Episódio Os Quadrados Mágicos

Uma das atividades propostas pelo professor Augusto pedia que os alunos resolvessem um problema proposto no material didático dos CIEJAs, bloco Operações Aritméticas (JORDANE et al., 2009, p. 21). Essa atividade foi realizada no dia 02/07/2012, pela Turma 2012.

O problema em questão envolve o preenchimento de “quadrados mágicos”. A atividade anterior apresenta um quadrado mágico (Figura 15) e afirma que “[...] em um quadrado mágico a soma dos números nas linhas, nas colunas ou nas diagonais dá sempre um mesmo resultado” (JORDANE et al., 2009, p. 21), chamado de constante mágica. Em seguida solicita que os alunos completem seis quadrados mágicos (Atividade 2) e que escrevam as estratégias adotadas (Ativividade 3).

Figura 15 - Quadrado mágico

Fonte: Jordane et al. (2009, p. 21)

A Atividade 4 se inicia com um texto propondo uma reflexão sobre a constante mágica:

Se tivermos um quadrado 4x4 no qual serão distribuídos os números de 1 a 16 nas casas, quanto será a constante mágica?

Sugestão: some os números de 1 a 16 (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 13 + 14 +15 + 16 = 136) e divida pelo número de linhas ou colunas. O resultado será a constante mágica (JORDANE et al., 2009, p. 22).

E indica que os alunos devem completar três quadrados mágicos 4x4. A discussão acerca do modo de calcular a constante mágica foi conduzida pelo professor em um momento anterior ao início deste episódio. Este episódio se foca na conversa de dois alunos, Felipe e Joel, quando tentam completar os quadrados mágicos.

Felipe aponta para a ficha de Joel, e conversam sobre o problema. Eles utilizam uma calculadora para tornar os cálculos mais simples. Para resolver o primeiro quadrado mágico, os alunos optaram por uma estratégia que vamos denominar de “tentativa e erro”. Eles escrevem números aleatoriamente no quadrado, conferem se a soma “está batendo” (Felipe, observação em 02/07/2012), usando a calculadora e, se for necessário, apagam os números e escrevem outros números no local.

Um problema inicial que surge para Felipe e Joel é que eles preenchem o quadrado com a preocupação de que a constante mágica apareça em uma determinada linha ou coluna, mas não se preocupam com a ideia de que os números escolhidos irão interferir em outra coluna ou linha. Essa questão vai, ao longo da aula sendo superada pelos alunos, e eles vão percebendo que precisam ficar atentos ao quadrado mágico de forma ampla, pensando em todas as direções: linhas, colunas e diagonais. Em vários momentos eles retomam a atividade anterior, que era formada por quadrados mágicos 3x3, e tentam buscar, nos procedimentos que adotaram para resolver os quadrados menores, caminhos que possam contribuir para a solução dos quadrados mágicos 4x4.

Uma característica marcante durante todo o trabalho dos alunos é o diálogo e as interações entre eles, na busca de uma estratégia para resolver o problema.

Felipe: nossa, essa está difícil.

Joel: se a gente botar o 5... acho que a gente tem que esquecer do meio e fazer as

laterais primeiro...

Felipe: é fazer as laterais primeiro. Joel: e depois fechando o meio. Felipe: então vamos lá...

Joel: olha só, nessa folha aqui [voltando aos quadrados mágicos 3x3] o 5 está

sempre no meio, está vendo?

Felipe: eu sei...

Joel: mas cadê o número do meio aqui que eu não estou vendo? Felipe: não tem meio, doido.

Joel: mas tem que ter alguma coisa aqui...

Felipe: o meio é isso aqui ó, 15, 14, 10, 5 e 12 [apontando para as casas centrais dos

quadrados mágicos 4x4, (Figura 16)].

Joel: ai, ai esse negócio [risos]... Felipe: dói a cabeça...

Joel: então vai. Aqui [primeira linha] deu 34, aqui [quarta coluna] deu 34 também.

Então soma ele todo... 10 com 13...

Figura 16 - Quadrados mágicos 4x4

Fonte: Jordane et al. (2009, p. 22)

Quando um deles percebe algum detalhe que pode contribuir na solução, compartilha sua descoberta. No diálogo acima, Joel volta à atividade anterior e percebe que o número 5 está sempre no centro e quando volta ao quadrado mágico 4x4 não encontra o “meio”. Felipe então chama a atenção que naquele quadrado não tinha um meio, mas uma região central. Logo em seguida Joel propõe um caminho, mas Felipe intervém. eles acabam entrando em um acordo e seguindo a proposta de Felipe.

Eles buscam formas evolutivas de engajamento mútuo à medida que descobrem como se engajam, o que contribui e o que dificulta para esse engajamento. Desenvolvem, assim, novas

relações e identidades, identificando quem conhece o quê, o que é fácil e o que é difícil. Esse movimento também se afina com uma compreensão e ajuste do empreendimento (WENGER, 2008). A aprendizagem está vinculada, além do conteúdo matemático envolvido na questão, a um alinhamento entre os engajamentos e o empreendimento, à capacidade de manter-se vinculados à tarefa e ao esforço para definir os empreendimentos. Está, portanto, relacionada às questões importantes no estabelecimento de uma comunidade de prática. Finalmente, entendo que compartilham seus repertórios (WENGER, 2008) e buscam, juntos, a solução do problema. Nesse compartilhamento, faz-se presente um processo de renegociação de significados e cada um amplia o seu próprio repertório, produzindo e adotando novas ferramentas para atingir o empreendimento comum. Esse movimento característico de uma comunidade de prática também é executado em outras situações em sala de aula.

Depois de 11 minutos e 30 segundos de discussão e muitas tentativas, Joel e Felipe estão de frente para o problema, mas já com uma experiência adquirida. Estão atentos a algumas questões importantes que contribuem para a solução do quadrado mágico, como a impossibilidade de repetição de números, mas ainda não conseguiram elaborar uma estratégia que possa agilizar a resolução. Depois de tanto tempo e várias tentativas, a dupla consegue chegar a uma solução, apresentada na Figura 17:

Figura 17 - Quadrado mágico de Felipe e Joel: fase 6

4 1 15 14

9 7 6 12

5 11 10 8

3 2 16 13

1 3 7 9 11 12 14 16

Fonte: gravações realizada pelo pesquisador em 02/07/2012

Não demorou muito para constatarem que havia um erro na solução, mas não parecem desanimados com isso. É notável o envolvimento deles no processo. Partem para a checagem da terceira coluna e verificam que a soma é maior que 34. Ficam em dúvida de como proceder, visto que o quadrado está completo, as linhas e diagonais somam 34, mas as colunas não. Chamam o professor Augusto.

Joel: dá uma força aqui. A gente conseguiu achar o 34 nas horizontais [mostrando

as linhas com o lápis], em uma diagonal e na outra diagonal, mas assim [mostra com o lápis as colunas] não está dando.

Augusto: Caraca, é mesmo? Na vertical que não está fechando? Joel: assim [linhas] a gente fez, assim e assim [diagonais]... Augusto: deu os 34.

Joel: é, mas assim não dá.

Augusto: como você [Joel] começou a preencher, você lembra? Joel: assim e assim [linhas].

Felipe: na horizontal.

Augusto: é? Você lembra qual foi o primeiro que você preencheu?

Augusto os provoca para que tentem estabelecer uma relação entre a solução dos quadrados mágicos 3x3 e o 4x4, mas em nenhum momento indica o caminho que devem seguir. Como a dupla ainda não tinha construído uma estratégia, Augusto interrompe o diálogo com Joel e Felipe e se volta para a turma, com o objetivo de buscar com os próprios colegas estratégias que possam ajudar os alunos. “Pessoal, me dá uma ajuda aqui, me socorre aqui fazendo o favor. Na página 21, tem alguma estratégia que ajudou vocês a resolver os quadradinhos?” (Professor Augusto, observação em 02/07/2012). Outros alunos entram na conversa e apresentam algumas de suas estratégias. A dupla Joel e Felipe não compreende a atitude do professor. Estão tão envolvidos com a solução do problema que nem percebem que o professor volta a atenção para turma toda com o propósito de ajudá-los. Quando Augusto pergunta se tinham entendido a estratégia apresentada por um dos colegas, eles ficam sem reação:

Augusto: você [Joel] entendeu a estratégia que ele disse? Qual foi a estratégia que

eles falaram aqui? Você prestou atenção?

Joel: eles falaram que foi aleatoriamente.

Augusto volta novamente para a turma, tentando mostrar para a dupla que a estratégia dos colegas não era simplesmente aleatória, mas o envolvimento no empreendimento é tanto que, como na situação anterior, Joel e Felipe não prestam atenção no diálogo do professor com toda a turma. Por fim, eles resolvem apagar tudo que tinham feito e começam novamente. Esse envolvimento dos alunos nos aponta duas questões importantes. A primeira delas, já destacada, é que realmente estabeleceram aquela atividade como um empreendimento comum à dupla. Essa questão aponta indícios de que essa atividade proposta pelo professor Augusto foi acertada no sentido de provocar nos alunos o interesse em seu desenvolvimento. A segunda questão é que esse envolvimento acabou criando uma situação de isolamento dos alunos. Eles não conseguem perceber que a ajuda dos colegas, conclamada pelo professor,

pode contribuir para que o trabalho avance. Se por um lado eles se envolveram intensamente com o problema, por outro esse mesmo envolvimento impossibilitou o compartilhamento das experiências de outros membros da comunidade.

É importante destacar ainda a postura que o professor Augusto assume. Em nenhum momento da intervenção aos alunos ele passa respostas que poderiam agilizar o processo de resolução da atividade. Dessa forma, Augusto se assume, frente aos alunos, como mais um membro daquela comunidade, sem se colocar em uma posição privilegiada em relação aos alunos. Essa postura coaduna com a perspectiva de um trabalho “na forma dialogada” (Professor Augusto, entrevista em 24/06/2013, grifo meu)47 e busca fazer com que os alunos entrem na aula e passem a se sentir parte dela, fazendo parte de uma grande mesa redonda, em que todos estão em uma situação de igualdade (Professor Augusto, entrevista em 24/06/2013)48.

A dupla continua trabalhando, e em determinado momento o aluno Elói é convidado a entrar na conversa. Ele partilha uma estratégia com Joel e Felipe:

Felipe: me fala uma coisa, você começou a fazer na horizontal, vertical ou

diagonal? Você começou fazendo qual sequência primeiro?

Elói: eu comecei encaixando... Igual aqui ó, tem três números, aqui só encaixa mais

um.

Felipe: você começou nos que tinham três? Elói: é, três... ou dois...

Felipe: mas aí você encaixava no que tinha três, encaixava no que tinha dois e não

batia errado horizontalmente? Foi batendo tudo certinho?

Elói: se você faz o primeiro... esse aqui já é tranquilo...

A ideia de Elói é simples e consiste em começar o preenchimento do quadrado mágico a partir das linhas e das colunas que possuem três ou dois números já escritos. Joel e Felipe apresentam dificuldades em entender a sugestão de Elói, mas a acatam e terminam o primeiro quadrado mágico 4x4 em 33 minutos de trabalho árduo.

Mesmo depois de terem terminado o primeiro quadrado usando a estratégia do colega Elói, Joel e Felipe tentam buscar uma relação entre os quadrados mágicos 3x3 e os 4x4. Ficam um tempo buscando estabelecer um padrão nos quadrados já completos. Apesar disso, a solução do segundo quadrado mágico 4x4 sai em 13 minutos. Confirmado que a solução estava correta, intervenho no trabalho da dupla:

Alex: só uma dica. Vocês estão preocupados com o que foi feito antes. Esquece o

que foi feito antes. Por que...

47 _{Referência já citada na página 167.} 48 _{Referência já citada na página 164.}

Joel: eu falei com ele...

Alex: porque naquele lá [quadrados mágicos 3x3] tinha aquela lógica, o 5 ficava no

meio, e os números ficavam circulando. Mas nesses não é isso. Por exemplo, a ideia que você [Felipe] estava usando, 16, 11, 6 e 1...

Felipe: não eu estava pegando...

Alex: mas na diagonal. O negócio sai da linha e vai para a diagonal, o outro sai da

linha e vai para coluna... Então, essa ideia de tentar relacionar é muito complicada. Vocês têm que arrumar ainda outra estratégia.

Felipe: eu achei pelo fato de ser mais rápida e de achar o 34 certo... Alex: mas foi rápido?

Felipe: não...

[Risos]

Felipe: mas assim, achar o 34 rápido, entendeu? De formar o 34... Alex: estou filmando há 47 minutos.

Felipe: só pra esse último? Alex: não, para os dois...

Felipe: é quase meia hora para cada um Quadrado...

Alex: então. Pensem, qual era a estratégia que o Elói estava falando? Felipe: a gente fechar onde faltavam menos números...

Alex: então. Esquece esse negócio de linha e de coluna, qual começa primeiro.

Vamos fazer esse daqui [terceiro quadrado mágico 4x4].

Os alunos partem então para solucionar o terceiro, e último, quadrado mágico 4x4, a partir da estratégia compartilhada pelo colega Elói, que era começar pelas linhas e colunas com menos espaços a serem preenchidos. Ainda volto a intervir na discussão da dupla, apresentando sempre perguntas, e não respostas.

Felipe: a gente meio que se bagunçou nessa história. A gente começou assim e foi

voltando no Quadrado anterior...

Alex: é. Vocês foram mudando de estratégia. Entendeu? Então vamos lá!

Os alunos Fazem as conferências finais e comemoram o término da atividade. Para esse último quadrado mágico gastaram 5 minutos.

Alex: entenderam que o negócio aqui era a estratégia. E a estratégia que vocês

estavam utilizando acabou...

Felipe: é, permanecer com ela até o fim...

Alex: então. Se pegar um outro totalmente diferente disso aqui, pegar um de 5 [5x5]

agora...

Felipe: a gente vai conseguir fazer...

Joel: a gente vai sempre na mesma estratégia. Felipe: legal!

É possível perceber que, à medida que a atividade vai sendo desenvolvida pelos alunos, eles vão renovando seu regime de competência por meio da interação entre o antigo repertório

individual, o repertório compartilhado e a experiência vivenciada na ação. Wenger (2008) destaca esse movimento como sendo um processo de negociação de significados envolvidos na execução das tarefas, o qual acontece de forma dinâmica. Esse processo, de alguma forma, desestabiliza os conhecimentos adquiridos anteriormente e, por meio da relação participação- reificação, contribui para o surgimento de novos conhecimentos. Como já citado anteriormente, “[...] de fato, aprendizagem – tomada como sendo a transformação do conhecimento – pode ser caracterizada como uma mudança do alinhamento entre experiência e competência” (WENGER, 2008, p. 139).