T eorema do Valor Médio (TVM): Cres imento e De res imento

De res imento

Nesta Seção vamos justi ar o tempo que gastamos aprendendo a al ular a

derivada de uma função. Veremos que sabendo somente um pou o sobre

f

′

sinal) nos diz muito sobre

f

. [Sp,p.163℄

Algumas apli ações importantes doTeorema doValor Médio (TVM)queapresentaremos

nesta seção são omo determinar:

•

intervalos ondeuma função res e oude res e;

•

intervalosondeumafunçãoéinjetivae, onsequentemente,ondeexisteafunçãoinversa;

•

uni idade de soluçãode equações.

Os resultadosdesta Seção são baseadosno seguinte Teorema.

Teorema 16 (Rolle) Se

f

é ontínua em

[a, b]

( om

a < b

) e derivável em

(a, b)

f (a) = f (b) = 0

, então existe

c∈ (a, b)

tal que

f

′_{(c) = 0}

Prova: Vou somente ilustrar o resultado. Considere a função

f

representada no grá o abaixo. Note que

f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = 0

. Assim no intervalo

[0, 1]

existe um

c

tal que

f

′_{(c) = 0}

, isto é, tal que a reta tangente é paralela ao eixo

x

. O mesmo o orre no intervalo

[1, 2]

. Finalmente note que o Teorema garante a existên ia de pelo menos um

c

, mas podemoster mais de um, omo no asoda apli ação doTeorema em

[2, 3]

, ondetemos

3 c

's distintos.

x

y

1

2

3 c

_c′

_c′′

_c′′′

O Teorema do Valor Médio (TVM)apresentado omo um orolário do Teorema de Rolle,

é uma das mais importantes ferramentas teóri as do Cál ulo provavelmente o resul-

tado mais profundo sobre derivadas. [Sp p.168℄ O TVM é a base de métodos numéri os

utilizados nas apli ações do Cál ulo na Engenharia.

Corolário 5 (Teorema do Valor Médio (TVM)) Se

f

é ontínua em

[a, b]

( om

a < b

) e derivável em

(a, b)

então existe

c∈ (a, b)

tal que

f (b)− f(a) = f′_(c)(b_{− a).}

Prova: Considere a função

g

denidaem

[a, b]

por

g(x) = f (x)− f(a) −

f (b)− f(a)

b_{− a}

(x− a).

Como

g(a) = g(b) = 0

, podemos apli ar o Teorema 16 (Rolle) para on luir que existe

c∈ (a, b)

talque

g

′_{(c) = 0}

. Como

g′(c) = f′(c)₋f (b)− f(a)

b− a

= 0,

f′(c) =

f (b)− f(a)

b_{− a}

.

Observação 36 OTVM diz em termos de Físi a que existe um ponto

c∈ (a, b)

tal que a a velo idade instantâneaem

c

é iguala velo idade média em

[a, b]

Denição 15 ( res ente e de res ente) Seja

I

um intervalo. Dizemos que

f

é: (a) res ente em

I

se para todo

x, y

∈ I

x < y

, temos que

f (x) < f (y)

; (b) de res ente em

I

se para todo

x, y

∈ I

x < y

, temos que

f (x) > f (y)

Observação 37 Poderíamos denir res ente (sem ser estritamente) por:

x < y

impli a que

f (x)

≤ f(y)

(permitindo igualdade). Vamos deixar isto para um urso de Análise. Neste livro dizemos quea função é res ente signi ando estritamente res ente.

Corolário 6 (sinal da derivada e res imento/de res imento) Seja

f

umafunçãode- rivávelem um intervalo

I

. Se, para todo

x

∈ I

(a)

f

′_{(x) > 0}

, então

f

é res ente em

I

; (b)

f

′_{(x) < 0}

,então

f

é de res ente em

I

; ( )

f

′_{(x) = 0}

,então

f

é onstante em

I

Prova: (a)Sejam

a, b∈ I

a < b

. Apli andooTeoremadoValorMédioa

f

nointervalo

[a, b]

, obtemos que existe

c∈ (a, b)

tal que

f (b)_{− f(a)}

b− a

= f′(c) > 0.

Assim

f (b)− f(a) > 0

, isto é,

f (b) > f (a)

. Logo

f

é res ente em

I

. Deixamos os outros itens para o leitor.

Observação 38 A hipótese da derivada ser positiva num intervalo é fundamental para

se on luirqueafunçãoé res enteneste intervalo. Aderivadaserpositivaemum ponto

a

nãoimpli aqueelaé res entepertode

a

(numavizinhançade

a

,videp.2). Umexemplo é apresentado através da função

f

representada no grá o abaixo. Embora

f

′_{(0) > 0}

, a

função não é res ente perto de zero pois os ila. A derivada positiva em

x = 0

impli a somente que

f (x)

≤ f(0) ≤ f(y)

para

x < 0 < y

. Veja [NC℄ Capítulo 8 ou [Sp, p.198℄ para análise detalhada.

x

y

f (x)

Denição 16 Uma função

f : I

→ R

é dita injetiva se para todo

x, y

∈ I

x

6= y

temos que

f (x)6= f(y)

Pré-Cál ulo: Pode-se testar a injetividade observando o grá o e fazendo o teste da

retahorizontal: Todaretahorizontal(istoé,umaretaparalelaaoeixo

x

)deveinterse tar o grá o em no máximo um ponto. Leia a denição anterior, faça uns desenhos e

Lema 7 (Relação entre Continuidade e Injetividade) Seja

f : I

→ R

uma função ontínua num intervalo

I

. Então

f

é injetiva em

I

se, e somente se,

f

é res ente ou de res ente em

I

Prova: Aprova é deli ada. Veja em[NC℄.

Corolário 7 (sinal da derivada e injetividade) Seja

f : I

→ R

uma função derivável num intervalo

I

. Se

f

′_{(x) > 0}

f

′_{(x) < 0}

para todo

x∈ I

,então

f

é injetivaem

I

Prova: Juntando o Corolário 6 da p.84 e o Lema 7, se

f

′_{(x) > 0}

f

′_{(x) < 0}

para todo

x_{∈ I}

a função é injetivaem

I

pois será res enteou de res ente em

I

. Exemplo 72 Considere ográ o de

f

′

na guraabaixo. Determineonde afunção

f

res e, de res e oué onstante. Determine intervalos onde podemos garantir que

f

é injetiva.

x

y

−3 −2 −1

1

2

3 f′_(x)

Solução do Exemplo 72 Afunção

f

res eem

(−3, −2)

(1, 3)

. Afunção

f

de res e em

(_{−1, 1)}

. A função

f

é onstante em

(−2, −1)

. Assim podemos garantir que

f

é injetivaem

(−3, −2)

(−1, 1)

e em

(1, 3)

Note que pelo teste da reta horizontal, a função não é injetiva em

(1, 3)

por exemplo. Apliqueo teste da reta horizontal neste grá o.

Exemplo 73 Sabendo que

f

′_{(x) = (x}2_{+ 3)(x}2_{− 9)(x + 5)}

, determine onde

f

é res ente e de res ente. Determine em quais intervalos

f

éinjetiva.

Solução do Exemplo 73 Temos que fazer a análise do sinal de

f

′_(x)

. Fazendo (note que

x2_{+ 3}

não afeta osinal, e podeser ignorado) isto on luímos que:

(a)

f

′_{(x) < 0}

x <−5

−3 < x < 3

. Assim

f

de res e nestes intervalos. (b)

f

′_{(x) > 0}

x > 3

−5 < x < −3

. Assim

f

res e nestes intervalos.

A função

f

será injetiva, separadamente, em ada intervalo onde ela somente res e ou somente de res e. Assim seráinjetivaem

(−∞, −5)

(−5, −3)

(−3, 3)

eem

(3, +∞)

Exemplo 74 Considere

f (x) = x

3_{+ 3x}2_{− 3x + 1}

. Determine onde

f

é res entee de res- ente. Determine emquais intervalos

f

é injetiva.

Solução do Exemplo 74 Observe que

f

′_{(x) = 3x}2_{+ 6x}_{− 3}

. As raízessão

x =−1 ±

√

2

. Fazendo a análise desinal obtemos que:

(a)

f

′_{(x) < 0}

−1 < −

√

2 < x <

_{−1 +}√2

. Assim

f

de res e nestes intervalos. (b)

f

′_{(x) > 0}

x >−1 +

√

2 x <−1 −

√

2

. Assim

f

res e nestes intervalos. A função

f

será injetiva, separadamente, em ada intervalo onde ela somente res e ou somente de res e. Assim será injetiva em

(−∞, −1 −

√

2)

(−1 −

√

2,_{−1 +}√2)

, e em

Exemplo 75 Determine onde

f (x) = x

3

é res ente/de res ente.

Solução do Exemplo 75 Como

f

′_{(x) = 3x}2

_{> 0}

para todo

x

6= 0

, garantimos que

f

é res ente para

x < 0

e para

x > 0

. No entanto, pelo TVM não sabemos o que o orre no

0

. Assim, embora

f (x) = x

3

seja res ente para todo

x∈ R

, o TVMgarante apenas nestes intervalos separadamente.

Exemplo 76 Mostre queexiste uma úni a função

h : R→ R

derivável em todo

x∈ R

tal que

h

′_{(x) = sen(x}2

_{+ 4)}

para todo

x∈ R

h(0) = 1

Solução do Exemplo 76 Suponhaqueexista outra

g

tal que

g

′_{(x) = sen(x}2_{+ 4)}

g(0) =

1

. Dena

f (x) = g(x)− h(x)

. Assim

f

′_{(x) = g}′_(x)_{− h}′_{(x) = sen(x}2_{+ 4)}_{− sen(x}2_{+ 4) = 0}

. Pelo TVM, omo

f

′_{(x) = 0}

para todo

x

∈ R

f

é onstante em

R

. Como

f (0) = g(0)−

h(0) = 1_{− 1 = 0}

f (x) = 0

para todo

x

. Logo

g(x) = h(x)

para todo

x∈ R

, provando que existe uma úni a função que resolve este problema.

Observação 39 Este resultado é típi o em Matemáti a: Não sabemos qual é a solução

do problema, isto é, qual função

h

possui omo derivada

sen(x

2_{+ 4)}

mas sabemos quea

solução éúni a. Provamos a uni idade doproblema mas NO garantimos a existên ia

desoluçãoemenosaindasabemos omoexibirumasolução. Paraistopre isamosaprender

a Teoriade Integração.

No documento Curso de Cálculo de Uma Variável (páginas 98-102)

T eorema do Valor Médio (TVM): Cres imento e De res imento

f

′

f

•

•

•

f

[a, b]

a < b

(a, b)

f (a) = f (b) = 0

c∈ (a, b)

f

′(c) = 0

f

f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = 0

[0, 1]

c

f

′(c) = 0

x

[1, 2]

c

[2, 3]

3 c

x

y

1

2

3

c

c

c′

c′′

c′′′

f

[a, b]

a < b

(a, b)

c∈ (a, b)

f (b)− f(a) = f′(c)(b− a).

g

[a, b]

g(x) = f (x)− f(a) −

f (b)− f(a)

b− a

(x− a).

g(a) = g(b) = 0

c∈ (a, b)

g

′(c) = 0

g′(c) = f′(c)−f (b)− f(a)

b− a

= 0,

f′(c) =

f (b)− f(a)

b− a

.

c∈ (a, b)

c

[a, b]

I

f

I

x, y

∈ I

x < y

f (x) < f (y)

I

x, y

∈ I

x < y

f (x) > f (y)

x < y

f (x)

≤ f(y)

f

I

x

′_{(c) = 0}

′_{(c) = 0}

_c′

_c′′

_c′′′

f (b)− f(a) = f′_(c)(b_{− a).}

b_{− a}

′_{(c) = 0}

g′(c) = f′(c)₋f (b)− f(a)

b_{− a}

′_{(x) > 0}

′_{(x) < 0}

′_{(x) = 0}

f (b)_{− f(a)}

′_{(0) > 0}

′_{(x) > 0}

′_{(x) < 0}

′_{(x) > 0}

′_{(x) < 0}

x_{∈ I}