CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.3. EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA REPRESENTAÇÃO DAS
PROPRIEDADES VISCOELÁSTICAS
Após a obtenção experimental de uma das propriedades viscoelásticas fundamentais, juntamente com a devida construção de sua curva mestra pelo PSTT para uma representação mais abrangente, faz-se necessário representar tais propriedades por equações analíticas. Do ponto de vista de modelagem computacional de pavimentos asfálticos, a representação matemática se faz importante para que se possa considerar o modelo viscoelástico na avaliação das integrais de convolução, dadas pelas Equações (2.1) e (2.2) (ZOCHER, 1995; HOLANDA et al., 2006). Além disso, é comum realizar um procedimento analítico de interconversão entre propriedades viscoelásticas, sendo necessária, portanto, uma função analítica representativa da propriedade viscoelástica medida experimentalmente.
Para propriedades fundamentais no domínio do tempo, uma das primeiras funções utilizada foi a chamada lei de potência simples (pure power law) descrita pelas Equações (2.16) e (2.17) (SCHAPERY, 1982; KIM, 2009).
�(�) = �1�−� (2.16)
�(�) = �1�� (2.17)
onde,
�1 e �1: constante de amplitude do Módulo de Relaxação e Função Fluência,
respectivamente;
� e �: valor absoluto do expoente do Módulo de Relaxação e Função Fluência para representação por lei de potência simples, respectivamente.
Os expoentes das equações de lei de potência simples (n e m), são também interpretados como coeficientes angular, em escala log-log, da taxa de variação da respectiva função viscoelástica em relação ao tempo, podem ser utilizados como parâmetro para avaliar o grau de viscoelasticidade do material em questão. Quanto maior o valor de � (ou �) mais acentuado é o comportamento viscoelástico do material.
As equações citadas acima se ajustam bem à região de transição esquematizada na Figura 2.6. No entanto, as equações descritas por uma lei de potência simples não são capazes de representar analiticamente as regiões de platô inicial e final características de funções como aquelas indicadas na Figura 2.6. Para contornar esta situação, pesquisadores passaram a introduzir um termo independente adicional (�0 e �0), resultando nas Equações (2.18) e (2.19) do tipo lei de potência generalizada
(generalized power law).
�(�) = �0+�1�−� (2.18)
�(�) = �0 +�1�� (2.19)
onde,
�0 e �0: termos independentes, ou valores iniciais, do Módulo de Relaxação e
Função Fluência, respectivamente.
Devido à introdução dos termos independentes �0 e �0, as equações do tipo lei de potência simples apresentam um ponto de inflexão que é capaz de representar a região de platô inicial, mas não a de platô final (KIM, 2009).
Avançando na representação analítica, pode-se utilizar as Equações (2.20) e (2.21), que são conhecidas por funções de lei de potência modificada (modified power law) que, por sua vez, apresentam dois pontos de inflexão capazes de representar analiticamente todo o domínio das propriedades viscoelásticas Função Fluência e Módulo de Relaxação (PARK e KIM, 2001; KIM, 2006, 2009).
�(�) = �∞+ �0− �∞
�1 + ��
0�
�(�) = ��+ �∞− �0
�1 + �0
� �
� (2.21)
onde,
�0 e �0: valor inicial do Módulo de Relaxação e da Função Fluência,
respectivamente;
�∞ e �∞: valor final do Módulo de Relaxação e da Função Fluência,
respectivamente;
�0 e �0: constante de tempo do Módulo de Relaxação e da Função Fluência,
respectivamente;
� e �: expoente do Módulo de Relaxação e da Função Fluência para representação por lei de potência modificada, respectivamente.
A Figura 2.13 compara o ajuste da Função Fluência a dados experimentais reais utilizando a lei de potência simples – Equação (2.19) – e a lei de potência modificada – Equação (2.21). Nota-se um melhor ajuste da lei de potência modificada devido ao segundo ponto de inflexão (em escala log-log) capaz de representar a região de platô final. KIM (2009) destaca que a lei de potência generalizada foi a primeira função analítica capaz de se ajustar de forma satisfatória a dados experimentais viscoelásticos de materiais asfálticos.
Figura 2.13: Ilustração do uso de leis de potência para representação
da Função Fluência �(�) de uma mistura asfáltica.
Fonte: KIM (2006)
Dados experimentais Lei de potência generalizada Lei de potência modificada
��
�∞
log � (�) log �(�)
Apesar deste relativo sucesso, a lei de potência modificada não garante uma representação geral, capaz de se adequar aos mais diversos tipos materiais asfálticos, como ligantes, mástiques e misturas asfálticas, sem ou com aditivos. Para garantir uma maior generalização ao diferentes materiais asfálticos, podem-se adotar séries
(2.22)
de potência baseadas na lei de potência modificada dadas pelas Equações e (2.23). Estas séries são conhecidas por séries de lei de potência modificada (modified power law series) e se ajustam muito bem a uma gama ampla de dados experimentais de diversos materiais viscoelásticos devido à introdução de � termos para a série (PARK, 2001; PARK e KIM, 2001). �(�) = �∞+� �� �1 + ���� � � �=1 (2.22) �(�) = ��+� �� �1 +�� �� � � �=1 (2.23) onde,
�∞ e �0: valor final do Módulo de Relaxação e valor inicial da Função Fluência
para série de lei de potência modificada, respectivamente;
�� e ��: termos dependentes da série de Prony do Módulo de Relaxação e da
Função Fluência, respectivamente;
�� e ��: constantes de tempo série de lei de potência modificada do Módulo de
Relaxação e da Função Fluência, respectivamente.
� e �: expoente do Módulo de Relaxação e da Função Fluência para representação por série de lei de potência modificada, respectivamente.
Considerando simplesmente o ajuste de curva aos dados experimentais, as séries de lei de potência modificada acima seriam suficientes. No entanto, estas séries matemáticas tornam difícil a manipulação algébrica para avaliação das integrais de convolução – ver Equações (2.1) e (2.2) –, bem como da interconversão entre propriedades viscoelásticas fundamentais (PARK e SCHAPERY, 1999; PARK e KIM, 2001; KIM, 2006, 2008, 2009). Além disso, o uso de propriedades viscoelásticas representadas por séries de lei potência modificadas não garante eficiência computacional para análise em uma formulação pelo MEF. Alternativamente, os dados
experimentais de propriedades viscoelásticas (no domínio do tempo) podem ser representados pelas séries de Prony (também conhecidas por séries de Dirichlet) dadas pelas Equações (2.24) e (2.25) a seguir.
�(�) = �∞+� �� � −� �� � �=1 (2.24) �(�) = �0+� �� �1 − � −� ��� � �=1 (2.25) onde,
�∞ e �0: termo independente da série de Prony do Módulo de Relaxação e da
Função Fluência, respectivamente;
�� e ��: termos dependentes da série de Prony do Módulo de Relaxação e da
Função Fluência, respectivamente;
�� e ��: constantes de tempo da série de Prony do Módulo de Relaxação e da
Função Fluência, respectivamente.
A necessidade de definir � termos exponenciais na série de Prony é justificada pelo comportamento menos abrangente de funções de natureza exponencial (SCHAPERY, 1982; KIM, 2006). Para ilustrar esta necessidade, a Figura 2.14 mostra que, isoladamente, cada termo exponencial da série de Prony tem influência em apenas 2 décadas logarítmicas. Como já dito anteriormente, a completa manifestação do comportamento viscoelástico de materiais asfálticos exige escalas de tempo de diversas décadas logarítmicas e, portanto, são igualmente necessários diversos termos da série de Prony. (SOUZA, 2005; MEDEIROS JR., 2006; SOUSA e SOARES, 2007). Nesta Figura, pode-se perceber que a composição de � = 7 termos resulta em escala de tempo bem mais abrangente (de 10-3 a 105 s) e, portanto, adequado para materiais asfálticos.
Figura 2.14: Efeito isolado de cada termo da série de Prony da Função Fluência �(�) e
composição de duas séries completas (7 e 3 termos).
As séries de Prony apresentam vantagens consideráveis frente ao uso das séries de potência modificadas. Uma primeira vantagem do uso de série de Prony é a obtenção de um algoritmo computacionalmente eficiente para avaliação das integrais de convolução em uma formulação pelo MEF (TAYLOR et al., 1970; ZOCHER, 1995). O item mais adiante descreve sucintamente o desenvolvimento deste algoritmo baseado no emprego de séries de Prony para representar propriedades viscoelásticas no domínio do tempo. Além disso, uma segunda vantagem do uso de séries de Prony é possibilidade de desenvolvimento algébrico de procedimentos analíticos para interconversão formal (não aproximada) entre propriedades viscoelásticas, devido à natureza exponencial das séries de Prony (PARK e SCHAPERY, 1999). No item 2.5 é descrito o procedimento de interconversão analítica formal baseada em séries de Prony.
Outra vantagem do uso de séries de Prony é possibilidade de interpretação física dos coeficientes obtidos utilizando análogos mecânicos resultantes da associação entre molas e amortecedores (FERRY, 1980; SCHAPERY, 1982; SOUZA, 2005; SOUSA e
tempo - � (s) F unç ão F lu ên ci a - � (� )
SOARES, 2007). Na Figura 2.15 estão indicados os análogos mecânicos utilizados para representação física do Módulo de Relaxação �(�) pelo análogo mecânico generalizado de Maxwell e da Função Fluência �(�) pelo análogo mecânico generalizado de Voigt. Nesta figura, as constantes �� (e ��) representam as constantes das molas regidas pela lei de Hooke e �� representa a viscosidade dos amortecedores regidos pela lei da hidrodinâmica de Newton.
Figura 2.15: Análogos mecânicos para representação de funções viscoelásticas
no domínio do tempo pelo uso de séries de Prony.
FERRY (1980) chama atenção ainda para uma generalização das séries de Prony pela consideração de infinitos termos para os análogos mecânicos da Figura 2.15. Dessa maneira, o Módulo de Relaxação e a Função Fluência passam a ser descritos pelas Equações (2.26) e (2.27), respectivamente. �(�) = �∞+ � � � −� ���ln� ∞ −∞ (2.26) �(�) = �0+ � � �1 − � −� ��� �ln� ∞ −∞ (2.27) �� ��
(a) modelo mecânico generalizado de Maxwell para �(�)
�∞ �1 �1 �� �� �2 �2 �3 �3 �0 �0 �(�) �(�)
(b) modelo generalizado de Voigt para �(�)
�1 �1 �2 �2 �3 �3 �� �� �� �� �0 �0 �0 �(�) �(�)
A função �(�) é conhecida por espectro de relaxação (relaxation spectrum), ao passo que �(�) é chamado de espectro de retardação (retardation spectrum). Uma vantagem dessas funções contínuas está na interpretação gráfica de funções analíticas viscoelásticas baseadas em modelo de exponenciais. Devido a isto, alguns trabalhos têm dado uma interpretação gráfica para as séries de Prony descritas pelas Equações (2.24) e (2.25) (PARK e KIM, 2001). Nesta abordagem, as séries de Prony dadas pelas Equações (2.24) e (2.25) são encaradas como uma representação discreta
(2.26)
dos espectros contínuos definidos pelas Equações e (2.27).
Por sua vez, para representar analiticamente as propriedades viscoelásticas no domínio da frequência, é prática comum adotar as funções matemáticas deduzidas a partir de técnicas analíticas de interconversão da série de Prony de suas propriedades correspondentes no domínio do tempo (ver item 2.5).
Uma última equação analítica que se ajusta bem às propriedades viscoelásticas, seja no domínio do tempo ou da frequência, é a curva sigmoidal de quatro parâmetros. A versão no domínio da frequência para representar o Módulo Dinâmico |�∗(�)| está descrita na Equação (2.28) abaixo.
log|�∗(�)| = � + �
1 + 1
��+�(log�)
(2.28) onde,
�, �, �, �: graus de liberdade da curva sigmoidal.
Para uma interpretação gráfica de cada um dos graus de liberdade da curva sigmoidal, o leitor é referenciado ao trabalho de KIM (2008). Segundo KIM (2009), a curva sigmoidal pode ser empregada para pré-suavização de dados experimentais, bem com na automação da construção de curvas mestras por meio da incorporação de seus 4 graus de liberdade em algoritmos de otimização simples.