2.4 Teoria de dínamo
2.4.1 Equação de Indução
O interior das estrelas é constituído de um gás altamente ionizado, que é o plasma. A equação fundamental que governa o comportamento (e geração) dos campos magnéti- cos em um tal sistema de plasma é a equação de indução (Nandy 2010). Iremos obter essa expressão a partir das equações da MHD.
Na MHD solar elimina-se o vetor campo elétrico, E, e a densidade de corrente elétrica, J, e trabalha-se com a variável primária vetor campo magnético, B. Então, inicia- remos explicitando o vetor campo elétrico na lei de Ohm, ou seja,
E = J
σ −
v × B
c (2.15)
Substituindo a equação acima (2.15) na equação de indução de Faraday (2.6), obtém-se
∇ × J σ − ∇ × v × B c = −1 c ∂B ∂t (2.16)
Com o auxílio da lei de Ampère, pode-se escrever o vetor densidade de corrente
Jem termos do vetor campo magnético. Salientamos que a corrente de deslocamento na
lei de Ampère pode ser negligenciada se a velocidade típica do plasma é muito menor do que a velocidade da luz (V ≪ c). Podemos observar isso através de uma simples análise dimensional, ou seja, assumindo que a escala de comprimento típica para a variação de plasma é L e que a escala de tempo típica é da ordem de T . Em outras palavras, isso sim- plesmente significa que L é uma distância espacial sobre os quais as quantidades variam. E de maneira similar, T é uma estimativa do tempo necessário para que o fluido saia do equilíbrio. Essas duas quantidades podem ser usadas para definir a velocidade típica de plasma, V = L/T . Este tipo de aproximação nos permite estimar a ordem de grandeza nos termos da equação de indução de Faraday (2.6) e da equação de Ampère (2.4). Sendo assim, temos que,
∇ × E ≈ E L (2.17) ∂B ∂t ≈ B T (2.18)
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Comparando essas duas equações (2.17) e (2.18), obtém-se .
E = L
TB = V B (2.19)
Agora na equação (2.4) o lado esquerdo é aproximadamente B/L, mas a corrente de deslocamento é dada por
1 c2 ∂E ∂t ≈ 1 c2 E T = V B c2T = B L V2 c2 (2.20)
Portanto, se a velocidade típica de plasma satisfaz a relação (V2
≪ c2
), então a corrente de deslocamento é muito menor do que (∇ × B). Isto é uma aproximação da MHD, logo, podemos escrever a lei de Ampère simplificada (nesse caso, expressando a densidade de corrente como função do campo) como,
J = c
4π∇ × B (2.21)
Substituindo a expressão (2.21) acima na equação (2.16) e fazendo umas simples manipu- lações, encontra-se ∂B ∂t = ∇ × (v × B) − c2 4πσ ∇ × (∇ × B) (2.22)
Agora, recorremos a identidade vetorial abaixo, equação (2.19),
∇ × (∇ × B) = ∇(∇ · B) − ∇2
B (2.23)
e utilizando o termo (2.5), referente a ausência de monopólos magnéticos. Podemos rees- crever a expressão (2.22), já com as devidas alterações obtidas acima, como
∂B ∂t = ∇ × (v × B) + c2 4πσ(∇ 2 B) (2.24)
Aqui, introduziremos a difusividade magnética, que é dado por η = c2
/4πσ. Assim, a expressão (2.20) irá ficar com a forma
∂B
∂t = ∇ × (v × B) + η(∇
2
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Essa equação (2.25) é um dos principais pilares em MHD. Ela é denominada de equação da indução. Observe que trata-se de uma equação linear simétrica com relação à troca de (B) por (-B). A presença de um único parâmetro hidrodinâmico nessa equação, a velocidade do fluido, permite a formulação do modelo de dínamo que é conhecido como dínamo cinemático.
Com a finalidade de obter algum progresso na compreensão das possíveis solu- ções dessa equação, é de grande utilidade fazer uma análise dimensional da equação (2.25) e assim ser capaz de obter alguma estimativa sobre o seu significado físico. Então, como já foi definido anteriormente, sejam T e L unidades de tempo e comprimento característico do sistema, temos B T ≃ vB L + ηB L2 (2.26)
Essa equação nos fornece os termos de advecção, primeiro termo do lado direito, e de difusão, segundo termo do lado direito. Ela também proporciona a obtenção do número magnético de Reynolds, que nada mais é do que a razão entre os dois termos do lado direito dessa equação (2.26)
Rm =
vL
η (2.27)
A partir do número de Reynolds, somos capazes de determinar qual dos efeitos, indutivo ou difusivo, governa a evolução do campo magnético. Assim, quando o número de Reynolds é:
• Rm ≪ 1, o segundo termo (do lado direito) da expressão (2.26) domina sobre
o primeiro e, dessa forma, a evolução do campo magnético é regida por uma equação de difusão,
∂B ∂t = η∇
2
B (2.28)
onde o termo η é considerado constante. Em outras palavras, significa que a força viscosa domina sobre o termo advectivo e teremos a presença de um fluido laminar (Guerrero 2009).
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o segundo e, assim, a evolução do campo obedece à equação de indução e neste caso teremos um fluido turbulento. Reescrevendo o primeiro termo da expressão (2.26), ∇ × (v × B), com o auxílio de uma fórmula vetorial, será possível visualizar mais claramente o significado desse termo. Então, recorrendo a identidade vetorial abaixo
∇ × (v × B) = v(∇ · B) − B(∇ · v) + (B · ∇)v − (v · ∇)B (2.29) e lembrando que a ausência de monopólos elimina o termo ∇ · B. Fazendo uma análise desses três termos remanescentes, temos que, o primeiro termo apresenta uma caracterís- tica de advecção, o segundo termo proporciona uma distorção ou alongamento no campo magnético, possibilitando uma amplificação exponencial a uma taxa que irá depender do gradiente local do campo de velocidades. E, por fim, o terceiro termo tem uma especifici- dade de um efeito compressivo. Então, devido a presença desses três termos, a equação de indução (2.26) pode se comportar de três maneiras diferentes no processo de evolução do campo magnético: transporte, amplificação e compressão (Guerrero 2009). Em siste- mas astrofísicos como o Sol, o plasma tem um número de Rmcaracterístico muito alto. Em
tal sistema de plasma, o campo magnético é congelado no fluido. Portanto, o campo e o movimento do plasma são acoplados. Isto permite à energia do fluxo convectivo na zona convectiva solar ser desenhada de modo a produzir e amplificar o campo magnético, que nada mais é do que a essência do mecanismo de dínamo (Nandy 2010).
Configuração astrofísica T(K) ρ(g/cm3
) vrms(cm/s) L(cm) Rm
Zona Convectiva Solar (parte superior) 104
10−6
106
108
106
Zona Convectiva Solar (parte inferior) 106
10−1 104 1010 109 Disco proto-estelar 103 10−10 105 1012 10 Disco de um Núcelo Ativo de Galáxia 107
10−5 105 109 1011 Galáxia 104 10−24 106 1020 (1018) Aglomerado de galáxias 108 10−26 108 1023 (1029 )
Tabela 2.1: Alguns parâmetros estelares em várias configurações astrofísicas. Os números entre parêntesis indicam incertezas significantes devido a outros efeitos. Essa tabela foi extraída de Brandenburg & Subramanian (2005).
Na tabela (2.1) apresentamos alguns valores para o número de Reynolds basea- dos em diversas configurações astrofísicas. Podemos observar que, para todos os sistemas utilizados, o número de Reynolds sempre se apresenta muito grande. Os parâmetros uti-
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lizados nessa tabela são provenientes do trabalho de Brandenburg & Subramanian (2005). Através da utilização principalmente do efeito Zeeman, tomamos conhecimento dos diversos valores que o campo magnético pode apresentar. Então, a seguir, apresenta- mos alguns resultados provenientes da literatura, dos distintos valores da intensidade do campo magnético estelar nos diferentes ambientes astrofísicos.