinte maneira: o cap´ıtulo 2 trata do formalismo estat´ıstico generalizado de Kaniadakis que sustenta conceitual e matematicamente nossas descri¸cões, análises e re-sultados; fractais generalizados de Cantor embebidos no espa¸co topológico de dimensão d = 1, 2, 3 são investigados e analisados no cap´ıtulo 3. O cap´ıtulo 4 consiste numa apresenta¸cão concisa à composi¸cão qu´ımica e dos processos de forma¸cão do ácido

(19)

3

ribonucleico (DNA). Expomos também nesse cap´ıtulo aspectos conceituais concernentes aos papéis genéticos do DNA. No cap´ıtulo 5, tratamos da modelagem, descri¸cão e análise da sequência nucleot´ıdica cerrada no cromossomo Y . Por fim, finalizamos nosso trabalho com algumas considera¸cões e perspectivas gerais (cap´ıtulo 6) provenientes deste trabalho.

(20)

CAP´ITULO

2 Formalismo de Kaniadakis e κ-´

Algebra

Na inexistência de gradientes de pressão, temperatura e part´ıculas, um sistema térmico é dito estar em equil´ıbrio termodinâmico. Nesse equil´ıbrio, o estado de tal sistema é definido, por exemplo, através do conhecimento da pressão P , temperatura T e volume V . Para um mesmo sistema termodinâmico existem uma quantidade grande de tais estados. Eventualmente, este sistema pode passar de um estado de equil´ıbrio para outro através de um processo térmico. Num abordagem macroscópica, se esse sistema for composto de N part´ıculas, aprisionadas num volume V e em contato com um reservatório de calor, desde que a quantidade de part´ıculas N e o volume V não se alterem com o tempo, o sistema pode passar por sucessivos estados de equil´ıbrio (que implica nesse caso que somente a temperatura e a pressão mudarão), até atingir um novo estado de equil´ıbrio caracterizado por coordenadas termodinâmicas da forma (T, P ). Nesse caso, o processo é denominado de isovolumétrico e está condicionado a um aquecimento (resfriamento) mediante ganho (perda) de calor. As variáveis temodinâmicas pressão, temperatura e volume estão conectadas através de uma equa¸cão de estado da forma f (T, P, V ) = 0 [5,6]. Do ponto de vista microscópico (clássico, por exemplo), dizemos que durante um tal processo, o sistema acima poderia estar em quaisquer de seus microestados acess´ıveis. Nesse âmbito, a mecânica estat´ıstica nos fornece as ferramentas básicas para determinar

(21)

5

a quantidade desses estados e/ou a probabilidade desse sistema vir a assumir um deles. Por exemplo, numa versão discreta e canônica da Teoria de Ensembles (uma das ferramen-tas da mecânica estat´ıstica) a probabilidade de um sistema assumir um certo microestado, caracterizado por uma energia εi, pode ser determinada através de [7, 8]

pi =

exp (_−βεi)

Z ,

com Z = X

i

exp (_−βεi) sendo a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao. Deste modo, a energia E e a

entropia S do sistema s˜ao determinadas respectivamente atrav´es de E = P_iεipi e S =

−kB

P

ipiln (pi) . Com o uso dessas ´ultimas e da primeira lei da termodinˆamica, podemos

encontrar uma equa¸cão de estado que relaciona as variáveis macroscópicas T , P e V e, consequentemente, descrever os processos de equil´ıbrio que ocorrem no sistema. Do ponto de vista probabil´ıstico, pi é denominada de fun¸cão de probabilidade ∗.

Todavia, um simples processo de difusão, como colocar uma gota de leite numa x´ıcara de café, não pode ser descrito pelas rela¸cões termonâmicas geradas a partir de tal equa¸cão. Obviamente, isso ocorre devido a essa fun¸cão descrever somente processos que envolvam uma sucessão de estados de equil´ıbrio. Portanto, deve haver algo de especial na fun¸cão de probabilidade ou mesmo na maneira de obtê-la que restringe, como mencionado, os fenômenos térmicos abarcados por ela à referida classe de fenômenos.

´

E nessa dire¸cão que o formalismo apresentado neste cap´ıtulo se volta. Na se¸cão 2.1, descrevemos dois sistemas f´ısicos básicos no âmbito de uma intera¸cão binária, conjunta-mente com alguns postulados importantes que servirão de experimento para a constru¸cão desse novo formalismo generalizado, proposto pelo italiano Giorgio Kaniadakis. Seguindo, na se¸cão 2.2, introduziremos o princ´ıpio fundamental que sustenta esse formalismo: o Princ´ıpio de Intera¸cão Cinético ou, abreviadamente, KIP†. Mostraremos também como este novo formalismo incorpora as já consagradas estat´ıstica clássica e quântica (se¸cão 2.3). Na se¸cão 2.4, faremos uma importante conexão entre o KIP e o famoso teorema H de Boltzmann. Finalmente, na se¸cão 2.5, apresentamos uma nova estat´ıstica, a

κ-∗_{Existe uma vers˜}_{ao cont´ınua de p}

i, representada aqui por f , denominada de fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de

part´ıculas ou ainda fun¸c˜ao densidade de part´ıculas.

(22)

2.1 Descri¸c˜ao de dois sistemas f´ısicos 6

estat´ıstica, emergente do KIP como uma nova ferramenta que nos auxiliará na descri¸cão de vários sistemas de interesses. Listamos e sintetizamos também nessa se¸cão alguns resultados importantes provenientes do estabelecimento dessa nova estat´ıstica. Por fim, apontamos algumas conclusões gerais e relevantes de todo o presente cap´ıtulo na se¸cão 2.6.

2.1 Descri¸

c˜

ao de dois sistemas f´ısicos

Considere um sistema f´ısico composto por N part´ıculas. Se limitarmos esse sistema a um regime de baixas densidade e, adicionalmente, considerarmos que ele é isolado, a fun¸cão de distribui¸cão das part´ıculas desse sistema corresponderá a uma fun¸cão de dis-tribui¸cão de uma part´ıcula. Em outras palavras, a quantidade de part´ıculas f (r, v, t)d3r, encontrada no intante t, localizadas no elemento de volume d3r, no ponto r, é igual a unidade. Eventualmente, os componentes do sistema poderão interagir entre si; todavia, se isso ocorre, consideraremos que essa intera¸cão se dará dentro do contexto de uma co-lisão binária. Assim, se num determinado instante de tempo t, precisamente na iminência de uma colisão, duas part´ıculas desse sistema possuem as coordenadas no espa¸co de fase r1 = (x1, v1) e r2 = (x2, v2) respectivamente, com fun¸cões de densidade de part´ıculas

f1(t, r1) e f2(t, r2) associadas, como consequˆencia de uma colis˜ao, essas part´ıculas

as-sumirão novas coordenadas, designadas aqui como r0₁ = (x0₁, v0₁) e r0₂ = (x0₂, v₂0), com respectivas fun¸cões densidade f₁0(t, r0₁) e f₂0(t, r0₂). Kaniadakis [1] postula que a probabili-dade π de duas part´ıculas sofrer uma transi¸cão no espa¸co de fase devido a colisão é

π(t, r1 → r 0 1, r2 → r 0 2) = T (t, r1, r 0 1, r2, r 0 2)γ(f1, f 0 1)γ(f2, f 0 2). (2.1) Na equa¸c˜ao (2.1), T (t, r1, r 0 1, r2, r 0

2) ´e denominada de taxa de transi¸c˜ao e depende da

natureza da intera¸cão, assim como da se¸cão de choque que envolve as part´ıculas nos respectivos s´ıtios. Ainda na mesma equa¸cão, γ é uma fun¸cão arbitrária que desempenha papel importante no presente formalismo e será apresentada em mais detalhes na próxima se¸cão. Não obstante, no sistema isolado descrito acima, γ(f1, f

0

1) ´e idˆentica a γ(f2, f 0 2).

(23)

2.2 Princ´ıpio de intera¸c˜ao cin´etico 7

r1, portanto, n˜ao pode haver transi¸c˜ao e, logo, π = 0. No entanto, quando f10 = 0,

γ(f1, f 0

1) 6= 0. A partir disso, conclu´ımos que, dependendo da fun¸c˜ao f0, a transi¸c˜ao

descrita por (2.1) pode ser inibida ou não. Quando γ(f, f0) = f , recuperamos a transi¸cão clássica: π(t, r1 → r 0 1, r2 → r 0 2) = T (t, r1, r 0 1, r2, r 0 2)× f1× f2.

Considere agora o contexto de um sistema de part´ıculas em contato com um banho t´ermico, onde o s´ıtio r1 corresponde a uma part´ıcula do nosso sistema e r2 corresponde a

uma part´ıcula pertencente ao banho t´ermico. Devido a esse novo contexto, o postulado em (2.1) ´e modificado, sendo expresso agora como

π(t, r1 → r01) = W (t, r1, r 0

1)γ(f, f0). (2.2)

A fun¸c˜ao W (t, r, r0) possui a mesma interpreta¸c˜ao de T (t, r1, r 0 1, r2, r

0

2) , ou seja, ela

representa a taxa de transi¸c˜ao associada as part´ıculas do referido sistema que, num espa¸co de fase 2n-dimensional, ´e expressa como

W (t, r1, r 0 1) = Z d2nr2d2nr 0 2T (t, r1, r 0 1, r2, r 0 2)eγ(f1, f 0 1). (2.3) Em(2.3), _eγ(f2, f 0

2) está relacionada unicamente à natureza do banho térmico.

Toda-via, W (t, r1, r 0

1) depende tanto do banho quanto da natureza da intera¸c˜ao entre este e o

sistema.

2.2 Princ´ıpio de intera¸

c˜

ao cin´

etico

A proposta de generaliza¸cão apresentada por Kaniadakis [1] está fortemente embasada na fun¸cão γ (como também_{eγ) contida na equa¸cão (2.2). Matematicamente, γ pertence a} uma classe de fun¸cões especiais governadas pela rela¸cão

γ(f, f0) γ(f0_{, f )} =

κ(f )

κ(f0₎. (2.4)

De maneira mais conveniente, reescrevemos (2.4) como

γ(f, f0) κ(f ) =

γ(f0, f )

(24)

2.2 Princ´ıpio de intera¸c˜ao cin´etico 8

Notoriamente, a expressão em (2.5) estabelece que as razões em ambos lados dessa equa¸cão são simétricas em rela¸cão a mudan¸ca f _{→ f}0. Por outro lado, e agora do ponto de vista f´ısico, a fun¸cão γ carrega a informa¸cão da natureza da intera¸cão entre os com-ponentes de um sistema consigo mesmos ou com o ambiente. Assim, e através da escolha particular de γ(f, f0), estamos informando a forma da integral colisional envolvendo as intera¸cões fundamentais num sistema. Mais importante ainda, no âmbito do formalismo de Kaniadakis, a afirma¸cão de que para cada sistema f´ısico existe um γ(f, f0) que des-creve adequadamente as intera¸cões desse sistema, seja este isolado ou em contato com um banho térmico, é denominado de Principio de Intera¸cão Cinético.

Para mostrar esse poder generalizador proposto pelo KIP, assumamos que a forma mais geral de se expressar γ(f, f0) seja

γ(f, f0) = a(f )b(f0)c(f, f0), (2.6) com a(f ), b(f ) e c(f, f0) fun¸cões arbitrárias. Por conveniência, as fun¸cões a(f ) e b(f ) estão conectadas através de

κ(f ) = a(f ) b(f ). Assim,          γ(f,f0₎ κ(f ) = b (f ) b (f0) c (f, f0) γ(f0_,f) κ(f0₎ = b (f0) b (f ) c (f0, f )

que implica obviamente que c(f, f0) = c(f0, f ). Mencionamos anteriormente que quando f = 0, a equa¸cão (2.1) nos conduziria ao fato de que γ(0, f0) = 0. Na ótica da equa¸cão (2.5), a condi¸cão anterior (γ(0, f0) = 0) será satisfeita se a(f = 0) = 0. Por outro lado, quando f0 = 0, γ(f, 0) _{6= 0: nesse caso, escreveremos que b(f}0 = 0) = 1. A fun¸cão b(f0) possui um papel fundamental na transi¸cão entre os s´ıtios final e inicial: visto que se f _{6= 0,} então a escolha de b(f0) pode ou não inibir a trasi¸cão r_{→ r}0.

(25)

2.3 Abordagens clássica e quântica através do KIP 9

2.3 Abordagens cl´

assica e quˆ

antica atrav´

es do KIP

O KIP é uma proposta de generaliza¸cão dentro do âmbito da mecânica estat´ıstica. Isso significa por exemplo que o KIP incorpora dentro da sua estrutura f´ısico-matemática as descri¸cões clássica e quântica associadas a estas abordagens estat´ısticas. Para compre-ender esse ponto com mais clareza, vamos estudar aqui a evolu¸cão temporal da fun¸cão de distribui¸cão f que aparece nas equa¸cões (2.1) e (2.2) em conjunto com a expressão principal do KIP, equa¸cão (2.5).

Como um primeiro caso, vamos abordar o sistema isolado descrito anteriormente na se¸cão 2.1. Por simplicidade, consideraremos que o único efeito da colisão binária será alterar a velocidade das part´ıculas envolvidas na colisão. Nesta situa¸cão, f = f (t, x, v1)

muda para f0 = f0(t, x, v0₁) e f = f (t, x, v₂) muda f0 = f0(t, x, v0₂) depois da colisão. A taxa de transi¸cão T toma então a forma geral

T = T (t, x, v1, v01, v2, v20) .

A taxa de mudan¸ca da fun¸cão distribui¸cão com o tempo - equa¸cão de evolu¸cão - será determinada através de df dt = Z dnv₁0dnv2dnv 0 2 h π t, x, v0₁ _{→ v}1, v 0 2 → v2 − πt, x, v1 → v 0 1, v2 → v 0 2 i . (2.7) Usando agora a equa¸cão (2.1), a equa¸cão (2.7) torna-se

df dt = Z dnv₁0dnv2dnv 0 2[T t, x, v0₁, v1, v 0 2, v2 γf₁0, f1 γf₂0, f2 − T (t, x, v1, v01, v2, v02) γ f1, f 0 1 γ (f2, f20)]. (2.8)

(26)

Como T é uma fun¸cão simétrica, ou seja, T (t, x, v0₁, v1, v02, v2) = T (t, x, v1, v01, v2, v02),

vemos imediatamente que

df dt = Z dnv0₁dnv2dnv 0 2T (t, x, v1, v01, v2, v02) × [γ (f10, f1) γ (f20, f2)− γ (f1, f10) γ (f2, f20)] . (2.9)

Considerando ainda que o KIP - equa¸c˜ao (2.5) - em conjunto com a forma geral em (2.6) e com a (f ) = f e b (f0) = 1, tornando γ (f0, f ) = f c (f, f0) ent˜ao, a taxa de mun-dan¸ca de f adquire agora a forma

df dt = Z dnv₁0dnv₂dnv₂0T (t, x, v₁, v0₁, v₂, v₂0) × [f10f20c (f10, f1) c (f20, f2)− f1f2c (f1, f10) c (f2, f20)] , ou ainda df dt = Z dnv₁0dnv2dnv 0 2T (t, x, v1, v10, v2, v02) c (f10, f1) c (f20, f2) [f10f20 − f1f2] , (2.10)

pois, como consequência do KIP, c (f, f0) = c (f0, f ). Se adicionalmente, considerarmos que c (f, f0) = 1 , esta última equa¸cão torna-se

df dt = Z dnv₁0dnv2dnv 0 2T (t, x, v1, v10, v2, v02) [f10f20 − f1f2] . (2.11)

As escolhas particulares que fizemos para as fun¸cões a(f ), (b0) e c(f, f0) são, desde que observem o KIP, completamente arbitrárias. Infelizmente, com o atual status do forma-lismo em questão, não podemos atribuir um significado f´ısico mais apurado dessas fun¸cões no que tange os papéis espec´ıficos que cada uma delas desempenha. Por isso, aceitaremos que as escolhas que fazemos para essas fun¸cões tem como efeito num primeiro momento obter resultados esperados. Assim, considerando as escolhas realizadas, a solu¸cão da equa¸cão integro-deferencial em (2.11) tem como solu¸cão f (v) = exp

h

−βmv2

2 − µ

i , ou seja, a distribui¸c˜ao cl´assica de Maxwell-Boltzmann.

(27)

Por outro lado, se adotarmos que a (f ) = f , b (f0) = 1 + ηf0, mas com c (f, f0) ainda igual a 1, temos que a equa¸c˜ao (2.9) torna-se

df dt =

Z

dnv₁0dnv₂dnv₂0T (t, x, v₁, v0₁, v₂, v₂0)

× [f10(1 + ηf1) f20(1 + ηf2)− f1(1 + ηf10) f2(1 + ηf20)] , (2.12)

pois, nesse caso, para as condi¸cões mencionadas a equa¸cão (2.6) retornará γ (f, f0) = f (1 + ηf ) . A equa¸cão integro-diferencial (2.12) admite como solu¸cão

f (v) = 1

exp(ε)_{− η}. (2.13)

A constante η desempenha um papel crucial nessa última expressão. Da mecânica estat´ıstica quântica, sabemos que quando η = _{−1, estamos na presen¸ca de um sistema} que atende as demandas da estat´ıstica de Fermi-Dirac. Por outro lado, quando η = 1, estamos no âmbito da estat´ıstica quântica de Bose-Einstein. Assim, e de maneira um tanto elegante, pecebemos que através do KIP podemos descrever sistemas f´ısicos que são governados por princ´ıpios tais como aquele da exclusão de Pauli que, nesse caso, governa a estat´ıstica fermiônica sintentizada na equa¸cão (2.13).

Como mais um exemplo, é poss´ıvel também incorporar através do KIP, a estat´ıstica não-extensiva introduziada por Tsallis [3], considerando que ln k(f ) = (f1−q_{−1)/(1−q) =} lnqf , onde q é um parâmetro real. Nesse caso, a equa¸cão (2.10) torna-se

df dt = R dn_v0 1dnv2dnv 0 2T (t, x, v1, v10, v2, v02) c (f1, f10) c (f2, f20) b (f1) b (f2) b (f10) b (f20)× [exp (lnqf10 + lnqf20)− exp (lnqf1+ lnqf2)] . (2.14)

A maneira como abordarmos a evolu¸cão da fun¸cão de distribui¸cão f , através da equa¸cão (2.7), é referida como o formalismo de Boltzmann. Outra aproxima¸cão que pode ser utilizada para obter os resultados apresentados aqui, é aquela contida no denominado formalismo de Fokker-Planck [9]. Em todo caso, os resultados obtidos utilizando este

(28)

2.4 O teorema H e o KIP 12

´

ultimo, em conjunto com a equa¸cão (2.2), serão idênticos aos apresenados nesta se¸cão. Na tabela 2.1, resumimos todos os resultados obtidos até agora, tanto via formalismos de Boltzmann quanto de Fokker-Planck, para a fun¸cão de distribui¸cão f que descreve os vários sistemas mencionados.

2.4 O teorema H e o KIP

Vamos tratar agora de algo um tanto especial incorporado pelo formalismo de Kania-dakis que está relacionado a entropia de um sistema f´ısico. Para fazer isso, vamos partir novamente da equa¸cão (2.1), só que reescrita da seguinte forma

df dt = Z dnv0dnv1dnv10T × Q × γ (f, f0) γ (f1, f10) , (2.15) com _{Q = Q (f, f}0, f1, f10) = 1− γ(f,f0_)γ₍_f 1,f10) γ(f0_,f)γ₍_f0 1,f1). Lembrado que γ(f,f0₎ γ(f0_,f) ≥ 0, temos que 1₋ γ (f, f 0_{) γ (f} 1, f10) γ (f0_{, f ) γ (f}0 1, f1) ≤ 1.

Do KIP, vemos que a fun¸c˜ao_{Q ainda pode ser expressa como}

Q (f, f0, f1, f10) = 1−

κ (f ) κ (f1)

κ (f0_{) κ (f}0 1)

. (2.16)

Para um sistema em equil´ıbrio termodinˆamico, df_dt = 0. Essa afirmativa equivale a fazer Q = 0 em 2.15. Fazendo isso, vemos que

0 = 1₋ κ (fs) κ (fs1) κ (f0

s) κ (fs10 )

,

pois quando o sistema encontra-se no equil´ıbrio, a fun¸cão de distribui¸cão permanece imutável, ou seja, estacionária: simbolicamente, representamos esse estado de equil´ıbrio escrevendo que f = fs . Podemos ainda, expressar essa condi¸cão como

(29)

Estat´ıstica KIP Equa¸cão Equa¸cão de Fun¸cão de

de Boltzmanndf_dt = Fokker-Planckdf_dt = Distribui¸c˜ao (f =)

Maxwell-Boltzmann γ(f, f0) = f R_Rdn_v0_dn_v 1dnv 0 1T c(f, f0)× ∂v∂ h Dc(f )βmvf + ∂f_∂vi exp(−ε) ×c(f1, f 0 1)(f0f10 − ff1) Bosˆonica κ(f ) = f /(1 + f ) R_Rdn_v0_dn_v 1dnv 0 1T c(f, f0)c(f1, f 0 1)× ∂v∂ h Dβmvf + D_η _∂v∂ln(1 + ηf )i _exp(ε)−11 ×[f0(1 + ηf )f₁0(1 + ηf1)+ −f(1 + ηf0)f1(1 + ηf 0 1)] Fermiˆonica κ(f ) = f /(1_{− f)} R_Rdn_v0_dn_v 1dnv 0 1T c(f, f0)c(f1, f 0 1)× ∂v∂ h Dβmvf + D η ∂ ∂vln(1 + ηf ) i 1 exp(ε)+1 ×[f0(1 + ηf )f₁0(1 + ηf1)+ −f(1 + ηf0)f1(1 + ηf 0 1)] Tsallis lnκ(f ) = lnq(f ) R Rdnv0dnv1dnv 0 1v 0 1T c(f1, f 0 1) ∂v∂ Df βmv + f−q ∂_∂v f = expq[−ε]/Zq ×b(f)b(f1)b(f0)b(f 0 1)[exp(lnqf0+ +lnqf 0 1− exp(lnqf + lnqf1))]

Tabela 2.1: Resumo das rela¸c˜oes de recorrˆencia, a partir do formalismo de

Kani-adakis, para algumas estat´ısticas convencionais e Tsallis, obtidas atrav´es da

(30)

Fisicamente, a express˜ao (2.17) nos diz que a quantidade ln κ (fs) ´e colisionalmente

invariante. Essa constata¸cão é demasiadamente importante, pois nos permite associar o KIP com grandezas f´ısicas que se mantém constantes durante quaisquer processos que um sistema f´ısico venha a ser submetido. Nesse ponto, é tácito que uma nova estat´ıstica, quando estabelecida, incorpore na sua estrutura f´ısico-matemática o já consagrado jargão disseminado na literatura atual de que ela é uma estat´ıstica generalizada. Se uma es-tat´ıstica se diz generalizada, ela deve englobar em seu arcabou¸co teórico e matemático as estat´ısticas padrões como casos particulares (tabela 2.1 ); complementarmente, ela o deve fazer seguindo os imutáveis preceitos da f´ısica. Assim, mediante as condi¸cões apresenta-das anteriormente nessa se¸cão, o presente formalismo, cerrado no Princ´ıpio de Intera¸cão Cinético, o KIP, incorpora esses preceitos mediante a imposi¸cão de que ln(kf) está

intima-mente ligado às energias associadas ao sistema, pois estas com certeza são colisonalmente invariantes também. Assim, no âmbito do formalismo de Kaniadakis, se fará a conexão entre o KIP e a energia total de um sistema f´ısico através da expressão

ln k (fs) = β 1 2mkvk 2 + V (x)_{− µ} . (2.18)

Observe que essa expressão abrange não só sistemas isolados como também aqueles imer-sos numa região contendo um potencial externo V (x), assim como para sistemas contendo diferentes concentra¸cões (qu´ımicas), representados aqui por µ. Incorporando a equa¸cão (2.18) na equa¸cão (2.16), temos ainda que

Q (f, f0_{, f} 1, f10) = 1− exp ln κ (f ) κ (fs) + ln κ (f1) κ (fs1) − ln κ (f0) κ (f0 s) − ln κ (f10) κ (f_s10 ) . (2.19)

Prosseguindo, seja agora o funcional K definido por

K=₋ Z dnxdnv Z df ln κ (f ) κ (fs) .

(31)

2.4 O teorema H e o KIP 15 Q (f, f0, f1, f10) = 1− exp −δK [f ] δf − δK [f₁] δf1 + δK [f 0_] δf0 + δK [f₁0] δf₁0 . Assim, a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao, adquire o seguinte novo aspecto

df dt = Z dnv0dnv1dnv10T γ (f0, f ) γ (f10, f1) × 1_{− exp} −δK [f ] δf − δK [f₁] δf1 + δK [f 0_] δf0 + δK [f₁0] δf₁0 .

No equil´ıbrio, f = fs e a condi¸c˜ao df_dt = 0 equivale a codi¸c˜ao δK[f ]_δf = 0. Portanto,

dK dt =− Z dnxdnv ln κ (f ) κ (fs) df dt =₋ Z dnxdnvdnv0dnv₁dnv0₁ln κ (f ) κ (fs) T × [γ (f0_{, f ) γ (f}0 1, f1)− γ (f, f0) γ (f1, f10)] .

Rearranjando essa ´ultima, temos ainda que

dK dt =− Z dnxdnvdnv0dnv1dnv01ln κ (f ) κ (fs) T × [γ (f0, f ) γ (f₁0, f1)− γ (f, f0) γ (f1, f10)] =₋ Z dnxdnvdnv0dnv1dnv01ln κ (f ) κ (fs) T × [γ (f0, f ) γ (f₁0, f1)− γ (f, f0) γ (f1, f10)] . (2.20)

(32)

Devido à simetria do integrando em (2.20), podemos reescrever essa última expressão como dK dt =− Z dnxdnvdnv0dnv₁dnv₁0T × 1 4 ln κ (f ) κ (fs) + ln κ (f1) κ (fs1) − ln κ (f0) κ (f0 s) − ln κ (f10) κ (f_s10 ) × [γ (f0, f ) γ (f₁0, f1)− γ (f, f0) γ (f1, f10)] ,

ou ainda, usando a equa¸c˜ao (2.16), podemos escrever

dK dt =− Z dnxdnvdnv0dnv1dnv10T × 1 4[−Q ln (1 − Q)] γ (f 0_{, f ) γ (f}0 1, f1) .

Como _{Q ≤ 0, a quantidade −Q ln (1 − Q) ≥ 0, implicando que} dK_dt _{≥ 0. Assim, para} um tempo infinitamente grande K (t) _{≤ K (∞) . Se definirmos a entropia S e a energia} total do sistema E respectivamente como

S =₋ Z dnxdnv Z df ln κ (f ) (2.21) e E = Z dnxdnv [V (x) + U (v)] f, (2.22) reescreveremos K como K=S_{− β (E − µN) .} (2.23)

Portanto, K tem car´ater de entropia. Isso ´e totalmente esperado, pois dK_dt _{≥ 0. Essa} ´

(33)

2.5 Fundamentos b´asicos da κ-´algebra 17

2.5 Fundamentos b´

asicos da κ-´

algebra

O Princ´ıpio de Intera¸cão Cinético além de incorporar no seu âmbito as estat´ısticas convencionais, como as estat´ısticas clássica e quânticas (mostradas na se¸cão 2.3), ele pode ser usado também para propor novos formalismos. Seguindo nessa dire¸cão, vamos apre-sentar a seguir as bases matemáticas que nos permitirão, na se¸cão 2.6, analisar uma dessas propostas. Primeiramente, consideremos a fun¸cão f (x) que observa a seguinte proprie-dade de simetria

f (x) f (_{−x) = 1.} (2.24)

Da matemática, sabemos que toda fun¸cão real pode ser escrita como uma soma de uma fun¸cão par e outra ´ımpar. Usando esse fato, reescreveremos a fun¸cão f (x) como f (x) = P (x) + I(x). Portanto, usando a condi¸cão acima, temos

[P (x) + I(x)] [P (_{−x) + I(−x)] = 1} [P (x) + I(x)] [P (x)_{− I(x)] = 1} [P (x)]2 _{− [I (x)]}2 = 1, ou ainda, que P (x) = q 1 + [I (x)]2. Assim, f (x) = q

1 + [I (x)]2+ I(x). Existem várias maneiras de definir f (x) obedecendo essa expressão. Aceitaremos que uma dessas manei-ras é

f (x) = q

(34)

2.5 Fundamentos b´asicos da κ-´algebra 18

ou, de uma maneira mais ´util aos prop´ositos posteriores

exp_{κ}(x)κ = q

1 + [gκ(x)]2+ gκ(x) . (2.25)

Na equa¸cão (2.25), κ é um número real que desempenhará, mais adiante neste traba-lho, um papel muito importante: por estar associada diretamente com o formalismo de Kaniadakis, denominaremos ele de κ-parâmetro. A fun¸cão real gκ(x) é qualquer fun¸cão

arbitr´aria que observa as seguite propriedades (i) gκ(x)∈ R;

(ii) gκ(−x) = −gκ(x);

(iii) _dxd [gκ(x)] > 0;

(iv) gκ(±∞) = ±∞

(v) g(x)_{≈ x quando x → 0.} De (2.25), vemos ainda que

exp_{κ}(x) = q 1 + [gκ(x)]2+ gκ(x) 1 κ = exp 1 κln q 1 + [gκ(x)]2+ gκ(x) = exp 1 κsinh −1_[g κ(x)] .

Se gκ(x) = κx, portanto, seguindo todas as propriedades acima, vemos que

exp_{κ}(x) = exp 1 κsinh −1_[κx] . (2.26)

(35)

2.6 κ-estat´ıstica deformada 19

A fun¸c˜ao exp_κ(x) possui propriedades um tanto interessantes: ela obedece a equa¸c˜ao (2.24) e quando κ _{→ 0, lim}

κ→0exp{κ}(x) → exp (x). Ela observa tamb´em a seguinte regra

de deriva¸c˜ao modificada (para mais detalhes, veja apˆendice A) d exp_{κ}(x)

dx_{κ} = exp{κ}(x) . (2.27)

´

E também oportuno e importante definir a fun¸cão inversa de exp_{κ}(x) através de

ln_{κ}(x) = g_κ−1 xκ_{− x}−κ 2 , (2.28)

com g_κ−1(x) sendo a fun¸cão inversa de gκ(x) . Para gκ(x) = kx, é fácil ver que gκ−1(x) = xk

e, portanto,

ln_{κ}(x) = x

κ_{− x}−κ

2κ . (2.29)

Obviamente, quando κ_{→ 0, ent˜ao lim}

κ→0ln{κ}(x) = ln x. As fun¸c˜oes exp{κ}(x) e ln{κ}(x)

s˜ao denominadas de fun¸c˜oes exponencial e logar´ıtmica κ-deformadas.

2.6 κ-estat´ıstica deformada

Embasada na álgebra e propriedades das fun¸cões exponencial e logar´ıtmica deforma-das, a chamada κ-estat´ıstica é definida considerando que a densidade de entropia σκ(f )

de um sistema f´ısico ´e tal que

σκ(f ) =−

Z

df ln_{κ}(αf ) , (2.30)

com α uma constante real positiva. A conexão com o KIP é realizada observando que ln κ (f ) = ln_{κ}(αf ) . Usando a defini¸cão (2.21), temos que a entropia de um sistema f´ısico no âmbito da estat´ıstica deformada é expressa como

S_{κ} =₋ Z

(36)

2.6 κ-estat´ıstica deformada 20

Lembrado que R dxn_dvn_{f (t, x, v) = N, a varia¸c˜}_{ao do funcional K em (2.23),}

δ [Sκ+ β (E− µN)] = 0 δ − Z dxndvn Z df ln_{κ}(αf ) + β Z dxndvn[U _{− µ] f} = 0 nos conduz a − ln{κ}(αf ) + β (µ− U) = 0. Portanto, f = 1 αexp{κ}(−ε) ,

onde ε = β (µ_{− U) . Quando α = 1 e κ → 0, vemos que f = exp (−ε): que é a} distri-bui¸cão estat´ıstica clássica. Adicionalmente, quando α = Z_{κ} =R dvn_exp

{κ}(−βU), ent˜ao

f = 1

Z_{κ}exp{κ}(−βU) , (2.32)

onde, por analogia com a teoria clássica, Z_{κ} é denomina de fun¸cão de parti¸cão κ-deformada. Ainda para o caso onde U = mv2/2, a fun¸cão de distribui¸cão em (2.32) toma a forma f = βm_|κ| π n 2 1 + 1 2n|κ| Γ (1/2_{|κ| + n/4)} Γ (1/2_{|κ| − n/4)}exp{κ} −β 2mv 2 , (2.33)

e constitui a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao generalizada para part´ıculas brownianas (veja figura 2.1).

(37)

2.6 κ-estat´ıstica deformada 21 0.45 0.30 0.15 0.0 2.5 5.0

f(v)

v

k = 0.0

k = 0.7

k = 1.0

Figura 2.1: Fun¸cões de distribui¸cões associadas à densidade de entropia ln_{κ}(αf ), com a

condi¸cão de α = Z_{κ} e U = mv₂2. Para κ = 0, f representa a fun¸cão de distribui¸cão de

velocidades (v) para part´ıculas brownianas.

Um outro caso interessante decorrente da defini¸c˜ao (2.31), surge quando escolhemos ln (κ) = ln_{κ}

1 1+ηf

. Quando isso ´e feito, a densidade de entropia σ (f ) se torna

σκ(f ) =− Z df ln_{κ} 1 1 + ηf .

A varia¸c˜ao do funcional K nos conduz, ent˜ao, ao seguinte resultado

f = 1

exp_{κ}(ε)_{− η},

que, como demonstrado, cont´em como caso especial as distribui¸c˜oes de Bose-Einstein (η = +1) e de Fermi-Dirac (η =_−1).

(38)

2.7 Conclus˜oes 22

2.7 Conclus˜

oes

A κ-estat´ıstica foi introduzida de maneira estruturada em 2001 pelo italiano George Kaniadakis [9]. Como mencionado no presente cap´ıtulo, ela constitui numa proposta de generaliza¸cão para a mecânica estat´ıstica. Nesse cap´ıtulo, apresentamos de maneira básica, mas suficiente, as bases conceituais f´ısico-matemáticas que fundamentam a cha-mada κ-estat´ıstica, essenciais no desenvolvimento deste trabalho. Complementando, e apesar da abordagem realizada (ponto de vista de uma colisão binária), esse novo forma-lismo generalizado pode também ser utilizado para abranger naturalmente sistemas f´ısicos dentro do contexto da relatividade especial [4]. Contudo, nesse trabalho vamos nos utilizar das ferramentas apresentadas aqui dentro de um contexto da teoria de informa¸cão, mas numa abordagem de bloco [2] aplicada ao estudo da sequência de nucleot´ıdeos associada a um determinado cromossomo da espécie humana.

(39)

CAP´ITULO

3 An´

alise de conjuntos fractais tipo d

_{− (m, r) − Cantor no ˆambito}

da κ-entropia de bloco

Dois dos objetivos deste trabalho são investigar e analisar sequências polinucleot´ıdicas cromossômicas contidas no DNA humano através do conceito de entropia de informa¸cão, mas no âmbito de uma estat´ıstica não-convencional (cap´ıtulo 2). Tipicamente, o estudo da informa¸cão (sua defini¸cão e mensura¸cão) pertence aos conteúdos da teoria de proba-bilidade. Todavia, a gênese dessa teoria está conectada à f´ısica encerrada na estrutura estocástica dos equipamentos elétricos de comunica¸cão [10]. Quando no âmbito da teoria de informa¸cão, duas perguntas são pertinentes: o que é a informa¸cão e como mensurá-la? As respostas dessas perguntas podem ser obtidas de diversas maneiras, a depender da ´

area de pesquisa [11–15].

No intuito de responder essas questões, e por razões tácitas, vamos recorrer a uma das disciplinas que incorpora naturalmente os conceitos dessa teoria: a f´ısica. Portanto, considere um sistema termodinâmico (um daqueles tratados no cap´ıtulo 2) composto de N part´ıculas, cada uma delas podendo assumir valores discretos de energia tais como i, com

i = 1, 2, 3, .... Obviamente, a soma da energia total E do nosso sistema deve corresponder à soma de todas as energias associadas às part´ıculas do nosso sistema. Acontece que podem existir part´ıculas do nosso sistema que estejam associadas à energia ₁ ou ₂, ou ainda ₃,

(40)

24

enfim, as part´ıculas podem admitir quaisquer valores dentre os i’s. Designaremos por ni,

o n´umero de part´ıculas do nosso sistema que possuem energia i. Portanto, um estado

(microestado) do nosso sistema seria totalmente determinado se, além de informarmos os i’s, informássemos também quantas das N part´ıculas possuem energia 1, quantas

possuem energia 2, quantas possuem energia 3, e assim por diante.

Na prática, tal realiza¸cão é imposs´ıvel, para não dizer supérfluo: estamos tratando com um sistema termodinâmico que por natureza possui um número da ordem de 1023 ou 1024 part´ıculas. Devido à impossibilidade de determinar o estado termodinâmico a partir do estado dinâmico das part´ıculas, a mecânica estat´ıstica, utilizando da versátil teoria de ensembles, nos fornece uma solu¸cão brilhante para esse problema: em vez de tentar determinar em qual microestado está o sistema mencionado, vamos contar todos os microestados condizentes com N e E e, a partir disso, estabelecer regras que nos digam como determinar o estado termodinâmico do sistema através do montante cor-respondente à soma de todos os microestados acess´ıveis ao sistema. Rigorosamente, e a n´ıvel macroscópico, o sistema deve assumir um de seus estados acess´ıveis num instante de tempo t, no entanto, a impossibilidade de afirmarmos qual é esse estado, nos conduz a afirmar frequentemente que o sistema está simultaneamente em todos eles. Então, um macroestado desse conjunto seria perfeitamente determinado se consegu´ıssemos informar todos os i e ni para esse conjunto de sistemas.

Na verdade, existem v´arias maneiras de distribuir os i’s entre os sistemas

menciona-dos: cada uma dessas possibilidades é denominada de microestado. A n´ıvel macroscópico, o sistema deve assumir um desses microestados; porém, devido à impossibilidade de de-terminá-lo, supomos que o sistema pode ser encontrado simultaneamente em todos eles.

Contar o número de microestados acess´ıveis a um sistema é deveras viável. Todavia, uma vez de posse desse montante, a questão primordial segue: como determinar o estado macroscópico de um sistema através desse total? Boltzmann [16], postulou que isso é realizável através da quantidade f´ısica entropia, definida matematicamente aqui como

S = kBln Ω,

com Ω o n´umero total de microestados acess´ıveis ao sistema. Para sistemas em equil´ıbrio termodinˆamico, Boltzmann ainda nos diz que S deve admitir o seu maior valor condizente

(41)

3.1 Fractais: conjuntos tipo (m, r)-Cantor 25

com seus v´ınculos: isto ´e chamado de postulado da m´axima entropia.∗

No jargão da teoria de informa¸cão, a entropia pode ser interpretada como uma medida do quão grande é nossa ignorância em rela¸cão a qual dos microestados corresponde o estado macroscópico do sistema. Isso acontece devido ao fato de conhecermos apenas as chances (as probabilidades) de encontrar o sistema num ou outro estado micoscópico. Ainda, se supormos que exista uma quantidade (f´ısica e/ou matemática) que se conserva, composta pela soma da “informa¸cão” mais a “desinforma¸cão”, a entropia representaria esta última (poss´ıvel defini¸cão de informa¸cão).

De uma maneira ainda mais simples, considere o exemplo das chances de chover num determinado dia. Se a probabilidade de precipita¸cão aumenta à medida que o tempo passa, significa que cada vez mais temos à certeza de que “vai chover”, frente a certeza de que “não vai chover”. Nesse caso, à medida que o tempo passa a perda de informa¸cão vai se tornado cada ver mais branda, pois, o nosso sistema, composto de dois estados acess´ıveis (chover e não chover), cada vez mais vai se confirmando como estando no estado “vai chover”: em outras palavras, a entropia vai diminuindo e a informa¸cão vai aumentando. O mesmo ocorrerá se a probabilidade de “não chover” for aumentando durante o passar do tempo. Por outro lado, quando as probabilidades correspondentes aos dois eventos acess´ıveis ao sistema vão se equiparando (igualdade à priori), a entropia vai aumentando até atingir o seu máximo. Nesse máximo, a informa¸cão que podemos tirar do sistema - a respeito de qual dos seus microestados é mais provável - é a m´ınima poss´ıvel.

Inteirados dessas ideias, abordaremos nas se¸cões seguintes estruturas fractais do tipo d-(m, r)-Cantor. Muitos dos procedimentos adotados ao longo das próximas se¸cões deste cap´ıtulo, serão utilizados em cap´ıtos posteriores quando do tratamento de sequências polinucleot´ıdicas.

3.1 Fractais: conjuntos tipo (m, r)-Cantor

Fractais são formas geométricas que possuem propriedades simétricas associadas a invariância sob dilata¸cão ou contra¸cão. Suas principais caracter´ısticas são

autosimilari-∗_{Adicionalmente, devemos supor tamb´em, ainda de acordo com Boltzmann, que o sistema possui as}

(42)

dade, autoafinidade e, principalmente, dimensão não inteira. Segundo o pai do formalismo fractal, B. B. Mandelbrot, um dos principais objetivos dos fractais é descrever formas geométricas não euclidianas [17, 18]. Todavia, como todo formalismo bem alicer¸cado, os fractais logo extrapolaram as fronteiras que continham seus objetos iniciais de estudo, e logo se tornaram matéria interdisciplinar, abrangendo todos os principais ramos das ciências. Como a aplicabilidade dos fractais é bastante abrangente na atualidade, bas-tando uma simples pesquisa na literatura para provar isso, nos restringimos a mencionar apenas alguns trabalhos relevantes como: os de Stanley e Meakin [19], que conecta o fenômeno multifractal com a mecânica estat´ıstica; o de Halsey [20], na área de fenômeno cr´ıticos; e o de Tsallis, que fundamenta seu formalismo estat´ıstico generalizado beseado nessa nova geometria [21].

As se¸cões subsequentes deste cap´ıtulo são baseadas, então, no formalismo empregado no estudo dos fractais com ênfase nos chamados fractais de Cantor. Num primeiro mo-mento, faremos isso de forma intuitiva, depois, a um n´ıvel de rigor suficiente de modo a dar suporte às análises e resultados obtidos neste.

3.1.1 Fun¸

c˜

ao de probabilidade para conjuntos tipo d-(m, r)-Cantor

Se tomarmos uma barra de comprimento unitário l = 1, e a dividimos em três partes iguais, cada um dos peda¸cos terá comprimento igual a 1/3 do comprimento original. Se retirarmos uma dessas partes do conjunto, o peda¸co do meio por exemplo, sobrará 2/3 do tamanho da barra original. Aplicando esse mesmo procedimento a cada 1/3 dos 2/3 de barra restante, constataremos que sobrarão somente 4/9 da barra original. Poder´ıamos continuar com esse procedimento indefinidamente: todavia, ao processo de dividirmos a barra em três, ou um dos peda¸cos em três, e depois retirarmos a parte central, denominamos de dizima¸cão.

Para indicar que procedemos uma única vez com o processo de dizima¸cão, e assim gerando os 2/3 de barra inicial, diremos que geramos a primeira gera¸cão, N = 1: o com-primento de cada segmento nessa gera¸cão é l = (1/3)1 = 1/3. De maneira semelhante, para indicar que procedemos uma segunda vez com o processo de dizima¸cão nos 2/3 de barra restante, diremos que estamos no âmbito da segunda gera¸cão N = 2, sendo o com-primento de cada peda¸co igual a l = (1/3)2. Em geral, se procedermos N vezes com o

(43)

processo de dizima¸cão, geraremos a N -ésima gera¸cão, cujo comprimento de cada segmento de barra será determinado através de l = (1/3)N (veja figura 3.1).

Região dizimada 0 L = 2 1 L = 2 2 L = 2 N = 0 N = 1 N = 2 0 1/9 2/9 3/9 6/9 7/9 8/9 1 0 l =( 1/3) 1 l =( 1/3) 2 l =( 1/3)

Figura 3.1: Constru¸cão do conjunto (2, 3)-Cantor por dizima¸cão. Para N = 0, não há

di-zima¸c˜ao, portanto, a barra possui seu comprimento original aqui. Quando N = 1, o processo

de dizima¸c˜ao opera dividindo a barra (em N = 0) em trˆes peda¸cos iguais e, em seguida, dizima

a terceira parte central indicada nesta figura com N = 1. Para N = 2, enfatiza-se o processo de dizima¸cão que resulta na segunda gera¸cão (retângulo tracejado). Os números que aparecem

logo abaixo das barras, 0, 1/9, 2/9, 3/9, 6/9, 7/9, 8/9 e 1, correspondem `as coordenadas das

extremidades das barras em cada gera¸cão. Indicamos na figura também parâmetros importantes

que ser˜ao utilizados mais adiante como: o comprimento l de cada segmento de barra (`a direita

da figura) e L, o número total de segmentos de barra que restam após processo de dizima¸cão (à esquerda) referentes a cada gera¸cão N .

Para uma determinada gera¸cão, se atribuirmos coordenadas às extremidades de cada segmento de barra, podemos de maneira arbitrária dizer que as coordenadas das extremi-dades da barra na gera¸cão zero (N = 0) são 0 e 1; na primeira gera¸cão (N=1), as barras possuem coordenadas 0, 1/3 2/3 e 1; seguindo, na segunda gera¸cão, essas coordenadas serão 0, 1/9, 2/9, 3/9, 6/9, 7/9, 8/9 e 1; o mesmo racioc´ınio pode ser empregado para as outras gera¸cões. Para N _{→ ∞, a barra terá sofrido um número tão grande de} di-zima¸cões que seu aspecto se assemelhará a um pó: a poeira de Cantor. Nesse limite, a poeira de Cantor corresponde a um fractal com dimensão fractal df exatamente igual a

ln 2/ ln 3 [22].

Outra maneira de construir conjuntos de Cantor, mais útil para os nossos propósitos, é através das regras de itera¸cão. Assim, por exemplo, considere a primeira gera¸cão (N = 1) como exibido na figura 3.2. Vamos associar o algarismo 1 a cada uma das barras não

(44)

dizimadas e 0 a cada uma daquelas dizimadas: portanto, se fôssemos representar essa gera¸cão através dos algarismos indicados, ter´ıamos que a primeira gera¸cão poderia ser representada através da sequência (1 0 1); a segunda gera¸cão seria representada por (1 0 1 0 0 0 1 0 1); e assim por diante. Uma maneira simples de reproduzir a gera¸cão seguinte através de uma da gera¸cão, é trocar 1 por 101 e 0 por 000: simbolicamente, 1_{→ 101 e 0 → 000. Essa regras são denominadas de regras de itera¸cão para um conjunto} tipo (2,3)-Cantor.†. N = 0 N = 1 N = 2 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 N = 3 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1

Figura 3.2: Constru¸c˜ao do conjunto (2, 3)-Cantor por regras de itera¸c˜ao. Partindo

da gera¸cão zero, onde a barra de comprimento unitário está associada ao número 1, a regra de itera¸cão sugere que primeira gera¸cão vai ser gerada através da substitui¸cão 1→ 101; partindo da primeira gera¸cão, a segunda gera¸cão será gerada quando cada algarismo 1 for trocado por 101 e

o algarismo 0 por 000; a aquisi¸c˜ao da terceira gera¸c˜ao segue o mesmo esquema. O conjunto de

regras 1_{→ 101 e 0 → 000 são denominadas de regras de itera¸cão e estão, neste caso, associadas}

unicamente ao conjunto (2, 3)-Cantor.

Simbolicamente, quando nos referimos às regras de itera¸cão mencionadas até agora para fractais de Cantor, escrevemos (2, 3)-Cantor, onde o parâmetro m = 2 está asso-ciado ao número de segmentos que sobram quando um determinado segmento de barra é submetido ao processo de dizima¸cão, ou a quantidade de algarismos 1 resultante da itera¸cão 1 _{→ 101 e, complementado, r = 3 está relacionado à maneira de como devemos} dividir um determinado segmento (no caso, em três partes iguais) de barra antes de pro-ceder com a dizima¸cão. Outras regras de itera¸cão podem ser sugeridas, mas sempre com a mesma lógica: portanto, estudaremos aqui conjuntos generalizados (m, r)-Cantor (mais

†_{Para esse mesmo conjunto, podemos utilizar as regras 1} _{→ 110 e 0 → 000; obviamente, do ponto}

vista de um processo de dizima¸cão, estamos dividindo as barras em cada gera¸cão por três e eliminando a mais à direita

(45)

tarde, d-(m, r)-Cantor, onde d = 1, 2, 3 é a dimensão topológica [23]), onde tomaremos uma barra unitária, dividiremos ela em r partes, e subtrairemos r_{− m partes. Também,} no limite onde N _{→ ∞, obtemos conjuntos (m, r)-Cantor, cuja dimensão fractal vale} df = ln m_{ln r} [22].

3.1.2 Fun¸

c˜

ao de probabilidade para conjuntos tipo (m,r)-Cantor

Considere que a transmissão de uma informa¸cão seja codificada através de uma fun¸cão de distribui¸cão de probabilidade associada às seguintes medidas: 1 0 1 0 0 0 1 0 1; portanto, baseado num conjunto (2, 3)-Cantor. Se essa informa¸cão for transmitida de forma a enviar um d´ıgito por vez (s = 1), a probabilidade do algarismo 1 ser transmitido é p1(s = 1) = 4₉;

consequentemente, a probabilidade do algarismo 0 ser transmitido ´e p0(s = 1) = 5₉. Por

outro lado, se tivermos a inten¸cão de enviar uma informa¸cão em pacotes de três algarismos (s = 3), de tal modo que esse pacote seja composto por [1 0 1] ou por [0 0 0], retirados do conjunto de medidas anteriores, vemos que p1(s = 3) = 2₃ e p0(s = 3) = 1₃, associadas

(as probabilidades) aos pacotes [1 0 1] e [0 0 0] respectivamente. Podemos ainda ter a possibilidade de que essa informa¸c˜ao seja transmitida em pacotes (blocos) contendo s = 9 algarismos: nesse caso, obviamente, temos que p1(s = 9) = 1, sendo essa probabilidade

associada ao bloco [1 0 1 0 0 0 1 0 1]. ´

E importante observar que a transmissão da informa¸cão pode ser realizada de três maneiras distintas: envio de um algarismo por vez (s = 1), de três algarismos por vez (s = 3) e de nove algarismo por vez (s = 9)‡. Quando isso acontece, dizemos que a informa¸cão é enviada através de blocos [24] de tamanho s = 1, s = 3 ou s = 9. Observe que todos os valores que s admite são potência de base três, ou mais geral, potências de base r. Então, dessa maneira, podermos associar probabilidades aos parâmetros de um conjunto (m,r)-Cantor. §.

‡_{Como veremos, a depender da gera¸c˜ao que consideramos, existem outras maneiras (pacotes) de enviar}

a informa¸c˜ao

§_{A informa¸c˜}_{ao poderia ter sido enviada tamb´em em blocos de tamanho s = 2, s = 4, s = 7, etc.}

Obviamente, fazendo isso da maneira como apresentada, em blocos de tamanho s = rσ_{, sendo σ um}

(46)

De maneira geral, para uma determinada gera¸c˜ao N , associada a um conjunto fractal (m, r)-Cantor, a probabilidade p1[s] de enviarmos um conjunto de dados com as

especi-fica¸c˜oes mencionadas anteriormente, ´e dada por

p1[s] = hm r iN−σ , (3.1) e p0[s] = 1− hm r iN−σ , (3.2)

com s = rσ _{e L = r}N_{, sendo σ = 0, 1, 2, 3, ..., N . No caso em que m = 2, r = 3, com}

s = 1 e N = 0, devemos observar que p1 est´a associado `a probabilidade de envio do bloco

[1], que nesse caso é igual p₁ = 1. Também, temos que observar que nesse caso não faz sentido determinar p1 quando s > 1, uma vez que na referida gera¸cão o único tamanho

de bloco permitido é s = 1. Seguindo, quando N = 1 e s = 1 (com r = 3 e m = 2 ainda), p1 na expressão (3.1) se refere à probabilidade de enviarmos o bloco [1], que nesse

caso é p₁ = 2/3; porém, nessa gera¸cão existe também a probabilidade de enviarmos o bloco [0] que, de acordo com a expressão (3.2), é p0 = 1/3. Diferentemente da gera¸cão

zero, para N = 1 podemos especular à respeito do envio da informa¸cão em blocos de tamanho s = 3. Nesse caso p1[3] = 1, pois nessa gera¸cão só haverá a ocorrência de um

´

unico bloco compat´ıvel com s = 3, a saber, o bloco [101]: todavia, para N = 1, não faz sentido ponderar à respeito do envio da informa¸cão em pacotes de tamanho maior que 3, visto que essa gera¸cão possui um total de L = 3 d´ıgitos. Utilizando essa lógica, e fácil ver que para N = 2, a equa¸cão (3.1) descreverá a probabilidade de envio informa¸cão em blocos de tamanho s = 1, 3, 9. Nesse caso, é importante mencionar que quando s = 3, a informa¸cão pode ser enviada em através dos blocos [101] e [000], descritos pelas proba-bilidades p1[s = 3] = 2/3 e p0[s = 3] = 1/3 respectivamente. E no caso em que s = 9,

p1[s = 9] = 1, que est´a obviamente relacionada ao envio do bloco [101000101]. Nesse

sen-tido, podemos afirmar que, para uma da gera¸cão N , a quantidade máxima de algarismos que podemos enviar numa determinada sequência, ocorre quando s = L e a quantidade m´ınima quando s = 1.