Curso de Cálculo de Uma Variável

(1)

d

dx

d

dx

d

dx

d

dx

R dx

sen x

cos x

− sen x

− cos x

d

dx

R dx

e

x

1 0!

x

1!

x

2 2!

x

3 3!

· · ·

x

n

n!

d

dx

R dx

d

dx

R dx

d

dx

R dx

d

dx

R dx

d

dx

R dx

log x

0!

x

−

1!

x

2 2!

x

3 −

3!

x

4 · · ·

(

₋₁₎

n

n!

x

n

d

dx

R dx

d

dx

R dx

d

dx

R dx

d

dx

R dx

d

dx

R dx

d

dx

R dx

Mar o A. P. Cabral

(2)

(3)

Primeira Edição V1.0

Julho de 2010

Mar o A. P. Cabral

PhD Indiana University EUA

Professor doInstituto deMatemáti a

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Departamento de Matemáti a Apli ada

Instituto de Matemáti a

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Rio deJaneiro -Brasil

Cópias são autorizadas e bemvindas: divulguenosso trabalho! Consulte o sítio

www.labma.ufrj.br/~m abral/l ivro s ouentre em ontato om o autor em

(4)

Este trabalho está li en iado sob uma Li ença Creative Commons

Atribui-ção (BY) Uso Não-Comer ial (NC) Compartilhamento pela mesma Li ença (SA) 3.0

Unported. Para ver uma ópia desta li ença, visite

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California94105,USA.

Estali ençapermitequeoutrospossam opiarouredistribuirestaobrasemns omer iais,

adaptar e riar obras derivadas sobre esta obra sem ns omer iais, ontanto que atribuam

rédito ao autor e distribuam a obra resultante sob a mesma li ença, ou sob uma li ença

similar à presente.

Fi ha Catalográ a

Cabral, Mar oA. P.

Curso de Cál ulo de Uma Variável / Mar o Cabral - Rio de Janeiro: Instituto de

Matemáti a, 2010.

1. Cál ulo I.Título

CDD: 512.5

(5)

Sobre o Autor

Mar o Cabralfez o Ba harelado em Informáti a na UFRJ, oMestrado emMatemáti a

Apli- ada na UFRJ e o doutorado em Matemáti a na Indiana University (EUA). Trabalha om

equações diferen iais par iais eAnáliseNuméri a. É professor noInstituto deMatemáti a na

(6)

(7)

Agradecimentos

Aosprogramadores que riaramosprogramasquepermitiramaproduçãodestematerial. Este

produtoéherdeiro da ulturaGPL(GnuPubli Li ense),quepermiteoreuso de ódigofonte.

Agrade emos:

•

em primeiro lugar, Douglas Knuth pelo T E

X, software que permite que este material

sejatão bonito;

•

Leslie Lamport peloL A T E X, pa ote baseado no T E X;

•

Linus Torvalds pelokernel dosistema opera ional GNU-Linux;

•

Ri hard Stallman, responsável pelo projeto GNU, pelos diversos programas do sistema opera ional GNU-Linux e milhares de pessoas por dezenas de softwares

utilizados: tar ( ompa tação de arquivos), make (geren iador de programa), aspell

( orretor ortográ o), grep, find,ghostview, xpdf, ...;

•

Mark Shuttleworth riador da distribuição do Linux XUbuntu que utilizei para produzireste livro;

•

Bram Moolenaar pelovim (editor detexto);

•

Till Tantau pelo TikZe PGF (quepossibilitoua geraçãode grá os tãobonitos);

•

Raimundodos SantosMoura pelo vero (Veri ador Ortográ o em português);

•

a Wikipedia e seus milhões de olaboradores, por algumas guras e ideias utilizadas emvários exemplos.

(8)

(9)

Pref´acio

Todoaspe todeste livrofoi inuen iado pelodesejo deapresentar o Cál ulo não

somente omo umprelúdio,mas om um primeiro en ontro real om a

Matemá-ti a. (...) Além dedesenvolver a intuiçãodo estudante sobreos belos on eitos

de Análise, é ertamente igualmente importante persuadi-los que a pre isão e o

rigor embora não sejam um m em si mesmo são o meio natural para

formular e pensar sobre questões matemáti as. (Prefá io do livro de Cál ulo do

Spivak [Sp℄,em traduçãolivre)

Para o estudante

Este livro tem omo fo o o aluno e suas di uldades, tratando-os de forma inteligente. No

texto olo amos emdestaque, dentro deuma aixa de texto:

(a) dúvidas de Pré-Cál ulo in orporadasdiretamente aos on eitos deCál ulo, ao invés

deapresentadas emCapítulo ini ialderevisão,re urso didáti odesmotivantepara o aluno(e

para o Professor);

(b) Erros Comuns ometidos pelos alunos.

Além de diversos livros modernos de ál ulo, re omendamosa onsulta eleitura delivros

(mais antigos) lássi os de Cál ulo:

(a) Courant [Co℄ Dierential and Integral Cal ulus vol. 1 de 1934;

(b) Spivak [Sp℄Cal ulus de1967.

Re omendo fortemente que os alunos que tenham seu interesse despertado utilizem

o livro de Cál ulo do Spivak. É interessante também folhear sem ompromisso o livro do

Courant. Experimente ler o apítulo sobre limites do livro do Spivak. Experimente ler sobre

a fórmulade Stirling(fatorial)nolivrodo Courant. Vo ê orre oris o de ar fas inadopelo

Cál ulo.

( ) Livros de Análise Real, a teoria que fundamenta a matemáti a: Neri e Cabral [NC℄

Curso de Análise Real (disponível online em www.labma.ufrj.br/~m abra l/li vros ).

Para a fundamentação teóri a do Cál ulo é ne essário estudar análise, urso que alguns de

vo ês podem querer fazer depois do Cál ulo.

(d) Livros de DivulgaçãoMatemáti a:

Courant,R.; Robbins, H.. Oque é Matemáti a? Editora Ciên ia Moderna, 2000.

Polya, G.; A arte deresolver problemas. Editora Inter iên ia.

Kasner, E.;Newman, J.;Matemáti a e Imaginação. Jorge Zahar.

Davis, Philip J.; Hersh, Reuben; A Experiên ia Matemáti a. Editora Fran is o Alves

(1985).

Estas leituras vão abrir um pou o os horizontes. São todos lássi os. In luem todo tipo

de Matemáti a, passando por lógi a, números, topologia, teoria da omputação, losoa da

(10)

É parte fundamental doaprendizadodeMatemáti aresolver exer í ios,tantosquantofor

possível. Deve-se tentar resolver os Exemplos que apare em ao longo do texto sem olhar a

resposta no naldo livro. Ao nal de ada apítuloexistem exer í ios,todos om soluçãoe

resposta no nal dolivro, divididos em4 grupos:

•

Exer í ios de Fixação: Devem ser feitosimediatamente apósa leitura dotexto. Sãode resposta urta. Não saber resposta orreta sugere um retorno ao texto. Deve-se fazer

todos antes de seguir adiante.

•

Problemas: Sãoos prin ipaisexer í iosdo apítulo. Todos(ouquase)devemser feitos.

•

Problemas Extras: Caso o aluno tenhafeito todos os problemase desejemais práti a.

•

Desaos : Para se aprofundar na dis iplina. São op ionais. Seções mar adas por uma estrela

⋆

sãoop ionais.

Para o Professor

Com a massi ação do ensino de Cál ulo surge a ne essidade de se mudar os paradigmas de

avaliação. Para isto, a es olha dos tipos de exer í ios sãomuito importantes.

É omum obraremavaliaçõesexer í iosdotipoDetermineo ilindro om maiorvolume

ins rito.... Paraavaliaçãoemmassaémelhorsepararemitensindependentes amodelagem

(determine a função e o intervalo onde ela deve ser maximizada) da resolução (determine

o máximo da função

f

no intervalo). Mais ainda, deve-se obrar a apli ação dos Teoremas orretos que garantem a existên ia do máximo (Teorema do Valor Extremo) em intervalos

fe hados elimitados emétodos para determinar máximo emintervalo abertoou ilimitado.

O mesmo vale para ál ulo de áreas e volumes. Deve-se pedir a integral (ou soma de

integrais) que determinam a área ou volume. A integração em si deve ser um exer í io à

parte.

No esboço de grá os de funções ra ionais é melhor forne er a derivada e a derivada

segunda. Embora sejafá il al ular, é muitofá il errar um sinal ououtro, prejudi ando toda

a questão. Deve-se obrar derivar emquestão à parte.

Além disso, deve-se olo ar mais ênfase na formação de on eitos e entendimento dos

Teoremas. Istopassa por exer í iosde natureza on eitual: Verdadeiroou Falso, dêexemplo

ou ontraexemplo,et .

Porque um novo livro?

•

A es olha da li ença do tipo opyleft (o ontrário do opyright) é parte funda-mental deste projeto. A li ença Creative Commons Atribuição (BY)

Uso Não-Comer ial (NC) Compartilhamento pela mesma Li ença permite que

ou-tros possam opiar ou redistribuir esta obra sem ns omer iais, adaptar e riar obras

derivadassobre esta obra sem ns omer iais, ontanto que atribuam rédito ao autor

e distribuam a obra resultante sob a mesma li ença, ou sob uma li ença similar à

pre-sente. Destaformaestelivropoderáseraperfeiçoadodaquipordiante,aoinvésdetodo

esforço envolvido se perder aso o livro pare de ser editado. Para detalhes onsulte:

(11)

tam-humanidade. Mande sugestões, erros e soli ite o fonte (latex) para o autor Mar o

Cabralem map abral (at) ufrj(dot) br.

•

Permitir aos alunos de todo o Brasil a esso fá il (internet) a material gratuito e de qualidade.

•

O material de pré- ál ulo está disseminado ao longodo urso, dentro dos apítulos de limite, derivada e integral. Asolução usual de in luir um apítulo ini ial somente om

pré- ál ulo é pou o motivante, o que faz om que frequentemente sejaignorado pelos

alunos e professores. É nosso desejo também que o aluno ome e a aprender ál ulo

desde o primeiro diade aula.

•

Os exer í ios são por apítulo, evitandoexer í ios desintegrados. Exer í ios por Seção tendema obrir muito pou o materiale treinar o aluno numa úni a té ni a.

•

É fundamental que o livro sejapequeno para quealunos leiam o texto e que a quanti-dade deexer í ios seja razoável,para não desen orajar os alunos. A tentaçãoé grande

de olo ar muitos tópi os. Por esta razão os livros de Cál ulo hegam a ter 500 ou

mais páginas. Mas hoje em dia é desne essário olo ar detalhes de tópi os pois

pode-mos remeter os alunos para outros livros ou internet. Levantamos tópi os diversos em

observações ao longodo texto e nos Desaos de nal de apítulo.

•

Criar umpa ote ompleto, om livrotexto, exer í ios( om respostas)e transparên ias para um urso de Cál ulo.

Como foi es olhido o material?

Determinamos os tópi os tomando por base o urso usualmente ministrado na UFRJ. Além

disso o omponente estéti o foi fundamental: os alunos devem per eber a beleza da

Mate-máti a. Algumas es olhas importantes foram feitas:

•

material de pré- ál ulo está disseminado pelos diversos apítulos do livro, ao invés de olo ado noprimeiro apítulo. Porexemplo, optamos por olo aros tópi os:

modelagem: na Seção de max/min;

omposição e inversa de funções: na Seção de regra da derivada da adeia e da

inversa;

equação da reta: no iní io doCapítulo de derivada;

análise de sinal de funções (desigualdades): no Capítulo de Limites, na seção de

limites noinnito;

translação de grá o, função denida por partes: noCapítulo de limites;

log/exp: na Seção de derivadada omposta efunção inversa.

•

O limite fundamental trigonométri o (

sen(x)/x

quando

x

→ 0

) é apresentadono nal do Capítulo de Limites omo uma das apli ações do Teorema do sanduí he (ou

(12)

•

Denimos onúmero

e

(base dologaritmo natural) atravésdo limite

(1 + h)

1/h

quando

h

_{→ 0}

no nal do Capítulo de Limite. Cone tamos om apli ações da exponen ial: juros ompostos ontínuos, res imento popula ional, de aimento radioativo. É um

resultadobonitoquemere eodevidodestaque,aoinvésdaopçãousual deapresentá-lo

omomero passode ál ulo daderivadadologaritmoouda exponen ial. Outraopção,

ainda menos feliz, é adiar isto, juntamente om a denição do logaritmo, para depois

do apítulo de integral. Isto não impede que se faça a denição do log om integral

depois.

•

Esboçodegrá odefunção apare e logonoiní io,noCapítulodelimites (embora res-tritoafunçõesra ionais). Vaireapare erdepoisnoCapítulodeApli ações daDerivada.

•

O ál ulo de volumede sólidos é feito om somente uma té ni a: Cavalieri. A té ni a para sólidos de revoluçãoé uma mera apli ação deCavalieri.

•

Provamos (ou indi amos a prova) de todos os Teoremas interessantes, om padrão de rigor variável, a essível aos estudantes. Provas de resultados buro ráti os (limite e

(13)

Sum´ario

Sobre o Autor iii

Agrade imentos v

Prefá io vii

1 Limite 1

1.1 Softwares Gratuitos e o Cál ulo . . . 1

1.2 Deniçãode Limite . . . 2

1.3 Limites e Innito: Assíntotas Verti ais eHorizontais . . . 15

1.4 Indeterminações do Limite . . . 29

1.5 Esboçode Grá os(parte I) . . . 30

1.6 Limites Fundamentais . . . 33 1.7 Exer í ios de Limite . . . 40 1.7.1 Exer í ios de Fixação . . . 40 1.7.2 Problemas . . . 43 1.7.3 Extras . . . 45 1.7.4 Desaos . . . 46 2 Continuidade 49 2.1 Deniçãode Continuidade . . . 49

2.2 Teorema do Valor Intermediário (TVI). . . 52

2.3

⋆

Construçãoe Continuidade deFunções Trans endentes e Raiz . . . 55

2.3.1 Função Raiz . . . 56

2.3.2 Funções Exponen ial eLogarítmi a . . . 56

2.3.3 Funções Trigonométri as . . . 58

2.3.4 Funções Hiperbóli as . . . 59

2.3.5 Outras Funções . . . 60

2.4

⋆

Introdução à Análise Real . . . 60

2.4.1 Cardinalidade. . . 60

2.4.2 O queé

R

? . . . 61

2.4.3 Ra ionais,Irra ionais, Algébri os, Trans endentes. . . 61

2.4.4 Denição deLimite . . . 62 2.4.5 Denição deContinuidade . . . 63 2.5 Exer í ios de Continuidade. . . 63 2.5.1 Exer í ios de Fixação . . . 63 2.5.2 Problemas . . . 65 2.5.3 Extras . . . 65 2.5.4 Desaos . . . 66

(14)

3 Derivada 69

3.1 Deniçãode Derivada . . . 69

3.2 Derivada de Funções Trans endentes . . . 75

3.3 Propriedades Bási as da Derivada . . . 76

3.4 Derivada da Composta . . . 80

3.5 Teorema do Valor Médio(TVM): Cres imento e De res imento . . . 82

3.6 Derivada da Inversa . . . 86 3.7 Exer í ios de Derivada . . . 88 3.7.1 Exer í ios de Fixação . . . 88 3.7.2 Problemas . . . 91 3.7.3 Extras . . . 93 3.7.4 Desaos . . . 94 4 Apli ações da Derivada 95 4.1 L'Hospital eHierarquia dos Innitos . . . 95

4.2 Aproximando Função Lo almente . . . 98

4.3 Máximoe Mínimo Lo al . . . 101

4.4 Esboçode Grá os(parte II) . . . 104

4.5 Máximoe Mínimo emIntervalos . . . 110

4.6 Problemasde Otimização . . . 113

4.7

⋆

TaxasRela ionadas . . . 119

4.8

⋆

DerivaçãoImplí ita . . . 120

4.9 Exer í ios de Apli ação deDerivada . . . 121

4.9.1 Exer í ios de Fixação . . . 121

4.9.2 Problemas . . . 124

4.9.3 Extras . . . 128

4.9.4 Desaos . . . 132

4.9.5

⋆

Problemas(Taxas Rela ionadas) . . . 133

4.9.6

⋆

Problemas(Derivação Implí ita) . . . 134

5 Integral 135 5.1 Deniçãode Integral e Propriedades Bási as . . . 135

5.2 Teoremas Fundamentais do Cál ulo (TFCs) . . . 140

5.3 IntegraisImpróprias . . . 144

5.4 Té ni asBási as de Integração . . . 145

5.4.1 Integração porSubstituição . . . 145

5.4.2 Integração porPartes . . . 148

5.5

⋆

Integraçãopor Frações Par iais. . . 151

5.6 Exer í ios de Integral . . . 155

5.6.2 Problemas . . . 157

5.6.3 Extras . . . 158

5.6.4 Desaos . . . 160

5.6.5

⋆

Problemas(Integração porFraçõesPar iais) . . . 160

6 Apli ações da Integral 163 6.1 Áreano Plano . . . 163

(15)

6.4

⋆

Comprimento deCurvas noPlano . . . 174

6.5

⋆

Áreade Superfí ie de Sólidode Revolução . . . 176

6.6

⋆

Transformadade Lapla e . . . 177

6.7

⋆

Série de Fouriere MP3 . . . 179

6.8 Exer í ios de Apli ações da Integral . . . 181

6.8.2 Problemas . . . 183

6.8.3 Extras . . . 184

6.8.4 Desaos . . . 186

6.8.5

⋆

Problemas(Substituição Trigonométri a) . . . 187

6.8.6

⋆

Problemas(Comprimentode Curvasno Plano) . . . 187

6.8.7

⋆

Problemas(Área deSuperfí ie de Sólido de Revolução) . . . 187

A Respostas dos Exer í ios 189 A.1 Limite . . . 189

A.1.1 Exer í ios de Fixação . . . 189

A.1.2 Problemas . . . 192

A.1.3 Extras . . . 194

A.1.4 Desaos . . . 195

A.2 Continuidade . . . 196

A.2.3 Extras . . . 198

A.2.4 Desaos . . . 198

A.3 Derivada . . . 198

A.3.3 Extras . . . 201

A.3.4 Desaos . . . 202

A.4 Apli ação deDerivada . . . 203

A.4.3 Extras . . . 210

A.4.4 Desaos . . . 216

A.4.5

⋆

Problemas(Taxas Rela ionadas) . . . 217

A.4.6

⋆

Problemas(Derivação Implí ita) . . . 218

A.5 Integral . . . 218

A.5.3 Extras . . . 222

A.5.4 Desaos . . . 223

A.5.5

⋆

Problemas(Integração porFraçõesPar iais) . . . 223

A.6 Apli ações da Integral . . . 223

A.6.3 Extras . . . 226

A.6.4 Desaos . . . 228

A.6.5

⋆

Problemas(Substituição Trigonométri a) . . . 229

(16)

A.6.7

⋆

Problemas(Área deSuperfí ie de Sólido de Revolução) . . . 229

(17)

Cap´ıtulo 1

Limite

O on eito de limite é ertamente o mais importante e provavelmente o mais

difí il de todo o Cál ulo. (...) O que nós vamos denir neste Capítulo não é a

palavralimite,e sim a noção de uma função se aproximando de umlimite. [Sp,

p.72℄

Objetivos: Apresentar o on eito de limite de forma intuitiva e olo ar o aluno em

ontato om diversos tipos de funções: exponen ial, log, raiz e translações destas; funções

denidas por partes; funções mais ompli adas tipo

I

Q

(função indi adora dos ra ionais) e

sen(1/x)

.

Apresentamos omaterial de pré- ál ulo integrado om onteúdo de limite. Isto permite

exibilidade dea ordo om as di uldades de adaaluno.

Damos o destaque e batizamos a té ni a de mudança de variáveis do limite, que é uma

prévia da mudança de variáveis na integral. Logo após introduzir assíntotas (verti ais e

horizontais),ensinamos a esboçargrá os. Passamosrapidamentepelaspropriedades bási as

(limite da soma, produto,diferença, et .) pois são buro ráti as.

ApresentamosLimitesfundamentaisdosenoedaexponen ial(olimitequedeneonúmero

e

) noprimeiro apítulo poisqueremos utilizar logaritmoe exponen ial desde o omeço.

1.1 Softwares Gratuitos e o Cál ulo

Émuitointeressanteutilizaralgunssoftwares paraaprenderCál ulo. Vamosapresentaralguns

softwaresgratuitosquepodemserutilizadasnoWindowsenoLinux(Ubuntu,Debian,Fedora,

et .).

•

KmPlot: Software de visualização de grá os de funções. É nativo do Linux. Similar ao Winplot.

•

Winplot: Software de visualizaçãode grá os de funções. É nativo do Windows mas roda om emulação do Wine no Linux. Pode-se visualizar grá os 2D e3D dados por

função, parametrização expli ita eimplí ita. Pode-se fazer animações.

•

WxMaxima: Softwarede omputaçãoalgébri a. Cal ula, deformaexata,limites, deriva-das e integrais (entre outras entenas de oisas). Um exemplo é olimite fundamental:

limit(sin(x)/x, x, 0);. Cal ula também limites laterais: limit(exp(1/x), x,

0,minus); (esquerda) limit(exp(1/x), x, 0,plus); (direita).

0

(18)

Experimente estes softwares desde o iní io. Tente ver funções que apresentamos nos

exemplos em diversases alas.

1.2 Denição de Limite

Vamos apresentar a denição informal (não-rigorosa, intuitiva) de limite, o on eito

funda-mentaldoCál ulo(eda Análise). Adeniçãorigorosa( om

ε

e

δ

)estána p.60,últimaseção (op ional) do próximo Capítulo e em qualquer livro de Análise ( omo por exemplo [NC℄). O

resto do apítulo serádedi ado a entendermos a denição delimite.

Denição 1 (limite) Considere uma função real

f

denida perto de

c

∈ R

(mas não ne- essariamente denida em

c

). Dizemos que o limite de

f (x)

quando

x

tende a

c

é igual a

L

, denotado por

lim

x→c

f (x) = L

, se

f (x)

a bem próximo de

L

∈ R

quando

x

está su- ientemente próximo de

c

∈ R

mas

x

6= c

. Es reve-se também que

f (x)

→ L

quando

x

_{→ c}

.

Na denição de limite nos aproximamos de

c

pelos dois lados. Podemos denir o limite lateral, à esquerda eà direita,restringindo olado em que amos próximos de

c

.

Denição 2 (limite lateral pela direita (esquerda)) Considere uma função real

f

de-nida perto de

c

∈ R

(mas não ne essariamente denida em

c

f (x)

quando

x

tende a

c

pela direita (esquerda) é igual a

L

, denotado por

lim

x→c

+

f (x) = L

(

lim

x→c

−

f (x) = L

),se

f (x)

abempróximode

L

∈ R

quando

x

estásu ientemente próximo de

c

∈ R

mas

x > c

(

x < c

).

Observação 1 Valor da função no ponto NO interessa para efeito do ál ulo dolimite.

Desta forma o

lim

x→c

f (x)

não éne essariamente igual a

f (c)

. Pode o orrer ainda: (a) do limite não existir; (b)da função não estardenida em

c

.

Quando

lim

x→c

f (x) = f (c)

(o limite existe e é igual ao valor da função no ponto) dizemos

que a função

f

é ontínua em

c

. Isto o orre om as funções (bem omportadas) que estamos a ostumados:

f (x) = x

2 _{− 3x − 4, g(x) = sen(x), h(x) = 10}

x

_{, . . .}

Observação 2 Em Análiseutilizamos o termovizinhança de

c

ao invésde perto de

c

que utilizamos a imae vamos utilizar neste texto. O signi ado pre iso é:

Denição 3 (vizinhança) Dado um

c

∈ R

, uma vizinhança de

c

éum intervalo aberto

(c

− ε, c + ε)

para algum

ε > 0

.

Vamos estudar o on eito de limite através de diversos exemplos. Deve-se omeçar om

o esboço do grá o das funções dos exemplos (ao longo desta Subseção) para al ular seu

limite.

Exemplo 1 Esbo e ográ o e determine ( asoexista):

(a)

lim

x→2

x

; (b)

lim

x→0

x

; ( )

lim

x→−3

x

2 x

; (d)

lim

x→0

x

2 x

; (e)

lim

x→−2

x

2

; (f)

lim

x→0

x

2

.

(19)

Solução do Exemplo 1 Para (a) e (b) note que

f (x) = x/x

é uma função que vale

1

em todos os pontos a não ser em zero, pois

f

não está denida em

0

(

f (0) = 0/0

!), mas isto NO afeta o valor do limite (veja o grá o). Assim, os dois limites valem

1

. Na verdade o limite é

1

para qualquer valor que

x

tenda.

x

y

y = 1

2

Para ( ) e (d), de forma similar ao anterior,

f (x) = x

2 _{/x = x}

para todo

x

6= 0

. Em

x = 0

a função

f

não está denida. Assim o grá o (veja gura) é uma reta om um furo na origem. Assim, ( ) é

−3

e (d)

0

.

x

y

y = x

−3

Para (e) e (f),

f (x) = x/x

2 _{= 1/x}

para

x

6= 0

. Novamente,

f (0)

não está denida(veja o grá o). Assim (e) é

1/(

−1/2) = −1/2

. Para (f) o limite não existe pois assume valores muito grandes, se tendermos pela direita,e muito pequenos, se tendermos pela esquerda.

x

y

y = 1/x

−2

−1/2

Observação 3 Quando empregar

f

ou

f (x)

? Temdiferença?

Afunção é

f

,

f (x)

éovalorda função al uladaem

x

. Maisexatamente,

f

éfunção,

f (x)

éumnúmero. Frequentementeabusamosalinguagemedizemosafunção

f (x) = x

2 _+3x

quando o orreto seriaa função

f

denida por

f (x) = x

2 _{+ 3x}

.

Nalinguagem C este erro não seria perdoado pelo ompilador: onfundir

f

(ponteiropara função) om

f (x)

(valor retornado pela função)

( ¨

⌣)

.

(20)

Pré-Cál ulo: Re ordeosigni adoe omo esboçarográ odeumafunçãodenidapor

partes omo porexemplo

f (x) =

(

2;

x > 1;

−3; x ≤ 1.

Exemplo 2 Para ada item abaixo, esbo e o grá o de

f (x)

e determine ( aso existam)

lim

x→c

+

f (x)

,

lim

x→c

−

f (x)

e

lim

x→c

f (x)

. (a)

c = 0

,

c = 1

,

c = 0.9999

,

c = 1.0001

de

f (x) =

(

2;

x < 1;

−3; x ≥ 1.

(b)

c = 2, c = 0

de

f (x) =

(

x

;

x

6= 0;

−2; x = 0.

( )

c = 0.0001

,

c =

−0.0001

,

c = 0

,

f (x) =

(

−1; x 6= 0;

3;

x = 0.

(d)

c = 0.99, c = 1.01, c = 1

de

f (x) =

(

x;

x

≤ 1;

4 _{− x; x > 1.}

Solução do Exemplo 2 (a) A função vale

2

até

x = 1

e depois vale

−3

(veja grá o abaixo). Assimquando

x

→ 0

,queélongede

1

,tantopela esquerdaquandodireita,

f (x)

→

2

. Agora,

lim

x→1−

f (x) = 2

,

lim

x→1+

f (x) =

−3

e portanto

lim

x→1

f (x)

não existe pois

f (x)

difere quando nos aproximamos pela esquerda ou direita do

1

. Como

0.9999 < 1

, a função perto (bem perto mesmo!) de

0.9999

é onstante igual a

2

pois estamos a esquerda do

1

. Assim

lim

x→0.9999

+

f (x) =

_x→0.9999

lim

−

f (x) =

_x→0.9999

lim

f (x) = 2

. De forma análoga,

lim

x→1.001

+

f (x) =

lim

x→1.001

−

f (x) = lim

_x→1.001

f (x) =

−3

.

x

y

y = 2

y =

₋₃

1

(b)Noteque

f (x) = 1

paratodo

x

6= 0

. No

x = 0

nãointeressaovalor(queé

f (0) =

−2

) para efeito do al ulo do limite (veja grá o abaixo). Assim o limite (in luindo os laterais)

quando

x

→ 2

ou

x

→ 0

ésempre

1

.

x

y

y = 1

y =

−2

( ) Note que

f (x) =

−1

para todo

x

6= 0

. No

x = 0

não interessa o valor (que é

f (0) = 3

)para efeito do al ulo do limite (vejagrá o abaixo). Assim olimite (in luindoos laterais) quando

x

→ 0.0001

ou

x

→ −0.0001

ou

x

→ 0

é sempre

−1

.

(21)

x

y

y =

−1

3

(d) Como

0.99 < 1

,

f (x)

para

x

perto (bem pertomesmo!) de

0.99

vale

x

(veja grá o abaixo). Assim

lim

x→0.99

+

f (x) =

lim

x→0.99

−

f (x) = lim

_x→0.99

f (x) = 0.99

. Analogamente, omo

1.01 > 1

,

f (x)

para

x

perto (bem perto mesmo!) de

1.01

vale

4 − x

. Assim,

lim

x→1.01

+

f (x) =

lim

x→1.01

−

f (x) = lim

_x→1.01

f (x) = 4

− 1.01 = 2.99

.

x

y

1

4 y = x

y = 4

_{− x}

1

3

Observação 4 Note que o limite existe se, e somente se, os limites laterais existem e

assumem o mesmo valor.

Observação 5 A divisão

0/0

está na origem de limites interessantes. De forma geral deve-se eliminar raízes em ima e embaixo. O limite pode ser qualquer oisa. Compare,

por exemplo o valor de ada um destes limites entre si:

lim

x→0

x

, lim

x→0

x

2 x

, lim

x→0

x

2 .

Pode-se eliminar raízes omuns no aso de quo iente de polinmios ou então ra ionalizar o

denominador.

Pré-Cál ulo: Lembre-se omo manipular expressões algébri as, fatorar raízes, dividir

po-linmios e Teorema D'Alembert: se

c

é raiz de um polinmio então

x

− c

é fator do polinmio. Esqueça o algoritmode BRIOT-RUFFINI,utilize sempre divisão de polinmios

por ser algoritmo fá ilde se re ordar, similara divisão deinteiros.

Exemplo 3 Determine os limites:

(a)

lim

x→2

x

2 _{− 3x + 2}

x

2 _{− 4}

; (b)

lim

x→−1

x

3 _{+ 1}

x + 1

; ( )

lim

y→3

1 y

−

1

3 y

_{− 3}

; (d)

lim

h→0

(x + h)

3 _{− x}

3 h

; (e)

lim

t→1

t

2 _{− t}

3 _{+ t}

_{− 1}

t

2 _{− 2t + 1}

; (f)

lim

x→−1

f (x)

se

f (x) =







x

6 _{− 1}

x + 1

; x

6= −1;

4;

x =

_−1.

Solução do Exemplo 3 (a)Como

2

éraizdonumeradoredenominador,pode-sedividirpor

(x

₋₂₎

ambos,obtendo-se

(x

_{− 2)(x − 1)}

(x

_{− 2)(x + 2)}

. Eliminandoofator omum,obtemos

lim

x→2

x

_{− 1}

x + 2

=

2 − 1

(22)

(b) Dividindo-se

x

3 _{+ 1}

por

x + 1

obtemos

x

2 _{− x + 1}

. Logo, para

x

6= −1

,

x

3 + 1

x + 1

=

x

2 _{− x + 1}

. Logo olimite vale

(

−1)

2 _{− (−1) + 1 = 3}

.

( ) Primeiro expandimos o numerador obtendo

1/y

− 1/3 =

3 _{− y}

3y

. Portanto,

1 y

−

1

3 y

− 3

=

3 _{− y}

3y

1 y−3

. Simpli ando o fator

y

− 3

do numerador e denominador obtemos

−1

3y

. Quando

y

_{→ 3}

obtemos

−1/9

. (d) Expandindo

(x + h)

3

e subtraindo

x

3

obtemos

3hx

2 _{+ 3h}

2 _{x + h}

3

. Dividindo por

h

(para

h

6= 0

)obtemos

3x

2 _{+ 3hx + h}

2

. Quando

h

→ 0

, obtemos

3x

2

.

(e) Dividindo-se ambos por

t

− 1

obtemos

(t

_{− 1)(1 − t}

2 ₎

(1

_{− t)}

2 =

(t

_{− 1)(1 − t)(1 + t)}

(1

_{− t)}

2 =

(

_{−1)(1 + t)}

para

t

6= 1

. Logo olimite é

(

−1)(1 + 1) = −2

.

(f) O valor da função em

x =

−1

é irrelevante para efeito do ál ulo do limite. Como

x =

₋₁

anulaonumeradoreodenominador,

x

−(−1) = x+1

éfator omumpeloTeoremade D'Alembert. Seguindo omoem(b),dividindo

x

6 ₋₁

por

x+1

obtemos

x

5 _−x

4 _+x

3 _−x

2 _+x

₋₁

. Quando

x

→ −1

obtemos

(

−1)

5 _{− (−1)}

4 _{+ (}

₋₁₎

3 _{− (−1)}

2 _{+ (}

_{−1) − 1 = −6}

.

Pré-Cál ulo: Note que

√

9 _{6= ±3}

! Sempre,

√

x

_{≥ 0}

, portanto,

√

9 = 3

e

−

√

9 =

₋₃

. Com isso,

√

x

2 _{6= x}

,pois é falso para

x < 0

. Naverdade,

√

x

2 ₌

_|x|

. Mas

(

√

x)

2 _{= x}

se

x > 0

(se

x < 0

a raiz quadrada não está denida).

Pré-Cál ulo: O queé módulo de

x

?

(a) algebri amente,

|x| =

(

x;

x

_{≥ 0;}

−x; x < 0.

(b) geometri amente, a distân ia entre

x

e

0

. De forma geral,

|x − c| = |c − x|

é a distân ia entre

x

e

c

. Pode ser es rito omo

|x − c| =

p(x − c)

2

. Isto é generalizado

pela distân ia entre dois pontos

(x

1 , y

1 ), (x

2 , y

2 )

∈ R

2

por

p(x

1 − x

2 )

2 _{+ (y}

1 − y

2 )

2

que denotamos (vejalivro de geometriaanalíti a) por

k(x

1 , y

1 )

− (x

2 , y

2 )

k

.

( ) gra amente, obtém-se o grá o de

|f(x)|

partindo dográ o de

f (x)

ereetindo no eixo

x

o que está abaixo doeixo (os pontos onde

f (x) < 0

).

Exemplo 4 Esbo e ográ o e determine ( asoexista):

(a)

lim

x→0

−

x

|x|

; (b)

lim

x→0

+

x

|x|

; ( )

lim

x→0

|x

2 _−9|

; (d)

lim

x→−3

|x

2 _−9|

; (e)

lim

x→−3

|x

2 _{− 9|}

x + 3

; (f)

lim

x→π

+

sen(x)

| sen(x)|

; (g)

lim

x→2π

+

sen(x)

| sen(x)|

; (h)

lim

x→0

f (x)

se

f (x) =

(

|x

2 _{− 1|; x > 0}

−x + 1;

x

≤ 0.

Solução do Exemplo 4 (a) e (b): omo

x/

|x|

vale

1

para

x > 0

e

−1

para

x < 0

(veja grá o abaixo),(a)

−1

e(b)

1

.

(23)

x

y

y = 1

y =

−1

f (x) =

x

|x|

( ) e(d): Obtemos ográ ode

|x

2 _{− 9|}

(vejaguraabaixo)reetindo noeixo

x

ográ o da parábola

x

2 _{− 9}

(indi ada por linha pontilhada). Para al ular o limite, observe que em

tornodos pontos

x = 0

e

x =

−3

bastasubstituirovalorda função: ( )

|0

2 _{−9| = |−9| = 9}

. (d)

|(−3)

2 _{− 9| = |9 − 9| = 0}

.

x

y

f (x) =

_|x

2 _{− 9|}

−3

3

(e) Primeirovamos esboçar ográ o da parábola

x

2 _{− 9}

.

x

y

f (x) = x

2 _{− 9}

−3

3

Assim para

x

6∈ (−3, 3)

,

|x

2 _{− 9| = x}

2 _{− 9}

(poisa função épositiva) e para

x

∈ (−3, 3)

,

|x

2 _{− 9| = −(x}

2 _{− 9) = 9 − x}

2

(pois a função é negativa). Portanto para

x

6∈ (−3, 3)

,

|x

2 _{− 9|}

x + 3

=

x

2 _{− 9}

x + 3

=

(x + 3)(x

_{− 3)}

x + 3

= x

− 3

e para

x

∈ (−3, 3)

,

|x

2 _{− 9|}

x + 3

=

9 _{− x}

2 x + 3

=

(3 + x)(3

− x)

x + 3

= 3

− x

. Portanto ográ o de

|x

2 _{− 9|}

x + 3

é:

x

y

f (x) =

|x

2 _{− 9|}

x + 3

−3

3 y = x

− 3

y = 3

_{− x}

(24)

pois apare e uma divisão por zero. Gra amente é laro que os limites laterais neste ponto

sãodistintos. Comopara

x

próximode

−3

mas

x <

−3

a função vale

x

− 3

, olimite quando

x

→ −3

−

vale

(

−3) − 3 = −6

. Como para

x

próximo de

−3

mas

x >

−3

a função vale

3 _{− x}

, o limite quando

x

→ −3

+

vale

3 − (−3) = 6

. Como os limites laterais são distintos, o limite não existe.

(f)e(g): afunçãoalternaentre

1

,quando

sen(x) > 0

,e

−1

,quando

sen(x) < 0

onforme indi ado nográ oabaixo. Nospontosonde

sen(x) = 0

elanão estádenida. Assim(f)

−1

, (g)

1

.

x

y

f (x) =

sen(x)

| sen(x)|

−π

π 2π 3π

y = 1

y =

₋₁

(h) Obtemos o grá o(vide gura) reetindo no eixo

x

ográ o de

x

2 _{− 1}

para

x > 0

e om a reta

1 − x

para

x < 0

. O limite quando

x

→ 0

+

é

|0

2 _{− 1| = 1}

e quando

x

→ 0

−

é

−0 + 1 = 1

. Como os limites laterais existeme são iguais, olimite é

1

.

x

y

Pré-Cál ulo: Lembre-se omo ra ionalizarexpressões. Para istomultiplique onumerador

e odenominadorpelo onjugado: o onjugado de

√

a

− b

é

√

a + b

.

Exemplo 5 Determine os limites:

(a)

lim

h→0

√

h + 1

_{− 1}

h

; (b)

lim

x→9

x

_{− 9}

√

x

_{− 3}

.

Solução do Exemplo 5 (a) Para

h

perto de

0

,

h + 1 > 0

. Logo

(

√

h + 1)

2 _{= h + 1}

.

Multipli ando o numerador edenominador por

√

h + 1 + 1

obtemos que

√

h + 1

− 1

h

=

(

√

h + 1

− 1)(

√

h + 1 + 1)

h(

√

h + 1 + 1)

=

(

√

h + 1)

2 _{− 1}

2 h(

√

h + 1 + 1)

=

h + 1

− 1

h(

√

h + 1 + 1)

=

h

h(

√

h + 1 + 1)

=

1 √

h + 1 + 1

.

Quando

h

→ 0

obtemos

1/2

.

(b) Para

x

próximo de

9

,

x > 0

eportanto

(

√

x)

2 _{= x}

. De modo análogo, multipli amos

por

√

x + 3

eobtemos

(x

− 9)(

√

x + 3)

(

√

x

_{− 3)(}

√

x + 3)

=

(x

− 9)(

√

x + 3)

(

√

x)

2 _{− 3}

2 =

(x

− 9)(

√

x + 3)

x

_{− 9}

=

√

x + 3.

Quando

x

→ 9

obtemos

√

9 + 3 = 3 + 3 = 6

.

(25)

Pré-Cál ulo: Note que o grá o de

y =

√

r

2 _{− x}

2

é somente meio ír ulo de raio

r

(porque?). O grá o de

−

√

r

2 _{− x}

2

é outra metade. O grá o é parte do ír ulo pois

y

2 _{= r}

2 _{− x}

2

,e portanto

x

2 _{+ y}

2 _{= r}

2

.

Exemplo 6 Esbo e o grá o de

f (x) =











√

9 _{− x}

2 _;

_{|x| ≤ 3,}

x;

x > 3,

0;

x <

_−3.

e determine ( aso existam)

lim

x→c

+

f (x)

,

lim

x→c

−

f (x)

e

lim

x→c

f (x)

para: (a)

c = 3

; (b)

c =

−3

.

Solução do Exemplo 6 O grá o da função é:

x

y

−3

3

(a)

lim

x→3

−

f (x) =

√

9 − 3

2 _{= 0}

e

lim

x→3

+

f (x) = 3

. Comoos limites laterais são distintos, o

lim

x→3

f (x)

não existe. (b)

lim

x→−3

−

f (x) = 0

e

lim

x→−3

+

f (x) =

p9 − (−3)

2 _{= 0}

. Como os limites laterais são

iguais, o

lim

x→−3

f (x) = 0

.

Pré-Cál ulo: Grá o da função inversa: omo esboçar

y =

√

x

e

y = log x

? Podemos fazer estes grá osreetindo emtornoda reta

y = x

os grá osde

y = x

2

e de

y = e

x

.

Pré-Cál ulo:

log(x)

em ál ulo é SEMPRE na base

e = 2.718 . . .

(natural, vide p.40). Assim,

log(x) = ln(x) = log

e

(x)

6= log

10 (x)

. Quando quisermos (na verdade nun a) o log na base dez es revemos

log

10

. Não utilizamos a notação

ln

(embora omum em al uladoras) para o

log

.

Exemplo 7 Esbo e ográ o e determine

lim

x→0

f (x)

e

lim

x→1

f (x)

para

f (x) =











e

x

_;

_x

_{≤ 0;}

√

x;

0 < x < 1;

log(x); x

_{≥ 1.}

(26)

grá-x

y

1

1 log(x)

e

x

√

x

Como

lim

x→0

−

f (x) = e

0 _{= 1}

e

lim

x→0

+

f (x) =

√

0 = 0

, o

lim

x→0

f (x)

não existe. Como

lim

x→1

−

f (x) =

√

1 = 1

e

lim

x→1

+

f (x) = log(1) = 0

,

lim

x→1

f (x)

não existe.

Pré-Cál ulo: Re orde omofazertranslaçãodegrá osdefunções: tantoverti alquanto

horizontal.

Exemplo 8 Esbo e ográ o e determine:

(a)

lim

x→0

f (x)

para

f (x) =

(

√

x + 1;

x > 0;

sen(x) + 1; x

_{≤ 0.}

(b)

lim

x→1

f (x)

e

lim

x→−1

f (x)

para

f (x) =











x

2 _{− 2;}

_{x <}

_−1;

√

x + 1;

_{−1 ≤ x ≤ 1;}

log(x

_{− 1); 1 < x.}

Solução do Exemplo 8 (a) Apli ando translações apropriadasobtemos o grá oda gura

abaixo. Como

lim

x→0

−

f (x) = sen(0) + 1 = 1

éigualao

lim

x→0

+

f (x) =

√

0 + 1 = 1

,

lim

x→0

f (x) = 1

.

x

y

y = 1

y = 2

(b) Apli andotranslações apropriadas obtemos o grá oda guraabaixo. Como

lim

x→1

−

f (x) =

√

1 + 1 =

√

2

e

lim

x→1

+

f (x)

=

log(1

− 1) = log(0) = −∞,

lim

x→1

f (x)

não existe. Como

lim

x→−1

−

f (x) = (

−1)

2 − 2 = −1

e

lim

x→−1

+

f (x) =

√

−1 + 1 = 0,

lim

x→−1

f (x)

não existe.

(27)

x

y

−1

1

2

Vamos apresentar agora umas funções estranhas que são interessantes para o teoria do

ál ulo e análise.

Exemplo 9 Considere

f (x) = sen

1 x

.

(a) Determine todos os valores de

x

tais que

f (x) = 0

.

(b) Determine todos os valores de

x

tais que

f (x) = 1

e

f (x) =

−1

. ( ) Usandoisto, esbo e ográ o da função

f

.

(d) Cal ule

lim

x→0

sen

1 x

.

Solução do Exemplo 9 (a) para que

sen(y) = 0

basta que

y = kπ

. Assim

y =

1 x

= kπ

. Logo, se

x =

1 kπ

para

k

∈ Z

então

f (x) = 0

. (b) Analogamente,

f (x) = 1

se

x =

1 2kπ+π/2

e

f (x) =

−1

se

x =

1 2kπ−π/2

. ( ) partindo destes pontos obtemos o grá o abaixo.

x

y

f (x) = sen(

1 _x

)

−

π

1 −

1 2π

1 π

1 2π

y = 1

y =

₋₁

(d) olimite não existepois

f (x)

os ila entre

−1

e

1

quando

x

→ 0

.

Exemplo 10 Denimos a hamadafunção indi adorade

Q

(possui este nome poisindi ase

x

∈ Q

ounão assumindo os valores

0

e

1

)

I

Q

(x) =

(

1; x

_{∈ Q}

0; x

_{6∈ Q.}

Cal ule o

lim

x→π

I

Q

(x)

.

Solução do Exemplo 10 O grá o desta função é formada por duas retas pontilhadas:

uma em

y = 0

, nos irra ionais e outra no

y = 1

, a ima dos ra ionais (vide gura abaixo). Comoexistem ra ionais tão próximos de

π

quantose queira ( omopor exemplo

3.14

,

3.141

,

(28)

x

y

y = 1

y = 0

f (x) = I

Q

(x)

Exemplo 11 A função parte inteira (ou menor inteiro) de

x

, denotada por

⌊x⌋

é denida omo sendo o úni o inteiro

n

tal que

n

≤ x < n + 1

. Exemplos:

⌊1, 5⌋ = 1

,

⌊1⌋ = 1

e

⌊−1, 5⌋ = −2

. Esbo e ográ o de

f (x) =

⌊x⌋

edetermine: (a)

lim

x→1

+

⌊x⌋

; (b)

lim

x→1

−

⌊x⌋

; ( )

lim

x→1

⌊x⌋

; (d)

lim

x→0

+

⌊x⌋

; (e)

lim

x→0

−

⌊x⌋

; Solução do Exemplo 11

x

y

f (x) =

_⌊x⌋

−3 −2 −1

1

2

3

1

2

3

(a)

1

; (b)

0

; ( ) omo laterais são distintos, limite não existe. (d)

0

; (e)

−1

.

Vamos ver as propriedades bási as dos limites om relação as 4 operações fundamentais:

soma, produto, multipli ação e divisão. Ademonstração éremetida para [NC℄.

De todo modo,sem uma denição rigorosa de limite não faz sentido provar estas

proprie-dades.

Lema 1 Considere

f (x) = k

(uma função onstante) e

g(x) = x

(a função identidade). Então dado

c

∈ R

qualquer,

lim

x→c

f (x) = k

e

lim

x→c

g(x) = c.

Teorema 1 (propriedades bási as do limite) Considere

f

e

g

duas funções e

c, k

∈ R

. Se os limites

lim

x→c

f (x)

e

lim

x→c

g(x)

existementão tambémexistem os limites:

(a)

lim

x→c

(f (x) + g(x)) = lim

x→c

f (x) + lim

x→c

g(x)

(olimite dasomaéigualà somados limites);

(b)

lim

x→c

(f (x)

− g(x)) = lim

x→c

f (x)

− lim

x→c

g(x)

(olimite da diferença éigualà diferençados

limites);

( )

lim

x→c

(f (x)

· g(x)) = lim

x→c

f (x)

· lim

x→c

g(x)

(o limite do produto é igual ao produto dos

limites); (d)

lim

x→c

f (x)

g(x)

=

lim

x→c

f (x)

lim

x→c

g(x)

(o limite do quo iente é igual ao quo iente dos limites) se

lim

x→c

g(x)

6= 0

(29)

É importante o aluno entender a demonstração do Corolário abaixo para apre iar omo

pou aspropriedades podemgerar novas proposições.

Corolário 1 (limites de polinmios) Se

p(x) = a

0 + a

1 x + a

2 x

2 ₊

_{· · · + a}

n

x

n

para

n

∈ N

(ouseja,

p

é um polinmio degrau

n

) então

lim

x→c

p(x) = p(c)

.

Prova: Apli ando

n + 1

vezes o Teorema 1 (a) (limite da soma) obtemos que

lim

x→c

p(x) =

lim

x→c

a

0 + lim

x→c

a

1 x +

· · · + lim

x→c

a

n

x

n

. Pelo Lema 1,

lim

x→c

a

0 = a

0

(limite de onstante). Pelo

Teorema1(limitedoproduto),

lim

x→c

a

1 x = lim

x→c

a

1 · lim

x→c

x

. Apli andooLema1,

lim

x→c

a

1 · lim

x→c

x =

a

1 c

. Agora podemos fazer algo similar em adatermo. Para o termo

x

3

,por exemplo, basta

apli ar seguidamente o Teorema 1 ( ) (limite do produto):

lim

x→c

x

3 _{= lim}

x→c

x

· lim

x→c

x

· lim

x→c

x =

c

· c · c = c

3

. Completeo argumento.

Exemplo 12 Aplique o Teorema 1 para determinar

lim

x→2

6 x

2 _{+ 3x}

x + 1

.

Solução do Exemplo 12 Deixamos para oleitor apli ar om uidado adauma das

propri-edades. Basta fazer um mutatis mutandis (latim para modique o que tem que ser

modi- ado) na prova do Corolário 1.

Con luímos que podemos al ular olimite deuma função ra ionalqualquer ontanto que

odenominadornão se anule. Caso o denominadorse anule pre isamos de métodos espe iais.

Assim não estão denidos limites ondeapare e por exemplo

3/0

ou

0/0

.

No próximo exemplo apresentamos (gra amente) diversas possibilidades de

omporta-mento deum função quando

x

se aproximade um ponto.

Exemplo 13 Determine, em ada um dos itens abaixo, aso exista:

•

os limites laterais quando

x

→ 1

+

e

x

→ 1

−

;

•

o limite quando

x

→ 1

. Compare om o valor da função em

x = 1

.

x

y

1

2

3

(a)

x

y

1

1 −2

(b)

(30)

x

y

x = 1

y = 1

( )

x

y

1 −1

2

(d)

Solução do Exemplo 13 (a) limite quando

x

→ 1

−

é 2,limite quando

x

→ 1

+

é3,limite

quando

x

→ 1

não existe(laterais são distintos),

f (1) = 2

. (b) limite quando

x

→ 1

−

é 1 , limite quando

x

→ 1

+

é 1, limite quando

x

→ 1

é 1 (limites laterais sãoiguais),

f (1) =

−2

.

( ) limite quando

x

→ 1

−

não existe (função os ila), limite quando

x

→ 1

+

é 1, limite

quando

x

→ 1

não existe(um dos limites laterais não existe),

f (1) = 1

. (d) limite quando

x

→ 1

−

é

−1

, limite quando

x

→ 1

+

é 2, limite quando

x

→ 1

não existe (limites lateraissão distintos),

f (1) = 2

.

O teorema abaixogarante quepodemos tro aro limite oma omposição asoos limites

existam.

Teorema 2 (limite e omposição) Seexistemoslimites

lim

y→L

f (y) = f (L)

e

lim

x→c

g(x) = L

então

lim

x→c

f (g(x)) = f

lim

x→c

g(x)

= f (L)

.

Prova: Veja prova em [NC℄.

Observação 6 Dizemos que uma função

f

é algébri a se pode ser expressa omo soma, diferença, produto, quo iente ou raiz de funções polinomiais. Caso ontrário é dita

trans- endente.

Exemplos defunções algébri as:

x

(1 + x)

,

√

1 _{− x}

2 (3

_{− x)}

3

. Exemplos defunções trans endentes:

sen x, e

3x+4

_{, log(x}

2 _{+ 1),}

.

O teorema abaixo garante a existên ia de limites para funções usuais.

Teorema 3 (limites de função raiz e algumas trans endentes) Se

f (x)

éiguala

n

√

x

,

sen(x), cos(x), tan(x)

,

log(x)

,

e

x

,

arcsen(x)

,

arccos(x)

, ou

arctan(x)

, entãopara todo

c

∈ R

onde

f (c)

existe,

lim

x→c

f (x) = f (c)

.

Prova: Leia a Seção 2.3, p.55.

Exemplo 14 Aplique os teoremas a ima para determinar:

(a)

lim

x→1

log

x

2 − 1

2(x

_{− 1)}

; (b)

lim

x→0

sen

πx

2x

; ( )

lim

x→1

4 √

4x + 1(x + x

2 )

.

(31)

Solução do Exemplo 14 (a) Como

lim

x→1

x

2 − 1

2(x

_{− 1)}

= 1

,o limite vale

log(1) = 0

. (b) Como

lim

x→0

πx

2x

=

π

2

, olimite vale

sen(π/2) = 1

. ( )

2

4 √

5

.

Observação 7 Combinando os Teoremas 1 (propriedades bási as do limite), 2 (limite e

omposição) e 3 (função raiz e trans endente) on luímos que sabemos al ular o limite

de funções bem ompli adas (se denominador não se anula). Porexemplo:

lim

x→π

x

3 _e

sen(x

2 −π

2 )−log x

cos(2x + π)

=

π

3 _e

sen(0)−log π

cos(3π)

=

−π

2 _.

1.3 Limites e Innito: Assíntotas Verti ais e

Horizon-tais

Vamos nesta Seção estender a denição de limite para

x

próximo de

+

∞

, isto é,

x

grande e positivo e para

x

próximo de

−∞

, isto é,

x

grande (em módulo) e negativo. Além disso, vamos denir quando o valordo limite é

+

∞

ou

−∞

para

x

próximo de

c

.

Denição 4 (limite igual a

+

∞

(

−∞

)) Considere uma função real

f

denida perto de

c

_{∈ R}

(mas não ne essariamente denida em

c

f (x)

quando

x

tende a

c

é

+

∞

(

−∞

), denotado por

lim

x→c

f (x) = +

∞

(

−∞

), se

f (x)

a tão grande e positivo(negativo) quanto quisermos quando

x

está su ientemente próximo de

c

∈ R

mas

x

_{6= c}

.

Observação 8 Deixamos para o leitor denir os limites laterais

lim

x→c

+

f (x) = +

∞

,

lim

x→c

−

f (x) = +

∞

,

lim

x→c

+

f (x) =

−∞

,

lim

x→c

−

f (x) =

−∞

de forma análoga ao que já

foi feito no iní iodeste apítulo. Basta fazerum mutatis mutandis (latimpara modique

o quetem que ser modi ado) na denição anterior.

Denição 5 (assíntota verti al) Se, quando

x

→ c

+

ou

x

→ c

−

,

f (x)

→ +∞

ou

−∞

, dizemos quea reta

x = c

é uma assíntota verti al dográ o de

f

.

Exemplo 15 Esbo e ográ o, determine os limites e as assíntotas verti ais:

(a)

lim

x→0

−

1 x

3

; (b)

lim

x→0

−

1 x

2

; ( )

lim

x→0

−

1 x

4

; (d)

lim

x→0

+

−

1 x

3

; (e)

lim

x→3

−

1 (x

− 3)

3

; (f)

lim

x→2

−

1 (x

− 2)

2

; (g)

lim

x→1

1 (x

− 1)

9

;

(32)

x

y

y =

1 x

3

(a)

x

y

y =

₋

1 x

2

(b)

x

y

y =

1 x

4

( )

x

y

y =

₋

1 x

3

(d)

Nesses quatro itens a assíntota verti al é

x = 0

. Observando-os obtemos os limites laterais: (a)

−∞

; (b)

−∞

; ( )

+

∞

; (d)

−∞

.

Com translação podemos obteros grá osde (e), (f)e (g):

x

y

y =

−

1 (x

_{− 3)}

3

(e)

x = 3

x

y

y =

−

1 (x

_{− 2)}

2

(f)

x = 2

x

y

y =

1 (x

− 1)

9

(g)

x = 1

(e) o limite não existe pois pela direita vale

−∞

e pela esquerda

+

∞

(mesmo sinal que

−1/x

perto do

0

). Assíntota verti al

x = 3

. (f)o limite é

−∞

(mesmosinal que

−1/x

2

perto do

0

). Assíntota verti al

x = 2

. (g) o limite não existe pois pela direita vale

+

∞

e pela esquerda

−∞

(mesmo sinal que

1/x

perto do

0

). Assíntotaverti al

x = 1

.

Pré-Cál ulo: Pre isamos fazer a análise de sinal do numerador e denominador o

hamado quadro de de sinais para determinamoso omportamento do grá o perto da

assíntota.

Exemplo 16 Determine para quais

x

∈ R

éverdade que

f (x) =

16 _{− x}

2 (x + 1)(3

− x)

≥ 0

. Solução do Exemplo 16 Vamos fazer a análise de sinal de ada um dos elementos:

16 −

x

2 _{, x + 1, 3}

_{− x}

e ombinartudo numa tabela dosinal de

f (x)

. Ospontosdetro ade sinal são:

±4, −1, 3

. Agora uidado om a interpretação do zero. Os pontos onde

f (x) = 0

são os pontosondeo numeradorse anula

±4

. Nos pontosondeo denominador se anula (

−1

e

3

),

f (x)

→ ±∞

.

−4

−1

3

4

16 − x

2 ₋

₊

₋

x + 1

₋

+

3 _{− x}

+

₋

0 ±∞

±∞

0 f (x)

+

₋

+

₋

+

(33)

Assim Portanto

f (x)

≥ 0

para

x

≤ −4, x ∈ (−1, 3), x ≥ 4.

Observação 9 Poderíamos no exemplo anterior (e em todos os exemplos) de ompor o

termo quadráti o

16 − x

2

em dois termos lineares

4 − x

e

4 + x

, o que aumentaria o tamanho da tabela. Na práti a, se o termo quadráti o é simples, da forma