métrica (A) com x0 = η no caso 0i.
Juntando os termos obtidos para o tensor de Einstein
δji Φ00+ H(2Φ0 − Ψ0) − Ψ 2H0+ H2 − ∆ 2(Ψ + Φ) + gil(Ψ + Φ),lj = −4πa2δTji . (E.45) ∆Φ − 3H (Φ0− HΨ) = 4πa2δT0 0 . (E.46) (Φ0− HΨ),i = 4πa2T0i . (E.47)
E.7
Equações de Boltzmann
Para obtermos as equações de Einstein em uma forma onde o tensor energia- momento é escrito de forma explícita, precisamos obter as funções de distribuição para diferentes componentes do Universo. Com esse propósito, utilizaremos abaixo as equações de Boltzmann.
Se considerarmos perturbações nas densidades de matéria e de radiação, também deveremos considerá-las na métrica. As componentes do tensor métrico serão agora dadas por:
g00(x, t) = −(1 + 2Ψ(~x, t))
g0i(x, t) = 0
gij(x, t) = δij(1 + 2Φ(~x, t)), (E.48)
onde Ψ(~x, t) é o potencial Newtoniano, e Φ(~x, t) é a perturbação na curvatura espacial. Como podemos ver, o tensor métrico acima só contém perturbações escalares da mé- trica e está escrito no gauge Newtoniano conforme - uma das vantagens desse gauge3 é que o potencial newtoniano Ψ faz o papel do potencial gravitacional no limite newto- niano e por isso tem uma interpretação física. Esse gauge será influente nas operações, como o caso das que serão feitas abaixo, portanto as quantidade observáveis não serão alteradas. Também não serão consideradas perturbações vetoriais nem tensoriais.
Vamos revisar alguns conceitos importantes sobre Mecânica Estatística, as equa- ções abaixo serão úteis para escrever o lado direito das equações de Einstein pertur- badas.
E.7.1
Cálculos de mecânica estatística
O índice i representará uma certa espécie das partículas, distribuídas pela região Ω no espaço. Podemos definir a função de distribuição no espaço de fase como uma
3As equações para perturbações escalares, vetoriais, e tensoriais, não formam um conjunto com- pleto de equações, isso porque ainda existe liberdade para fazer mudanças no sistema de coordenadas, da mesma ordem que perturbações físicas. O “gauge” é responsável por remover essa liberdade.
180 Perturbações função de valor real que contém quantas partículas de uma dada espécie estão presentes em volta do ponto x com um momento em volta de p. Portanto, se multiplicarmos essa função (representa um valor), fi = fi(x, p), em um ponto pela energia E(p) = E(p)
de uma única partícula, e somarmos sobre todas as partículas, teremos então um valor total para a energia das espécies. Dividindo por um elemento de volume do espaço de fase, que seu valor é calibrado pelo princípio de Heinserberg, nós encontramos que a densidade da espécie i será
ρi = gi
Z d3p
(2π)3fi(x, p)E(p). (E.49)
Na expressão acima gi representa a degenerescência da espécie.
O momento p não é o momento comóvel, mas o momento próprio que decresce com a expansão. Estamos supondo um estado de equilíbrio para as partículas, como a função de distribuição não tem uma dependência explícita no tempo. Se considerarmos que a nossa distribuição é isotrópica e homogênea no equilíbrio, então ela não tem dependência com as direções e posições.
Vamos agora calcular a função de distribuição de Fermi-Dirac/Bose-Einstein. Pri- meiramente precisamos determinar a função de probabilidade de um sistema tal que o número de partículas não seja constante. Vamos considerar um sistema em contato com um reservatório térmico e com outro sistema com o qual possa trocar partículas. Consideramos também que a flutuação do número de partículas é pequeno em relação ao número médio de partículas e que esse sistema esteja em equilíbrio termodinâmico com o reservatório. Nesse caso temos que a probabilidade de encontar o sistema no estado r com energia Er e nr partículas é dada por
Pr =
1 Ξe
−β(Er−µnr),
onde Ξ é uma constante de normalização, β ≡ 1/T e µ é o potencial químico. A constante de normalização pode ser calculada lembrando que
X
r
Pr = 1.
Temos portanto que a constante Ξ, ou função de partição grande canônica, é dada por Ξ = e−β(Er+µnr).
Trabalharemos apenas com partículas idênticas, ou seja, considerando dois elétrons em posições diferentes do espaço, se trocarmos as duas partículas não notaremos di- ferença alguma. Não temos assim como rotular essas partículas, uma determinada partição n0, n1, . . . de n corresponde a apenas um estado do sistema. Utilizando o
ensemble grande canônico em que a temperatura e o potencial químico são mantidos fixos, a probabilidade Ps(ns) de um orbital s estar ocupado por ns partículas é dada
por 4
Ps(ns) =
1 ζs
e−β(s−µ)ns, (E.50)
E.7 Equações de Boltzmann 181 em que ζs = X ns e−β(s+µ)ns. (E.51)
As partículas podem ser classificadas em dois tipos férmions e bósons, depende apenas do número de ocupação de um orbital. Os férmions seguem o princípio de Pauli, um orbital pode ser ocupado por só uma partícula, portanto ns = 0 e 1. Já
para os bósons, que não respeitam o princípio de Pauli, é possível haver mais de uma partícula em um mesmo orbital, ns = 0, 1, 2, . . . . Portanto, o número médio de
ocupação, ou, se preferir, a função de distribuição, é dada por f =X ns Ps = 1 ζs X ns e−β(s−µ)ns.
É fácil ver que
X ns e−β(s−µ)ns = 1 β ∂ ∂µζs, portanto f = 1 ζs 1 β ∂ ∂µζs= 1 β ∂ ∂µlnζs. (E.52) • Para os férmions (ns = 0, 1) ζs= 1 + e−β(s−µ) e ∂ζ ∂µ = βe −β(s−µ).
Temos de (E.52) que f = 1 β 1 + e −β(s−µ)−1βe−β(s−µ) = e −β(s−µ) 1 + e−β(s−µ) = 1 eβ(s−µ) + 1. • Para os bósons (ns= 0, 1, 2, . . . ) por outro lado,
ζ = ∞ X 0 e−β(s−µ)ns = limns→∞ e −β(s−µ)· e−β(s−µ)ns − lim ns→0e −β(s−µ)ns eβ(s−µ)− 1 = 1 1 − e−β(s−µ), ∂ζ ∂µ = − 1 − e −β(s−µ)2· −βe−β(s−µ) = β 1 − e−β(s−µ)2· e−β(s−µ) . Substituindo estes resultados em (E.52) temos
f =1 β 1 − e −β(s−µ) β 1 − e−β(s−µ)2 · e−β(s−µ) = e −β(s−µ) 1 − e−β(s−µ) = 1 eβ(s−µ) − 1.
182 Perturbações Juntando as funções de distribuição de ordem zero de férmions e bósons obtidas acima em apenas uma equação obtemos que
f = 1
e(E(p)−µ)T ± 1 .
O sinal positivo representa a distribuição de Fermi-Dirac enquanto o sinal negativo a distribuição de Bose-Einstein. Notamos que a temperatura T é meramente uma função do tempo para a distribuição de equilíbrio; isso é quase sempre verdade para o começo do Universo, quando as interações entre partículas eram tão intensas que tinham um estado de equilíbrio próximo.
Uma expressão similar ao da densidade da espécie i pode ser encontrada para a pressão P Pi = gi Z d3p (2π)3fi(x, p) p2 3E(p). (E.53)
Essas expressões funcionam extremamente bem com as distribuições de Fermi- Dirac/Bose-Einstein quando considerado que o Universo respeita o princípio cosmoló- gico (homogêneo e isotrópico); por exemplo, podemos aplicar a equação de densidade (E.49) para obter a quantidade de fótons no Universo quando a radiação CMB foi emitida, podemos mensurar a temperatura precisamente e estender o mecanismo es- tatístico.
No entanto, para um Universo perturbado, as funções de distribuição de Bose- Einstein/Fermi-Dirac não podem ser usadas; precisamos obter as perturbações de pri- meira ordem para elas, e é aí que utilizaremos a equação de Boltzmann. A equação de Boltzmann é utilizada para a análise dos fenômenos de transporte envolvendo gra- dientes de temperatura e densidade. Ela formaliza a taxa de variação de existência de uma certa espécie de partícula, que deverá ser igual à diferença entre a produção e a eliminação dessa espécie. A equação de Boltzmann é dada por:
df
du = C [f ] , (E.54)
onde f é a função de distribuição - em geral depende de u, ~x, e do quadrimomento Pµ no referencial comóvel -, u parametriza a trajetória da partícula e C [f ] é uma função que depende da função de distribuição, ela que contém a relação entre o que vai ser criado e aniquilado daquela espécie no processo.
Vamos usar a equação de Boltzmann para alguns componentes do Universo, para sabermos como eles interagem entre si. Baseamos as contas a seguir em [3] e [4].
Para nossas análises futuras vamos lembrar de algumas coisas:
• O quadrimomento Pµ do referencial comóvel se relaciona com o quadrimomento
pµ do referencial físico por Pµ= ∂x
µ
∂ ˜xνp ν
; • pi = pˆpi, onde ˆpi é o versor de pi;