Equações Fundamentais da Mecânica Estrutural

Como se referiu em 3.1, um dos problemas de maior importância na análise de estruturas consiste na determinação dos campos de deslocamentos u e correspondente distribuição de tensões  e deformações  que se desenvolvem na estrutura, para um dado conjunto de forças exteriores f . Para o caso geral de uma determinada estrutura tridimensional, conhecendo a sua geometria, as propriedades dos materiais, as forças mássicas, as ações atuantes na fronteira (deslocamentos impostos e/ou tensões aplicadas) e as condições de apoio, é possível calcular os deslocamentos (três componentes, segundo x1, x2 e x3) em cada ponto da barragem e em cada instante através da

resolução da equação de Navier (3.1) considerando as respetivas condições de fronteira e conhecendo as forças mássicas atuantes em cada ponto da estrutura e em cada instante (PVF). Na formulação clássica em deslocamentos, a equação de Navier estabelece uma relação entre deslocamentos e forças mássicas (Figura 3.2).

T

( ) 0, a verificar em todos os pontos e instantes Condições iniciais e de fronteira

 _{ }    L DLu f (3.1)

Nesta equação, o campo de deslocamentos uu x x x t( ,1 2, 3, ) corresponde à função incógnita e obtém-se a partir da equação diferencial de Navier, através de integração espacial (x1, x2, x3) e

integração temporal em ordem a t, como se verá em 3.3.3 e 3.3.4. O termo L DL u representa T( ) as forças elásticas internas (mássicas) sendo válida a hipótese de pequenos deslocamentos, enquanto o termo f  f x x x t representa as forças mássicas, que são: a força gravítica (força ( ,1 2, 3, ) devido ao peso mg); as forças de inércia m uT e as forças de amortecimento c u, em que m representa a massa específica e c o amortecimento específico dos materiais da estrutura em análise (betão, rocha e água), enquanto u e u representam a primeira e segunda derivadas de u em ordem ao tempo, respetivamente velocidades e acelerações.

Por outro lado, deve ser tido em consideração que o deslocamento total uT num dado ponto resulta da soma dos deslocamentos na base us com os deslocamentos relativos u nesse mesmo ponto. Assim, convém notar que, no cálculo das forças de inércia em cada ponto da estrutura, deve ser considerada a aceleração total uT, que vai ser a soma da aceleração de corpo rígido as(idêntica à

aceleração na base) e a aceleração relativa u, ou seja: m u_T m a_sm u. No que diz respeito ao cálculo das forças de amortecimento, admite-se que a parcela da velocidade de corpo rígido é nula (v_s u_s 0), pelo que se considera apenas a componente da velocidade relativa u.

No caso de se considerarem ações dinâmicas (e nomeadamente ações sísmicas), a equação 3.1 pode escrever-se da seguinte forma:

T

s 1 2 3

( ) ( ) 0, ( , , ) , 0 , T

Condições iniciais e de fronteira

  _{         }  _{ }   máx f L DLu mg m u a cu x x x V t (3.2)

Relativamente à figura 3.2 e às equações apresentadas anteriormente, L é o operador diferencial

(na forma matricial) que permite relacionar deslocamentos e deformações e D é a matriz de

elasticidade, definida para o caso de um material elástico e isotrópico que estabelece a relação entre deslocamentos e tensões, tendo em conta o módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson v. Quanto à matriz de elasticidade, esta pode ser apresentada em termos do módulo de elasticidade e do coeficiente de Poisson (como se indica na figura 3.2) ou, em alternativa, do módulo de compressibilidade volumétrica K_v E 3(1 2 ) v e do módulo de distorção GE 2(1v (o comportamento da água pode, para um dado tipo de modelos, ser simulado como ) um sólido degenerado com G = 0).

No âmbito da Mecânica estrutural, este problema é resolvido com recurso às equações indicadas na figura 3.2, em que se apresenta a dedução da forma diferencial da equação de Navier. No caso geral de equilíbrio tridimensional, as referidas equações constituem, em cada ponto da estrutura, um sistema de 15 equações diferenciais a 15 incógnitas (3 componentes de deslocamento, 6 componentes de tensão e 6 componentes de deformações), o qual pode ser simplificado a um sistema de 3 equações a 3 incógnitas (Oliveira, 2011).

Figura 3.2 - Equações Fundamentais da Mecânica Estrutural para análise dinâmica de estruturas

A resolução analítica da equação diferencial de Navier respeitando as condições de fronteira, ou seja, do PVF, apenas é possível para problemas elementares, como o caso de um pilar sob ação do peso próprio (Oliveira, 2011) ou a deformação de um cabo elástico (Espada, 2010). Dessa forma, surgiu a necessidade de desenvolver vários métodos numéricos Oliveira & Pedro, 1986 para permitir a resolução numérica do problema: i) Método dos Elementos Finitos (MEF); ii) Método das Diferenças Finitas; iii) Método dos Elementos de Fronteira; e iv) Método dos Elementos Discretos. A escolha do método de análise vai depender do modelo que se pretende usar e as hipóteses simplificativas adotadas no referido modelo. No caso do presente trabalho, apresentam-se os fundamentos e a metodologia para a resolução numérica da equação de Navier usando o MEF, tendo em conta que foi este o método estudado e utilizado no programa desenvolvido em MATLAB.

A integração numérica da equação de Navier utilizando o MEF consiste em duas fases: i) a primeira fase, em que se obtém a forma integral (forma fraca) da equação diferencial de Navier (forma forte), numa primeira etapa. Posteriormente, numa segunda etapa, efetua-se a integração espacial da forma integral fraca aplicando o MEF, por forma a obter uma equação do tipo m.uc.uk.uf no caso dinâmico (em que f representa as forças estáticas e dinâmicas atuantes, m a matriz de massas, c a matriz de amortecimento relativo e k a matriz de rigidez do sistema); e ii) a segunda fase consiste em efetuar a integração no tempo da equação obtida após a aplicação do MEF. Dessa forma, o problema a ser descrito por um sistema de NGL (número de graus de

liberdade da estrutura discretizada) equações diferenciais de 2ª ordem, em ordem ao tempo, no caso da formulação clássica em deslocamentos. Para o caso da formulação em pressões e deslocamentos, com análise no espaço de estados, o problema consiste num sistema de 2NGL

equações diferenciais de primeira ordem (em que NGL representa o número total de graus de

liberdade considerando o domínio sólido e o domínio fluído).