Teoria de estabilidade linear

A ideia básica de teoria de estabilidade linear pode ser explicada usando um sistema mecânico em uma dimensão m¨x = F (x). Vamos assumir que exista um ponto x0 onde

a força se anula F (x0) = 0. Assumimos também que x(t) é uma variação muito

pequena de x0, assim x(t) = x0+ δx(t) com δx(t) pequeno. Então ¨x = ¨δx(t) e

F (x) = F (x0+ δx) ≈ F (x0) + F0(x0)δx + · · ·

como F (x0) = 0, podemos escrever até a primeira ordem de δx que a equação de

Newton para um ponto perto do ponto crítico é dada por m ¨δx = F0(x0)δx ⇒ ¨δx ∝ eµt,

onde F0(x0) é uma constante. Esse é um coeficiente constante da EDO linear de

segunda ordem, a equação auxiliar é µ2 = F0(x0)/m. Além do mais, o sinal de F0(x0)

determina as propriedades de estabilidade do ponto x0. Se F0(x0) < 0 a solução envolve

funções trigonométricas e podemos dizer que x0 é um ponto estável, para F0(x0) > 0

a solução envolve exponenciais e podemos nos referir a esse ponto como instável. Exatamente a mesma ideia pode ser utilizada quando estudamos um sistema dinâ- mico arbitrário. Seja ˙x = f(x) um dado sistema dinâmico com ponto fixo em x0. Vamos

linearizar o sistema em torno do ponto crítico. Escrevendo f(x) = (f1(x), · · · , fn(x)),

podemos expandir em Taylor cada fi(x1, x2, · · · , xn) perto de x0

fi(x) = fi(x0) + n X j=1 ∂fi ∂xj (x0)yi+ 1 2! n X j,k=1 ∂2_f i ∂xj∂xk (x0)yjyk+ · · ·

onde o vetor y é definido por y = x − x0. Note que, no nosso caso, estamos interes-

sados nas derivadas parciais de primeira ordem. Para isso, damos uma importância particular para o objeto ∂fi/∂xj que pode ser interpretado como a matriz Jacobiana

J = ∂fi ∂xj =       ∂f1 ∂x1 · · · ∂f1 ∂xn .. . . .. ... ∂fn ∂x1 · · · ∂fn ∂xn      

Os autovalores da matriz Jacobiana calculada nos pontos críticos x0 contém a infor-

54 Modelo de quintessência podendo ser complexos. Lembrando do exemplo do sistema mecânico unidimensional dado anteriormente, é claro que essa abordagem dá problema se pelo menos um auto- valor for nulo, se µ = 0 entao F (x) = cte ⇒ ¨x = cte ⇒ então x evolui com a variável temporal ao quadrado, x não oscilará. Isso motiva a próxima definição [73].

Definição 4 (Ponto hiperbólico). Vamos supor que x = x0 ∈ X ⊂ Rn é um ponto

fixo (ponto crítico) do sistema ˙x = f(x). O ponto x0 é dito ser hiperbólico se nenhum

dos autovalores da matriz Jacobiana J (x0) tiver a parte real nula. Caso contrário o

ponto é chamado de não-hiperbólico.

A teoria de estabilidade linear falha para pontos não hiperbólicos e outros métodos devem ser usados para estudar as propriedades da estabilidade.

Falando grosseiramente estamos distinguindo três casos amplos: Se todos os auto- valores tiverem parte real negativa, então podemos considerar que o ponto é um nó estável. Se pelo menos um autovalor tiver uma parte real positiva (negativa) e os outros a tiverem a parte real negativa (positiva), então o ponto crítico será instável e corresponderá à um ponto de sela que atrai trajetórias em algumas direções mas repele as mesmas em outras. Por último, todos os autovalores podem ter a parte real positiva, no caso em que todas as trajetórias vão ser repelidas. Esse é um nó instável. Em mais de 3 dimensões se torna muito difícil classificar todos os possíveis pontos críticos baseado em seus autovalores. Agora vamos apresentar todos os possíveis casos para um sistema autônomo de duas dimensões.

Vamos considerar o sistema autônomo bidimensional dado por ˙x = f (x, y)

˙

y = g(x, y)

onde f e g são funções de x e y. Assumimos que existe um ponto crítico hiperbólico em (x0, y0) tal que f (x0, y0) = 0 e g(x0, y0) = 0. A matriz Jacobiana desse sistema é

dada por

J =f,x f,y g,x g,y



onde o f,x significa diferenciação de g com respeito a x. Os dois autovalores µ1,2 são

dados por µ1,2= 1 2(f,x+ g,y) ± 1 2 q (f,x− g,y)2+ 4f,yg,x (2.18)

e é calculado em qualquer ponto fixo (x0, y0).

A Tab. (2.1) contém todos os possíveis casos para entender as propriedades de estabilidade ou instabilidade do ponto crítico (x0, y0) baseado em dois autovalores µ1,2.

Como já foi mencionado existem outros métodos para estudar a estabilidade de pontos críticos de sistemas autônomos. Um deles é o método de Lyapunov, que é completamente diferente da estabilidade linear e pode ser aplicado diretamente ao

2.1 Dinâmicas cosmológicas do campo escalar na presença de um fluido perfeito barotrópico55

Autovalores Descrição

µ1 < 0, µ2 < 0 o ponto fixo é assintóticamente estável e as trajetórias

começam próximo ao ponto e vão se aproximando dele limt→∞(x(t), y(t)) = (x0, y0)

µ1 > 0, µ2 > 0 o ponto fixo é um nó instável e as trajetórias vão sendo

repelidas do ponto limt→−∞(x(t), y(t)) = (x0, y0)

Podemos dizer que (x0, y0) é o atrator no tempo passado

µ1 < 0, µ2 > 0 o ponto fixo é um ponto de sela, ele é instável. Algumas trajetórias

vão ser repelidas outras atraídas

µ1 = 0, µ2 > 0 ponto não hiperbólico. A teoria de estabilidade linear falha para

determinar a estabilidade. O ponto é não hiperbólico e outros métodos são necessários para estudar o comportamento das trajetórias perto do ponto crítico

µ1 = 0, µ2 < 0 ponto não hiperbólico. A teoria de estabilidade linear falha para

determinar a estabilidade. O ponto é não hiperbólico e outros métodos são necessários para estudar o comportamento das trajetórias perto do ponto crítico

µ1 = α + iβ, µ2 = α − iβ com α > 0 e β 6= 0 o ponto fixo é uma espiral instável

µ1 = α + iβ, µ2 = α − iβ com α < 0 e β 6= 0 o ponto fixo é uma espiral estável

µ1 = iβ, µ2 = iβ soluções oscilam e o ponto é chamado de centro.

Note que o ponto crítico se tornar um centro não tem relação com o centro da variedade

Tabela 2.1: Propriedades de estabilidade ou instabilidade do ponto crítico (x0, y0)

56 Modelo de quintessência sistema em questão. O problema principal com essa abordagem é que precisamos ser capazes de sugerir uma função de Lyapunov boa para o problema, e não há um jeito sistemático de fazer isso, se não conseguirmos encontrar uma solução inteligente o suficiente, precisamos buscar outro método. Uma alternativa para esse caso é o método “centre manifold ” em que nos permite simplificar os sistemas dinâmicos reduzindo sua dimensionalidade perto dos pontos fixos com autovalores nulos da matriz Jacobiana.

A teoria de estabilidade linear não pode determinar a estabilidade de dois pontos com a mesma coordenada, onde reduzimos o número de pontos críticos. Poderíamos aplicar o “centre manifold theory”, mas há um problema pois essa teoria vai utilizar todo o espaço de fase enquanto que nesse caso os pontos são limitados pela semi- circunferência positiva de raio igual a 1. Se quiséssemos utilizar apenas essa região teríamos problema no “centre manifold theory”.

Poderíamos então utilizar o método de Lyapunov próximo à esse ponto “duplo”, precisaríamos apenas escolher uma boa função de Lyapunov. Diferentes escolhas po- dem resultar em diferentes partes da região da estabilidade assintótica sendo coberta e não existe garantia de que uma região inteira possa ser considerada apenas por esse método.

Para mais detalhes sobre esses métodos procurar por [73, 75].