Equação de dispersão para ressonância ferromagnética

Nas subseções anteriores, entendemos que o movimento de precessão da magnetização ocorre em uma certa freqüência 𝜔₀. No experimento de FMR, a magnetização é perturbada em uma freqüência fixa 𝜔 e a energia magnética livre é modificada pela variação do campo aplicado 𝐻 0. O campo necessário para modificar essa

energia tal que quando 𝜔0 = 𝜔, é o campo de ressonância 𝐻 𝑅. Contudo, precisamos

encontrar uma relação de dispersão entre 𝜔₀e 𝐻 _𝑅. Para encontrar essa relação, partiremos da equação do movimento (2.8), onde o campo efetivo 𝐻 _𝑒𝑓 (2.9) e a magnetização 𝑀 serão escritos em coordenadas esféricas (ver figura 2.7-b),

𝐻 _𝑒𝑓 = −∇_M E θ, ϕ = − 𝜕𝐸 𝜕𝑟𝑟 + 1 𝑀 𝜕𝐸 𝜕𝜃𝜃 + 1 𝑀𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝐸 𝜕𝜙𝜙 (2.17) 𝑀 = 𝑀0𝑟 + 𝑚𝜃𝜃 + 𝑚𝜙𝜙 (2.18)

onde 𝐸 𝜃, 𝜙 a energia livre magnética total do sistema. Lembrando que o campo 𝐻 ₀ é suficientemente forte para saturar a amostra. No equilíbrio podemos considerar que 𝑚𝜃 ≅ 𝑚𝜙 ≪ 𝑀 e 𝑀0 = 𝑀𝑆 = 𝑀, onde 𝑀𝑆 é a magnetização de saturação. Substituindo

(2.17) e (2.18) em (2.8), podemos escrever as equações do movimento,

1 𝛾 𝑑𝑚𝜃 𝑑𝑡 = − 𝐸_𝜙 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 𝛾 𝑑𝑚_𝜙 𝑑𝑡 = 𝐸𝜃. (2.19)

Assumindo que o movimento de precessão de 𝑀 está confinado a pequenos desvios, Δ𝜃 = 𝜃 − 𝜃₀ e Δ𝜙 = 𝜙 − 𝜙₀, da posição de equilíbrio 𝜃₀, 𝜙₀ temos,

𝑚_𝜃 = 𝑀𝑠𝑒𝑛Δ𝜃 ≅ 𝑀Δ𝜃 𝑒 𝑚_𝜙 = 𝑀𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛Δ𝜙 ≅ 𝑀𝑠𝑒𝑛𝜃Δ𝜙.

Substituindo (2.19) nos termos acima, obtemos 1 𝛾 𝑑Δ𝜃 𝑑𝑡 = − 1 𝑀𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐸𝜙 1 𝛾 𝑑Δ𝜙 𝑑𝑡 = 1 𝑀𝑠𝑒𝑛𝜃𝐸𝜃. (2.20)

Podemos expandir a energia em série de Taylor em torno da posição de equilíbrio onde 𝐸_𝜃 = 𝐸_𝜙 = 0. Expandindo até segunda ordem obtemos,

𝐸 ≅ 𝐸0+ 1 2 𝐸𝜃𝜃Δ𝜃2+ 𝐸𝜙𝜙Δ𝜙2 + 2𝐸𝜃𝜙ΔθΔϕ ; (2.21) onde Eθθ =∂ 2_E ∂θ2, Eϕϕ = ∂2E ∂ϕ2 e Eθϕ = ∂2E ∂θ ∂ϕ .

Supondo soluções para Δ𝜃 e Δ𝜙 o sistema de equações diferenciais (2.20) do tipo: Δ𝜃 = Δ𝜃0𝑒𝑖𝜔𝑡 e Δ𝜙 = Δ𝜙0𝑒𝑖𝜔𝑡, tem-se um sistema de equações em (2.20) com o seguinte

Capítulo 2 - Técnicas experimentais 𝐸𝜃𝜙 + 𝑖𝜔𝑀𝑠𝑒𝑛𝜃 𝛾 Δθ + 𝐸𝜙𝜙Δ𝜙 = 0 (2.22) 𝐸_𝜃𝜃Δθ + 𝐸_𝜃𝜙 −𝑖𝜔𝑀𝑠𝑒𝑛𝜃 𝛾 Δ𝜙 = 0 (2.23)

este sistema de equações homogêneas para Δθ e Δ𝜙 (2.22 e 2.23) terá solução não trivial somente quando o determinante dos coeficientes for igual a zero. Aplicando tal condição obtemos, 𝜔 𝛾 2 = 1 𝑀𝑠𝑒𝑛𝜃 2 𝐸𝜃𝜃𝐸𝜙𝜙 − 𝐸𝜃𝜙2 . (2.24)

Essa é a condição geral de ressonância, que é utilizada na interpretação dos dados experimentais.

2.4 Efeito Kerr magneto-óptico (MOKE)

Dentre as diversas técnicas existentes para medidas de curva de magnetização, a que utiliza o efeito Kerr magneto-óptico (MOKE) é uma das mais usadas em filmes finos metálicos. Uma das vantagens desta técnica é que apresenta maior sensibilidade quando comparada com outros métodos comumente utilizados, como o de magnetrômetria de amostra vibrante (VSM). Outra vantagem é a possibilidade de investigarmos apenas uma região de interesse na amostra, bastando para isso focalizar o feixe de luz no pondo desejado. Além disto, por ser um fenômeno que ocorre na superfície do material, com o efeito Kerr eliminamos interferências indesejáveis do substrato e do suporte da amostra. Nesta seção descreveremos o experimento de magnetometria por MOKE utilizada, concomitante ao FMR, como técnica investigação de anisotropia uniaxial em filmes simples de permalloy (Ni81Fe19).

O efeito Kerr foi descoberto por John Kerr em 1876 [38, 39], ele observou que quando a luz linearmente polarizada é refletida pela superfície de um meio magnético surge uma mudança no estado de polarização desse meio. Esse fenômeno ocorre devido a uma

birrefringência circular, ou seja, a onda incidente linearmente polarizada é resolvida em uma onda circularmente polarizada à esquerda e em outra onda circularmente polarizada a direita com distintos índices de polarização. Atualmente este efeito é conhecido como efeito Kerr magneto óptico ou simplesmente MOKE. A maneira como o campo magnético aplicado é orientado em relação ao plano de incidência da luz, faz com que o MOKE seja classificado em longitudinal, transversal ou polar (Fig. 2.11). No longitudinal (LMOKE), o campo magnético é orientado no plano do filme e paralelo ao plano de incidência. No MOKE transversal (TMOKE), o campo magnético é também aplicado no plano da amostra, contudo, este é paralelo ao plano de incidência. Por fim no MOKE polar (PMOKE) o campo é aplicado paralelo ao plano de incidência e perpendicular ao plano do filme.

Figura 2.11 Configurações para o efeito Kerr magneto-óptico: Longitudinal (a), transversal (b) e polar (d). As

setas vermelhas representam luz incidente e refletida na amostra, formando o plano de incidência. Sendo 𝐧 o vetor normal ao plano do filme.

A fenomenologia dos efeitos magneto-ópticos (Longitudinal, Transversal e Polar) foi originalmente desenvolvida por Voigt em 1908. Teorias mais completas incluíndo a derivação dos coeficientes de Fresnel foram realizadas por Argyres [40], Robinson [41], Metzger et all [42] e Hunt [43]. Recentemente, teorias baseadas na interação spin-orbita e na interação de intercâmbio, descrevem microscopicamente os fenômenos magneto-ópticos em filmes finos metálicos [44, 45].

É sabido, pelo efeito Kerr, que para uma direção arbitrária da magnetização (em relação ao plano de incidência), para uma incidência que não seja normal, o sinal de MOKE

𝑯

_𝑯

𝑯

𝒏

_𝒏

_𝒏

(b) (a) (c)

Capítulo 2 - Técnicas experimentais

detectado por qualquer um dos três efeitos vai ser proporcional à componente da magnetização paralela ao campo magnético. Essa característica importante faz com que essa técnica seja muito utilizada na determinação de curvas de histerese [46], no estudo de domínios magnéticos [47], em aplicações para gravação magnética e em tecnologia de armazenamento de dados [48]. O formalismo para se tratar o efeito Kerr é baseado no cálculo matricial Jones [49] combinado com o cálculo dos coeficientes de Fresnel [50] (para maiores detalhes sobre o formalismo verificar referência 51).

Figura 2.12 Montagem utilizada nas medidas de MOKE.

As curvas de histerese nessa dissertação foram obtidas através de medidas de MOKE longitudinal (LMOKE) com o intuito de investigar as anisotropias presentes em nossos filmes. A montagem é constituída por um laser, um polarizador, um modulador fotoelástico, um analisador, lentes, filtros, um detector e um eletroímã. O esquema da montagem experimental utilizada pode se visto na figura 2.12. Como dito anteriormente, o sinal detectado é diretamente proporcional à componente da magnetização paralela ao

LOCK-IN LASER POLARIZADOR MODULADOR LENTE LENTE ANALISADOR FOTODETECTOR MAGNETO DC

campo. As medidas foram feitas à temperatura ambiente e com campos estáticos menores que 1kOe. A radiação eletromagnética proveniente e um laser de He-Ne (632.8 nm de comprimento de onda) é linearmente polarizada a 45º com relação ao plano de incidência, esta é modulada pelo modulador fotoelástico a uma freqüência de 50 kHz e ângulo de modulação de 0º. O ângulo de incidência é aproximadamente 60º próximo do ângulo de Brewster. A radiação refletida pela amostra passa por um analisador com intuito de selecionar a componente proporcional a magnetização paralela ao campo. A amostra é colocada no centro de um goniômetro em forma de disco, que permite girar o plano do filme em relação à direção do campo magnético. As curvas de histerese são obtidas para cada posição do campo magnético no plano da amostra.

2.5 Microscopia de força atômica (AFM)

As primeiras utilizações do AFM (Atomic Force Microscopy), também conhecido como SFM (Scanning Force Microscope) foram feitas por Bining, et al em 1986 [52]. O AFM se baseia na medição de interações existentes entre uma sonda (ponteira + suporte) de dimensões nanométricas e a superfície do material de interesse. Para ser mais preciso, seu princípio fundamental é a medida das deflexões de uma alavanca (cantilever) em cuja extremidade livre está montada a ponteira. Estas deflexões são causadas pelas interações de forças interatômicas repulsivas e atrativas, que agem entre a sonda e a amostra. A microscopia de força atômica pode ser operada em diversos modos para a obtenção de imagens, também chamados modos de varredura ou de operação, referem-se fundamentalmente à distância mantida entre a sonda e a amostra, no momento da varredura, e às formas de movimentar a sonda sobre a superfície a ser estudada. Há um contínuo de modos possíveis de fazer imagens, devido às diferentes interações em função da distância entre a ponteira e a amostra, assim como ao esquema de detecção utilizado. A escolha do modo apropriado depende da aplicação específica que se deseja fazer. Na figura 2.13 é mostrada a imagem de uma sonda típica usada para realizar medidas de topografia. A ponta da sonda é constituída de silício [53,54] sendo micro-fabricada sobre uma alavanca flexível de dimensões de alguns micra de comprimento (100 a 200 μm) e geralmente com menos de vinte nanômetros de diâmetro (ver Fig. 2.13-a).

Capítulo 2 - Técnicas experimentais

Figura 2.13 Imagens de Microscopia Eletrônica de Varredura de uma sonda típica para realizar imagens de

topografia no regime de força repulsiva (k = 0.2 N/m); (a) imagem mostrando a sonda micro-fabricada sobre a alavanca; (b) sonda usada para medir interações com a amostra [55].

Para realizar a imagem, aproximamos a sonda da superfície da amostra até o regime em que as forças interatômicas são relevantes, nesse momento o cantilever sofre uma deflexão. Essa deflexão é monitorada por um feixe de laser que incide na parte de trás do cantilever, cuja reflexão é detectada por um fotodetector dividido em quatro quadrantes (A, B, C e D) e, a partir desse fotodetector, é possível medir a deflexão e torção do cantilever (ver Fig. 2.14). Durante o processo de aquisição de imagem o sinal originado da eletrônica de detecção permanece constante devido ao uso de uma eletrônica de controle que usa o sinal de feedback para corrigir a altura “z”. A topografia da superfície é adquirida varrendo a sonda sobre a superfície da amostra e armazenando a correção na altura “z” como sendo a topografia. A varredura da sonda é feita pelo sistema de translação XYZ (scanner) através de um conjunto de cerâmica piezoelétrica (PZT). A deflexão vertical e torção da alavanca são dadas respectivamente por, 𝐴+𝐵 −(𝐷+𝐶)

𝐴+𝐵+𝐶+𝐷 e

𝐵+𝐶 −(𝐴+𝐷) 𝐴+𝐵+𝐶+𝐷 [56].

Na aquisição de imagem com um AFM, ao se aproximar em direção à superfície da amostra os átomos da sonda interagem com os átomos dessa superfície por diferentes tipos de potenciais que em geral dependem da natureza química e da separação sonda-superfície. Dentre as forças que atuam, podemos citar a força de van der Waals, forças eletrostáticas, forças magnéticas, além do potencial de Morse e de Lennard-Jones [57].

Alavanca

Sonda

Região que

interage com a

superfície da

amostra

(a)

(b)

Figura 2.14 Esquema ilustrativo dos componentes essenciais para o funcionamento de um Microscópio de

Força Atômica.

Caso a distância z entre a amostra e a sonda seja muito grande não haverá potencial de interação e, portanto, a força de interação será nula. A partir do momento que a sonda começa a se aproximar da superfície da amostra, inicialmente, aparecerá uma força do tipo

van der Waals [55]. Logo depois, para distâncias bem próximas, será verificada uma força

repulsiva entre sonda-superfície, decorrente da repulsão coulombiana entre as nuvens eletrônicas dos átomos da sonda e da superfície de contato. A partir disso podemos entender os três diferentes modos de operação da técnica de AFM: contato, não-contato e

contato intermitente (“tapping”). O gráfico da força de interação em função da distância

Capítulo 2 - Técnicas experimentais

Figura 2.15 Curva típica da força de interação existente entre átomos da sonda de um Microscópio de

Força Atômico e os átomos da superfície da amostra.

No modo contato, o cantilever é mantido a poucos angstroms da superfície da amostra e a força interatômica entre a ponta e a amostra é repulsiva. Neste modo de operação, a ponta faz um leve “contato físico” com a amostra (ocasionando uma pequena deflexão no cantilever) que é detectada pelo fotodetector como um setpoint. A constante de mola do cantilever deve possuir um valor intermediário de modo que seja pequena para não provocar deformações mecânicas na superfície da amostra e seja alta para não se deformar. Contudo, a compressão e as forças geradas, entre a ponta e a superfície, podem causar danos à amostra. As constantes de mola para forças interatômicas para amostras sólidas estão entre 10 e 100 N/m [57]. As constantes de mola dos cantilevers utilizados no modo de contato em imagens de topografia estão na faixa 0,01 e 5 N/m, portanto, são menores do que as constantes de mola da amostra e alta suficiente para não se deformarem durante as

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-1,00

-0,75

-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

"tapping" modo não-contato

F

o

rç

a

(

u

n

id

.

a

rb

.)

Distância z (unid. arb.)

modo de contato

Δz

amostra sonda

z

amostra sonda

z

amostra Forças de repulsão Forças de atração

medidas. Os cantilevers que utilizamos no modo de contato para realização deste trabalho possuem uma constante de mola de 0.2 N/m.

Se aproximarmos a relação entre força e distância no regime repulsivo (ver figura 2.15) por uma reta, obteremos:

𝐹_{𝑟𝑒𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑣𝑎} = 𝐹₀ − 𝑍𝑘_{𝑟𝑒𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑣𝑜} (2.25)

onde 𝐹₀ e 𝑘_{𝑟𝑒𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑣𝑜} são constantes positivas e Z é a distância entre a sonda e a superfície da amostra. A força repulsiva (𝐹_{𝑟𝑒𝑝𝑢𝑙𝑠𝑖𝑣𝑎} ) é obtida indiretamente pelas medidas de deflexão do cantilever através do fotodetector de quatro quadrantes (ver figuras 2.14 e 2.15). Durante a aquisição de imagem de topografia o sistema de controle, através do sinal de feedback, mede a deflexão do cantilever e corrige a separação “z” entre a sonda e a superfície da amostra. Mantendo assim a deflexão constante em um valor de setpoint e, portanto, a força de repulsão entre sonda e superfície também é constante. Desta forma o sinal detectado no modo de contato é proporcional a força.

No modo de não-contato, o cantilever é mantido de dezenas a centenas de angstroms da superfície da amostra e a força interatômica entre a ponta e a amostra é atrativa. Neste caso a ponta oscila em alta freqüência (100 kHz a 1 MHz), a força total entre a ponta e a amostra é muito baixa, geralmente em torno de 10-12 N. Esta oscilação aumenta

consideravelmente a sensibilidade do microscópio, o que faz com que forças de van der

Waals e forças eletrostáticas possam ser detectadas. O modo de não-contato não sofre os

efeitos do atrito sobre a amostra, causada pela ponta, conforme é observado no modo contato após diversas varreduras. Por outro lado, este modo não tem encontrado aplicabilidade geral, devido à instabilidade entre a ponta e as forças adesivas da superfície e à resolução reduzida pela distância ponta-amostra que é relativamente grande. Esta limitação tem sido contornada com a utilização do modo intermitente.

O modo contato intermitente é similar ao não-contato, exceto pelo fato de que a ponta vibrante fica mais próxima da amostra, de forma que tenha um contato intermitente e é utilizado para contornar as limitações impostas pelo modo contato. A comparação das imagens nos modos contato e intermitente mostra que as superfícies são menos modificadas

Capítulo 2 - Técnicas experimentais

no modo intermitente, ou seja, as forças de fricção e de interação ponta-amostra responsáveis por exercer torques sobre a ponta são consideravelmente reduzidas

2.5.1 Calibração das espessuras dos filmes depositados por sputtering

Uma das diversas aplicações do AFM é o seu uso na calibração das taxas de deposição de filmes finos, sendo este método muito mais eficiente que outros comumente utilizados (como raios-X em baixo ângulo). Resumidamente, no processo de calibração, depositamos o material a ser calibrado em forma de degrau sobre substrato de vidro. Em seguida utilizamos o AFM no modo de contato para medir a altura desse degrau e com isso obtemos uma estimativa da taxa de deposição desse material. É importante salientar que são depositados diversos filmes (em forma de degrau) de diferentes espessuras e as condições de deposição devem ser bem próximas das verificadas nos filmes que são estudados. Na figura 2.16, podemos verificar a imagem de um destes degraus feita por AFM.

Figura 2.16 Imagem de AFM para um degrau de permalloy (107,5 nm) sobre substrato de vidro.

Para as deposições por sputtering oblíquo, vista na subseção 2.2.3, já é conhecido que a espessura dos filmes varia com o ângulo de deposição. Dessa forma, com o método de calibração citado acima, obtemos a taxa de deposição em função do ângulo de deposição dos materiais de interesse em nosso trabalho. Na figura 2.17, podemos visualizar as taxas de deposição para o permalloy e para o cobre (Cu) em função do ângulo de inclinação do substrato (β).

Figura 2.17 Taxa de deposição para o permalloy (azul) e o Cu (vermelho) em função do ângulo de inclinação

do substrato. As taxas do permalloy e cobre respectivamente, são dadas por, 𝑡 𝑃𝑦 = 6.10505 + 0.06501𝛽 −

6.79293 × 10−4_𝛽2 _{− 3.21549 × 10}−5_𝛽3_{+ 3.0303 × 10}−7_𝛽4 _{e 𝑡} 𝐶𝑢 = 12.46413 − 0.07711𝛽 + 0.01182𝛽2 _{− 2.901 × 10}−4_𝛽3_{+ 1.72931 × 10}−6_𝛽4_. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Permalloy Cobre T a x a d e d e p o si ç ã o (n m /m im )  (graus)

Capítulo 2 - Técnicas experimentais

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No documento Investigação de relaxação e anisotropias magnéticas em filmes obliquamente depositados (páginas 50-65)